把幾何的美戴出去炫耀！來自台灣團隊「單挑概念」的幾何金工——科學開封府系列

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

根據聯合國統計數據，全球每年 38% 的溫室氣體排放，並非來自道路上的交通工具，而是由「現代都市與建築」所造成的。

我們如今站在兩條路徑的十字路口。一條是依賴更多水泥建築與空調系統來抵禦夏季酷暑，然而這樣的選擇只會加劇室外大氣的惡化。另一條則是徹底改革建築、用電、設計與都市規劃，不僅尋求低碳排放的建築方式，還要找出節能降溫的解決方案，實現事半功倍的效果。

然而，我們是否真的能將建築業的碳排放歸零？

建築的溫室氣體哪裡來？

在建築物 60 年的生命週期中，建材的碳足跡其實只佔 9.8%，因為建築一旦完成後，材料不會頻繁更換。相反，日常生活中的用電才是主要的碳排來源，占了 83.4%，其中大部分來自冷氣、照明和各種電器。

當然，讓大家集體關燈停用電器「躺平」來拯救地球，顯然不切實際。既然完全不消耗能源是不可能的，我們應該尋找更現實的解決方案。

現在就來看看全球七棟零碳建築之一——成大的「綠色魔法學校」，臺灣首座淨零建築，如何運用建築技術，成為當代永續建築的典範。這些技巧中，有哪些能應用到你我家中呢？

為了省電要把煙囪塗黑、吸收更多太陽光？

都市裡，我們最大的挑戰之一就是夏天的高溫，水泥建築群在陽光的烘烤下，變成一個個巨大的窯爐。為了解決這個問題，綠色魔法學校在國際會議廳裝了一個煙囪，不過這不是為了讓窯爐更熱，而是用來降溫的。

煙囪為什麼都都要蓋的那麼高？原來煙囪越高，上下的溫差越大。熱空氣因為密度低而向上移動，產生熱對流。溫差越大，這個熱對流就越強烈，這就是所謂的「煙囪效應」。在要幫室內降溫的情況下，我們的目的是產生更強的煙囪效應，抽走熱空氣，讓室溫下降。但這棟建築裡沒有火爐，而溫差不夠大時，這效應會變得微弱，那該怎麼辦？

_{浮力通風效應。圖 / 泛科學自製動畫截圖}

綠色魔法學校提出了一個大膽的解法：在煙囪南面下半部改裝透明玻璃窗，並將煙囪內部塗成黑色，還加裝了黑色烤漆鋁板，這樣可以最大限度地吸收太陽光。每當艷陽高照，這個不插電的的「自然通風系統」就能自動啟動，創造局部的熱對流，帶動整根煙囪的熱氣向上移動，為室內降溫，達到節能效果。以熱制熱，完全反常識。

幫室內降溫的最大原則是：通風。

實際上，不是人人家裡都有煙囪。但如果建築的高處沒有任何窗戶或通風設備，熱空氣就是會從屋頂一路往下蓄積在室內。因此，你也一定在許多工廠或民宅的屋頂看過一個不斷旋轉的小風扇，它們也是有異曲同工的效用。雖然不是高聳的煙囪，但特殊的渦輪構造，風吹過就會開始轉動，並連帶空氣排出室外。是個不用插電的通風球。

綠色魔法學校的煙囪就是個效能更強的換氣機，足以讓 300 人大型會議廳的換氣次數，高達每小時 5 到 8 次，甚至能在室內颳起風速每秒 0.5 公尺的微風，是最舒適的環境。這些利用熱氣密度的差異來改善室內溫度的方法，又稱為「浮力通風」。

為了把通風貫徹到底，綠色魔法學校在建築的兩面裝設大量窗戶以及吊扇，來讓水平也能通風。這些我們習以為常的裝置，其實才是關鍵。靠吊扇的一點點電力讓自然風可以自由進出，耗費的能源，遠比冷氣還要少得多。

幫空調省電的最後一招，就是微環境控制。

實際上魔法學校內還是找的到空調設備，並不是完全拔除不用。除了選用最高效率的主機，以及把室內循環做到最好以外，降低周遭環境溫度才能減低冷氣的負擔。要降低水泥叢林的熱島效應，需要植被與水體來做溫度調適。

