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普篩會出現偽陽性,那之前採檢的結果還能信嗎?由貝氏統計學做解釋

林澤民_96
・2020/05/07 ・3460字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 588 ・九年級

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防疫中心指揮官陳時中在  4 月 28 日的例行記者會中,就新冠病毒普篩的偽陽性偽陰性問題以實際數據進行了分析。他把普篩假想對象分為兩種不同人口:呼吸道症狀就醫人口無症狀人口

再就每一種假想對象依據台灣疫情提出兩種盛行率的估計:極大值、合理值。如此,假想對象 × 盛行率一共有四種組合。

陳時中再對每一種組合分別提出關於 PCR(核酸檢測)和快篩兩種檢測工具精密性的分析。陳時中的數據顯示,快篩在這四種組合都會產生數萬到數十萬的偽陽性,而連 PCR 都會有數百到數千的偽陽性。這就引起了一個問題:

如果快篩的精密性那麼低,而 PCR 也有問題,那防疫中心之前採檢的結果還值得信賴嗎?那四百多個確診個案難道沒有偽陽性嗎?

本文針對這個問題提出貝氏統計學的解釋。

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咦咦咦咦咦,怎麼這麼多偽陽性。圖/giphy

盛行率即貝氏定理的「先驗機率」

陳時中在分析中提供了 PCR 和快篩的特異性和敏感性,分別為:

PCR:特異性 = 0.9999,敏感性 = 0.95
快篩:特異性 = 0.99,敏感性 = 0.75

在固定這些參數值之後,陳時中報告了四種組合中每一組合的真陽性、偽陽性、偽陰性、真陰性的數目。他在報告中特別著重當採檢結果為陽性時,真陽性與偽陽性的數目。

我們知道醫檢學中的所謂「敏感性」是真正帶原者之中真陽性的比例。把比例等同機率,則敏感性就是當受檢者是真帶原者時,採檢結果為陽性的機率:

敏感性 = Pr ( 採檢為陽性|受檢者是真正帶原者 )

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因此,採檢為陽性之中真陽性的比例,轉換成機率的概念,便是敏感性的反機率。這個反機率在數據科學有一個專門的名稱,叫做「精密性」(precision)。

精密性 = Pr ( 受檢者真正帶原|採檢為陽性者 )

數據科學把敏感性叫作「召回率」(recall),召回率與精密性共同決定了檢測的準確度(accuracy)「F1分數」(F1 Score)。醫檢學雖然沒有使用「精密性」這個名詞,但陳時中的講解所著重其實便是精密性的討論。

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精密性是敏感性的反機率,那麼這個反機率如何計算?反機率的計算要用貝氏定理,但光知道敏感性是不夠的,必須還要知道「特異性」及「盛行率」,其中盛行率便是貝氏定理的所謂「先驗機率」。

陳時中的報告提供了各種組合的敏感性、特異性、及盛行率,因此可以算出精密性。下表顯示陳時中報告中 PCR 及快篩的精密性:

檢測工具\普篩對象 呼吸道症狀就醫人口
( 4800000 )
無症狀人口
( 18000000 )
盛行率極大值:
( π=0.0018 )
盛行率合理值:
( π=0.000016 )
盛行率極大值:
( π=0.0018 )
盛行率合理值:
( π=0.00000056 )
PCR 之精密性
(真陽性/採檢陽性)
0.9448
( 8208/8687 )
0.1319
( 71/551 )
0.9448
( 30780/32577)
0.0050
(9/1809)
快篩之精密性
(真陽性/採檢陽性)
0.1191
(6480/54394)
0.0012
(56/48056)
0.1191
(24300/203976)
0.0000
(8/180008)

除了 PCR 在盛行率極大值時以外,這些精密性數值不但小到令人驚訝,而且令人疑惑:如果盛行率 π=0.000016 及 π=0.00000056 的估計真的是「合理」的,那不但快篩,連 PCR 的精密性都低到慘不忍睹的地步。

那這樣的檢測工具還有任何用處嗎? 那豈不是防疫中心疫情開始以來所檢驗出來的所有結果都不值得信賴了?

