數字感有什麼用？他把風靡千年的吠陀方形變立體了！

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到底怎樣才算是「乾淨」？這不是什麼靈魂拷問，而是一個價值上億的商業命題。

在半導體產業的無塵室中，「乾淨」的定義極其殘酷：一粒肉眼看不見的灰塵，就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢。空氣品質的好壞，甚至能成為台積電（TSMC）決定是否在當地設廠的關鍵性指標。回到你的家中，雖然不需要生產精密晶片，但我們呼吸系統中的肺泡同樣精密，卻長期暴露在充滿 PM2.5、病毒以及各種揮發性氣體的環境中。為了守護健康，你可能還要付費購買「乾淨的空氣」來用。

因此，空氣議題早已超越單純的環保範疇，成為同時影響國家經濟與個人健康的重要問題。

很多人可能沒想到，無論是家用的空氣清淨機，還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠，它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩，而是同一件看起來平凡無奇的東西：一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網。但你真的相信，就憑這層厚度不到幾公分的板子，能擋住那些足以毀滅精密晶片、滲透人體細胞的「奈米級刺客」嗎？

這片大家都聽過的 HEPA 濾網，裡面到底是什麼？

首先，我們必須打破一個直覺上的誤解：HEPA 濾網（High Efficiency Particulate Air filter）在本質上其實並不是一張「網」。

細懸浮微粒 PM2.5，是指粒徑在 2.5 微米以下的污染物，它們能穿過呼吸道直達肺泡，並穿過血管引發全身性發炎。但這只是基本，在工廠與汽車尾氣中，還存在粒徑僅有 1 微米的 PM1，甚至是小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」（UFP，即 PM0.1）。 UFP 不僅能輕易進入血液，甚至能繞過血腦屏障（BBB），進入大腦與胎盤，其破壞力十分可怕。

如果 HEPA 濾網像水槽濾網或麵粉篩一樣，單靠孔目大小來「過濾」粒子，那麼為了攔截奈米微粒，濾網的孔目只能無限縮小到幾乎不透氣的程度。更別說在台積電或 Intel 的製程工程師眼裡，一般人認為的「乾淨」，在工程師眼裡簡直像沙塵暴一樣。對於線寬僅有 2 奈米或 3 奈米（相當於頭髮直徑萬分之一）的晶片而言，空氣中一顆微小的塵埃，就是一顆足以毀滅世界的隕石。

因此，傳統的過濾思維並非治本之道，我們需要的是原理截然不同的過濾方案。這套技術的雛形，最早可追溯至二戰時期的「曼哈頓計畫」。

HEPA 的前身，誕生於曼哈頓計畫！

1940 年代，製造濃縮鈾是發展原子彈的關鍵。然而，若將排氣直接排向大氣，會導致致命的放射性微粒擴散。負責解決這問題的是 1932 年諾貝爾化學獎得主歐文·朗繆爾（Irving Langmuir），他是薄膜和表面吸附現象的專家。他開發了「絕對過濾器」（Absolute Filter），其內部並非有孔的篩網，而是石綿纖維。

有趣的來了，如果把過濾器放到顯微鏡下，你會發現纖維之間的空隙，其實比某些被攔截的粒子還要大。那為什麼粒子穿不過去呢？這是因為在奈米尺度下，物理規則與宏觀世界完全不同。極微小的粒子在空氣中飛行時，並非走直線，而是會受到空氣分子撞擊，而產生「布朗運動」（Brownian Motion），像個醉漢一樣東倒西歪。

當粒子通過由緻密纖維構成的混亂迷宮時，布朗運動會迫使它們不斷轉彎、移動，最終撞擊到帶有靜電的纖維上。這時，靜電的吸附力會讓纖維就像蜘蛛網般死死黏住微粒。那些狂亂移動的奈米刺客，就這樣被永久禁錮迷宮中。

現在最常見的 HEPA 材料，是硼矽酸鹽玻璃纖維。

現代 HEPA 濾網最常見的核心材料為硼矽酸鹽玻璃纖維。這些玻璃纖維的直徑通常介於 0.5 至 2 微米之間，它們在濾網內隨機交織，像是一座茂密「黑森林」。微粒進入這片森林後，並非僅僅面對一層薄紙，而是得穿越一個具有厚度且排列混亂的纖維層，微粒極有可能在布朗運動的影響下撞擊並黏附在某根玻璃絲上。

