數字感有什麼用？他把風靡千年的吠陀方形變立體了！

本文與 威力暘電子 合作，泛科學企劃執行。

想像一下，當你每天啟動汽車時，啟動的不再只是一台車，而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機，後果會有多嚴重？方向盤可能瞬間失靈，安全氣囊無法啟動，整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情，而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天，我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟，汽車的「大腦」—電子控制單元（ECU），是如何從單一功能，暴增至上百個獨立系統？而全球頂尖的工程師們，又為何正傾盡全力，試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化？

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代，當時的汽車工程師們面臨一項重要任務：如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力？「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現，關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間：火星塞的點火時機，也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內，這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一！引擎效率就能提升整整一成！這不僅意味著車子開起來更順暢，還能直接省下一成的油耗。那麼，要如何跨過這道門檻？答案就是：「電腦」的加入！

工程師們引入了「微控制器」（Microcontroller），你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法，在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內，精準計算出最佳的點火角度，並立刻執行。

從此，引擎的性能表現大躍進，油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元（ECU）的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」（Engine Control Unit）。

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功，在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像：「這 ECU 這麼好用，其他地方是不是也能用？」於是，ECU 的應用範圍不再僅限於點火，燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車，甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而，問題來了：這麼多「小電腦」，它們之間該如何有效溝通？

為了解決這個問題，1986 年，德國的博世（Bosch）公司推出了一項劃時代的發明：控制器區域網路（CAN Bus）。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上，就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是，CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如，煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息，絕對能搶先通過，避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題，但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線，並連接各種感測器和致動器。結果就是，一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里，總重量更高達 50 到 60 公斤，等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面，大量的 ECU 與錯綜複雜的線路，也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束，簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障，無疑讓人一個頭兩個大。

汽車電子革命：從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代，汽車電子架構迎來一場大改革，「分區架構（Zonal Architecture）」搭配「中央高效能運算（HPC）」逐漸成為主流。簡單來說，這就像在車內建立「地方政府＋中央政府」的管理系統。

可以想像，整輛車被劃分為幾個大型區域，像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙，就像數個「大都會」。每個區域控制單元（ZCU）就像「市政府」，負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合，並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理，就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台（HPC）擔任，統籌負責更複雜的運算任務，例如先進駕駛輔助系統（ADAS）所需的環境感知、物體辨識，或是車載娛樂系統、導航功能，甚至是未來自動駕駛的決策，通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中， 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子，便精準地切入了這個趨勢，致力於開發整合 ECU 與區域控制器（Domain Controller）功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢，威力暘提供的解決方案，就像是將好幾個「分區管理員」的職責，甚至一部分「超級大腦」的功能，都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力，可同時支援 ADAS 與車載娛樂，還能兼容多種通訊協定，大幅簡化車內網路架構。如此一來，車廠在追求輕量化和高效率的同時，也能顧及穩定性與安全性。

萬無一失的「汽車大腦」：威力暘的四大策略

然而，「做出來」與「做好」之間，還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯？具體來說，威力暘電子憑藉以下四大策略，築起其產品的可靠性與安全性：

1. AUTOSAR ： 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層（RTE）和基礎軟體層（BSW）。就像在玩「樂高積木」，ECU 開發者能靈活組合模組，專注在核心功能開發，從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
   
2. V-Model 開發流程：這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般，左側從上而下逐步執行，右側則由下而上層層檢驗，確保每個階段的安全要求都確實落實。
   
3. 基於模型的設計 MBD（Model-Based Design）： 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具，把整個 ECU 要控制的系統(如煞車)，用數學模型搭建起來，然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前，就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷，，並驗證安全機制是否有效。
   
4. Automotive SPICE (ASPICE) ： ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」，它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性，而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」，也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化，並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作，其能否正常運作，自然被視為最優先項目。為此，威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準：ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統（特別是 ECU）的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」，從概念、設計、測試到生產和報廢，都詳細規範了每個安全要求和驗證方法，唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略，威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準，才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而，ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡，「大腦」變得更集中、更強大後，汽車產業又迎來了新一波革命：「軟體定義汽車」（Software-Defined Vehicle, SDV）。

軟體定義汽車 SDV：你的愛車也能「升級」！

未來的汽車，會越來越像你手中的智慧型手機。過去，車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」，想升級？多半只能換車。但在軟體定義汽車（SDV）時代，汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」，能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA（Over-the-Air）技術，車廠能像推送 App 更新一樣，遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過，這種美好願景也將帶來全新的挑戰：資安風險。當汽車連上網路，就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭，輕則個資外洩，重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV，業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略，確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程，到安全認證，這些努力，讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新，也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力，威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota，以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈，更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴，以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈，並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產，驗證其流程與品質。

毫無疑問，未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷，交由電腦判斷，比交由人類駕駛還要安全的那一天，離我們不遠了。而人類的角色，將從操作者轉為監督者，負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全，人類甘願當一個「最弱兵器」，其實也不錯！

• 文／郭君逸 │國立臺灣師範大學數學系副教授

編按：說到乘法，我們很快都會想到國小的共同回憶「九九乘法表」。背誦它對我們來說可能是一位數相乘最快的解方，多位數我們就用直式乘法運算。但如果是超超超超超超超級多位數互相相乘呢？有沒有更快的方法？

對於人腦來說可能大位數的乘法已經沒有意義，但對於電腦來說，有新的乘法方式可是大大的不一樣！三月時有數學家發表了有史以來將大數字相乘最快的新乘法方式，讓我們一起來一探究竟吧！