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先驗機率注重「脈絡」

要解開這個疑惑,必須進一步了解貝氏定理所謂「先驗機率」的意涵。

首先,先驗機率既然是「先驗」的,它就不是客觀的經驗事實。 先驗機率可以用先前(例如別的地區或人口)的數據來估計,但它基本上反映了貝氏統計學者的主觀「信仰」(belief)。

醫學檢測經歷漫長的問診、疫調等專業程序才能成立。圖/wikimedia

在醫學檢測,這個「信仰」,除了醫學文獻、臨床經驗外,它通常還要靠著問診、疫調等專業程序來建立,也就是醫檢人員必須要評估受採檢對象的旅遊史、接觸史、疾病史、健康狀況、有否相關症狀、乃至於飲食作息等等資訊才能建立。 換句話說,先驗機率的建立與受採檢對象的「脈絡」(context)息息相關。採檢對象的脈絡不同,先驗機率也會不同。

既然盛行率是先驗機率,而先驗機率會隨著採檢對象的脈絡而改變,那麼盛行率也會隨著採檢對象而改變。檢測的精密性又與盛行率有關,那精密性自然也會隨著盛行率而改變。

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在給定的敏感性和特異性之下,PCR、快篩兩種檢測工具的精密性與盛行率的關係。

圖一顯示出,盛行率 π=0.0018(陳時中估計的盛行率極大值)時,PCR 的精密性在 94% 左右,快篩的精密性則約 12%。也可看出:在盛行率 π=0.000016 或 π=0.00000056(陳時中估計的盛行率合理值)的時候,PCR 和快篩的精密性都是很小很小的。

這些精密性的準確值在表一都有,但圖一更清楚地顯示了精密性在盛行率小於 0.0020 的範圍內隨著盛行率漸增的趨勢。

現在可以回答前述的問題了:既然合理的盛行率估計值導致 PCR 和快篩都是那麼小的精密性,那麼不論是快篩或 PCR 不是都沒有用嗎?防疫中心之前的採檢不會有很多偽陽性、偽陰性嗎?

這個問題的回答是:精密性低的癥結不是在於採檢工具的品質——就敏感性和特異性而言,防疫中心所使用的 PCR 和快篩的品質都是極佳的——而是在於(假想中)對廣大對象在缺乏足夠脈絡資訊之下做了無厘頭的採檢!

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如果能以更多資訊幫助判斷,則能提高盛行率的合理值。圖/giphy

因為對於一千八百萬無症狀人口沒有任何問診、疫調,防疫中心只能以既有確診案例數來估計這個人口的盛行率而定其合理值為 π=0.00000056。是因為先驗機率未能包含有用資訊,而不是檢測工具的品質,導致了精密性低落到幾乎為 0。

這個解釋,只要看陳時中把採檢對象限制在呼吸道症狀就醫人口所做的分析就立刻得到驗證:因為這個群體看過門診,確定有疑似症狀出現,防疫中心可以用這個脈絡資訊把盛行率的合理值提高到 π=0.000016。

此時同樣品質的 PCR 的精密性就從 0.0050 提高到 0.1319,而快篩的精密性也從 0.0000 提高到 0.0012。這微弱的改進誠然還是嚴重不足,但它可以讓我們看見脈絡資訊的重要性。

無緣無故實施普檢,精密性不足信賴

另外,我們也可以從表一及圖一看到:不論對象是無症狀人口或呼吸道症狀就醫人口,如果都用極大值 π=0.0018 來估計盛行率,則同一檢測工具的精密性不會改變。此時 PCR 的精密性可以高達 0.9448,看似可以接受,但在廣大的採檢對象中,仍然會有不少的偽陽性案例。

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影響普篩結果的不是檢測工具,而是脈絡資訊。圖/pxfuel

以上的分析告訴我們:對廣大人口無緣無故實施普檢,檢測結果的精密性可能不足信賴。這不是檢測工具品質不佳的問題,而是脈絡資訊不足的問題。如果社區感染的現象明顯到防疫中心對盛行率的估計可以提高,則我相信他們也會考慮普檢。

圖二把圖一的橫軸延伸到 π=0.1。從圖中可以看出:當盛行率的合理估計達到 π=0.01 時,PCR 的精密性就很接近 99% 了。只是如果普檢要仰賴快篩,則 43% 的精密性還是有所不足。

例如當合理懷疑某對象受感染的先驗機率達到 π=0.1 時, PCR 的精密性幾乎是 100%,而快篩的精密性也近乎 90% 了。

防疫中心目前使用快篩應該都是有相當的脈絡資訊才使用,當脈絡資訊指出特定對象(例如有明顯症狀的入境旅客、與確診個案有親密接觸的人士)受感染的先驗機率甚高時,使用快篩當然是可以接受的。例如當合理懷疑某對象受感染的先驗機率達到 π=0.1 時,圖二顯示 PCR 的精密性幾乎是 100%,而快篩的精密性也近乎 90% 了。

這就是貝氏定理的秘密:反機率雖然很有用,但要算反機率必須要先估計先驗機率。然而先驗機率不是唯一存在的客觀事實,它的估計必須要仰賴專業判斷。唯有基於經驗、理論、脈絡等專業資訊估計出來的先驗機率才能讓貝氏定理算出精確的反機率。

關於大規模篩檢,泛科學也有做一支影片和大家一起討論唷!

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林澤民_96
37 篇文章 ・ 245 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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純淨之水的追尋—濾水技術如何改變我們的生活?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/04/17 ・3142字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與 BRITA 合作,泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎?

