跟名偵探學習推理—回溯推理與貝氏定理分析（下）

虛構人物福爾摩斯，就是偵探的代名詞。英國小說家柯南道爾創作的這位名偵探，活躍於 19 世紀晚期到 20 世紀初期，那時古人類學已經起步，博學多聞的福爾摩斯應該有機會知道某些化石。奇妙的是，他竟然還見過尚未出土的死人骨頭？

請注意，本文包含古人類遺骸的圖像。

福爾摩斯遇見古人類化石

柯南道爾的故事設定中，福爾摩斯是存在於現實歷史的虛構人物。例如故事中公元 1896 年發生的事件，現實中也應該在這個時候上演，而 1899 年更晚的事情還沒有發生。

短篇小說《三名同姓之人（The Three Garridebs）》，以一個罕見姓氏 Garridebs 導引出簡短卻高潮起伏的探案。故事中有一位角色喜歡收藏古物，也包括幾件人類化石。

華生醫師第一人稱的描述是：

「當我環顧四周，我驚訝於此人興趣之廣。這兒是一箱古錢幣。那兒有一櫃子的燧石工具。中間桌子後方是個裝著化石骨頭的大櫃子，裡頭擺著一排石膏頭骨，有尼安德塔人（Neanderthal）、海德堡人（Heidelberg）、克羅馬儂人（Cro-Magnon）等名字標示。很顯然他是許多主題的學習者。」

「As I glanced round I was surprised at the universality of the man’s interests. Here was a case of ancient coins. There was a cabinet of flint instruments. Behind his central table was a large cupboard of fossil bones. Above was a line of plaster skulls with such names as “Neanderthal,” “Heidelberg,” “Cro-Magnon” printed beneath them. It was clear that he was a student of many subjects. 」

故事中這位角色有哪些收藏品並不影響劇情，不過敘述這般瑣碎的細節，有助於強化真實感，算是一項創作技巧。這些頭骨化石不是原件，而是石膏複製品（plaster skulls），也證實角色自稱家中藏品沒什麼值得偷竊的價值。

可是故事開頭，華生醫師十分明確表示此案發生在 1902 年：

「那日期我記得特別熟，因為福爾摩斯在同一個月，拒絕一項也許有一天會講出來的爵位。……然而我重申，這使我能夠確定日期，亦即 1902 年 6 月下旬，南非戰爭結束後不久。」

「I remember the date very well, for it was in the same month that Holmes refused a knighthood for services which may perhaps some day be described…… I repeat, however, that this enables me to fix the date, which was the latter end of June, 1902, shortly after the conclusion of the South African War. 」

這兒提到 1902 年結束的南非戰爭是「第二次波耳戰爭」。真實歷史中，那時柯南道爾已經靠著福爾摩斯成為知名作家；他以醫師的本行親自參戰，擔任軍醫而受封爵士，也是柯南道爾爵士（Sir Arthur Ignatius Conan Doyle）名號中「爵士（Sir）」的由來。

對照如此明確的日期，令人愈想愈不對勁。與尼安德塔人並列的「Heidelberg」顯然指的是 Homo heidelbergensis ，但是第一件海德堡人化石要等到 1907 年才在德國出土，更早的 1902 年絕不可能存在石膏複製品，被福爾摩斯與華生見到。

• 延伸閱讀：海德堡人－人類承先啟後的演化關鍵

容易起爭議的海德堡人

解開此一謎題大概不需要福爾摩斯的推理能力。《三名同姓之人》於 1924 年發表，那時海德堡人大概已經有點名氣，被取材用於偵探故事中增添血肉。柯南道爾與編輯卻沒有注意到 1902 年之際，海德堡人仍不存在。

另一方面，即使是故事發表的 1924 年，「海德堡人」也應該還沒有頭骨，不會有石膏複製品。1907 年出土，隔年公開的化石 Mauer 1 只有下顎，沒有頭骨。

1921 年在非洲南部 Kabwe 出土的化石包括頭骨，但是當時將其分類為羅德西亞人（Homo rhodesiensis），多年後才歸入海德堡人旗下。這條消息或許影響過柯南道爾 1924 年發表的創作，詳情不得而知。

Kabwe 在 1921 年屬於大英帝國的北羅德西亞（Northern Rhodesia）殖民地，現在則是尚比亞的疆域。有人主張這群死人骨頭算是非洲的海德堡人，也有人認為是不同的羅德西亞人，還有人提出應該歸於波多人（Homo bodoensis）……反正一百多年來，海德堡人的爭議持續不休，即使配備福爾摩斯的智謀，大概也無法解開這些難題。

故事中海德堡人以外的兩款化石，尼安德塔人最初問世於 1856 年，克羅馬儂人則是 1868 年。到 1902 年都已經是特定圈子內普及的知識，也買得到石膏頭骨複製品，可謂有血有肉的安排。

• 延伸閱讀：克羅馬儂人是什麼人？尼安德塔人跟智人是不是同種？

大英帝國的榮耀

古人類化石中，1924 年的柯南道爾想必也知道皮爾當人（Piltdown Man）。這是英國人 1912 年偽造的化石，由紅毛猩猩和數百年前的智人骨頭加工而成，但是要等到 1953 年才證實造假。

捏造的皮爾當人被不少英國人認同，也騙過不少專家，讀過《三名同姓之人》好像能稍加體會時代背景。

故事中那位收藏家以史隆（Hans Sloan，1753 年去世後他的收藏催生出大英博物館）為楷模，實則相當平凡。他的藏品應該能代表當時對人類化石的普遍印象，也就是說，德國出土的尼安德塔人、海德堡人，以及法國出土的克羅馬儂人……榮耀的大英帝國豈能忍受！

可惜 1910 年代以後，福爾摩斯便退隱江湖不再辦案。否則以他的才智展開調查，哪需要等 40 多年才確認皮爾當人造假！

不追究那些死人骨頭，《三名同姓之人》也相當有意思。故事雖短，卻發生壞人打槍、華生流血，福爾摩斯激動、華生興奮、福爾摩斯用小刀割開華生褲子等情節，鐵與血的糾葛、靈與肉的碰撞，亂七八糟的 ❤️

