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數字感有什麼用?他把風靡千年的吠陀方形變立體了!

學心算能幹嘛?

原本以為小時候學心算,只能在數學考試計算速度完勝隔壁同學,結帳的時候跟收銀機比快,殊不知在「算得快」之外,不知不覺中用心算培養出對數字本身的 sense,這份「數字感」加上好奇心還真讓我做了一件特別的事——不是數學系的卻發現也是發明了一個數學原理。

我對數字的好奇與狂熱是從國二時發現位數根(digital root)的規律開始。位數根是把一個正整數各個位數的數字加總直到加到不能再加,也就是最終的數字落在 1 到 9 之間,就好像大家在算生命靈數一樣。以 D(n) 表示整數 n 的位數根,D(9527) = D(9+5+2+7) = D(23) = D(2+3) = 5,5 即為 9527 的位數根。

而源自古印度的吠陀方形(Vedic square),就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根運算,其中位數根所在的位置組成的胚騰(pattern)構成了特定的幾何圖案。吠陀方形後來也影響了伊斯蘭文化,西元 770 年時穆斯林將吠陀方形併入他們的數學知識體系中[1]。

九九乘法表

九九乘法表

吠陀方形中的位數根胚騰[6]

吠陀方形中的位數根胚騰,D1 中灰色是表示位數根為 1 的格子,D2~D9 以此類推。

從二維平面到三維立體

風靡幾千年的吠陀方形和伊斯蘭幾何圖樣都讓我深深著迷,同時也很好奇,在這古老的數學概念中,是否有我不知道的東西?還有沒有新花樣可以玩?我開始翻閱許多與位數根、吠陀方形相關的學術論文,試圖從中找靈感。

靈感這種東西說來奇妙,有時候總是來自想像不到的地方。這次我的靈感來自一棟被數學元素和演算法啟發的建築,結構設計師塞西爾‧巴爾蒙德(Cecil Balmond)與伊東豊雄(Toyo Ito)設計蛇形藝廊 2002(Serpentine Gallery Pavilion 2002)。巴爾蒙德將簡單的平面正方形元素透過 1/2 → 1/3 的演算法,拓展成一個沒有柱子的盒型幾何建築。

倫敦蛇形藝廊 2002 建築物內觀。圖/Balmond Studio 授權使用

倫敦蛇形藝廊 2002 建築物內觀。圖/Balmond Studio 授權使用

我心想蛇形藝廊 2002 從二維平面到三維立體的過程太漂亮了,而且吠陀方形和伊斯蘭幾何藝術有間接關係也十分有趣。如果說吠陀方形也從平面變成立體會發生什麼事?我試著把九九乘法表向上加一個維度也就是 Z 軸,成為了 三個數字相乘的三維乘法表(9×9×9) 。

這個三維乘法矩陣為單位長度為 9 的立方體,如同吠陀方形為二維乘法表中每個數字進行位數根運算後的結果,我將它取名為「吠陀立方(Vedic cube)」,是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果[2]。

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為了知道吠陀立方中每一個座標點的數值,以函數 D(X, Y, Z) 代表吠陀立方中座標 (X, Y, Z) 該數字的位數根,實際運算時的數學式為 D(X×Y×Z)。例如座標點 (2, 3, 5)在吠陀立方中的數值即為 D(2×3×5) = D(30) = D(3) = 3,其他座標點的計算方式以此類推。

難想像的三維吠陀立方,就請電腦來幫忙吧!