如果你回到兩百年前,試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水,可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐,氣味刺鼻,甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」,當時的人們雖然知道水不乾淨,但卻無力改變,導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」(圖片來源 / freepik)

幸運的是,現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物,但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰,哪些技術真正有效?

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19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展,面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊,甚至未經處理的地下水,導致傳染病肆虐。

1854 年,英國醫生約翰·斯諾(John Snow)透過流行病學調查,發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關,這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度,促使公衛政策改革,加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初,英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒,成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率,這一技術迅速普及,成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾,尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後,惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年,後藤新平出任民政長官,他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設,對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題,他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓(William Kinnimond Burton) 來台,規劃現代化的供水設施。在雙方合作下,台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年,全台已有 16 座現代水廠,有效改善公共衛生,為台灣城市化奠定關鍵基礎。

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圖片來源/BRITA

進入 20 世紀,人們已經可以喝到看起來乾淨的水,但問題真的解決了嗎? 科學家如今發現,水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物,甚至微量的內分泌干擾物,這些看不見、嚐不出的隱形污染,正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此,濾水技術迎來了一波科技革新,活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透(RO)等技術相繼問世,各有其專長:

活性碳吸附:去除氯氣、異味與部分有機污染物

離子交換樹脂:軟化水質,去除鈣鎂離子,減少水垢

微濾技術逆滲透(RO)技術:攔截細菌與部分微生物,過濾重金屬與污染物等

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這些技術相互搭配,能夠大幅提升飲水安全,然而,無論技術如何進步,濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯,決定了水質能否真正被淨化,而現代濾水器的競爭,正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是,最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能?

濾芯的壽命與更換頻率:濾水效能的關鍵時刻濾芯,雖然是濾水器中看不見的內部構件,卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例,其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂,能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質,並過濾鉛、銅等重金屬,同時軟化水質,提升口感。

然而,隨著市場需求的增長,非原廠濾芯也悄然湧現,這不僅影響濾水效果,更可能帶來健康風險。據消費者反映,同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯,顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全,建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯,避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙,正面則可看到 BRITA 商標,以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計,底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節,才能確保濾芯發揮最佳過濾效果,讓每一口水都能保證潔淨安全。

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濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計 (圖片來源 / BRITA)

不過,即便是正品濾芯,其效能也非永久不變。隨著使用時間增加,濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞,導致過濾效果減弱,濾水速度也可能變慢。而且,濾芯在拆封後便接觸到空氣,潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯,不僅會影響過濾效能,還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質,形成「過濾器悖論」(Filter Paradox):本應淨化水質的裝置,反而成為污染源。為此,BRITA 建議每四週更換一次濾芯,以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題,BRITA 推出了三大智慧提醒機制,確保濾芯不會因過期使用而影響水質:

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈:即時監測濾芯狀況,顯示剩餘效能,讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒:掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間,自動提醒何時該更換,減少遺漏。

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3. LINE 官方帳號自動通知:透過 LINE 推送更換提醒,確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天,濾芯已不僅僅是過濾裝置,更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備,成為了健康生活的關鍵。

人類對潔淨飲用水的追求,從未停止。19世紀,隨著城市化與工業化發展,水污染問題加劇並引發霍亂等疾病,促使濾水技術迅速發展。20世紀,氯消毒技術普及,進一步保障了水質安全。隨著科技進步,現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術,去除水中的污染物,讓每一口水更加潔淨與安全。

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(圖片來源 / BRITA)

今天,消費者不再單純依賴公共供水系統,而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如,BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求,從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題,去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%,並通過 SGS 檢測,通過國家標準水質檢測「可生飲」,讓消費者能安心直飲。

然而,隨著環境污染問題的加劇,真正的挑戰在於如何減少水污染,並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具,更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備,它象徵著人類與自然的對話,提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利,更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源,且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

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早期 HER2 乳癌治療指南:術前、術後策略解讀,提升治癒率的關鍵!
careonline_96
・2024/11/29 ・2440字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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圖/照護線上

「30 多歲的陳女士意外發現乳房內有 3 公分腫瘤並已轉移至淋巴結,確診為早期 HER2 陽性乳癌。」三軍總醫院癌症中心主任戴明燊醫師建議標準治療方式應先接受化療加 HER2 標靶藥物的術前輔助治療,再進行手術切除。

手術後,雖然患者乳房的腫瘤完全消失,但在淋巴結中仍發現兩顆殘存癌細胞。戴明燊醫師強調:「對這位患者來說,術後輔助治療至關重要,這也是她唯一的治癒機會。必須採取更積極的治療策略來清除殘存的癌細胞,防止復發,避免病情惡化至乳癌晚期。」經與患者充分討論後,術後選擇了抗體藥物複合體(ADC)進行全身性治療。目前已三年過去,患者的乳癌未復發,並持續進行追蹤。

破解早期 HER2 乳癌治癒關鍵,戴明燊醫師深入解答。

Q1. 早期 HER2 乳癌治療該如何選擇先手術還是先用藥?復發風險高嗎?

