- 本文亦同步刊載於林澤民的部落格，原文標題為〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉
編按：回溯推理（或稱溯因推理）是從「證據推理到最佳解釋」的反覆過程。福爾摩斯的名言：「當你把一切不可能的情況都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。」正點出了「回溯推理」的精隨，以及背後涉及的「貝氏定理」。
本文分為上下篇，上篇將帶領讀者熟悉回溯推理的基本概念，下篇則會運用貝氏定理分析，一窺偵探腦內的判斷機制。
福爾摩斯在《皮膚變白的軍人》案中的推理過程
道爾的福爾摩斯故事中，福爾摩斯都用了這種方法破案。其中把這方法的應用說得最清楚的，莫過於《皮膚變白的軍人》。這個故事寫於 1926 年，是道爾晚年的作品。一般讀者對它印象可能不深，但它有一個特色：它是所有福爾摩斯小說中唯二華生未親自出現的一篇。所以，小說中推理方法的描述，是由福爾摩斯本人娓娓道來的。
故事中來向福爾摩斯求助的客戶是退伍軍人，他因與昔日同袍好友失聯，心中不安。寫信給好友父親，父親說好友周遊世界去了，一年之內不會回來。但客戶不相信好友出遊會不告知他，非常疑惑。於是轉而寫信給好友母親，詳述軍中友情，欲前往拜訪。好友母親熱情歡迎，他遂前往，並蒙留宿。
但好友父親仍然冷漠相待，只重複好友出國周遊的說法。當晚，夜深時，他彷彿看到好友隔著落地窗戶從室外看他，臉色慘白，有如鬼魂。他急忙追出，其身影已經消失在黑暗中。第二天，他厚顏要求再宿一宵，乘機觀察附近環境，發現園子盡頭有一棟房屋，有人看守，頗為神秘。他疑心好友被幽禁在此，但他的窺伺行動被好友父親發現，對他下了逐客令。他只好來求福爾摩斯相助追查真相。
福爾摩斯在揭發真相後，如此跟主人解釋他的推理過程：
「我的方法，」我說道，「就建立在這樣一種假設上面：當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。也可能剩下的是幾種解釋，如果這樣，那就要一而再、再而三地加以證實，直到最後只剩下一種具有足夠根據來支持的解釋。現在我們就用這個方法來研究一下當前這個案子。起初，提到我面前的有三種可能的解釋，可以說明為什麼這位先生在他父親莊園的小屋裡被隔離或禁錮起來。可以認為他是由於犯罪而逃避，或者是由於精神失常而不願住瘋人院，最後是因為有某種疾病而需要隔離。我想不出其它解釋。那麼，就需要把這幾個結論加以對比和甄別。
犯罪之說是不能成立的。本地區並沒有尚未破案的犯罪報告，這我十分清楚。如果說是尚未暴露出來的犯罪，那從家族利益來說應該是把他弄走或是送出國外，而不是藏在家裡。我看不出這條思路有什麼可能成立的地方。
精神失常的可能性要更大一些。小屋裡有的第二個人可能是看守人。他走出來以後把門倒鎖上，這就加強了上述假設，說明可能是強行禁閉。但另一方面，強制不可能是很嚴的，否則這個青年就不會跑出來去看一眼他的朋友了。多德先生，你記得我曾探索論據，比如問你肯特先生讀的是什麼報紙。如果是《柳葉刀》或《英國醫學雜誌》，那會幫助我思索。但是，只要有醫生陪同並上報當局，把瘋人留在家裡是合法的事。為什麼這樣拚命保密呢？因此精神失常的設想也不能成立。
剩下的第三個可能，看來雖然稀奇，卻是完全符合實際情況的。麻瘋在南非是常見病。由於特殊的機遇，這位青年可能受到感染。這樣一來，他的家屬處境就十分困難了，因為他們不願把他交給麻瘋隔離病院。為了不露風聲、不受當局干涉，必須嚴守秘密。如果給以適當報酬，不難找到一位忠實的醫生來照顧病人。也沒有理由在晚上不讓病人出來。膚色變白是這種病的普通症狀。這個假設的論據是十分充足的，以致使我決心把它當做已被證實了那樣來行動。當我初到這裡，發現給小屋送飯的拉爾夫戴著浸了消毒水的手套，這時候我連最後的疑點也消除了。先生，我只寫了一個詞，就告訴你秘密已被發現了，我之所以寫而沒有說出來，是為了向你證明可以信任我的謹慎。
貝氏回溯推理者福爾摩斯
福爾摩斯因客戶的敘述而提出三個可能的假設，這固然是回溯推論法，但他排除其中兩個而達到一個確定的結論，其方法卻不脫演繹法。這是因為「以否定後項來否定前項」其實是具有絕對確定性的演繹邏輯：
- 前提1：若 A2 則 B2 及 B
- 前提2：¬B2
- —————————-
- 結論：¬A2
- 前提1：若 A3 則 B3 及 B
- 前提2：¬B3
- —————————-
- 結論：¬A3
如果福爾摩斯能確定他提的三個理論是互斥而且窮盡所有可能性的（mutually exclusive and exhaustive），則他所謂「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」可以示意如下：
- 前提1：若 ¬A2 及 ¬A3 則 A1
- 前提2：¬A2 及 ¬A3
- —————————-
- 結論：A1
這樣的推論沒有任何不確定性，當然是十足的演繹法。也許這是道爾把福爾摩斯的方法稱為「演繹的科學」的原因吧？