在太陽照射下，水泥屋頂表面最高可以達到攝氏 70 度，如果屋頂有種植植栽，室內頂層樓板的表面溫度就可以維持在攝氏32 度以下。不用開電就先幫室內降溫。

水也是關鍵的一環。一是水的比熱高，想打破水分子之間的氫鍵，需要大量的熱量，要讓一千克水的溫度升高一攝氏度，需要 4,200 焦耳的熱量，這可以避免溫度因為烈陽就快速上升。二是當溫度真的過高，水也會透過蒸發帶走熱量，讓溫度不至於向上飆。

魔法學校的屋頂花園使用水庫淤泥，研磨後燒製成的再生陶粒，裡頭混合了稻穀，結構極細，不會像有機土一樣分解消失，可以涵養水源，還不用動不動補土壤，不只降低屋頂植被的澆水次數，還能達到降溫效果。地面也採用透水鋪面，讓每一滴水都不浪費。

綠色魔法學校本名是成功大學的「孫運璿綠建築研究大樓」

2013 年被英國知名出版社羅德里其評為「世界最綠的建築」，並獲選為聯合國全球七棟零碳建築之一。

除了表彰之外，在認證上也確實取得了臺灣最高等級的「鑽石級綠建築」認證，以及美國最高級的「白金級綠建築」兩個綠建築認證。

為了讓相同的成效可以陸續在全臺的所有建築上實現，臺灣在既有的綠建築標章體系上，擬定出了「建築能效評估系統 BERS」，針對關鍵的空調、照明、插座電器的用電狀況訂出明確的耗電密度指標得分。簡單來說，就是每平方公尺的面積上，每年平均的用電量。

要打造一棟淨零建築，需要設計與材料硬體的相互配合。在日常用電這最大耗能項目上，能透過前面的淨零設計與智慧能源管理來減低能耗。而我們還沒提到的最後一塊拼圖，則是回到建築的建材本身。這部分減碳的方法有很多種，例如將傳統施作工法改為在工廠就完成模組化建材製造的「預鑄工法」，減少現場搭建鷹架、施工的步驟，達成減碳。又或是將部分建材更換為木、竹等負碳建材，甚至使用零廢棄物、能「循環使用」的建材。例如 2018 年亮相的臺中花博荷蘭館、或是 2021 年台糖在沙崙啟用的循環聚落。

建築物能夠完全不用電嗎？……電從哪裡來？

沒錯，連全球最綠的建築——綠色魔法學校，也無法做到完全不使用電力。正如前面提到的，建築的最大能源消耗來自日常使用，而這所「魔法學校」的成就，是成功將日常能源消耗降低，讓溫室氣體排放減少超過 50%。

這就是關鍵，減少一半後，剩下的部分就靠周邊的造林、太陽能和風能等綠色能源來補足。

2022 年 3 月，國發會公佈了 2050 淨零排放的路徑圖，參考美國、日本、歐盟等國，制定了 2050 年達成淨零建築的目標。

這條路徑包含兩個核心目標：第一，所有建築物要在建築能效評估系統（BERS）中達到 1 級節能，甚至進一步達到「1+ 級」近零碳建築的標準，減少至少 50% 的能源消耗。第二，同步發展再生能源，讓這些近零碳建築朝淨零邁進。

這個目標比你想像的要容易實現。比如，2023 年 12 月，台達電的瑞光大樓 II 就成功取得了「1+ 級」近零碳建築認證，並符合 0 級淨零建築規範。而在 2024 年 7 月，國泰人壽在臺中烏日的商辦大樓經過改造後，也達到 0 級淨零建築標準。這些案例證明了綠色魔法學校的成功經驗可以複製，不論是新建築還是舊建築，都能達成甚至超越淨零目標。

為了不讓每一年的夏天都是你我餘生最涼的夏天，碳排歸零是必須要實現的目標。現在你知道，這個任務的關鍵就掌握在你我手中。就像選擇能源標章電器一樣，只要選擇符合 BERS 能效標準的建築，我們不僅能降低冷氣的依賴，也能節省電費，讓地球和你的荷包都雙贏。

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

• 作者／李政憲

對應課程：八年級「勾股定理」、九年級「相似形」、「生活中的立體圖形」
需要材料：A4或B4影印紙

為什麼影印紙要設計成這個長寬比例？

• 你知道生活中常用的影印紙的長寬比例是多少嗎？

請拿起一張影印紙（A4 或 B4 皆可），依照圖 1 和圖 2 的方式摺摺看，就會發現在圖 1 中摺出來的等腰直角三角形的斜邊（圖中虛線），和影印紙的長邊竟然是相等的。