乳癌是台灣女性中最常見的癌症,其中約四分之一為 HER2 陽性乳癌。當 HER 2基因過度表現時,乳癌細胞會迅速增長,大幅提升復發和轉移的風險。戴明燊醫師指出,以往治療 HER2 陽性乳癌的方式多為先進行手術切除腫瘤,隨後再進行全身性術後輔助治療。然而,隨著治療技術和藥物的持續進步,治療目標逐漸前移,致力於提高早期乳癌治癒率,並達到終身控制病情、不復發、不轉移的目標。戴明燊醫師進一步強調:「如果首次治療未能徹底根除腫瘤,復發的機率將大幅上升。」

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早期HER2乳癌治療策略
圖/照護線上

戴醫師說明:「對於腫瘤大於 2 公分或已有淋巴結轉移的患者,術前應優先考慮進行化療合併 HER2 雙標靶藥物治療。」這樣能顯著提升術後達到病理完全緩解(pCR)的機率,也就是體內沒有殘留癌細胞。術後繼續完成為期一年的輔助治療,這種治療策略能大幅降低復發和死亡風險,治癒率可高達九成,並有望實現終生不復發的目標。

Q2. 早期 HER2 乳癌術前輔助治療與術後輔助治療藥物有哪些選擇?

早期 HER2 乳癌的術前輔助治療藥物可選擇單標靶或雙標靶,並需合併化療藥物。戴明燊醫師指出,「研究顯示,術前接受 6 個療程的單標靶合併化療,約有 4-6 成的病友能達到 pCR。若使用雙標靶合併化療,pCR 的比率可提升至7成。」進一步研究表明,這些達到 pCR 的病友若術後接受一年的雙標靶輔助治療,其復發風險可降低超過兩成。

Q3. pCR 對於高風險早期 HER2 乳癌的預後重要嗎?

即使接受了術前 HER2 雙標靶合併化療,仍有約兩至三成的患者無法達到病理完全緩解(non-pCR),這對預後有著重大影響。戴明燊醫師強調:「pCR 是評估術前 HER2 標靶治療效果的關鍵指標,同時也是術後輔助治療藥物選擇的重要依據。」若術後仍有殘留病灶,表示乳癌細胞對 HER2 標靶治療反應不佳,甚至可能已經產生抗藥性。戴明燊醫師進一步說明,研究顯示,相較於達到 pCR 的患者,non-pCR 患者的復發風險增加兩倍以上。因此,對 non-pCR 患者而言,術後輔助治療猶如扭轉戰局的關鍵時刻。若改採 ADC 藥物治療,不僅能顯著延長存活期,還能大幅提高治癒的機會。

Q4. non-pCR 的高風險早期 HER2 乳癌術後該轉換 ADC 藥物治療嗎?

ADC 藥物被稱為「精準導彈」,因其結合了針對 HER2 的單株抗體與有效化療藥物,能精確打擊癌細胞。這種藥物通過 HER2 受體進入癌細胞,釋放毒素,直接摧毀乳癌細胞。與傳統化療相比,ADC 藥物顯著降低副作用,且具備更強的精準毒殺能力。

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ADC藥物景準擊殺HER2乳癌細胞
圖/照護線上

戴明燊醫師指出,大型臨床試驗顯示,對於 non-pCR 的高風險患者,術後接受 14 個療程的 ADC 藥物治療,可將復發風險降低超過四成五,並將死亡風險減少近三成五。這一突破性成果證實了 ADC 藥物在改善存活率上的顯著效果,為 non-pCR 患者提供了更大機會達到治癒。

Q5. 我有符合 ADC 藥物健保有給付的條件嗎?

自民國 113 年 8 月 1 日起,我國健保署擴大給付精準導彈 ADC 藥物,為術後 non-pCR 的早期 HER2 陽性乳癌患者爭取提高治癒率的機會。符合條件的患者可在醫師指導下,申請最多 14 個療程的 ADC 藥物治療。

早期HER2乳癌ADC藥物健保給付
圖/照護線上

戴明燊醫師強調:「早期 HER2 陽性乳癌患者應抓住術後這唯一的治癒機會,為自己爭取最佳治療效果。」隨著治療藥物的進展,即使術後未達 pCR 的患者,仍有機會實現治癒的目標。也呼籲乳癌的早期篩檢,及早發現有助於在治療中取得理想效果,並有效降低乳癌的威脅。定期檢查是守護健康的第一步,別讓乳癌影響你的人生。

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推理小說的形上學:法庭語言與維根斯坦的《邏輯哲學論》
林澤民_96
・2023/01/16 ・7312字 ・閱讀時間約 15 分鐘

