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影印紙的巧妙比例!摺摺摺~摺出四角錐──《藝數摺學》

臉譜出版_96
・2019/10/21 ・2146字 ・閱讀時間約 4 分鐘
  • 作者/李政憲

對應課程:八年級「勾股定理」、九年級「相似形」、「生活中的立體圖形」
需要材料:A4或B4影印紙

為什麼影印紙要設計成這個長寬比例?

  • 你知道生活中常用的影印紙的長寬比例是多少嗎?

請拿起一張影印紙(A4 或 B4 皆可),依照圖 1 和圖 2 的方式摺摺看,就會發現在圖 1 中摺出來的等腰直角三角形的斜邊(圖中虛線),和影印紙的長邊竟然是相等的。

而又由於影印紙的短邊就是等腰直角三角形的一股長,假設短邊長為 1,等腰直角三角形的斜邊長就會是\(\sqrt{2}\),又斜邊與長邊等長,因此影印紙的長邊與短邊的長度比就是 \(\sqrt{2}\):1 了。

圖 1
圖 2
  • 至於影印紙為什麼要設計成 \(\sqrt{2}\):1 這個比例呢?

其實有個很重要的原因。請不妨再拿一張相同大小的影印紙,對半裁切後將其中一半旋轉 90 度,再與另一張完整影印紙的左上方兩邊對齊,你會發現兩張長方形的對角線恰可連成一直線(如圖 3~4),也就是兩個長方形彼此是相似的(因為兩多邊形相似的條件為:對應角相等,且對應邊成比例)。

若我們假設原紙張的短邊為 1,長邊為 x,則我們可以列出 x:1=1:\(\frac{x}{2}\)的算式,故 \(x^{2}\)=2,便可得出 x=\(\sqrt{2}\) 的結果。

也就是若我們將影印紙沿長邊中點連線對半裁切(或將大小相等的兩張影印紙以長邊拼合)得到的紙張,將與原影印紙的比例相同。

圖 3
圖 4

如此一來,若我們影印時需要縮小圖形,就只需要將原影印紙作長邊對半裁切,則縮小的影印紙與原影印紙的大小比例相同,原作品大小與影印出來的結果也會彼此相似,放大時也是同樣的道理。

而透過影印紙的巧妙比例,我們可以製作出一些十分有趣的作品。讓我們先從一個簡單的四角錐開始做起吧!

用影印紙做出四角錐

首先請拿一張影印紙, 如圖 5、6 分別在長短邊各摺出其中點連線後,再摺出長邊中點與原矩形的四個端點的連線,如圖 7、8。

李老師小聲說:「如果想節省空間與紙張,讀者也可將 A4 尺寸的影印紙,應用其 \(\sqrt{2}\):1 的特性,將其裁切為等比例的兩等份或四等份,再進行後續的摺製與組裝。」

圖 5
圖 6
圖 7
圖 8

接下來如圖 9,將最後摺製的四條連線由谷線改為山線,且左右兩交叉點的連線不摺(圖中實線處),即可依山谷線分佈完成如圖 10 的四角錐。

圖 9
圖 10

由於這個作品目前無法定型,建議可以翻至背面,將內縮突起的直角三角形,分別摺製其兩銳角的角平分線(如圖 11、12),即可將圖 10 放於平面時作簡單固定如圖 13,而若要固定得更完整,也可以口紅膠或膠水將中間的鈍角三角形接合面黏貼,就不會有容易移動的情形了。

圖 11
圖 12
圖 13

接下來按照上面方式摺製共六個四角錐,並用膠帶將其對應邊接合如圖 14,即可將六個四角錐翻摺形成一個正立方體如圖 15,且此六個角錐的頂點恰重合於正立方體的中心處。

李老師小聲說:「事實上,圖 14 是其中一種正方體展開圖的組合方式,各位不妨試試與圖 14 不同的其他組合方式,也是很有趣的哦!」

圖 14
圖 15

不曉得各位有沒有覺得很神奇呢?我們以幾張生活中隨手可得的影印紙,幾道簡單的摺痕,就可以完成一個正立方體,這也代表每個角錐恰是正方體體積的六分之一!這是為什麼呢?

  • 為了討論這個問題,我們不妨看一下圖 16。

若將正方體從中心點與八個頂點連線,可將此正方體切割為六個角錐,假設這個正方體的邊長為 1,則可計算出其底部正方形的對角線為 \(\sqrt{2}\),再根據勾股定理,可以算得此正方體最遠的兩頂點間的距離為 \(\sqrt{3}\),也就是此四角錐的稜長為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

圖 16
圖 17

接下來我們再看圖 17 的四角錐展開圖,根據剛剛摺製的過程,長邊的一半即為正方體的邊長=1,應用影印紙的比例,我們可以得知短邊長為 \(\sqrt{2}\),故其稜長(即長邊中點與四個端點連線段長的一半)為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\),也就是說這麼摺製出來的四角錐就和上面從正方體切割出的角錐稜長相等、底面積也相等囉!