而又由於影印紙的短邊就是等腰直角三角形的一股長，假設短邊長為 1，等腰直角三角形的斜邊長就會是\(\sqrt{2}\)，又斜邊與長邊等長，因此影印紙的長邊與短邊的長度比就是 \(\sqrt{2}\)：1 了。

• 至於影印紙為什麼要設計成 \(\sqrt{2}\)：1 這個比例呢？

其實有個很重要的原因。請不妨再拿一張相同大小的影印紙，對半裁切後將其中一半旋轉 90 度，再與另一張完整影印紙的左上方兩邊對齊，你會發現兩張長方形的對角線恰可連成一直線（如圖 3～4），也就是兩個長方形彼此是相似的（因為兩多邊形相似的條件為：對應角相等，且對應邊成比例）。

若我們假設原紙張的短邊為 1，長邊為 x，則我們可以列出 x：1＝1：\(\frac{x}{2}\)的算式，故 \(x^{2}\)＝2，便可得出 x＝\(\sqrt{2}\) 的結果。

也就是若我們將影印紙沿長邊中點連線對半裁切（或將大小相等的兩張影印紙以長邊拼合）得到的紙張，將與原影印紙的比例相同。

如此一來，若我們影印時需要縮小圖形，就只需要將原影印紙作長邊對半裁切，則縮小的影印紙與原影印紙的大小比例相同，原作品大小與影印出來的結果也會彼此相似，放大時也是同樣的道理。

而透過影印紙的巧妙比例，我們可以製作出一些十分有趣的作品。讓我們先從一個簡單的四角錐開始做起吧！

用影印紙做出四角錐

首先請拿一張影印紙， 如圖 5、6 分別在長短邊各摺出其中點連線後，再摺出長邊中點與原矩形的四個端點的連線，如圖 7、8。

李老師小聲說：「如果想節省空間與紙張，讀者也可將 A4 尺寸的影印紙，應用其 \(\sqrt{2}\)：1 的特性，將其裁切為等比例的兩等份或四等份，再進行後續的摺製與組裝。」

接下來如圖 9，將最後摺製的四條連線由谷線改為山線，且左右兩交叉點的連線不摺（圖中實線處），即可依山谷線分佈完成如圖 10 的四角錐。

由於這個作品目前無法定型，建議可以翻至背面，將內縮突起的直角三角形，分別摺製其兩銳角的角平分線（如圖 11、12），即可將圖 10 放於平面時作簡單固定如圖 13，而若要固定得更完整，也可以口紅膠或膠水將中間的鈍角三角形接合面黏貼，就不會有容易移動的情形了。

接下來按照上面方式摺製共六個四角錐，並用膠帶將其對應邊接合如圖 14，即可將六個四角錐翻摺形成一個正立方體如圖 15，且此六個角錐的頂點恰重合於正立方體的中心處。

李老師小聲說：「事實上，圖 14 是其中一種正方體展開圖的組合方式，各位不妨試試與圖 14 不同的其他組合方式，也是很有趣的哦！」

不曉得各位有沒有覺得很神奇呢？我們以幾張生活中隨手可得的影印紙，幾道簡單的摺痕，就可以完成一個正立方體，這也代表每個角錐恰是正方體體積的六分之一！這是為什麼呢？

• 為了討論這個問題，我們不妨看一下圖 16。

若將正方體從中心點與八個頂點連線，可將此正方體切割為六個角錐，假設這個正方體的邊長為 1，則可計算出其底部正方形的對角線為 \(\sqrt{2}\)，再根據勾股定理，可以算得此正方體最遠的兩頂點間的距離為 \(\sqrt{3}\)，也就是此四角錐的稜長為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

接下來我們再看圖 17 的四角錐展開圖，根據剛剛摺製的過程，長邊的一半即為正方體的邊長＝1，應用影印紙的比例，我們可以得知短邊長為 \(\sqrt{2}\)，故其稜長（即長邊中點與四個端點連線段長的一半）為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，也就是說這麼摺製出來的四角錐就和上面從正方體切割出的角錐稜長相等、底面積也相等囉！