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很多人從小就把福爾摩斯的故事讀到滾瓜爛熟了,我也是如此。但我近年來用貝氏統計學與維根斯坦《邏輯哲學論》的觀點來重讀這些故事,別有一番意趣。

《邏輯哲學論》的作者——路德维希·维根斯坦。圖/wikipedia

這兩個閱讀角度,其實也適用於閱讀其它的偵探故事,包括美國 1930 年以來影響廣泛的冷硬派推理小說。如果說貝氏統計學是推理小說的方法論,那麼《邏輯哲學論》就是推理小說的形上學。

我之前已寫過推理小說方法論的文章;請見跟名偵探學習推理—回溯推理與貝氏定理分析(上)〉跟名偵探學習推理—回溯推理與貝氏定理分析(下)〉

本文在方法論的基礎上論述其背後的形上學:維根斯坦的《邏輯哲學論》

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一、「資料!資料!資料!」

先簡略複習方法論。〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉一文就福爾摩斯使用的貝氏推理方法已有詳細論述。除了此文所舉〈皮膚變白的軍人〉一案外,收在《冒險史》系列中的〈銅山毛櫸案〉更是絕佳的貝式推理辦案例子。(按:銅山毛櫸是一種樹木,英文 Copper Beech,這種樹的葉子像擦亮的金屬。這個故事中犯罪現場的住宅外種了很多銅山毛櫸,因此以「銅山毛櫸」名之。)

收在《冒險史》系列中的〈銅山毛櫸案〉更是絕佳的貝式推理辦案例子。圖/wikipedia

這個故事的客戶亨特小姐得到了一個待遇奇高、雇主又有些不尋常要求的家庭教師工作。她受高薪吸引,但雇主要她剪短長髮、穿他女兒衣服等奇怪要求卻令她不安,因而來貝克街 221B 尋求諮商。福爾摩斯也覺得其中必有蹊蹺,答應她在遇到危險時去幫助她。

福爾摩斯在聽到亨特小姐的初步陳述之後,並未立即說出他心中的想法。他坐下來蹙眉深思。華生忍不住問他,他只是不耐煩地嚷道:「資料!資料!資料!」(Data! Data! Data!)。他又說:「沒有粘土,我做不出磚頭!」

不久之後,亨特小姐果然來電要求福爾摩斯前往協助。在搭火車前往「銅山毛櫸」所在的溫徹斯特途中,福爾摩斯終於向華生透露了他的想法:

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「我曾設想過七種不同的解釋,每一種都適用于到目前為止我們所知道的事實。但它們當中哪一種是正確的,只能在得到無疑正在等著我們的新消息後才能做出決定。」

貝式推理辦案

這兩句話,可以視為貝氏統計學的絕佳註解。福爾摩斯在聽過亨特小姐的敘述之後,經過深思,已經用他擅長的「回溯推論法」發展出七種可以推論出已知事實的解釋。

在這個階段,這七種解釋都是可能的,換句話說:七種解釋都有不等於零的機率。這個機率分布,就是貝氏統計學的「先驗機率」。貝氏統計學的功能,便是在獲得進一步的資料之後,用貝式定理算出「後驗機率」的機率分布。後驗機率更新了先驗機率。

如果新資訊是有用的,後驗機率分布通常會比先驗機率有較小的標準差,也就是更集中在較少的解釋上。如果一開始資料不足,貝式統計學家可能會假設所有的解釋都有相同的機率為真,這就是統計學所謂均勻分布(uniform distribution)。

將有用的資料考量進去之後,如果有些解釋因為與新資訊不盡相符,其機率降低,甚至可以完全排除。如此,後驗機率就變成集中在少數幾個解釋的分布了。

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這個故事中,福爾摩斯與華生與亨特小姐在溫徹斯特見面,亨特小姐報告了她在雇主家中的見聞。這些新資料已經足夠讓福爾摩斯把後驗機率分布全部集中在單一解釋上了。他向亨特小姐說:

「當然,只有一個說得通的解釋,你是被請到那裡去冒充某個人,而那個人實際上被囚禁在那間屋子里,這是一清二楚的。至於這個被囚禁的人是誰,我可以斷定就是那個女兒艾麗絲.魯卡斯爾小姐。

如果我沒記錯的話,她是被說成已經到美國去了。毫無疑問,你所以被選中是因為你的高度、身材和你的頭髮的色澤和她的一樣。好的頭髮被剪掉很可能是因為她曾經患過什麼病,因而,自然也必須要你犧牲你的頭髮。

你瞧見那綹頭髮完全是碰巧。那個在公路上的男人無疑是她的什麼朋友,很可能是她的未婚夫。而且無疑,正因為你穿著那個姑娘的衣服,而且又那麼像她,所以每當他看見你的時候,他從你的笑容中,以後又從你的姿勢中,相信魯卡斯爾小姐確實很快樂,並認為她不再需要他的關懷了。」