延伸閱讀

• 海德堡人－人類承先啟後的演化關鍵
• 舊化石重新定義，古人類新物種：Homo bodoensis 波多人
• 短篇  30萬年前Kabwe海德堡人，智人祖先的鄰居
• 人類對自身起源的百年追尋
• 人類演化研究史上最大造假醜聞－皮爾當人
• 她是考古學的先驅，也是劍橋大學第一位女性教授｜桃樂絲．加洛德(上) 
• 加洛德的掙扎與偉大：不是不能兼行政，但還是最愛考古研究｜桃樂絲．加洛德(下) 

參考資料

1. 《三名同姓之人》小說原文：THE THREE GARRIDEBS

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁。

• 本文亦同步刊載於林澤民的部落格，〈推理小說的形上學：《梅森探案集》的法庭世界〉

很多人從小就把福爾摩斯的故事讀到滾瓜爛熟了，我也是如此。但我近年來用貝氏統計學與維根斯坦《邏輯哲學論》的觀點來重讀這些故事，別有一番意趣。

這兩個閱讀角度，其實也適用於閱讀其它的偵探故事，包括美國 1930 年以來影響廣泛的冷硬派推理小說。如果說貝氏統計學是推理小說的方法論，那麼《邏輯哲學論》就是推理小說的形上學。

我之前已寫過推理小說方法論的文章；請見〈跟名偵探學習推理—回溯推理與貝氏定理分析（上）〉、〈跟名偵探學習推理—回溯推理與貝氏定理分析（下）〉

本文在方法論的基礎上論述其背後的形上學：維根斯坦的《邏輯哲學論》

一、「資料！資料！資料！」

先簡略複習方法論。〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉一文就福爾摩斯使用的貝氏推理方法已有詳細論述。除了此文所舉〈皮膚變白的軍人〉一案外，收在《冒險史》系列中的〈銅山毛櫸案〉更是絕佳的貝式推理辦案例子。（按：銅山毛櫸是一種樹木，英文 Copper Beech，這種樹的葉子像擦亮的金屬。這個故事中犯罪現場的住宅外種了很多銅山毛櫸，因此以「銅山毛櫸」名之。）

這個故事的客戶亨特小姐得到了一個待遇奇高、雇主又有些不尋常要求的家庭教師工作。她受高薪吸引，但雇主要她剪短長髮、穿他女兒衣服等奇怪要求卻令她不安，因而來貝克街 221B 尋求諮商。福爾摩斯也覺得其中必有蹊蹺，答應她在遇到危險時去幫助她。

福爾摩斯在聽到亨特小姐的初步陳述之後，並未立即說出他心中的想法。他坐下來蹙眉深思。華生忍不住問他，他只是不耐煩地嚷道：「資料！資料！資料！」（Data! Data! Data!）。他又說：「沒有粘土，我做不出磚頭！」

不久之後，亨特小姐果然來電要求福爾摩斯前往協助。在搭火車前往「銅山毛櫸」所在的溫徹斯特途中，福爾摩斯終於向華生透露了他的想法：

「我曾設想過七種不同的解釋，每一種都適用于到目前為止我們所知道的事實。但它們當中哪一種是正確的，只能在得到無疑正在等著我們的新消息後才能做出決定。」

貝式推理辦案

這兩句話，可以視為貝氏統計學的絕佳註解。福爾摩斯在聽過亨特小姐的敘述之後，經過深思，已經用他擅長的「回溯推論法」發展出七種可以推論出已知事實的解釋。

在這個階段，這七種解釋都是可能的，換句話說：七種解釋都有不等於零的機率。這個機率分布，就是貝氏統計學的「先驗機率」。貝氏統計學的功能，便是在獲得進一步的資料之後，用貝式定理算出「後驗機率」的機率分布。後驗機率更新了先驗機率。

如果新資訊是有用的，後驗機率分布通常會比先驗機率有較小的標準差，也就是更集中在較少的解釋上。如果一開始資料不足，貝式統計學家可能會假設所有的解釋都有相同的機率為真，這就是統計學所謂均勻分布（uniform distribution）。

將有用的資料考量進去之後，如果有些解釋因為與新資訊不盡相符，其機率降低，甚至可以完全排除。如此，後驗機率就變成集中在少數幾個解釋的分布了。

這個故事中，福爾摩斯與華生與亨特小姐在溫徹斯特見面，亨特小姐報告了她在雇主家中的見聞。這些新資料已經足夠讓福爾摩斯把後驗機率分布全部集中在單一解釋上了。他向亨特小姐說：

「當然，只有一個說得通的解釋，你是被請到那裡去冒充某個人，而那個人實際上被囚禁在那間屋子里，這是一清二楚的。至於這個被囚禁的人是誰，我可以斷定就是那個女兒艾麗絲．魯卡斯爾小姐。

如果我沒記錯的話，她是被說成已經到美國去了。毫無疑問，你所以被選中是因為你的高度、身材和你的頭髮的色澤和她的一樣。好的頭髮被剪掉很可能是因為她曾經患過什麼病，因而，自然也必須要你犧牲你的頭髮。

你瞧見那綹頭髮完全是碰巧。那個在公路上的男人無疑是她的什麼朋友，很可能是她的未婚夫。而且無疑，正因為你穿著那個姑娘的衣服，而且又那麼像她，所以每當他看見你的時候，他從你的笑容中，以後又從你的姿勢中，相信魯卡斯爾小姐確實很快樂，並認為她不再需要他的關懷了。」

