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把幾何的美戴出去炫耀!來自台灣團隊「單挑概念」的幾何金工——科學開封府系列

Sharkie Lin_96
・2017/06/07 ・1966字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 493 ・六年級

從「科學」的角度解「開封」印在商品中的知識,就是我們科學開封府的職司。開封府內的胞大仁㜊妱公猻測會不定期介紹各種與科學有關的各種玩意,有時溫柔勸敗,偶爾龍虎狗頭鍘伺候剁手,不管怎樣,請您上座啦!

本次科學開封府邀請了泛科學專欄作者 Shark Lin 來為我們介紹充滿藝數美感的PRISM幾何飾品系列!

從去年秋天開始,我幾乎每天都會上網瀏覽世界數學藝術的相關創作,外國有許多團隊利用衍生藝術(generative art),設計出許多藝數時尚商品,曾在 2016 泛.知識節分享過幾個案例,另一方面也感嘆台灣相關創作較少,沒想到不久後就驚喜發現單挑概念工作室的作品─PRISM幾何飾品。

單挑概念在今年二月舉辦了試戴會(2017),原本以為像是一般的飾品一樣,不過一到現場馬上感受到了金工的魅力,「P01蛻變系列」不僅擁有高質感的外觀,還能夠動手把玩,更有深邃的幾何意涵,一件作品能有如此多層次,真的令人十分驚艷。

PRISM幾何飾品的質感不言自明,為了讓大家了解P01的深刻內涵,我將會詳細介紹其設計巧思與幾何結構。而令人驚奇的是,P01除了能夠以立方體的型式當作墜子,還可以用不規則的超展開作為項鍊或手環。

圖/單挑概念提供
圖/單挑概念提供

雖然網路上有介紹影片與組合教學,到現場P01的不規則展開仍然讓腦袋有點打結,我試著摺疊回立方體研究其幾何結構,花了很多時間還是很難參透,對於不規則展開是如何設計出來的特別感到好奇,畢竟我在研究吠陀立方對稱面法時,曾經畫過上百個立方體反覆思考空間分割,竟然還是沒法完全了解。

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再更仔細看,會注意到P01有三條對角線通過同一個點(可視為原點),其方程式為X=Y, Y=Z, X=Z;與吠陀立方的主對稱面群非常類似,差別是在前者為線、後者為面。

把玩樣品的過程中,P01能夠變型成3個四角錐如下圖。然而,不規則的動態展開仍是個謎,因此我親自走訪了單挑概念工作室,試圖還原設計與發想過程,希望能了解其中的巧思。到底裡面藏了什麼機關呢?

最初,設計師是從平面展開圖去思考如何拆解立方體,在展開後的正方形加上對角線覺得還是過於單調,構思過程中以徒手繪圖搭配電腦軟體,決定再朝立方體的對角線下手,得到了一個底面為正方形的四角錐(五面體)。

設計師當時假設可用四角錐拼成立方體,把多個四角錐的各個面展開畫在紙上,再嘗試拼接、排列、組合,最終發現三個四角錐可組成立方體。

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圖/截取自影片
圖/單挑概念提供

由上圖可知,立方體可以被分成三個四角錐。切法是從一個頂點(可視為原點),沿著三個對稱面切,直到立方體的對角線X=Y=Z為止,切面不超過對角線即可得到。

了解P01的基本元素以後,再來談談不規則的超展開。現在知道立方體由三個四角錐(五面體)構成,理論上飾品攤開來應該有15個面,算一算卻只有13個面,大家可以想一想缺少的2個面分別是四角錐的哪個面,以及在P01的何處?