當後驗機率百分之百集中在單一解釋上,在福爾摩斯心中,案件已經破了。然而,他仍然需要得到法庭可以接受的證據,那才能將罪犯訴之以法。

二、形上學:邏輯哲學論

推理小說中偵探用邏輯探案,最終還是要上法庭用語言陳述,並接受事實證據的檢驗。看過厄爾.斯坦利.加德納 (Erle Stanley Gardner)《梅森探案集》(Perry Mason)的小說讀者或電視觀眾對這點一定印象深刻。這裡要談的是:推理小說中語言與事實的關係,就是早期維根斯坦《邏輯哲學論》中語言與事實的關係。

美國雜誌印刷的“哭泣的燕子案”插圖,佩里·梅森的短篇小說,作者是厄爾·斯坦利·加德納。圖/wikipedia

在《邏輯哲學論》中,維根斯坦主張語言由命題組成,而命題是世界上事實的「圖像」。維根斯坦所謂「圖像」就是「模型」。他在《邏輯哲學論》2.12 寫道:「圖像是事實的模型」。

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其實,維根斯坦用「圖像」及「模型」這兩個字來描述命題與事實的對應關係,正來自於法庭上的實際作法。原來他在報上讀到巴黎法庭在審判時使用模型來呈現交通事故現場,便想到可以用圖像與事實的對應關係來描述命題與事實的對應關係。

世界由基本的事實組成,這些基本事實反映在語言中就是他所謂的「原子命題」。在語言中,這些原子命題組成了較複雜的命題。複合命題可以用邏輯真值表來判斷其真偽。

邏輯不但是語言的結構,也是世界的結構。語言中可以用邏輯推導出的命題,在世界上必然也有相對應的事實。反過來說,只有在世界上有對應事實的命題,才是在語言中有「意義」的命題。維根斯坦的這個理論,一般稱作「語言的圖像理論」或「意義的圖像理論」。

《邏輯哲學論》影響了維也納學派的邏輯實證論。到今天,社會科學中的形式理論(formal theory)都還是用邏輯推導的命題系統來為人文現象建立模型,並尋求經驗世界的實證。

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《邏輯哲學論》中,維根斯坦寫道:

「假設有神創造了一個世界,其中某些命題為真,那祂這樣也就創造了一個這些命題衍出的所有命題皆為真的世界了。依同樣的道理,祂不能創造一個命題『p』為真的世界,而不同時創造這個命題的所有指涉對象。」

——《邏輯哲學論》5.123

這個邏輯世界,就是福爾摩斯推理辦案的世界。福爾摩斯的名言:

「當你把一切不可能的情況都排除之後,那剩下的,不管多麼離奇,也必然是事實。」

——《四簽名》

這就是說經過邏輯演繹確立的假說,必然是案情唯一的解釋。不論這假說有多不可能,也必然可以找到事實證據來支持它通過法庭的檢驗。

這種推理方法當然不是福爾摩斯的專利。雷曼.錢德勒(Raymond Chandler)透過筆下的偵探馬婁(Marlowe)也說:

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「有些事情是事實:在統計的意義上、寫在紙上、錄在帶上、作為證據的事實。而有些事情之所以為事實是因為缺少了它其它的事情就無法解釋了。」

——《回播》

達許.漢密特(Dashiell Hammett)的《瘦子》也有這一段偵探尼克(Nick)與他太太諾拉(Nora)的對話:

諾拉:「所以你並不確知他搶了威年特?」

尼克:「我們當然知道。不是這樣事情就無法接榫。」

諾拉:「所以你並不確定他——」

尼克:「不要這樣說。我們當然確定。只有這樣事情才能接榫。」

換句話說:推理的結論並不是已知的事實,而只是邏輯推論得到的命題。然而,依據《邏輯哲學論》的形上學,這個命題在世界上必然會有相對應的事實,只有這樣才能跟其它已知的事實「接榫」。「接榫」(click)就是邏輯的連結;少了這個連結,案情就無法解釋。

美國的法庭上,檢察官和被告律師的任務是藉由證人的證詞拼湊足夠的事實證據讓陪審團推論出有罪或無罪的判決。證人做證前必須宣誓其所做的證詞是「事實、全部的事實、而且只有事實」(”The truth, the whole truth, and nothing but the truth.”)。

只有與案情事實相關的證詞才能被法官接受而列入紀錄。檢察官和被告律師交叉詰問證人時,常用是非題的陳述提問,只要證人回答「對」或「錯」,也就是邏輯上的「真」或「假」。這些陳述雖然不是維根斯坦所謂的原子命題,但詰問的目的就是要排比出案情的基本事實,以備最後陳述時用真值表的邏輯推論出複合命題之用。