除此之外，HEPA 濾網在外觀上還有一個極具辨識度的特徵，那就是像手風琴般的摺紙結構。濾材會被反覆摺疊、摺成手風琴的形狀，中間則用鋁箔或特殊的防潮紙進行結構支撐，目的是增加表面積。這不僅為了捕獲更多微粒，而是要「降低過濾風速」。這聽起來可能有點反直覺：過濾不是越快越好嗎？

其實，這與物理學中的流速控制有關。想像一條水管，如果你捏住出口，水流會變得湍急；若將出口放開並擴大，雖然總出水量不變，但出水處的流速會變得緩慢。對於 HEPA 濾網而言，當表面積越大，單位面積所需承載的空氣量就越少，空氣穿透濾網的速度也就越低。

低流速代表微粒停留在濾網內的時間也更久，增加被捕捉的機會。此外，越大的表面積也為 HEPA 濾網帶來了高「容塵量」，延長了使用壽命，這正是它能夠稱霸空氣清淨領域多年的主因。

然而，即便都叫做 HEPA 高效率空氣微粒子過濾網 (High Efficiency Particulate Air filter)，但每個 HEPA 的成分與結構還是會不一樣。例如 安麗逸新空氣清淨機 SKY ，其標榜「可過濾粒徑最小至 0.0024 微米」的污染物，去除率高達 99.99%。

0.0024 微米是什麼概念？塵蟎、花粉、皮屑或黴菌孢子，大小約在 2 至 200 微米；細懸浮微粒  PM2.5 大小約 2.5 微米，細菌也大概這麼大。最小的其實是粒徑小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」，大多數的病毒（如流感、新冠病毒）都落在此區間。對安麗逸新 的HEPA濾網來說，基本上通通都是可被攔截的榜上名單。

在過敏防護上，它更獲得英國過敏協會（Allergy UK）認證，能有效處理 19 大類、102 種過敏原，濾除空氣中超過 300 種氣態與固態污染物。

然而，同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室，就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷，就是「硼 (Boron)」。

在半導體製程中，硼是常見的 P 型摻雜物，用來精準改變矽晶圓的電性。如果濾網有任何微小的破損、老化或化學侵蝕，進而釋放出極微量的硼離子，就可能直接污染晶圓，改變其導電特性，導致晶片報廢。

此外，無塵室要求的是比 HEPA 更極致的 ULPA（超低穿透率空氣濾網） 等級的潔淨度。ULPA 的標準通常要求對 0.12 微米 的粒子達到 99.999% 甚至 99.9999% 的超高攔截率。在奈米級的競爭中，任何多穿透的一顆微塵，都代表著一筆不小的經濟損失。

為了解決「硼」的問題並追求極限的過濾效率，材料學家搬出了塑膠界的王者，PTFE 也鐵氟龍。鐵氟龍不僅耐酸鹼、耐腐蝕，還能透過拉伸製成直徑僅 0.05 至 0.1 微米 的極細纖維，其細度遠勝玻璃纖維。雖然 PTFE 耐化學腐蝕，但它既昂貴且物理上也很脆弱，安裝時若不小心稍微觸碰，數萬元的濾網就可能報銷。因此，你只會在晶圓廠而非一般家庭環境看到它。

即便如此，在空氣濾淨系統中，還有一樣是無塵室和你家空氣清淨器上面都有的另一張濾網，就是活性碳濾網。

活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附？

好不容易將微塵擋在門外時，危機卻還沒有解除。因為空氣中還隱藏著另一類更難纏的大魔王：AMC（氣態分子污染物）。

HEPA 或 ULPA 這類物理濾網雖然能攔截固體微粒，但面對氣態分子時，就像是用網球拍想撈起水一樣徒勞。這些氣態分子如同「幽靈」一般，能輕易穿過物理濾網的縫隙，其中包括氮氧化物、二氧化硫，以及來自人體的氨氣與各種揮發性有機物（VOCs）。

為了對付這些幽靈，我們必須在物理防線之外，加裝一道「化學濾網」。

這道防線的核心就是我們熟知的活性碳。但這與烤肉用的木炭不同，這裡使用的是經過特殊改造的「浸漬處理（Impregnation）」活性碳。材料科學家會根據敵人的不同性質，在活性碳上添加不同的化學藥劑：