當後驗機率百分之百集中在單一解釋上，在福爾摩斯心中，案件已經破了。然而，他仍然需要得到法庭可以接受的證據，那才能將罪犯訴之以法。

二、形上學：邏輯哲學論

推理小說中偵探用邏輯探案，最終還是要上法庭用語言陳述，並接受事實證據的檢驗。看過厄爾．斯坦利．加德納 （Erle Stanley Gardner）《梅森探案集》（Perry Mason）的小說讀者或電視觀眾對這點一定印象深刻。這裡要談的是：推理小說中語言與事實的關係，就是早期維根斯坦《邏輯哲學論》中語言與事實的關係。

在《邏輯哲學論》中，維根斯坦主張語言由命題組成，而命題是世界上事實的「圖像」。維根斯坦所謂「圖像」就是「模型」。他在《邏輯哲學論》2.12 寫道：「圖像是事實的模型」。

其實，維根斯坦用「圖像」及「模型」這兩個字來描述命題與事實的對應關係，正來自於法庭上的實際作法。原來他在報上讀到巴黎法庭在審判時使用模型來呈現交通事故現場，便想到可以用圖像與事實的對應關係來描述命題與事實的對應關係。

世界由基本的事實組成，這些基本事實反映在語言中就是他所謂的「原子命題」。在語言中，這些原子命題組成了較複雜的命題。複合命題可以用邏輯真值表來判斷其真偽。

邏輯不但是語言的結構，也是世界的結構。語言中可以用邏輯推導出的命題，在世界上必然也有相對應的事實。反過來說，只有在世界上有對應事實的命題，才是在語言中有「意義」的命題。維根斯坦的這個理論，一般稱作「語言的圖像理論」或「意義的圖像理論」。

《邏輯哲學論》影響了維也納學派的邏輯實證論。到今天，社會科學中的形式理論（formal theory）都還是用邏輯推導的命題系統來為人文現象建立模型，並尋求經驗世界的實證。

《邏輯哲學論》中，維根斯坦寫道：

「假設有神創造了一個世界，其中某些命題為真，那祂這樣也就創造了一個這些命題衍出的所有命題皆為真的世界了。依同樣的道理，祂不能創造一個命題『p』為真的世界，而不同時創造這個命題的所有指涉對象。」

——《邏輯哲學論》5.123

這個邏輯世界，就是福爾摩斯推理辦案的世界。福爾摩斯的名言：

「當你把一切不可能的情況都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。」

——《四簽名》

這就是說經過邏輯演繹確立的假說，必然是案情唯一的解釋。不論這假說有多不可能，也必然可以找到事實證據來支持它通過法庭的檢驗。

這種推理方法當然不是福爾摩斯的專利。雷曼．錢德勒（Raymond Chandler）透過筆下的偵探馬婁（Marlowe）也說：

「有些事情是事實：在統計的意義上、寫在紙上、錄在帶上、作為證據的事實。而有些事情之所以為事實是因為缺少了它其它的事情就無法解釋了。」

——《回播》

達許．漢密特（Dashiell Hammett）的《瘦子》也有這一段偵探尼克（Nick）與他太太諾拉（Nora）的對話：

諾拉：「所以你並不確知他搶了威年特？」

尼克：「我們當然知道。不是這樣事情就無法接榫。」

諾拉：「所以你並不確定他——」

尼克：「不要這樣說。我們當然確定。只有這樣事情才能接榫。」

換句話說：推理的結論並不是已知的事實，而只是邏輯推論得到的命題。然而，依據《邏輯哲學論》的形上學，這個命題在世界上必然會有相對應的事實，只有這樣才能跟其它已知的事實「接榫」。「接榫」（click）就是邏輯的連結；少了這個連結，案情就無法解釋。

美國的法庭上，檢察官和被告律師的任務是藉由證人的證詞拼湊足夠的事實證據讓陪審團推論出有罪或無罪的判決。證人做證前必須宣誓其所做的證詞是「事實、全部的事實、而且只有事實」（”The truth, the whole truth, and nothing but the truth.”）。

只有與案情事實相關的證詞才能被法官接受而列入紀錄。檢察官和被告律師交叉詰問證人時，常用是非題的陳述提問，只要證人回答「對」或「錯」，也就是邏輯上的「真」或「假」。這些陳述雖然不是維根斯坦所謂的原子命題，但詰問的目的就是要排比出案情的基本事實，以備最後陳述時用真值表的邏輯推論出複合命題之用。

像《梅森探案集》之類的法庭劇中常可看到檢察官或辯護律師高叫「反對！」（“Objection!”），其理由常是對方的詰問「無能、無關、無重要性」（incompetent, irrelevant, immaterial）。此時法官要判決反對成立（sustained）或不成立（overruled）。

與案情無關的話固然不能陳述，法庭外聽到的話（hearsay），除非是案發過程中自然説出的話（res gestae）, 否則也不能作為證據。另外，證人只能陳述事實，不能做邏輯推論；檢察官或辯護律師蓄意引導證人做出結論的詰問也會受到對方的反對。在交叉詰問的階段，邏輯只能由證詞所拚構的圖像「顯示」，不能由檢察官、被告律師、證人口中來「言說」。

在這階段，法庭上的證詞都必須是切合案情、正當合宜、而且法律容許的（pertinent, proper, admissible）。這樣的證詞等同於案情事實：這是語言與事實的對應，而邏輯則是兩者的共同結構。

所有的證人都做了證之後，檢察官和律師會向法官宣稱：「這就是檢方（或辯方）所呈的全部事實了」。這句話的英文是「Thats the prosecutions (or the defendants) case.」。這裡「case」這個字的用法，令人想到維根斯坦《邏輯哲學論》的第一句話：「世界就是全部的事實」（“The world is everything that is the case.”）法庭所建構的世界就是與案情相關的全部事實，這些事實在法庭上由證人陳述，再由檢察官及律師在結辯時總結，引導陪審團作出判決。