李老師小聲說:「亦可考慮以平行線截等比例線段,求得角錐的高度為正方體邊長的一半來說明。」

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》,2019 年 9 月,臉譜出版

 

 

 

 

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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恐龍稱霸地球的秘訣,竟是牙齒自帶避震器?——《追光之旅:你所不知道的同步輻射》

天下文化_96
・2021/09/12 ・1747字 ・閱讀時間約 3 分鐘

《侏羅紀公園》系列電影掀起大家對恐龍的好奇,但其實科學家早就在研究遠古時代的各種生物。以恐龍為例,平均每星期會發現一種新種恐龍,每年大約會發現五十種新種恐龍。而在探討物種起源及鑑定遠古生物領域,同步輻射分析技術也展現了它的獨特價值。

例如,南非威特沃特斯蘭德大學(University of the Witwatersrand)領導的國際科學家團隊,針對一些世界上最古老的恐龍蛋胚胎頭骨,進行 3D 複製重建,發現牠們的頭骨生長順序與當今的鱷魚、雞、烏龜和蜥蜴相同,研究成果發表在《科學報導》(Scientific Reports)上。

美國自然歷史博物館收藏的恐龍蛋化石,內部留有胚胎構造。圖/WIKIPEDIA

在台灣,由加拿大多倫多大學教授賴茲(Robert Reisz)與台灣學者組成國際團隊,花費兩年時間,運用超高解析二維紅外光譜顯微術,在活躍於一億九千五百萬年前的雲南祿豐龍胚胎股骨化石中,發現殘留有機物,找到古化石內保存複雜有機物的最古老紀錄。這個破天荒的發現在 2013 年登上了《自然》(Nature)雜誌封面。

此外,在祿豐龍肋骨化石的微血管通道中,國輻中心研究員李耀昌也發現全球最古老且保存完整的膠原蛋白與赤鐵礦微粒聚晶。

「即使經過億萬年時空轉換,恐龍的軟組織經血液中鐵的氧化及碳酸鈣化包覆作用後,還是有機會被保存下來,」李耀昌表示,這將有助科學家進一步了解恐龍的生理機能與遺傳密碼。

李耀昌團隊將成果發表於《自然通訊》(Nature Communications)期刊,並獲選為《發現》(Discover)雜誌「 2017 年全球百大發現」第十二名,是近年來台灣學者主導的研究成果首度登上《發現》雜誌全球百大發現。

英國 Dinosaurland 化石博物館的鐮刀龍巢與蛋化石。圖/WIKIPEDIA

發現牙齒裡的避震器

恐龍胚胎裡有膠原蛋白,恐龍的嘴巴裡則是自帶「避震器」。

國輻中心團隊與台灣博物館、台灣石尚博物館、中國大陸北京自然博物館、加拿大安大略皇家博物館,以及中國大陸地質科學院地質研究所合作,蒐集十五種肉食性與植食性恐龍牙齒,利用同步輻射穿透式 X 光顯微術與現代的眼鏡凱門鱷牙齒進行研究比對,首度發現肉食恐龍牙齒具有避震結構。

在肉食性恐龍牙齒的琺瑯質與象牙質中間,存在一層相對柔軟且布滿微細孔洞的被覆牙本質層,可以保護牙齒,避免因撕裂骨肉造成牙齒瞬間斷裂。這項研究結果修正了過去對於原始爬蟲類牙齒結構的認知,因此登上國際知名期刊《科學報導》(Scientific Reports)與各大媒體。為了蒐集恐龍牙齒進行研究比對,國輻中心研究員王俊杰透露了一段小故事。

「當時我到桃園興仁花園夜市拜訪鱷魚攤,沒想到使用斜口鉗幫鱷魚拔牙時,斜口鉗當場應聲斷裂,只好再買一把硬度更高的老虎鉗,費了好大一番功夫才順利拔下鱷魚牙齒。」

透過同步輻射 X 光顯微鏡發現暴龍牙齒藏有「避震器」,保護牙齒不致斷裂。1:X光下的暴龍牙齒構造。2:暴龍牙齒外觀。 3:無避震結構的牙齒內部應力分布。4:有避震結構的牙齒內部應力分布。圖/王俊杰提供

牙齒的特殊結構,使得肉食恐龍成為頂尖獵食者,稱霸地表一億六千五百萬年。相較於人類咬合力約為 40 公斤、眼鏡凱門鱷咬合力約 1,000 公斤,以及咬合力可達 2,000 公斤、目前世上咬合力最大的動物—— 灣鱷,「暴龍的咬合力約 6,000 公斤,且拖行的獵物體重可能超過 1 公噸,但靠著微小的避震結構設計,便不致因巨大應力而造成牙齒斷裂,」王俊杰說。

遠古生物的活動型態一直是科學家亟欲解開的謎題,透過同步光源高解析度檢測技術,可以幫助我們了解古生物化石組織結構的細微差異,提供了一種嶄新的古生物分類與古生態研究檢測方法,而藉由恐龍胚胎化石中探測到的有機質殘留物,未來將可逐步解開更多遠古生物的奧祕。

——本文摘自《追光之旅:你所不知道的同步輻射》,2021 年 8 月,天下文化

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。
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