• 酸鹼中和：對付氮氧化物、二氧化硫等酸性氣體，會在活性碳上添加碳酸鉀、氫氧化鉀等鹼性藥劑，透過酸鹼中和反應將有害氣體轉化為固體鹽類。反之，如果添加了磷酸、檸檬酸等酸性藥劑，就能中和空氣中的氨氣等鹼類。
• 物理吸附與凡德瓦力：對於最麻煩的有機揮發物（VOCs，如甲醛、甲苯），因為它們不具酸鹼性，科學家會精密調控活性碳的孔徑大小，利用龐大的「比表面積」與分子間的吸引力（凡德瓦力），像海綿吸水般將特定的有機分子牢牢鎖在孔隙中。

空氣濾淨的終極邏輯：物理與化學防線的雙重合圍

在晶圓廠這種對空氣品質斤斤計較的極端環境，活性碳的運用並非「亂槍打鳥」，而是一場極其精密的對戰策略。

工程師會根據不同製程區域的空氣分析報告，像玩 RPG 遊戲時根據怪物屬性更換裝備一樣——「打火屬性怪要穿防火裝，打冰屬性則換上防寒裝」。在最關鍵的黃光微影區（Photolithography），晶圓最怕的是人體呼出的氨氣，此時便會配置經過酸性藥劑處理的活性碳進行精準中和；而在蝕刻區（Etching），若偵測到酸性廢氣，則會改用鹼性配方的濾網。這種「對症下藥」的客製化邏輯，是確保晶片良率的唯一準則。

而在你的家中，雖然我們無法像晶圓廠那樣天天進行空氣成分分析，但你的肺部同樣需要這種等級的保護。安麗逸新空氣清淨機 SKY 的設計邏輯，正是將這種工業級的精密防護帶入家庭。它不僅擁有前述的高規 HEPA 濾網，更搭載了獲得美國專利的活性碳氣味濾網。

關於活性碳，科學界有個關鍵指標：「比表面積（Specific Surface Area）」。活性碳的孔隙越多、表面積越大，其吸附能力就越強。逸新氣味濾網選用高品質椰殼製成的活性碳，並經過高溫與蒸氣的特殊活化處理，打造出多孔且極致高密度的結構。

這片濾網內的活性碳配重達 1,020 克，但其展開後的總吸附表面積竟然高達 1,260,000 平方公尺——這是一個令人難以想像的數字，相當於 10.5 個台北大巨蛋 的面積。這種超高的比表面積，是市面上常見濾網的百倍之多。更重要的是，它還添加了雙重觸媒技術，能特別針對甲醛、戴奧辛、臭氧以及各種細微的異味分子進行捕捉。這道專利塗層防線，能將你從裝潢家具散發的有機揮發氣體，或是路邊繁忙車流的廢氣中拯救出來，成為全家人的專屬空氣守護者。

總結來說，無論是造價百億的半導體無塵室，還是守護家人的空氣清淨機，其背後的科學邏輯如出一轍：「物理濾網攔截微粒，化學濾網捕捉氣體」。只有當這兩道防線同時運作，空氣才稱得上是真正的「乾淨」。

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• 文／郭君逸 │國立臺灣師範大學數學系副教授

編按：說到乘法，我們很快都會想到國小的共同回憶「九九乘法表」。背誦它對我們來說可能是一位數相乘最快的解方，多位數我們就用直式乘法運算。但如果是超超超超超超超級多位數互相相乘呢？有沒有更快的方法？

對於人腦來說可能大位數的乘法已經沒有意義，但對於電腦來說，有新的乘法方式可是大大的不一樣！三月時有數學家發表了有史以來將大數字相乘最快的新乘法方式，讓我們一起來一探究竟吧！

從「九九加法表」與「九九乘法表」談起

我們在國小時的數學，一開始就會先學「數數」，要會數 1、2、3、⋯接下來才能學加法，例如：8+5 就是 8 往後數 5 個…9, 10, 11, 12, 13，所以 8+5=13。但每次都這樣做建構式的加法太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九加法表」（雖然老師沒提這個表，但事實上大家的確都背了！）來快速處理一位數的加法，後來再學直式加法搭配進位，就能夠計算多位數的加法。

學習乘法也是差不多的歷程。正整數的乘法其實本質就是「重複做很多次加法」，例如 6 × 4 其實就等於 6+6+6+6 或是 4+4+4+4+4+4，但很快地我們馬上就會發現這樣做建構式的乘法，速度太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九乘法表」來快速處理一位數的乘法，然後再學直式乘法搭配進位，來處理多位數的乘法。