當案情只有情況證據時，檢察官及被告律師必須要引導陪審團就情況證據做出有罪或無罪的邏輯推論。這個結論就是「榫」，是重建案情拼圖的一個缺片，它必須由邏輯來補足。

三、邏輯的界限

《梅森探案集》影集常見的劇情是：辯護律師梅森相信被告無罪，但在開庭之前他並不知道真兇是誰。他在法庭上與檢察官交叉詰問證人，檢察官當然竭力證明被告有罪；梅森則從證人證詞中尋找破綻。常常有好幾位證人都有殺人的動機，但梅森排除其他人犯案的可能性之後鎖定一人，用犀利的邏輯推出結論：「所以你就是兇手！」嫌犯在邏輯的力量之下只好認罪，案情就破了。

但是辯護律師的職責並不是找出真兇而是說服陪審團被告無罪。如果無法找出真兇，梅森的做法是讓陪審團對被告是真兇的假說起合理的懷疑。依據美國法律，判決被告有罪必須超越合理的懷疑（beyond reasonable doubt），否則便應判被告無罪。什麼是合理的懷疑呢？

《梅森探案集》中的《店賊血鞋疑案》（The Case of the Shoplifters Shoe）是一篇案情錯綜複雜，而法庭攻防令人著迷的小說。這個案子的關鍵在於梅森對陪審團最後陳述時說的這一段話：

「各位女士各位先生，法庭會指示你說：要根據情況證據來判定被告有罪，那些情況不但必須與被告有罪的假說相符合，還必須與其他合理的假說不一致。假如在被告有罪的假說之外還有其它合理的假說可以解釋情況證據，你的責任便是開釋被告。」

在這個案件中，檢察官以女性被告的包包裡查獲兇槍、贓物，而且鞋上沾有死者血跡為證，信心滿滿地在法庭傳訊證人，重建案情。梅森卻以巧妙的邏輯推理提出另一個與這些情況證據相符的假說，點出兇手可能是另外一人，而且可以合理解釋為何被告持有所謂兇槍並且鞋上沾有死者血跡。他諄諄提醒陪審團：如果不能排除其它合理的假說，便必須開釋被告。後來陪審團果然判決被告無罪。

推理小說之所以引人入勝，常是因為一個凶殺案的真凶是誰可以有好幾個先驗機率不等於零的合理假說。偵探或法庭只要掌握足夠的事實資料，理論上便能把涵蓋所有可能解釋的先驗機率更新到所有機率集中於單一解釋的後驗機率：此時案子就破了。如果做不到，那表示兇手無法確定，邏輯推理會得到互相矛盾的結論。

維根斯坦在《邏輯哲學論》中特別強調：矛盾的命題不是世界的圖像：它不呈現任何可能的事實狀態。互相矛盾的命題，例如「疑犯有罪」和「疑犯無罪」，不可能同時皆真。

「事件或者發生或者不發生，不會有中間路線」。

——《邏輯哲學論》5.143

「矛盾是命題的外部界限」

——《邏輯哲學論》5.153

維根斯坦如是說。但是當我們對基本命題的真假尚不確定時，我們可以對由這些基本命題建構出來的複合命題定出其為真的先驗機率。這些機率的存在並不代表事件可以像「薛丁格的貓」（Schrödingers cat）一樣，又是發生又是不發生。它只是說事實資料不足時，複合命題的真假尚無法確定。當資料足夠時，命題或真或假就只有一種可能了。

《邏輯哲學論》的命題系統不容許有矛盾存在。同樣的，推理小說中的法庭也不容許有矛盾的結論。如果證人的證詞像黑澤明電影《羅生門》那樣四個證人（包括一個鬼）互相不一致，其中必然有人說謊，必須找出說謊者而加之以偽證罪。

然而《邏輯哲學論》並不是只有邏輯實證論。維根斯坦曾經在致出版商的信中說《邏輯哲學論》有兩部分。關於語言之邏輯基礎這部分只是可以寫得出的部分，關於倫理的部分其實更重要，可是不能寫出。這第二部分，通常被視為他的神祕主義。書中神祕主義的一些名言包括：

「只要是可以說的，就可以說得清楚；那些不能說的，我們必須默默地跳過。」

——《邏輯哲學論》序言

「語言的界限意謂我世界的界限。」

——《邏輯哲學論》5.6

「在我們無法言說之處，我們必須沉默。」

——《邏輯哲學論》7

法庭容許的語言是有界限的。

邏輯推理無法破案的時候，偵探必須保持沉默。案子根本上不了法庭，甭說交叉詰問。此時，語言的界限就是法庭世界的界限，「誰是兇手？」（whodunit）將永遠是一個「神祕」（mystery）。

四、結論

維根斯坦「語言的圖像理論」既然是由法庭程序得到的靈感，那麼推理小說中的法庭程序與之契合也就不特別令人訝異了。然而犯罪偵辦真的是如此嗎？

我們只要跳離推理小說，就知道真實的世界要複雜多了。不但很多犯罪事件找不到疑犯，即使找到疑犯上了法庭，證人的供辭也常支離破碎、互相矛盾而無法重建犯罪事實，對疑犯加以定罪。那麼，難道《邏輯哲學論》對語言和世界的論述有所偏差？

羅素在《邏輯哲學論》的導論中說此書所論述的是理想語言的條件，這個說法，維根斯坦當時很不能接受。然而法庭對證人陳述的規範，正是在刻意形塑「理想語言」的條件。

維根斯坦本人必須要等到他後期寫作《哲學研究》的時候，才點出《邏輯哲學論》形上學的問題：

世界上的事實不能純粹由感官來做客觀的認知，因為感官認知的資料無法避免觀點的影響，而因此陳述出的命題也就無法避免矛盾。

他提出的「鴨兔圖」（duck-rabbit picture）從一個觀點看像鴨子，另一個觀點看像兔子。如果同一物件可以因觀點脈絡不同而呈現不同面向，那如何避免不同證人在法庭上依其所看到的面向作出互相矛盾的陳述？對於後期的維根斯坦而言，矛盾已經不再是邏輯禁忌。