設計師對立方體幾何原理有相當程度的感知,加上突破框架的創意才能發展出不規則設計,拿掉2個面讓展開變得不對稱,主要是為了整體美感與輕量化考量。我個人十分欣賞這樣的不規則設計,帶有沒法一眼看穿的神秘感。

從幾何結構到產品設計不免有些轉化,像是圖中的梯形其實是代表一個大三角形,設計斜桿是為了項鍊與手鍊的扣頭有地方可扣。

幾何本身帶有一種普世性的美感,能夠成為引領時尚的潮流。單挑概念將把立方體轉化成金工飾品P01蛻變系列,除了飾品本身相當精緻與迷人,還可以讓人動手把玩,更蘊藏了許多設計巧思,充分體現了幾何美學的優雅質感與知性內涵。

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這是來自我們台灣的設計,令國際驚豔的MIT作品,我個人十分欣賞,在此也推薦給正在收看這篇文章的你和妳。

PRISM 幾何飾品在泛科市集

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Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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圖形處理單元與人工智慧
賴昭正_96
・2024/06/24 ・6944字 ・閱讀時間約 14 分鐘

  • 作者/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒,那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬.霍金(Stephen Hawking) 英國理論物理學家

大約在八十年前,當第一台數位計算機出現時,一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧;但七十年後,還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」(Artificial Intelligent,簡稱 AI)的能力最近十年突然起飛,在許多(所有?)領域的測試中擊敗了人類,正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元(graphic process unit,簡稱 GPU)是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia(英偉達)股票從每股不到 $5,上升到今天(5 月 24 日)每股超過 $1000(註一)的全世界第三大公司,其創辦人(之一)兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳(Jenson Huang)也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人!可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎?到底是時勢造英雄,還是英雄造時勢?

黃仁勳出席2016年台北國際電腦展
Nvidia 的崛起究竟是時勢造英雄,還是英雄造時勢?圖/wikimedia

在回答這問題之前,筆者得先聲明筆者不是學電腦的,因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事,不是我們外行人需要了解的;但作為一位現在的知識分子或公民,了解基本原理則是必備的條件:例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析,即可判斷永動機是騙人的;又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上,它們不用往室外排廢熱氣,就可以提供屋內冷氣,讀者買嗎?

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」(central process unit,簡稱 CPU)。CPU 是電腦的「腦」,其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務,如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作;但為了簡單化,我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作(arithmetic and logic unit,簡稱 ALU),如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下,CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

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在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時,CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後,CPU 開始顯示心有餘而力不足:例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素(pixel),每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年,英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定/裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」(註二)定位為「世界上第一款 GPU」,「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU,GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作,快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢?因每一時刻只能做一件事,所以其步驟為:

  • 計算 7×5;
  • 計算 6/3;
  • 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢?很多工作便可以同時(平行)進行:

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  • 同時計算 7×5 及 6/3;
  • 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間,但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢?單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間(16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間),而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間(1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間)!

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了,如何將它擺正成右圖呢? 一句話:「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點(座標 x, y)組成的,所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了:每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

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即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算!如果每一運算需要 10-6 秒,那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉,便需要 6 秒,這豈是電動玩具畫面變化所能接受的?

圖形處理的例子

人類的許多發明都是基於需要的關係,因此電腦硬件設計家便開始思考:這些點轉換都是獨立的,為什麼我們不讓它們同時進行(平行運算,parallel processing)呢?於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 106 運算,那上圖的轉換只需 10-6 秒鐘!

GPU 的興起

GPU 可分成兩種:

  • 整合式圖形「卡」(integrated graphics)是內建於 CPU 中的 GPU,所以不是插卡,它與 CPU 共享系統記憶體,沒有單獨的記憶體組來儲存圖形/視訊,主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上;早期英特爾(Intel)因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤,在這方面的研發佔領先的地位,約佔 68% 的市場。
  • 獨立顯示卡(discrete graphics)有不與 CPU 共享的自己專用內存;由於與處理器晶片分離,它會消耗更多電量並產生大量熱量;然而,也正是因為有自己的記憶體來源和電源,它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年,英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後,科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化,在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效,因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理,不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化,也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬(註三)等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分,正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲,遠遠落在英偉達(80%)及超微半導體公司(Advance Micro Devices Inc.,19%,註四)之後,大約只有 1% 的市場。