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梅森探案集。圖/IMDb

像《梅森探案集》之類的法庭劇中常可看到檢察官或辯護律師高叫「反對!」(“Objection!”),其理由常是對方的詰問「無能、無關、無重要性」(incompetent, irrelevant, immaterial)。此時法官要判決反對成立(sustained)或不成立(overruled)。

與案情無關的話固然不能陳述,法庭外聽到的話(hearsay),除非是案發過程中自然説出的話(res gestae), 否則也不能作為證據。另外,證人只能陳述事實,不能做邏輯推論;檢察官或辯護律師蓄意引導證人做出結論的詰問也會受到對方的反對。在交叉詰問的階段,邏輯只能由證詞所拚構的圖像「顯示」,不能由檢察官、被告律師、證人口中來「言說」。

在這階段,法庭上的證詞都必須是切合案情、正當合宜、而且法律容許的(pertinent, proper, admissible)。這樣的證詞等同於案情事實:這是語言與事實的對應,而邏輯則是兩者的共同結構。

所有的證人都做了證之後,檢察官和律師會向法官宣稱:「這就是檢方(或辯方)所呈的全部事實了」。這句話的英文是「Thats the prosecutions (or the defendants) case.」。這裡「case」這個字的用法,令人想到維根斯坦《邏輯哲學論》的第一句話:「世界就是全部的事實」(“The world is everything that is the case.”)法庭所建構的世界就是與案情相關的全部事實,這些事實在法庭上由證人陳述,再由檢察官及律師在結辯時總結,引導陪審團作出判決。

當案情只有情況證據時,檢察官及被告律師必須要引導陪審團就情況證據做出有罪或無罪的邏輯推論。這個結論就是「榫」,是重建案情拼圖的一個缺片,它必須由邏輯來補足。

三、邏輯的界限

《梅森探案集》影集常見的劇情是:辯護律師梅森相信被告無罪,但在開庭之前他並不知道真兇是誰。他在法庭上與檢察官交叉詰問證人,檢察官當然竭力證明被告有罪;梅森則從證人證詞中尋找破綻。常常有好幾位證人都有殺人的動機,但梅森排除其他人犯案的可能性之後鎖定一人,用犀利的邏輯推出結論:「所以你就是兇手!」嫌犯在邏輯的力量之下只好認罪,案情就破了。

《梅森探案集》中的《店賊血鞋疑案》。圖/Tse-min Lin

但是辯護律師的職責並不是找出真兇而是說服陪審團被告無罪。如果無法找出真兇,梅森的做法是讓陪審團對被告是真兇的假說起合理的懷疑。依據美國法律,判決被告有罪必須超越合理的懷疑(beyond reasonable doubt),否則便應判被告無罪。什麼是合理的懷疑呢?

《梅森探案集》中的《店賊血鞋疑案》(The Case of the Shoplifters Shoe)是一篇案情錯綜複雜,而法庭攻防令人著迷的小說。這個案子的關鍵在於梅森對陪審團最後陳述時說的這一段話:

「各位女士各位先生,法庭會指示你說:要根據情況證據來判定被告有罪,那些情況不但必須與被告有罪的假說相符合,還必須與其他合理的假說不一致。假如在被告有罪的假說之外還有其它合理的假說可以解釋情況證據,你的責任便是開釋被告。」

《梅森探案集》中的《店賊血鞋疑案》。圖/Tse-min Lin
《梅森探案集》中的《店賊血鞋疑案》。圖/Tse-min Lin

在這個案件中,檢察官以女性被告的包包裡查獲兇槍、贓物,而且鞋上沾有死者血跡為證,信心滿滿地在法庭傳訊證人,重建案情。梅森卻以巧妙的邏輯推理提出另一個與這些情況證據相符的假說,點出兇手可能是另外一人,而且可以合理解釋為何被告持有所謂兇槍並且鞋上沾有死者血跡。他諄諄提醒陪審團:如果不能排除其它合理的假說,便必須開釋被告。後來陪審團果然判決被告無罪。

推理小說之所以引人入勝,常是因為一個凶殺案的真凶是誰可以有好幾個先驗機率不等於零的合理假說。偵探或法庭只要掌握足夠的事實資料,理論上便能把涵蓋所有可能解釋的先驗機率更新到所有機率集中於單一解釋的後驗機率:此時案子就破了。如果做不到,那表示兇手無法確定,邏輯推理會得到互相矛盾的結論。