維根斯坦是偵探小說迷，不過沒有他讀過福爾摩斯故事的記載。1949 年，在一個討論偵探小說的場合，他說英國人在這個文學類型的創作上特別有天分。他還特別舉阿嘉莎．克莉絲蒂 （Agatha Christie）為例。他認為克莉絲蒂的偵探故事不但情節巧妙，角色更寫得像「真實人物」（real people）一樣帶勁。

但維根斯坦最喜歡的卻是美國冷硬派的偵探小說，特別是較少為人知的諾伯特．戴維斯（Norbert Davis）的小說。他為何會對冷硬派偵探小說那麼入迷？

漢密特出版先驅之作《馬爾他之鷹》的時候，已經是 1930 年了；而戴維斯還要在 1932 年才開始在《黑面具》（Black Mask）雜誌發表他的第一篇小說。此時維根斯坦已經告別他失落的歲月，回到劍橋。他也從此開始與羅素漸行漸遠，揚棄羅素抽象的形式邏輯（formal logic），而逐漸發展出他後期建立在「生活形式」（form of life）之上的語言哲學。

此時的他，正要解構自己的《邏輯哲學論》——「意義」不再是基於語言之作為世界現實的「圖像」，而是基於語言之作為生活脈絡中的「遊戲」——不可能會為推理小說中虛構的邏輯實證論著迷。也許他喜歡冷硬派偵探那種在黑暗巷弄穿梭，行動精力充沛、說話酷勁十足的「真實人物」形象，與他語言哲學的轉折有關吧？

• 本文亦同步刊載於林澤民的部落格，原文標題為〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉

編按：回溯推理（或稱溯因推理）是從「證據推理到最佳解釋」的反覆過程。福爾摩斯的名言：「當你把一切不可能的情況都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。」正點出了「回溯推理」的精隨，以及背後涉及的「貝氏定理」。

本文分為上下篇，上篇將帶領讀者熟悉回溯推理的基本概念，下篇則會運用貝氏定理分析，一窺偵探腦內的判斷機制。

「你要知道，我親愛的華生，」他把試管放回架子上去，開始用教授對他班上的學生講課的口氣往下說，「作出一串推理來，並且使每個推理取決於它前面的那個推理而本身又簡單明瞭，實際上這並不難。然後，只要把中間的推理統統去掉，對你的聽眾僅僅宣佈起點和結論，就可以得到驚人的、也可能是虛誇的效果。所以，我看了你左手的虎口，就覺得有把握說你沒有打算把你那一小筆資本投到金礦中去，這真的不難推斷出來。」

　

「我看不出有什麼關係。」

　

「似乎沒有，但是我可以馬上告訴你這一密切的關係。這一根非常簡單的鏈條中缺少的環節是：第一，昨晚你從俱樂部回來，你左手虎口上有白粉；第二，只有在打台球的時候，為了穩定球桿，你才在虎口上抹白粉；第三，沒有瑟斯頓作伴，你從不打台球；第四，你在四個星期以前告訴過我，瑟斯頓有購買某項南非產業的特權，再有一個月就到期了，他很想你跟他共同使用；第五，你的支票簿鎖在我的抽屜裡，你一直沒跟我要過鑰匙；第六，你不打算把錢投資在南非。」

　

「這太簡單了！」我叫起來了。

　

——柯南．道爾《跳舞的人》

回溯推理的偵探：杜彭、福爾摩斯、馬婁

所謂「回溯推論法」（abduction）是有別於演繹法（deduction）和歸納法（induction）的一種推理方法，但它常被與演繹法或歸納法混淆。

回溯推論法被提出為一種科學研究的推論方法，就我個人所知，最早見於美國哲學家 Charles Sanders Peirce （1839-1914）1878 年發表的科普文章〈Illustrations of the Logic of Science – Deduction, Induction, and Hypothesis〉。但在這篇文章裡，Peirce 用了 hypothesis（假說）這個字來稱呼回溯推論法。後來他改用 retroduction，而且一直到1896年都還用這個字。要在他 1903 年的文章，我才看到abduction這個字的出現。但不論使用哪個名詞，他都把它與演繹法及歸納法並列，作為推論方法的一種形式。

其實就在Peirce還在掙扎著釐清他用不同字眼所指涉的回溯推論法的時候，這個方法的基本形式早就廣泛地被推理小說中虛構的偵探有意識地用作辦案的方法了。這包括埃德加．愛倫．坡（Edgar Allan Poe）筆下的杜彭（Dupin）和柯南．道爾（Conan Doyle）筆下的福爾摩斯（Holmes）。杜彭號稱小說界第一位偵探，但他只出現在 1841-1844 出版的三篇短篇小說中。反觀福爾摩斯，他一共出現在 4 篇長篇及 56 篇短篇裡，其出版年份縱貫 1887-1927。當華生（Watson）已經很清楚地介紹福爾摩斯的探案方法的時候，Pierce 還沒拿定用哪個字眼來稱呼這個方法較恰當。

這就難怪華生把福爾摩斯的推理方法稱為「演繹的科學」（the science of deduction）囉。

不僅小說家會把回溯推論法與其它推論方法混淆，即便學界大師也會搞錯。因果論大師朱迪亞．珀爾（Judea Pearl）便把福爾摩斯的方法稱為歸納法。他在《因果革命：人工智慧的大未來》（The Book of Why: The New Science of Cause and Effect）一書中寫道：「但福爾摩斯真正厲害的，不是由假說演繹出結論，而是歸納。歸納法的運作方向和演繹法相反，是從證據產生假說。」

沒錯，回溯推論法簡單說是「從證據產生假說」。但歸納法是要從統計資料產生通則，而回溯推論法則是要從不斷更新的事實推出最可能的解釋。這些解釋不必是通則：它們可能只是無法觀察到的事實。