李老師小聲說：「亦可考慮以平行線截等比例線段，求得角錐的高度為正方體邊長的一半來說明。」

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》，2019 年 9 月，臉譜出版。

從「科學」的角度解「開封」印在商品中的知識，就是我們科學開封府的職司。開封府內的胞大仁、㜊妱、公猻測會不定期介紹各種與科學有關的各種玩意，有時溫柔勸敗，偶爾龍虎狗頭鍘伺候剁手，不管怎樣，請您上座啦！

本次科學開封府邀請了泛科學專欄作者 Shark Lin 來為我們介紹充滿藝數美感的PRISM幾何飾品系列！

從去年秋天開始，我幾乎每天都會上網瀏覽世界數學藝術的相關創作，外國有許多團隊利用衍生藝術（generative art），設計出許多藝數時尚商品，曾在 2016 泛．知識節分享過幾個案例，另一方面也感嘆台灣相關創作較少，沒想到不久後就驚喜發現單挑概念工作室的作品─PRISM幾何飾品。

單挑概念在今年二月舉辦了試戴會（2017），原本以為像是一般的飾品一樣，不過一到現場馬上感受到了金工的魅力，「P01蛻變系列」不僅擁有高質感的外觀，還能夠動手把玩，更有深邃的幾何意涵，一件作品能有如此多層次，真的令人十分驚艷。

PRISM幾何飾品的質感不言自明，為了讓大家了解P01的深刻內涵，我將會詳細介紹其設計巧思與幾何結構。而令人驚奇的是，P01除了能夠以立方體的型式當作墜子，還可以用不規則的超展開作為項鍊或手環。

雖然網路上有介紹影片與組合教學，到現場P01的不規則展開仍然讓腦袋有點打結，我試著摺疊回立方體研究其幾何結構，花了很多時間還是很難參透，對於不規則展開是如何設計出來的特別感到好奇，畢竟我在研究吠陀立方的對稱面法時，曾經畫過上百個立方體反覆思考空間分割，竟然還是沒法完全了解。

再更仔細看，會注意到P01有三條對角線通過同一個點（可視為原點），其方程式為X=Y, Y=Z, X=Z；與吠陀立方的主對稱面群非常類似，差別是在前者為線、後者為面。

把玩樣品的過程中，P01能夠變型成3個四角錐如下圖。然而，不規則的動態展開仍是個謎，因此我親自走訪了單挑概念工作室，試圖還原設計與發想過程，希望能了解其中的巧思。到底裡面藏了什麼機關呢？

最初，設計師是從平面展開圖去思考如何拆解立方體，在展開後的正方形加上對角線覺得還是過於單調，構思過程中以徒手繪圖搭配電腦軟體，決定再朝立方體的對角線下手，得到了一個底面為正方形的四角錐（五面體）。

設計師當時假設可用四角錐拼成立方體，把多個四角錐的各個面展開畫在紙上，再嘗試拼接、排列、組合，最終發現三個四角錐可組成立方體。

由上圖可知，立方體可以被分成三個四角錐。切法是從一個頂點（可視為原點），沿著三個對稱面切，直到立方體的對角線X=Y=Z為止，切面不超過對角線即可得到。

了解P01的基本元素以後，再來談談不規則的超展開。現在知道立方體由三個四角錐（五面體）構成，理論上飾品攤開來應該有15個面，算一算卻只有13個面，大家可以想一想缺少的2個面分別是四角錐的哪個面，以及在P01的何處？

設計師對立方體幾何原理有相當程度的感知，加上突破框架的創意才能發展出不規則設計，拿掉2個面讓展開變得不對稱，主要是為了整體美感與輕量化考量。我個人十分欣賞這樣的不規則設計，帶有沒法一眼看穿的神秘感。

幾何本身帶有一種普世性的美感，能夠成為引領時尚的潮流。單挑概念將把立方體轉化成金工飾品P01蛻變系列，除了飾品本身相當精緻與迷人，還可以讓人動手把玩，更蘊藏了許多設計巧思，充分體現了幾何美學的優雅質感與知性內涵。

這是來自我們台灣的設計，令國際驚豔的MIT作品，我個人十分欣賞，在此也推薦給正在收看這篇文章的你和妳。

PRISM 幾何飾品在泛科市集

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• 資料來源：單挑概念官網、粉絲頁