加法跟乘法我們都可以做到高位數，但究竟是加法比較快，還是乘法較快呢？

到底要算幾次？加法與乘法運算次數比較

若是一位數對一位數的話，當然是一樣快，因為「九九加法表」跟「九九乘法表」我們都倒背如流了；但當「2 位數加 2 位數」與「2 位數乘 2 位數」來比呢？

明顯乘法的運算次數一定比加法多，光直式乘法最後的 522+3480 就超越了 87+46 的加法數，何況還要做 7×6, 8×6, 7×4, 8×4 四次乘法；然後 7×6 與 8×6 也要做一個加法才能算出 522，7×4 與 8×4 也一樣。

一般來說 n 位數加 n 位數，連進位都算進去的話，要做 2n-1 次一位數加法；但 n 位數乘 n 位數的話，最多會用到 2n(n-1)的一位數加法，與 n² 次的一位數乘法。可見，乘法的運算次數是隨著位數的平方成長，所以計算乘法比較慢。

Karatsuba以加減法取代乘法，加快運算速度？

1960年，俄羅斯的大數學家 Andrey Kolmogorov 在一次研究討論中提出他的猜測（n 位數的乘法必須用到至少 n² 數量級的一位數乘法），例如 2 位數乘以 2 位數必須進行 4 次一位數乘法，他認為不能再快了。

結果一個禮拜後他的學生 Anatoly Karatsuba 就推翻這項猜測，找到僅需 3 次一位數乘法的計算。以 87×46 為例，Karatsuba 的方法是這樣的，先算十位相乘 8×4=32，與個位相乘 7×6=42，這個部份與傳統直式乘法一樣，但他卻只用了一次乘法就算出了 8×6和 7×4 且同時把它們加起來。我們先把傳統直式乘法改成如下：

中間的方框就是要計算 8×6 加 7×4，Karatsuba巧妙的用 (8+7)×(4+6)- 8×4-7×6 來達到同樣的效果。注意到，上式中只有第一個乘號要算，後兩個剛剛已經算過了，也就是說 Karatsuba 用一個加法與兩個減法取代了一個乘法。讀者這時可能會想說，拿一個一位數乘法去換三個加減法，又不是頭殼壞去，這樣不是反而慢嗎？

我們來看一下 4 位數的情況， 2531×1467 一樣先算 25×14 與 31×67，然後中間的 25×67+31×14 用 (25+31)×(14+67)-25×14-31×67 計算，最後加總起來。

如同前面的分析，此處一樣用到三個二位數乘法，而每個二位數乘法又用到三個一位數乘法，所以總共用到 3×3 =9 次一位數乘法。因此一般 n 位數的乘法，用這種技巧，可以只用到

3^log₂ n=n^log₂ 3=n^1.58

個一位數乘法。位數越高，用到的一位數乘法數就會越接近 n^1.58 的常數倍。對於人來說，因為把一個乘法換三個加減法，並沒有比較快，何況還要遞迴的操作；但是，對電腦而言就不是這樣了。

電腦運算的本質：二進位

電腦的本質上是二進位的系統 （哪有！我用電腦這麼多年，沒看到什麼二進位啊！那是現在電腦發展很快，事實上隨便顯示一張小圖、或一個字，背後都做了數百萬次的二進位運算。）而電腦的加法是用位元的邏輯運算來達成（也就是 AND、OR、XOR、NOT、Shift 這些東西來組成的），而位元邏輯運算超快，詳細我們就不說了，總之電腦的加法非常快。

那電腦的乘法，真的是用 Karatsuba 的方法嗎？其實也不是，我們先來看一下 8 位元的電腦怎麼做乘法好了。以 11 乘以 14 來說，化成二進位變成 00001011 與 00001110 （前面要補 0，因為 8 位元的電腦它就是用 8 個位元儲存數字。）

這不就是直式乘法嗎？這樣哪有比較快？有的。因為人類習慣十進位，所以要背「九九乘法表」；電腦用的是二進位，所以要背「一一乘法表」！！沒錯，所以等於不用背，二進位的直式乘法，其實只是被乘數的平移，然後加起來而已，換句話說，其實乘法，也是一堆位元邏輯運算而已，所以也是超快的。

那 Karatsuba 的方法用在哪呢？用在很大很大的數字相乘的時候。電腦的乘法雖快，但 8 位元電腦，最大就只能處理 2⁸－1＝255 以內的乘法，乘完後超過 255 的話就不能處理了，16位元電腦最大可以處理到 65535 以內的數，而現在的64位元電腦就可以處理到……一個非常大的數，呵呵。