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典型的CPU與GPU架構

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」,而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心(core)單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心,因此其核心功能不如 CPU 核心強大,但它們能同時高速執行大量相同的指令,在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心;GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書,不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等,也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺,它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是:嘴巴在講,腦筋思考已經不知往前跑了多少公里,常常為了追趕而越講越快,將不少學生拋到腦後!這不表示筆者聰明,因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技,因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣(matrix)的讀者應該知道,如果用矩陣和向量(vector)表達,上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的(註五)。而矩陣和向量計算正是機器學習(machine learning)演算法的基礎!也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在!因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石:它們的架構就是充分利用並行處理,來快速執行多個操作,進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」(deep learning)。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂:「下一次工業革命已經開始了:企業界和各國正與英偉達合作,將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升,幫助企業降低成本和提高能源效率,同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子:下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後,讀者是不是認為筆者該退休了?

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GPU(圖形處理單元)和 AI(人工智慧)之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力,特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步,使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率,使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐,而且使其更具成本效益,因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展,GPU 的角色可能會變得更加不可或缺,推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標,這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作,使我們能夠執行複雜的任務,例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外,研究表明,與非人類動物相比,人類大腦具有更多平行通路,這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上,一邊聽音樂一邊做飯,或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技,因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵:透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

(註一)當讀者看到此篇文章時,其股票已一股換十股,現在每一股約在 $100 左右。

(註二)組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」(GeForce 256)插卡吧?

(註三)筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時,就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士(fellow)」Enrico Clementi 的團隊:因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層,我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦(非 IBM 品牌!)與一大型電腦連接來做平行運算,進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

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(註四)補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商:英偉達及 ATI(Array Technology Inc.)。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立,2006 年被超微半導體公司收購,品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐(Lisa Tzwu-Fang Su)博士為執行長後,股票從每股 $4 左右,上升到今天每股超過 $160,其市值已經是英特爾的兩倍,完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色,正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題:超微半導體公司現任總裁(兼 AI 策略負責人)為出生於台北的彭明博(Victor Peng);與黃仁勳及蘇姿豐一樣,也是小時候就隨父母親移居到美國。

(註五)

延伸閱讀

  • 熱力學與能源利用」,《科學月刊》,1982 年 3 月號;收集於《我愛科學》(華騰文化有限公司,2017 年 12 月出版),轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
  • 網路安全技術與比特幣」,《科學月刊》,2020 年 11 月號;轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。
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賴昭正_96
43 篇文章 ・ 54 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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在數學中尋找想像力的自由——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/28 ・2312字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由,是想像的自由

如果探索是在尋找已經存在的東西,那麼想像就是在建構新的想法,或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子,都知道一桶沙子的無限潛力,同樣的,康托也曾說過:「數學的本質就在於它的自由。」[3](康托在19世紀後期做出開創性的研究成果,讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。)

他的意思是,數學不像科學,研究的主題未必和特定的實物有關,因此數學家在能夠研究的題材上,不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像,砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的,拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形,且沒有引進或移走「洞」,那麼從拓撲學的角度,我並沒有改變它。因此,橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的,因為其中一個形狀可以變形成另一個;另一方面,甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的,因為你必須在橄欖球上戳一個洞,才可以把它變成甜甜圈。

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拓撲學是很有趣的主題,因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸,來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動,所以稱它們為空間

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間,通常是為了回答某個奇特的問題,例如「是否存在具有這種或那種病態的物件?」。(對,我們在數學上會用到病態一詞,是在描述奇怪或異常的表現,就像在醫學中一樣。)然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說,有和田湖(Lakes of Wada):可在地圖上繪出,且邊界完全相同的三個相連區域(「湖」);位於其中一座湖的邊上的任何一點,一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄(Takeo Wada)的名字命名的。還有夏威夷耳環(Hawaiian earring),這是個華麗的物件,上頭有無限多個逐次變小的環,全相切於一個點。[4]

