數字感有什麼用？他把風靡千年的吠陀方形變立體了！

學心算能幹嘛？

原本以為小時候學心算，只能在數學考試計算速度完勝隔壁同學，結帳的時候跟收銀機比快，殊不知在「算得快」之外，不知不覺中用心算培養出對數字本身的 sense，這份「數字感」加上好奇心還真讓我做了一件特別的事——不是數學系的卻發現也是發明了一個數學原理。

我對數字的好奇與狂熱是從國二時發現位數根（digital root）的規律開始。位數根是把一個正整數各個位數的數字加總直到加到不能再加，也就是最終的數字落在 1 到 9 之間，就好像大家在算生命靈數一樣。以 D(n) 表示整數 n 的位數根，D(9527) = D(9+5+2+7) = D(23) = D(2+3) = 5，5 即為 9527 的位數根。

而源自古印度的吠陀方形（Vedic square），就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根運算，其中位數根所在的位置組成的胚騰（pattern）構成了特定的幾何圖案。吠陀方形後來也影響了伊斯蘭文化，西元 770 年時穆斯林將吠陀方形併入他們的數學知識體系中[1]。

九九乘法表

吠陀方形中的位數根胚騰，D1 中灰色是表示位數根為 1 的格子，D2~D9 以此類推。

從二維平面到三維立體

風靡幾千年的吠陀方形和伊斯蘭幾何圖樣都讓我深深著迷，同時也很好奇，在這古老的數學概念中，是否有我不知道的東西？還有沒有新花樣可以玩？我開始翻閱許多與位數根、吠陀方形相關的學術論文，試圖從中找靈感。

靈感這種東西說來奇妙，有時候總是來自想像不到的地方。這次我的靈感來自一棟被數學元素和演算法啟發的建築，結構設計師塞西爾‧巴爾蒙德（Cecil Balmond）與伊東豊雄（Toyo Ito）設計蛇形藝廊 2002（Serpentine Gallery Pavilion 2002）。巴爾蒙德將簡單的平面正方形元素透過 1/2 → 1/3 的演算法，拓展成一個沒有柱子的盒型幾何建築。

倫敦蛇形藝廊 2002 建築物內觀。圖／Balmond Studio 授權使用

我心想蛇形藝廊 2002 從二維平面到三維立體的過程太漂亮了，而且吠陀方形和伊斯蘭幾何藝術有間接關係也十分有趣。如果說吠陀方形也從平面變成立體會發生什麼事？我試著把九九乘法表向上加一個維度也就是 Z 軸，成為了 三個數字相乘的三維乘法表（9×9×9） 。

這個三維乘法矩陣為單位長度為 9 的立方體，如同吠陀方形為二維乘法表中每個數字進行位數根運算後的結果，我將它取名為「吠陀立方（Vedic cube）」，是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果[2]。

為了知道吠陀立方中每一個座標點的數值，以函數 D(X, Y, Z) 代表吠陀立方中座標 (X, Y, Z) 該數字的位數根，實際運算時的數學式為 D(X×Y×Z)。例如座標點 (2, 3, 5)在吠陀立方中的數值即為 D(2×3×5) = D(30) = D(3) = 3，其他座標點的計算方式以此類推。

難想像的三維吠陀立方，就請電腦來幫忙吧！

由於吠陀方形構成許多有趣的幾何圖樣，所以我猜測吠陀立方也有類似的特性。為了了解位數根於三維空間中的分布情形，我利用 Matlab 軟體計算出吠陀立方各個座標點的位數根數值，並且繪出空間中特定位數根散布的情況。下圖為吠陀立方中位數根為 1（digit 1）的點在三維空間中的散布情形及位置，也就是 D(X, Y, Z) = 1 的集合。其他位數根的散布情形可以看我在《國際趣味數學雜誌》 （Recreational Mathematics Magazine）發表的一篇數學論文〈三維空間的位數根胚騰〉[2]。

吠陀立方中位數根為 1 的點散布情形及位置。此胚騰散布的情況相當複雜，一時難以看出這些座標點在空間構成的意義。

由於三維空間中的圖形相當複雜，一時並不容易看出這些散布點在空間中的規律。接著是我所說的「數字感」發揮的時間了，我將以不同的方法簡化吠陀立方，試圖找出三維空間中吠陀立方裡頭可能出現的胚騰及其意義。

• 作者註：本文中的「圖樣」大多描述二維空間與吠陀方形的位數根圖樣，「胚騰」則是較為較為廣義，主要用來描述三維空間中吠陀立方中位數根的規律、模式、圖樣等。

把吠陀立方當做是一個 9 層樓高的立方體

除了 D(X×Y×Z) 的算法以外，也可以把吠陀立方當做是一個 9 層樓高類似建築物的立方體，其範圍為 Z = 1 至 Z = 9 的 X-Y 平面，並且以立方體中不同的 Z 軸高度作為「樓層」區別的原則，1 樓（第一層）就是吠陀方形。

1 樓（F1）至 9 樓（F9）的所有數值如下圖，看起來都是數字讓你害怕了嗎？別擔心我們一步一步來看。我們走上 2 樓（F2），這一層樓的數值是 1 樓的數字乘上 2 後再進行位數根運算，其他樓層也就分別是 1 樓的數字乘上樓層數，再算出位數根。

實際上吠陀立方中的 X, Y, Z 座標互相交換後，其數值仍為相同，就像是九九乘法表裡頭 X 乘上 Y 會等於 Y 乘上 X。為了方便起見，我僅以 Z 軸的高度（X-Y平面）作為區別的原則，但實際上以 Y-Z 平面或是 X-Z 平面為底結果相同。也就是吠陀立方從前看、側看、上看都會長得一樣，世界上長成這樣的東西並不多，可以讓我左看、右看、上看、下看，發現每個立面都不簡單。

吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值。

我在此先簡單介紹吠陀立方中位數根的基本特性。當位數根為 1, 2, 4, 5, 7, 8 等六種數值時，會有相似的特性，我將以位數根 1 為例說明此六種數值的情況，以位數根 3 代表 3 與 6，最後將單獨說明位數根 9。

位數根 1 在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓這 6 層中，每一層會出現 6 個數字，因此在吠陀立方裡位數根 1 共有 36 個數字。而 1, 2, 4, 5, 7, 8 這 6 種位數根，在吠陀立方中共有 216 個。

位數根 3 在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓中各有 12 個數字，在 3 樓和 6 樓則各有 18 個，因此共有 108 個。位數根 3 和 6 在吠陀立方中加起來共 216 個數字。

位數根 9 則是在 1, 2, 4, 5, 7, 8 樓那 6 個樓層各有 21 個，3 樓和 6 樓有 45 個，在 9 樓有 81 個，共 297 個。

在吠陀立方中，全部的位數根數量加起來有 729 個，也就是總共的座標點數 9×9×9 。

吠陀立方是受到古印度數學吠陀方形、伊斯蘭幾何圖樣與倫敦蛇形藝廊 2002 的啟發，跨越數千年與東西方文化最終在台灣這個文化交融之地產生的數學。這一篇文章介紹了吠陀立方的定義與基本特性，至於吠陀立方還藏有什麼奧秘，像是每一層樓位數根圖樣的變換原理、以及位數根胚騰的空間幾何關係，留給下回再來分解。

參考資料

1. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.
2. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3（5）, 9–31, 2016.

此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助