那超過電腦能處理的數的話，到頭來，還是要用傳統的方法來處理，為了不要讓數字太大，我們以 8 位元的電腦為例，處理數字就會看成 256 進位來處理，533×499 就會變成

所以當數字大的時候，這時 Karatsuba 的方法就有用了。

值得一提的是，當電腦硬體從 8 位元升級到 16 位元時，軟體若沒有改成 65536 進位的話，而用 16 位元電腦來存 255 以內的數，前面就會補了更多的 0，處理起反而會浪費時間。而若軟體有跟著處理成 65536 進位的話，533×499 就會變只有位元邏輯運算而已，會超快。這就是為什麼電腦硬體剛進入 64 位元時代時，軟體沒有跟上的話，執行程式反而變慢的原因。

歷經三十年的演算法改進

OK，我們再回來乘法的問題。Karatsuba 的方法，在數字大的時候的確可以加快乘法，以一千位數的乘法來說，此法的速度大約是傳統乘法的 17 倍。

隔年，1963 年，A. L. Toom改進到了 ；後來 1966 年 Arnold Schönhage 用了新的方法推進到；1969 年 Knuth（沒錯，就大家所知道的Knuth），改進到。

後來 1971 年，Schönhage 捲土重來，與 Volker Strassen 利用快速傅立葉變換改進為 O(nlogn log logn)，此為有名的 Schönhage–Strassen algorithm，在差不多三萬位數以上的乘法，會比 Karatsuba 方法還要快。此法也是目前大數字乘法的主流，著名的梅森質數搜尋網（Great Internet Mersenne Prime Search，在 2018 年 12 月找到第 51 個）就是用 Schönhage–Strassen algorithm 來達到快速乘法。

隔了三十幾年，一直到了2007年，Martin Fürer一樣是用快速傅立葉變換，將複雜度下降到了O(n (log n) 16^log*n)，其中 log*n 就是 n 取幾次 log 會讓這個數小於 1，這是一個成長很慢的函數，基本上可以視它為常數了。

最後最後，David Harvey 與 Joris Van Der Hoeven 寫了幾篇的論文，把這個結果改成 O(n(logn)8^log*n)，然後 O(n(log n)4^log*n)，直到 2019 年，終於證明了 Schönhage 與 Strassen 的猜測 O(n log n)。

Volker Strassen 的大矩陣乘法

值得一提的是，Volker Strassen 除了是「大整數乘法」的始祖外，他也是「大矩陣乘法」的始祖（筆者寫到這裡，不自覺的跪了下來）。以 2×2 的矩陣來說，傳統計算

時，由於 x = ae + bg, y = af + bh, z=ce + dg, w=cf+dh，總共需要 8 次的乘法，但 1969 年，Strassen說，先計算下面 7 個值，

然後讀者可以自行驗證

因此只用了 7 個乘法就完成了。天啊！這是怎麼想到的！

一般 n×n 矩陣乘法，用 Strassen algorithm 只需要 O(n^log7) = O(n^2.8) 次乘法。從此大家才知道，原來矩陣乘法竟然可以比 n³ 還要快，矩陣乘法的改進也有相當精彩的發展歷史，詳細就不再一一介紹了，目前最好的結果是 2014 年 François Le Gall 的 O(n^2.3728639)。

演算法已經超越所需要的計算尺度啦

不管是大整數乘法，或大矩陣乘法，目前都是以 Schönhage–Strassen algorithm 與 Strassen algorithm 為主流，沒有採用後來看起來較好的方法主因是後來的方法太複雜，且要在很大很大很大的整數、矩陣執行效能才會比較好，已經超越了人類目前所需要的計算尺度。另一方面，電腦硬體的發展快速，會直接把這些演算法寫到晶片，變成指令集，讓程式直接呼叫，甚至是多條相同的指令可以平行處理，經由硬體的加速，乘法的速度已經超越了演算法改進的速度了（尤其是矩陣的乘法）。

不過只要還沒達到所謂的最佳解，相信數學家們都還是會繼續為數學理論極限而努力。

參考文獻

• Schönhage and V. Strassen. Schnelle Multiplikation großer Zahlen. Computing, 7:281–292, 1971.
• Fürer. Faster integer multiplication. In Proceedings of the Thirty-Ninth ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 2007, pages 57–66, New York, NY, USA, 2007. ACM Press.
• David Harvey, Joris Van Der Hoeven. Integer multiplication in time O(n log n). 2019. hal-02070778

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

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4. 論文集
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註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。