維根斯坦在《邏輯哲學論》中特別強調:矛盾的命題不是世界的圖像:它不呈現任何可能的事實狀態。互相矛盾的命題,例如「疑犯有罪」和「疑犯無罪」,不可能同時皆真。

「事件或者發生或者不發生,不會有中間路線」。

——《邏輯哲學論》5.143

「矛盾是命題的外部界限」

——《邏輯哲學論》5.153

維根斯坦如是說。但是當我們對基本命題的真假尚不確定時,我們可以對由這些基本命題建構出來的複合命題定出其為真的先驗機率。這些機率的存在並不代表事件可以像「薛丁格的貓」(Schrödingers cat)一樣,又是發生又是不發生。它只是說事實資料不足時,複合命題的真假尚無法確定。當資料足夠時,命題或真或假就只有一種可能了。

《邏輯哲學論》的命題系統不容許有矛盾存在。同樣的,推理小說中的法庭也不容許有矛盾的結論。如果證人的證詞像黑澤明電影《羅生門》那樣四個證人(包括一個鬼)互相不一致,其中必然有人說謊,必須找出說謊者而加之以偽證罪。

然而《邏輯哲學論》並不是只有邏輯實證論。維根斯坦曾經在致出版商的信中說《邏輯哲學論》有兩部分。關於語言之邏輯基礎這部分只是可以寫得出的部分,關於倫理的部分其實更重要,可是不能寫出。這第二部分,通常被視為他的神祕主義。書中神祕主義的一些名言包括:


「只要是可以說的,就可以說得清楚;那些不能說的,我們必須默默地跳過。」

——《邏輯哲學論》序言

「語言的界限意謂我世界的界限。」

——《邏輯哲學論》5.6

「在我們無法言說之處,我們必須沉默。」

——《邏輯哲學論》7

法庭容許的語言是有界限的。

邏輯推理無法破案的時候,偵探必須保持沉默。案子根本上不了法庭,甭說交叉詰問。此時,語言的界限就是法庭世界的界限,「誰是兇手?」(whodunit)將永遠是一個「神祕」(mystery)。

四、結論

維根斯坦「語言的圖像理論」既然是由法庭程序得到的靈感,那麼推理小說中的法庭程序與之契合也就不特別令人訝異了。然而犯罪偵辦真的是如此嗎?

我們只要跳離推理小說,就知道真實的世界要複雜多了。不但很多犯罪事件找不到疑犯,即使找到疑犯上了法庭,證人的供辭也常支離破碎、互相矛盾而無法重建犯罪事實,對疑犯加以定罪。那麼,難道《邏輯哲學論》對語言和世界的論述有所偏差?

羅素在《邏輯哲學論》的導論中說此書所論述的是理想語言的條件,這個說法,維根斯坦當時很不能接受。然而法庭對證人陳述的規範,正是在刻意形塑「理想語言」的條件。

維根斯坦本人必須要等到他後期寫作《哲學研究》的時候,才點出《邏輯哲學論》形上學的問題:

世界上的事實不能純粹由感官來做客觀的認知,因為感官認知的資料無法避免觀點的影響,而因此陳述出的命題也就無法避免矛盾。

他提出的「鴨兔圖」(duck-rabbit picture)從一個觀點看像鴨子,另一個觀點看像兔子。如果同一物件可以因觀點脈絡不同而呈現不同面向,那如何避免不同證人在法庭上依其所看到的面向作出互相矛盾的陳述?對於後期的維根斯坦而言,矛盾已經不再是邏輯禁忌。

《哲學研究》第二部分,第六節探討的「鴨兔錯覺」。圖/wikipedia

維根斯坦是偵探小說迷,不過沒有他讀過福爾摩斯故事的記載。1949 年,在一個討論偵探小說的場合,他說英國人在這個文學類型的創作上特別有天分。他還特別舉阿嘉莎.克莉絲蒂 (Agatha Christie)為例。他認為克莉絲蒂的偵探故事不但情節巧妙,角色更寫得像「真實人物」(real people)一樣帶勁。

但維根斯坦最喜歡的卻是美國冷硬派的偵探小說,特別是較少為人知的諾伯特.戴維斯(Norbert Davis)的小說。他為何會對冷硬派偵探小說那麼入迷?

漢密特出版先驅之作《馬爾他之鷹》的時候,已經是 1930 年了;而戴維斯還要在 1932 年才開始在《黑面具》(Black Mask)雜誌發表他的第一篇小說。此時維根斯坦已經告別他失落的歲月,回到劍橋。他也從此開始與羅素漸行漸遠,揚棄羅素抽象的形式邏輯(formal logic),而逐漸發展出他後期建立在「生活形式」(form of life)之上的語言哲學。

此時的他,正要解構自己的《邏輯哲學論》——「意義」不再是基於語言之作為世界現實的「圖像」,而是基於語言之作為生活脈絡中的「遊戲」——不可能會為推理小說中虛構的邏輯實證論著迷。也許他喜歡冷硬派偵探那種在黑暗巷弄穿梭,行動精力充沛、說話酷勁十足的「真實人物」形象,與他語言哲學的轉折有關吧?

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。