由於吠陀方形構成許多有趣的幾何圖樣,所以我猜測吠陀立方也有類似的特性。為了了解位數根於三維空間中的分布情形,我利用 Matlab 軟體計算出吠陀立方各個座標點的位數根數值,並且繪出空間中特定位數根散布的情況。下圖為吠陀立方中位數根為 1(digit 1)的點在三維空間中的散布情形及位置,也就是 D(X, Y, Z) = 1 的集合。其他位數根的散布情形可以看我在《國際趣味數學雜誌》 (Recreational Mathematics Magazine)發表的一篇數學論文〈三維空間的位數根胚騰〉[2]。

吠陀立方中位數根為 1 的點散布情形及位置。此胚騰散布的情況相當複雜,一時難以看出這些座標點在空間構成的意義。

吠陀立方中位數根為 1 的點散布情形及位置。此胚騰散布的情況相當複雜,一時難以看出這些座標點在空間構成的意義。

由於三維空間中的圖形相當複雜,一時並不容易看出這些散布點在空間中的規律。接著是我所說的「數字感」發揮的時間了,我將以不同的方法簡化吠陀立方,試圖找出三維空間中吠陀立方裡頭可能出現的胚騰及其意義。

  • 作者註:本文中的「圖樣」大多描述二維空間與吠陀方形的位數根圖樣,「胚騰」則是較為較為廣義,主要用來描述三維空間中吠陀立方中位數根的規律、模式、圖樣等。

把吠陀立方當做是一個 9 層樓高的立方體

除了 D(X×Y×Z) 的算法以外,也可以把吠陀立方當做是一個 9 層樓高類似建築物的立方體,其範圍為 Z = 1 至 Z = 9 的 X-Y 平面,並且以立方體中不同的 Z 軸高度作為「樓層」區別的原則,1 樓(第一層)就是吠陀方形。

1 樓(F1)至 9 樓(F9)的所有數值如下圖,看起來都是數字讓你害怕了嗎?別擔心我們一步一步來看。我們走上 2 樓(F2),這一層樓的數值是 1 樓的數字乘上 2 後再進行位數根運算,其他樓層也就分別是 1 樓的數字乘上樓層數,再算出位數根。

實際上吠陀立方中的 X, Y, Z 座標互相交換後,其數值仍為相同,就像是九九乘法表裡頭 X 乘上 Y 會等於 Y 乘上 X。為了方便起見,我僅以 Z 軸的高度(X-Y平面)作為區別的原則,但實際上以 Y-Z 平面或是 X-Z 平面為底結果相同。也就是吠陀立方從前看、側看、上看都會長得一樣,世界上長成這樣的東西並不多,可以讓我左看、右看、上看、下看,發現每個立面都不簡單。

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吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值。

我在此先簡單介紹吠陀立方中位數根的基本特性。當位數根為 1, 2, 4, 5, 7, 8 等六種數值時,會有相似的特性,我將以位數根 1 為例說明此六種數值的情況,以位數根 3 代表 3 與 6,最後將單獨說明位數根 9。

位數根 1 在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓這 6 層中,每一層會出現 6 個數字,因此在吠陀立方裡位數根 1 共有 36 個數字。而 1, 2, 4, 5, 7, 8 這 6 種位數根,在吠陀立方中共有 216 個。

位數根 3 在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓中各有 12 個數字,在 3 樓和 6 樓則各有 18 個,因此共有 108 個。位數根 3 和 6 在吠陀立方中加起來共 216 個數字。

位數根 9 則是在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓那 6 個樓層各有 21 個,3 樓和 6 樓有 45 個,在 9 樓有 81 個,共 297 個。

在吠陀立方中,全部的位數根數量加起來有 729 個,也就是總共的座標點數 9×9×9 。

吠陀立方是受到古印度數學吠陀方形、伊斯蘭幾何圖樣與倫敦蛇形藝廊 2002 的啟發,跨越數千年與東西方文化最終在台灣這個文化交融之地產生的數學。這一篇文章介紹了吠陀立方的定義與基本特性,至於吠陀立方還藏有什麼奧秘,像是每一層樓位數根圖樣的變換原理、以及位數根胚騰的空間幾何關係,留給下回再來分解。

參考資料

  1. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.
  2. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.

此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

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關於作者

Shark Lin

在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,一直懷著強烈的好奇心探索世界,樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態;近來嘗試將數學轉化成藝術創作,以及進行互動式的科普活動。一個既不是念數學也不是學藝術的藝數創作者。歡迎追蹤個人 臉書推特 ,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com