這個碎形圖有三個區域(深色、中間色和淺色的「湖」),有相同的邊界,但與原始和田湖不同的是,圖中的每個湖都由不連通的水池組成。
圖/生而為人的13堂數學課
夏威夷耳環。圖/生而為人的13堂數學課

亞歷山大角球的病態空間

病態空間(pathological space)有個相當著名的例子(至少在數學家當中很有名),就是亞歷山大角球(Alexander horned sphere)。球是呈泡泡形狀的曲面,正圓球表面的空間具有「單連通」(simply connected)這個性質,意思大致上就是,如果你在球的表面拿著一條繩子,把兩端繫在一起,做成一個圈,那麼所繫成的圈不會卡在球上,永遠可以從球上移走,與球分離。(甜甜圈就截然不同了,它表面的空間不是單連通的:如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞,再把兩端繫在一起,你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。)

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1924年,J. W. 亞歷山大(J. W. Alexander)在想像他的帶角球時,思考了一個問題:有沒有可能用某種奇特的變形方式,讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰,但泡泡表面的空間又不是單連通的?

起先亞歷山大認為,不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子!他的假想結構可以描述如下(這不完全是他的結構,但在拓撲學上是相同的):取一個泡泡,擠出兩個「角」,接著再從每個角擠出一對捏起的手指,且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰,所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟,從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指,相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去,做到極限,就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈,無法從帶角球脫離,原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束,沒有做到極限,那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構,不僅需要靠想像力思考,還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

亞歷山大角球。圖/生而為人的13堂數學課

你可以想像把圖放大,去看接連各層級的捏角的碎形本質:在細節的每個層級,景象看起來都相同。

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想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願,瞧!你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力,數學學習的樂趣會多出多少?你不必從事高等數學,就能運用想像力。

在算術中,我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數;能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少?你能不能找出連續十個不是質數的數?

在幾何學中,我們可以設計出屬於自己的圖案,探究它們的幾何性質;你喜歡的圖案裡有哪些對稱性?

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在統計學中,我們可以考慮一個資料集,想出有創造力的視覺化方法;哪些方法的特點最好?

如果你是從枯燥的教科書上學數學,那就看看能不能把問題改造一下,以提升你的想像力,這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

摘自《生而為人的13堂數學課:透過數學的心智體驗與美德探索,讓你成為更好的人的練習》,2022 年 1 月,臉譜出版
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臉譜出版_96
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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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影印紙的巧妙比例!摺摺摺~摺出四角錐──《藝數摺學》
臉譜出版_96
・2019/10/21 ・2146字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 469 ・五年級

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  • 作者/李政憲

對應課程:八年級「勾股定理」、九年級「相似形」、「生活中的立體圖形」
需要材料:A4或B4影印紙

為什麼影印紙要設計成這個長寬比例?

  • 你知道生活中常用的影印紙的長寬比例是多少嗎?

請拿起一張影印紙(A4 或 B4 皆可),依照圖 1 和圖 2 的方式摺摺看,就會發現在圖 1 中摺出來的等腰直角三角形的斜邊(圖中虛線),和影印紙的長邊竟然是相等的。

而又由於影印紙的短邊就是等腰直角三角形的一股長,假設短邊長為 1,等腰直角三角形的斜邊長就會是\(\sqrt{2}\),又斜邊與長邊等長,因此影印紙的長邊與短邊的長度比就是 \(\sqrt{2}\):1 了。

圖 1

圖 2

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  • 至於影印紙為什麼要設計成 \(\sqrt{2}\):1 這個比例呢?

