數字感有什麼用？他把風靡千年的吠陀方形變立體了！

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

• 文／郭君逸 │國立臺灣師範大學數學系副教授

編按：說到乘法，我們很快都會想到國小的共同回憶「九九乘法表」。背誦它對我們來說可能是一位數相乘最快的解方，多位數我們就用直式乘法運算。但如果是超超超超超超超級多位數互相相乘呢？有沒有更快的方法？

對於人腦來說可能大位數的乘法已經沒有意義，但對於電腦來說，有新的乘法方式可是大大的不一樣！三月時有數學家發表了有史以來將大數字相乘最快的新乘法方式，讓我們一起來一探究竟吧！

從「九九加法表」與「九九乘法表」談起

我們在國小時的數學，一開始就會先學「數數」，要會數 1、2、3、⋯接下來才能學加法，例如：8+5 就是 8 往後數 5 個…9, 10, 11, 12, 13，所以 8+5=13。但每次都這樣做建構式的加法太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九加法表」（雖然老師沒提這個表，但事實上大家的確都背了！）來快速處理一位數的加法，後來再學直式加法搭配進位，就能夠計算多位數的加法。

學習乘法也是差不多的歷程。正整數的乘法其實本質就是「重複做很多次加法」，例如 6 × 4 其實就等於 6+6+6+6 或是 4+4+4+4+4+4，但很快地我們馬上就會發現這樣做建構式的乘法，速度太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九乘法表」來快速處理一位數的乘法，然後再學直式乘法搭配進位，來處理多位數的乘法。

加法跟乘法我們都可以做到高位數，但究竟是加法比較快，還是乘法較快呢？

到底要算幾次？加法與乘法運算次數比較

若是一位數對一位數的話，當然是一樣快，因為「九九加法表」跟「九九乘法表」我們都倒背如流了；但當「2 位數加 2 位數」與「2 位數乘 2 位數」來比呢？

明顯乘法的運算次數一定比加法多，光直式乘法最後的 522+3480 就超越了 87+46 的加法數，何況還要做 7×6, 8×6, 7×4, 8×4 四次乘法；然後 7×6 與 8×6 也要做一個加法才能算出 522，7×4 與 8×4 也一樣。

一般來說 n 位數加 n 位數，連進位都算進去的話，要做 2n-1 次一位數加法；但 n 位數乘 n 位數的話，最多會用到 2n(n-1)的一位數加法，與 n² 次的一位數乘法。可見，乘法的運算次數是隨著位數的平方成長，所以計算乘法比較慢。

Karatsuba以加減法取代乘法，加快運算速度？

1960年，俄羅斯的大數學家 Andrey Kolmogorov 在一次研究討論中提出他的猜測（n 位數的乘法必須用到至少 n² 數量級的一位數乘法），例如 2 位數乘以 2 位數必須進行 4 次一位數乘法，他認為不能再快了。

結果一個禮拜後他的學生 Anatoly Karatsuba 就推翻這項猜測，找到僅需 3 次一位數乘法的計算。以 87×46 為例，Karatsuba 的方法是這樣的，先算十位相乘 8×4=32，與個位相乘 7×6=42，這個部份與傳統直式乘法一樣，但他卻只用了一次乘法就算出了 8×6和 7×4 且同時把它們加起來。我們先把傳統直式乘法改成如下：

中間的方框就是要計算 8×6 加 7×4，Karatsuba巧妙的用 (8+7)×(4+6)- 8×4-7×6 來達到同樣的效果。注意到，上式中只有第一個乘號要算，後兩個剛剛已經算過了，也就是說 Karatsuba 用一個加法與兩個減法取代了一個乘法。讀者這時可能會想說，拿一個一位數乘法去換三個加減法，又不是頭殼壞去，這樣不是反而慢嗎？

我們來看一下 4 位數的情況， 2531×1467 一樣先算 25×14 與 31×67，然後中間的 25×67+31×14 用 (25+31)×(14+67)-25×14-31×67 計算，最後加總起來。

如同前面的分析，此處一樣用到三個二位數乘法，而每個二位數乘法又用到三個一位數乘法，所以總共用到 3×3 =9 次一位數乘法。因此一般 n 位數的乘法，用這種技巧，可以只用到

3^log₂ n=n^log₂ 3=n^1.58

個一位數乘法。位數越高，用到的一位數乘法數就會越接近 n^1.58 的常數倍。對於人來說，因為把一個乘法換三個加減法，並沒有比較快，何況還要遞迴的操作；但是，對電腦而言就不是這樣了。

電腦運算的本質：二進位

電腦的本質上是二進位的系統 （哪有！我用電腦這麼多年，沒看到什麼二進位啊！那是現在電腦發展很快，事實上隨便顯示一張小圖、或一個字，背後都做了數百萬次的二進位運算。）而電腦的加法是用位元的邏輯運算來達成（也就是 AND、OR、XOR、NOT、Shift 這些東西來組成的），而位元邏輯運算超快，詳細我們就不說了，總之電腦的加法非常快。

那電腦的乘法，真的是用 Karatsuba 的方法嗎？其實也不是，我們先來看一下 8 位元的電腦怎麼做乘法好了。以 11 乘以 14 來說，化成二進位變成 00001011 與 00001110 （前面要補 0，因為 8 位元的電腦它就是用 8 個位元儲存數字。）