科學家要建立通則；偵探對通則沒有興趣，他們有興趣的是事實，特別是未能觀察到的事實。

也是偵探小說作家的雷曼．錢德勒（Raymond Chandler）透過他筆下的偵探馬婁（Marlowe）說：「有些事情是事實：在統計的意義上、寫在紙上、錄在帶上、作為證據的事實。而有些事情之所以為事實是因為缺少了它其它的事情就無法解釋了。」（《回播》）

當然馬婁這話令人想到福爾摩斯的名言：

「當你把一切不可能的情況都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。（When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth.）」（《四簽名》）

在《血字的研究》一書中，福爾摩斯進一步地對華生解釋他的方法：

我已經對你說過，凡是異乎尋常的事物，一般都不是什麼阻礙，反而是一種線索。在解決這類問題時，最主要的事情就是能夠用推理的方法，一層層地回溯推理。這是一種很有用的本領，而且也是很容易的，不過，人們在實踐中卻不常應用它。在日常生活中，向前推理的方法用處大些，因此人們也就往往容易忽略回溯推理這一層。如果說有五十個人能夠從事務的各個方面加以綜合推理的話，那麼，能夠用分析的方法推理的，不過是個把人而已。

　

我也很難指望你能夠弄得清楚。讓我試試看我是否能夠把它說得更明確一些。大多數人都是這樣的：如果你把一系列的事實對他們說明以後，他們就能把可能的結果告訴你，他們能夠把這一系列事實在他們的腦子裡聯繫起來，通過思考，就能得出個什麼結果來了。但是，有少數的人，如果你把結果告訴了他們，他們就能通過他們內在的意識，推斷出所以產生出這種結果的各個步驟是什麼。這就是在我說到『回溯推理』或者『分析的方法』時，我所指的那種能力。

偵探小說中，逆向推理首見於愛倫．坡的杜彭。《血字的研究》中福爾摩斯嘲笑杜彭「賣弄」（showy）、「膚淺」（superficial）、「不入流」（inferior），但也不得不承認杜彭分析問題的天才。我們讀杜彭的故事，讀到他在首次出現時，精準逆推敘述者思路的情節，可以想像道爾完全是在模仿愛倫．坡。如果那是賣弄，那福爾摩斯逆推華生思路的賣弄比起杜彭只有過之。

演繹法、歸納法、回溯推論法的差異

回溯推論法與演繹法、歸納法的區別可以用不同組合的三段論來闡釋。

演繹法

• 前提 1：若 A 則 B
• 前提 2：A
• ———————
• 結論：B

歸納法

• 前提 1：A
• 前提 2：B
• ==========={p}
• 結論：若 A 則 B

回溯推論法

• 前提 1：若 A 則 B
• 前提 2：B
• ==========={p}
• 結論：A

這裡「==={p}」代表結論不是絕對的, 而是只有機率0＜p＜1的「確定性」。

以邏輯學常用的例子 A=「天雨」、B=「地濕」來看。如果演繹法的兩個前提（「若天雨，則地濕」及「天雨」）都成立，其結論（「地濕」）是百分之百（p=1）確定的，不必用「==={p}」的符號來表示。

我們即使在很多不同的時空裡觀察到「天雨」跟「地濕」的連結，但我們仍然不能藉由資料本身就確定「若天雨，則地濕」是一個放諸四海皆準的通則。歸納法出錯的有名例子是「黑天鵝」事件。當 1967 年荷蘭探險家 Willem de Vlamingh 在澳洲看到黑天鵝的時候，歐洲人才知道他們以有限的經驗事實歸納出的「所有的天鵝都是白色的」的結論是錯誤的。

回溯推論法同樣不能導出百分之百確定的結論，但上述回溯推論法的三段論與歸納法有明顯的不同。光以三段論來看，回溯推論法與演繹法毋寧是比較接近的：它們都以通則「若 A 則 B」為前提，只是演繹法是由A來推論B，而回溯推論法是由B來推論A。從邏輯上來說，回溯推論法當然是不對的。我們都知道「若 A 則 B」只能引申出「若 ¬B 則 ¬A」（¬是邏輯中「非」的符號），亦即「以否定後項來否定前項」（modus tollens）而不能以肯定後項來肯定前項。

「地濕」無法推出「天雨」的結論，這是明顯的道理：因為「地濕」有許多原因，「天雨」只是其中之一而已。既然如此，那回溯推論法究竟有沒有邏輯上的價值？

回溯推論法的價值不是建立在單一的三段論上面，它仰仗的是當新事實出現時，這三段論的反覆應用。舉例來說，假設有而且只有三個事實 A1、A2、A3 能產生B的結果，但它們各自也能分別產生B1、B2、B3的結果。如此則我們有三個通則：「若 A1 則 B1 及 B」、「若 A2 則 B2 及 B」、「若 A3 則 B3 及 B」。當我們只觀察到 B 時，回溯推論法讓我們得到 A1、A2、或 A3 的結論，但卻無法告訴我們其中何者為真。

• 前提 1：若 A1 則 B1 及 B
• 前提 2：若 A2 則 B2 及 B
• 前提 3：若 A3 則 B3 及 B
• 前提 4：B
• ——————————
• 結論：無單一對應結果

但當我們觀察到更多的事實時，我們也許就能得到較為確定的結論。例如我們在觀察到 B 的同時也觀察到 B1，則結論為 A1 的確定性將會提高。但即使我們未觀察到B1，如果能觀察到B2、B3的反證，則A2、A3可以被否定，A1的確定性將提高至 p=1。後者的推論方法可以示意如下：

• 前提 1：若 A1 則 B1 及 B
• 前提 2：若 A2 則 B2 及 B
• 前提 3：若 A3 則 B3 及 B
• 前提 4：B
• 前提 5：¬B2
• 前提 6：¬B3
• ——————————
• 結論：A1

在福爾摩斯的方法論中，他把 A1、A2、A3稱作「理論」（theory），有時也稱作「假說」（hypothesis）或「解釋」（explanation），把B1、B2、B3稱作「資料」（data）。