其實有個很重要的原因。請不妨再拿一張相同大小的影印紙,對半裁切後將其中一半旋轉 90 度,再與另一張完整影印紙的左上方兩邊對齊,你會發現兩張長方形的對角線恰可連成一直線(如圖 3~4),也就是兩個長方形彼此是相似的(因為兩多邊形相似的條件為:對應角相等,且對應邊成比例)。

若我們假設原紙張的短邊為 1,長邊為 x,則我們可以列出 x:1=1:\(\frac{x}{2}\)的算式,故 \(x^{2}\)=2,便可得出 x=\(\sqrt{2}\) 的結果。

也就是若我們將影印紙沿長邊中點連線對半裁切(或將大小相等的兩張影印紙以長邊拼合)得到的紙張,將與原影印紙的比例相同。

圖 3

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圖 4

如此一來,若我們影印時需要縮小圖形,就只需要將原影印紙作長邊對半裁切,則縮小的影印紙與原影印紙的大小比例相同,原作品大小與影印出來的結果也會彼此相似,放大時也是同樣的道理。

而透過影印紙的巧妙比例,我們可以製作出一些十分有趣的作品。讓我們先從一個簡單的四角錐開始做起吧!

用影印紙做出四角錐

首先請拿一張影印紙, 如圖 5、6 分別在長短邊各摺出其中點連線後,再摺出長邊中點與原矩形的四個端點的連線,如圖 7、8。

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李老師小聲說:「如果想節省空間與紙張,讀者也可將 A4 尺寸的影印紙,應用其 \(\sqrt{2}\):1 的特性,將其裁切為等比例的兩等份或四等份,再進行後續的摺製與組裝。」

圖 5

圖 6

圖 7

圖 8

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接下來如圖 9,將最後摺製的四條連線由谷線改為山線,且左右兩交叉點的連線不摺(圖中實線處),即可依山谷線分佈完成如圖 10 的四角錐。

圖 9

圖 10

由於這個作品目前無法定型,建議可以翻至背面,將內縮突起的直角三角形,分別摺製其兩銳角的角平分線(如圖 11、12),即可將圖 10 放於平面時作簡單固定如圖 13,而若要固定得更完整,也可以口紅膠或膠水將中間的鈍角三角形接合面黏貼,就不會有容易移動的情形了。

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圖 11

圖 12

圖 13

接下來按照上面方式摺製共六個四角錐,並用膠帶將其對應邊接合如圖 14,即可將六個四角錐翻摺形成一個正立方體如圖 15,且此六個角錐的頂點恰重合於正立方體的中心處。

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李老師小聲說:「事實上,圖 14 是其中一種正方體展開圖的組合方式,各位不妨試試與圖 14 不同的其他組合方式,也是很有趣的哦!」

圖 14

圖 15

不曉得各位有沒有覺得很神奇呢?我們以幾張生活中隨手可得的影印紙,幾道簡單的摺痕,就可以完成一個正立方體,這也代表每個角錐恰是正方體體積的六分之一!這是為什麼呢?

  • 為了討論這個問題,我們不妨看一下圖 16。

若將正方體從中心點與八個頂點連線,可將此正方體切割為六個角錐,假設這個正方體的邊長為 1,則可計算出其底部正方形的對角線為 \(\sqrt{2}\),再根據勾股定理,可以算得此正方體最遠的兩頂點間的距離為 \(\sqrt{3}\),也就是此四角錐的稜長為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

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圖 16

圖 17

接下來我們再看圖 17 的四角錐展開圖,根據剛剛摺製的過程,長邊的一半即為正方體的邊長=1,應用影印紙的比例,我們可以得知短邊長為 \(\sqrt{2}\),故其稜長(即長邊中點與四個端點連線段長的一半)為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\),也就是說這麼摺製出來的四角錐就和上面從正方體切割出的角錐稜長相等、底面積也相等囉!

李老師小聲說:「亦可考慮以平行線截等比例線段,求得角錐的高度為正方體邊長的一半來說明。」

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》,2019 年 9 月,臉譜出版

 

 

 

 

臉譜出版_96
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