這不就是直式乘法嗎？這樣哪有比較快？有的。因為人類習慣十進位，所以要背「九九乘法表」；電腦用的是二進位，所以要背「一一乘法表」！！沒錯，所以等於不用背，二進位的直式乘法，其實只是被乘數的平移，然後加起來而已，換句話說，其實乘法，也是一堆位元邏輯運算而已，所以也是超快的。

那 Karatsuba 的方法用在哪呢？用在很大很大的數字相乘的時候。電腦的乘法雖快，但 8 位元電腦，最大就只能處理 2⁸－1＝255 以內的乘法，乘完後超過 255 的話就不能處理了，16位元電腦最大可以處理到 65535 以內的數，而現在的64位元電腦就可以處理到……一個非常大的數，呵呵。

那超過電腦能處理的數的話，到頭來，還是要用傳統的方法來處理，為了不要讓數字太大，我們以 8 位元的電腦為例，處理數字就會看成 256 進位來處理，533×499 就會變成

所以當數字大的時候，這時 Karatsuba 的方法就有用了。

值得一提的是，當電腦硬體從 8 位元升級到 16 位元時，軟體若沒有改成 65536 進位的話，而用 16 位元電腦來存 255 以內的數，前面就會補了更多的 0，處理起反而會浪費時間。而若軟體有跟著處理成 65536 進位的話，533×499 就會變只有位元邏輯運算而已，會超快。這就是為什麼電腦硬體剛進入 64 位元時代時，軟體沒有跟上的話，執行程式反而變慢的原因。

歷經三十年的演算法改進

OK，我們再回來乘法的問題。Karatsuba 的方法，在數字大的時候的確可以加快乘法，以一千位數的乘法來說，此法的速度大約是傳統乘法的 17 倍。

隔年，1963 年，A. L. Toom改進到了 ；後來 1966 年 Arnold Schönhage 用了新的方法推進到；1969 年 Knuth（沒錯，就大家所知道的Knuth），改進到。

後來 1971 年，Schönhage 捲土重來，與 Volker Strassen 利用快速傅立葉變換改進為 O(nlogn log logn)，此為有名的 Schönhage–Strassen algorithm，在差不多三萬位數以上的乘法，會比 Karatsuba 方法還要快。此法也是目前大數字乘法的主流，著名的梅森質數搜尋網（Great Internet Mersenne Prime Search，在 2018 年 12 月找到第 51 個）就是用 Schönhage–Strassen algorithm 來達到快速乘法。

隔了三十幾年，一直到了2007年，Martin Fürer一樣是用快速傅立葉變換，將複雜度下降到了O(n (log n) 16^log*n)，其中 log*n 就是 n 取幾次 log 會讓這個數小於 1，這是一個成長很慢的函數，基本上可以視它為常數了。

最後最後，David Harvey 與 Joris Van Der Hoeven 寫了幾篇的論文，把這個結果改成 O(n(logn)8^log*n)，然後 O(n(log n)4^log*n)，直到 2019 年，終於證明了 Schönhage 與 Strassen 的猜測 O(n log n)。

Volker Strassen 的大矩陣乘法

值得一提的是，Volker Strassen 除了是「大整數乘法」的始祖外，他也是「大矩陣乘法」的始祖（筆者寫到這裡，不自覺的跪了下來）。以 2×2 的矩陣來說，傳統計算

時，由於 x = ae + bg, y = af + bh, z=ce + dg, w=cf+dh，總共需要 8 次的乘法，但 1969 年，Strassen說，先計算下面 7 個值，

然後讀者可以自行驗證

因此只用了 7 個乘法就完成了。天啊！這是怎麼想到的！

一般 n×n 矩陣乘法，用 Strassen algorithm 只需要 O(n^log7) = O(n^2.8) 次乘法。從此大家才知道，原來矩陣乘法竟然可以比 n³ 還要快，矩陣乘法的改進也有相當精彩的發展歷史，詳細就不再一一介紹了，目前最好的結果是 2014 年 François Le Gall 的 O(n^2.3728639)。

演算法已經超越所需要的計算尺度啦

不管是大整數乘法，或大矩陣乘法，目前都是以 Schönhage–Strassen algorithm 與 Strassen algorithm 為主流，沒有採用後來看起來較好的方法主因是後來的方法太複雜，且要在很大很大很大的整數、矩陣執行效能才會比較好，已經超越了人類目前所需要的計算尺度。另一方面，電腦硬體的發展快速，會直接把這些演算法寫到晶片，變成指令集，讓程式直接呼叫，甚至是多條相同的指令可以平行處理，經由硬體的加速，乘法的速度已經超越了演算法改進的速度了（尤其是矩陣的乘法）。

不過只要還沒達到所謂的最佳解，相信數學家們都還是會繼續為數學理論極限而努力。

參考文獻

• Schönhage and V. Strassen. Schnelle Multiplikation großer Zahlen. Computing, 7:281–292, 1971.
• Fürer. Faster integer multiplication. In Proceedings of the Thirty-Ninth ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 2007, pages 57–66, New York, NY, USA, 2007. ACM Press.
• David Harvey, Joris Van Der Hoeven. Integer multiplication in time O(n log n). 2019. hal-02070778

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。