登門求助的客戶訴說犯罪現場的狀況後，福爾摩斯有了基本資料。如果基本資料足夠，他會形成幾個有待進一步驗證的理論。但如基本資料不夠，他通常不願立刻提出理論，而寧可等待到現場蒐集進一步資料後再提出理論。此時理論可能仍有好幾個，他會不斷地努力追求新資料，例如拿放大鏡匍匐在地上觀察足跡、塵土、煙灰等等。這些動作雖然常被蘇格蘭場的警探嘲弄，他的目的就是要有更多的事實資料來讓他增加或減少某些理論的確定性。到最後如果某理論達到 p=1，他就破案了。

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• 本文亦同步刊載於林澤民的部落格，原文標題為〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉

編按：回溯推理（或稱溯因推理）是從「證據推理到最佳解釋」的反覆過程。福爾摩斯的名言：「當你把一切不可能的情況都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。」正點出了「回溯推理」的精隨，以及背後涉及的「貝氏定理」。

本文分為上下篇，上篇將帶領讀者熟悉回溯推理的基本概念，下篇則會運用貝氏定理分析，一窺偵探腦內的判斷機制。

福爾摩斯在《皮膚變白的軍人》案中的推理過程

道爾的福爾摩斯故事中，福爾摩斯都用了這種方法破案。其中把這方法的應用說得最清楚的，莫過於《皮膚變白的軍人》。這個故事寫於 1926 年，是道爾晚年的作品。一般讀者對它印象可能不深，但它有一個特色：它是所有福爾摩斯小說中唯二華生未親自出現的一篇。所以，小說中推理方法的描述，是由福爾摩斯本人娓娓道來的。

故事中來向福爾摩斯求助的客戶是退伍軍人，他因與昔日同袍好友失聯，心中不安。寫信給好友父親，父親說好友周遊世界去了，一年之內不會回來。但客戶不相信好友出遊會不告知他，非常疑惑。於是轉而寫信給好友母親，詳述軍中友情，欲前往拜訪。好友母親熱情歡迎，他遂前往，並蒙留宿。

但好友父親仍然冷漠相待，只重複好友出國周遊的說法。當晚，夜深時，他彷彿看到好友隔著落地窗戶從室外看他，臉色慘白，有如鬼魂。他急忙追出，其身影已經消失在黑暗中。第二天，他厚顏要求再宿一宵，乘機觀察附近環境，發現園子盡頭有一棟房屋，有人看守，頗為神秘。他疑心好友被幽禁在此，但他的窺伺行動被好友父親發現，對他下了逐客令。他只好來求福爾摩斯相助追查真相。

福爾摩斯在揭發真相後，如此跟主人解釋他的推理過程：

「我的方法，」我說道，「就建立在這樣一種假設上面：當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實。也可能剩下的是幾種解釋，如果這樣，那就要一而再、再而三地加以證實，直到最後只剩下一種具有足夠根據來支持的解釋。現在我們就用這個方法來研究一下當前這個案子。起初，提到我面前的有三種可能的解釋，可以說明為什麼這位先生在他父親莊園的小屋裡被隔離或禁錮起來。可以認為他是由於犯罪而逃避，或者是由於精神失常而不願住瘋人院，最後是因為有某種疾病而需要隔離。我想不出其它解釋。那麼，就需要把這幾個結論加以對比和甄別。

　　

犯罪之說是不能成立的。本地區並沒有尚未破案的犯罪報告，這我十分清楚。如果說是尚未暴露出來的犯罪，那從家族利益來說應該是把他弄走或是送出國外，而不是藏在家裡。我看不出這條思路有什麼可能成立的地方。

　　

精神失常的可能性要更大一些。小屋裡有的第二個人可能是看守人。他走出來以後把門倒鎖上，這就加強了上述假設，說明可能是強行禁閉。但另一方面，強制不可能是很嚴的，否則這個青年就不會跑出來去看一眼他的朋友了。多德先生，你記得我曾探索論據，比如問你肯特先生讀的是什麼報紙。如果是《柳葉刀》或《英國醫學雜誌》，那會幫助我思索。但是，只要有醫生陪同並上報當局，把瘋人留在家裡是合法的事。為什麼這樣拚命保密呢？因此精神失常的設想也不能成立。

　　

剩下的第三個可能，看來雖然稀奇，卻是完全符合實際情況的。麻瘋在南非是常見病。由於特殊的機遇，這位青年可能受到感染。這樣一來，他的家屬處境就十分困難了，因為他們不願把他交給麻瘋隔離病院。為了不露風聲、不受當局干涉，必須嚴守秘密。如果給以適當報酬，不難找到一位忠實的醫生來照顧病人。也沒有理由在晚上不讓病人出來。膚色變白是這種病的普通症狀。這個假設的論據是十分充足的，以致使我決心把它當做已被證實了那樣來行動。當我初到這裡，發現給小屋送飯的拉爾夫戴著浸了消毒水的手套，這時候我連最後的疑點也消除了。先生，我只寫了一個詞，就告訴你秘密已被發現了，我之所以寫而沒有說出來，是為了向你證明可以信任我的謹慎。

貝氏回溯推理者福爾摩斯

福爾摩斯因客戶的敘述而提出三個可能的假設，這固然是回溯推論法，但他排除其中兩個而達到一個確定的結論，其方法卻不脫演繹法。這是因為「以否定後項來否定前項」其實是具有絕對確定性的演繹邏輯：

• 前提1：若 A2 則 B2 及 B
• 前提2：¬B2
• —————————-
• 結論：¬A2

• 前提1：若 A3 則 B3 及 B
• 前提2：¬B3
• —————————-
• 結論：¬A3

如果福爾摩斯能確定他提的三個理論是互斥而且窮盡所有可能性的（mutually exclusive and exhaustive），則他所謂「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」可以示意如下：