但是這種演繹法成立的條件，除了理論必須互斥而且窮盡所有可能性之外，還得他的前提特別是對 B2、B3（或 ¬B2、¬B3）的鑑識都是百分之百確定的。如果其中有任何不確定性，例如疑犯自白、證人證詞、甚至科學鑑識的可信度不足，則使用「以否定後項來否定前項」的邏輯也就無法達到 p=1 的結論了。
《皮膚變白的軍人》案中，福爾摩斯亟想知道小屋看守人是否在讀《柳葉刀》等醫學刊物，但客戶沒去注意這些細節，隨口答了比較像《觀察家》。這種「證詞」能有多少確定性？如何足以讓福爾摩斯百分之百否定精神失常的假說？而且難道痲瘋病患者的看守人就不會讀《柳葉刀》嗎？當 0＜p＜1 時，我們就又回到回溯推論法了。此時因為不止一個理論無法完全排除，必須仰賴貝氏定理來算各理論的後驗機率。
貝氏定理的計算必須要假設先驗機率，其值由福爾摩斯依客戶的敘述及他自己的專業知識可以主觀判斷。
以下的例子假設犯罪逃亡（理論1）、精神失常（理論2）、傳染疾病（理論3）三個理論的先驗機率分別為Pr(1)=0.2、Pr(2)=0.3、Pr(3)=0.5。
福爾摩斯到現場調查之後，依鑑識結果判定資料支持各理論的程度。這是假設理論為真時，觀察到所得資料的條件機率。這裡依據故事中福爾摩斯自己的分析假設了下列條件機率，其中「＋」代表調查所發現的資料與理論相符，「－」代表調查所發現的資料與理論不符：
- 調查結果與犯罪逃亡的理論完全不符，Pr(+|1)=0.0，Pr(-|1)=1.0。
- 調查結果與精神失常的理論不盡相符，Pr(+|2)=0.5，Pr(-|2)=0.5。
- 調查結果與傳染疾病的理論大致相符，Pr(+|3)=0.9，Pr(-|3)=0.1。
這些調查結果可以讓福爾摩斯用貝氏定理來更新他的先驗機率，其結果就是所謂後驗機率，也就是回溯推論法結論的確定性。計算的結果顯示：如福爾摩斯所說，犯罪逃亡的理論的確是不能成立的（Pr(1|+)=0），但其它兩個理論都不能完全排除。經過調查之後，資料證據稍微減少了精神失常的可能性（Pr(2|+)=0.25），但大大加強了傳染疾病的可能性（Pr(3|+)=0.75）。見表一。這結果雖然無法保證每案必破，卻比較合乎現實情況。
貝氏定理的計算，請參考我的文章：〈會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？〉
從這個例子可以看出：不論先驗機率如何，只要資料與理論完全不符（即條件機率為零），該理論就可以完全排除。如果資料不只與犯罪逃亡的理論不符，也與精神失常的理論不符，那剩下的當然就只有傳染疾病的理論了。
這就是「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」。
這個結論雖然在特殊的條件下用演繹法就可推出，但它其實是回溯推論法的一個特例，用貝氏定理也可算出，只是不需要那麼麻煩而已。見表二。當鑑識資料與理論的符合程度不是那麼確定時，光靠演繹法就行不通的，還是要仰賴回溯推論法及貝氏定理！
諾伯里！
太過於相信自己的判斷曾經給福爾摩斯帶來失敗的教訓。在另一個與《皮膚變白的軍人》有點類似的疑案《黃面人》中，從倫敦西南諾伯里（Norbury）區專程來求助的客戶懷疑自己的婚姻出了可怕的問題。他有次經過住家附近的一棟空屋，發現空屋的一扇窗戶裡有一張詭異的面孔也正在看著他：
我背上似乎冒出了冷汗。我站得稍微遠了一點，所以看不清面貌如何。不過這張面孔有點不自然而且不像人臉。這就是我那時的印象。我便急忙走向前去，以便把窺視我的那個人看得更清楚些。但我走近以後，那張面孔突然不見了，彷彿突然被拉到室內的暗處。我站了足有五分鐘，仔細考慮這件事，打算把我得到的印象分析一下。我很難說明這究竟是一張男人的面孔，還是女人的，它離我太遠了。可是這張面孔的顏色給我留下的印象卻是很深的。它就像青灰色的白堊土一樣，而且有點僵硬呆板，不自然得嚇人。
客戶心中不安，可是接下來發生的事更令他焦急：他發現他的美國妻子進出這棟空屋，行為異常，卻堅決不肯透露實情，只請求他相信她的愛情和苦衷。可是客戶忍不住了，來請福爾摩斯協助。
聽過客戶敘述案情之後，福爾摩斯在華生催問下，提出了他的唯一一個理論：客戶妻子的前夫住在空屋裡。華生難得地不以為然，說那完全是臆測，但福爾摩斯說：
「可是它至少符合所有的事實。假使再發現了不相符合的新情況，我們重新考慮也還來得及的。」
可是福爾摩斯和華生搭火車到達當地之後，在月台等待的客戶「面色蒼白，憂心忡忡，渾身顫抖」已經忍無可忍了，要求兩人為證，直接闖入空屋。這才發現黃面人是妻子與美國具非洲血統的前夫所生的小女孩。
前夫雖然膚色不黑，小女孩卻黝黑得多，妻子怕鄰居的流言蜚語，給女孩戴上黃色的面具，讓她至少可以在窗戶後面窺視戶外景物。客戶諒解妻子的苦衷，抱著小孩與妻子攜手回家。
福爾摩斯不發一言回到倫敦，直到夜晚，才對華生說：
「如果以後你覺得我過於自信我的能力，或在辦一件案子時下的功夫不夠，請你最好在我耳旁輕輕說一聲『諾伯里』，那我一定會感激不盡的。」
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