• 前提1：若 ¬A2 及 ¬A3 則 A1
• 前提2：¬A2 及 ¬A3
• —————————-
• 結論：A1

這樣的推論沒有任何不確定性，當然是十足的演繹法。也許這是道爾把福爾摩斯的方法稱為「演繹的科學」的原因吧？

但是這種演繹法成立的條件，除了理論必須互斥而且窮盡所有可能性之外，還得他的前提特別是對 B2、B3（或 ¬B2、¬B3）的鑑識都是百分之百確定的。如果其中有任何不確定性，例如疑犯自白、證人證詞、甚至科學鑑識的可信度不足，則使用「以否定後項來否定前項」的邏輯也就無法達到 p=1 的結論了。

《皮膚變白的軍人》案中，福爾摩斯亟想知道小屋看守人是否在讀《柳葉刀》等醫學刊物，但客戶沒去注意這些細節，隨口答了比較像《觀察家》。這種「證詞」能有多少確定性？如何足以讓福爾摩斯百分之百否定精神失常的假說？而且難道痲瘋病患者的看守人就不會讀《柳葉刀》嗎？當 0＜p＜1 時，我們就又回到回溯推論法了。此時因為不止一個理論無法完全排除，必須仰賴貝氏定理來算各理論的後驗機率。

貝氏定理的計算必須要假設先驗機率，其值由福爾摩斯依客戶的敘述及他自己的專業知識可以主觀判斷。

以下的例子假設犯罪逃亡（理論1）、精神失常（理論2）、傳染疾病（理論3）三個理論的先驗機率分別為Pr(1)=0.2、Pr(2)=0.3、Pr(3)=0.5。

福爾摩斯到現場調查之後，依鑑識結果判定資料支持各理論的程度。這是假設理論為真時，觀察到所得資料的條件機率。這裡依據故事中福爾摩斯自己的分析假設了下列條件機率，其中「＋」代表調查所發現的資料與理論相符，「－」代表調查所發現的資料與理論不符：

• 調查結果與犯罪逃亡的理論完全不符，Pr(+|1)=0.0，Pr(-|1)=1.0。
• 調查結果與精神失常的理論不盡相符，Pr(+|2)=0.5，Pr(-|2)=0.5。
• 調查結果與傳染疾病的理論大致相符，Pr(+|3)=0.9，Pr(-|3)=0.1。

這些調查結果可以讓福爾摩斯用貝氏定理來更新他的先驗機率，其結果就是所謂後驗機率，也就是回溯推論法結論的確定性。計算的結果顯示：如福爾摩斯所說，犯罪逃亡的理論的確是不能成立的（Pr(1|+)=0），但其它兩個理論都不能完全排除。經過調查之後，資料證據稍微減少了精神失常的可能性（Pr(2|+)=0.25），但大大加強了傳染疾病的可能性（Pr(3|+)=0.75）。見表一。這結果雖然無法保證每案必破，卻比較合乎現實情況。

貝氏定理的計算，請參考我的文章：〈會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？〉

從這個例子可以看出：不論先驗機率如何，只要資料與理論完全不符（即條件機率為零），該理論就可以完全排除。如果資料不只與犯罪逃亡的理論不符，也與精神失常的理論不符，那剩下的當然就只有傳染疾病的理論了。

這就是「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」。

這個結論雖然在特殊的條件下用演繹法就可推出，但它其實是回溯推論法的一個特例，用貝氏定理也可算出，只是不需要那麼麻煩而已。見表二。當鑑識資料與理論的符合程度不是那麼確定時，光靠演繹法就行不通的，還是要仰賴回溯推論法及貝氏定理！

諾伯里！

太過於相信自己的判斷曾經給福爾摩斯帶來失敗的教訓。在另一個與《皮膚變白的軍人》有點類似的疑案《黃面人》中，從倫敦西南諾伯里（Norbury）區專程來求助的客戶懷疑自己的婚姻出了可怕的問題。他有次經過住家附近的一棟空屋，發現空屋的一扇窗戶裡有一張詭異的面孔也正在看著他：

我背上似乎冒出了冷汗。我站得稍微遠了一點，所以看不清面貌如何。不過這張面孔有點不自然而且不像人臉。這就是我那時的印象。我便急忙走向前去，以便把窺視我的那個人看得更清楚些。但我走近以後，那張面孔突然不見了，彷彿突然被拉到室內的暗處。我站了足有五分鐘，仔細考慮這件事，打算把我得到的印象分析一下。我很難說明這究竟是一張男人的面孔，還是女人的，它離我太遠了。可是這張面孔的顏色給我留下的印象卻是很深的。它就像青灰色的白堊土一樣，而且有點僵硬呆板，不自然得嚇人。

客戶心中不安，可是接下來發生的事更令他焦急：他發現他的美國妻子進出這棟空屋，行為異常，卻堅決不肯透露實情，只請求他相信她的愛情和苦衷。可是客戶忍不住了，來請福爾摩斯協助。

聽過客戶敘述案情之後，福爾摩斯在華生催問下，提出了他的唯一一個理論：客戶妻子的前夫住在空屋裡。華生難得地不以為然，說那完全是臆測，但福爾摩斯說：

「可是它至少符合所有的事實。假使再發現了不相符合的新情況，我們重新考慮也還來得及的。」

可是福爾摩斯和華生搭火車到達當地之後，在月台等待的客戶「面色蒼白，憂心忡忡，渾身顫抖」已經忍無可忍了，要求兩人為證，直接闖入空屋。這才發現黃面人是妻子與美國具非洲血統的前夫所生的小女孩。

前夫雖然膚色不黑，小女孩卻黝黑得多，妻子怕鄰居的流言蜚語，給女孩戴上黃色的面具，讓她至少可以在窗戶後面窺視戶外景物。客戶諒解妻子的苦衷，抱著小孩與妻子攜手回家。

福爾摩斯不發一言回到倫敦，直到夜晚，才對華生說：

「如果以後你覺得我過於自信我的能力，或在辦一件案子時下的功夫不夠，請你最好在我耳旁輕輕說一聲『諾伯里』，那我一定會感激不盡的。」