從「九九加法表」與「九九乘法表」談起

我們在國小時的數學，一開始就會先學「數數」，要會數 1、2、3、⋯接下來才能學加法，例如：8+5 就是 8 往後數 5 個…9, 10, 11, 12, 13，所以 8+5=13。但每次都這樣做建構式的加法太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九加法表」（雖然老師沒提這個表，但事實上大家的確都背了！）來快速處理一位數的加法，後來再學直式加法搭配進位，就能夠計算多位數的加法。

學習乘法也是差不多的歷程。正整數的乘法其實本質就是「重複做很多次加法」，例如 6 × 4 其實就等於 6+6+6+6 或是 4+4+4+4+4+4，但很快地我們馬上就會發現這樣做建構式的乘法，速度太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九乘法表」來快速處理一位數的乘法，然後再學直式乘法搭配進位，來處理多位數的乘法。

加法跟乘法我們都可以做到高位數，但究竟是加法比較快，還是乘法較快呢？

到底要算幾次？加法與乘法運算次數比較

若是一位數對一位數的話，當然是一樣快，因為「九九加法表」跟「九九乘法表」我們都倒背如流了；但當「2 位數加 2 位數」與「2 位數乘 2 位數」來比呢？

明顯乘法的運算次數一定比加法多，光直式乘法最後的 522+3480 就超越了 87+46 的加法數，何況還要做 7×6, 8×6, 7×4, 8×4 四次乘法；然後 7×6 與 8×6 也要做一個加法才能算出 522，7×4 與 8×4 也一樣。

一般來說 n 位數加 n 位數，連進位都算進去的話，要做 2n-1 次一位數加法；但 n 位數乘 n 位數的話，最多會用到 2n(n-1)的一位數加法，與 n² 次的一位數乘法。可見，乘法的運算次數是隨著位數的平方成長，所以計算乘法比較慢。

Karatsuba以加減法取代乘法，加快運算速度？

1960年，俄羅斯的大數學家 Andrey Kolmogorov 在一次研究討論中提出他的猜測（n 位數的乘法必須用到至少 n² 數量級的一位數乘法），例如 2 位數乘以 2 位數必須進行 4 次一位數乘法，他認為不能再快了。

結果一個禮拜後他的學生 Anatoly Karatsuba 就推翻這項猜測，找到僅需 3 次一位數乘法的計算。以 87×46 為例，Karatsuba 的方法是這樣的，先算十位相乘 8×4=32，與個位相乘 7×6=42，這個部份與傳統直式乘法一樣，但他卻只用了一次乘法就算出了 8×6和 7×4 且同時把它們加起來。我們先把傳統直式乘法改成如下：

中間的方框就是要計算 8×6 加 7×4，Karatsuba巧妙的用 (8+7)×(4+6)- 8×4-7×6 來達到同樣的效果。注意到，上式中只有第一個乘號要算，後兩個剛剛已經算過了，也就是說 Karatsuba 用一個加法與兩個減法取代了一個乘法。讀者這時可能會想說，拿一個一位數乘法去換三個加減法，又不是頭殼壞去，這樣不是反而慢嗎？

我們來看一下 4 位數的情況， 2531×1467 一樣先算 25×14 與 31×67，然後中間的 25×67+31×14 用 (25+31)×(14+67)-25×14-31×67 計算，最後加總起來。

如同前面的分析，此處一樣用到三個二位數乘法，而每個二位數乘法又用到三個一位數乘法，所以總共用到 3×3 =9 次一位數乘法。因此一般 n 位數的乘法，用這種技巧，可以只用到

3^log₂ n=n^log₂ 3=n^1.58

個一位數乘法。位數越高，用到的一位數乘法數就會越接近 n^1.58 的常數倍。對於人來說，因為把一個乘法換三個加減法，並沒有比較快，何況還要遞迴的操作；但是，對電腦而言就不是這樣了。

電腦運算的本質：二進位

電腦的本質上是二進位的系統 （哪有！我用電腦這麼多年，沒看到什麼二進位啊！那是現在電腦發展很快，事實上隨便顯示一張小圖、或一個字，背後都做了數百萬次的二進位運算。）而電腦的加法是用位元的邏輯運算來達成（也就是 AND、OR、XOR、NOT、Shift 這些東西來組成的），而位元邏輯運算超快，詳細我們就不說了，總之電腦的加法非常快。

那電腦的乘法，真的是用 Karatsuba 的方法嗎？其實也不是，我們先來看一下 8 位元的電腦怎麼做乘法好了。以 11 乘以 14 來說，化成二進位變成 00001011 與 00001110 （前面要補 0，因為 8 位元的電腦它就是用 8 個位元儲存數字。）

這不就是直式乘法嗎？這樣哪有比較快？有的。因為人類習慣十進位，所以要背「九九乘法表」；電腦用的是二進位，所以要背「一一乘法表」！！沒錯，所以等於不用背，二進位的直式乘法，其實只是被乘數的平移，然後加起來而已，換句話說，其實乘法，也是一堆位元邏輯運算而已，所以也是超快的。

那 Karatsuba 的方法用在哪呢？用在很大很大的數字相乘的時候。電腦的乘法雖快，但 8 位元電腦，最大就只能處理 2⁸－1＝255 以內的乘法，乘完後超過 255 的話就不能處理了，16位元電腦最大可以處理到 65535 以內的數，而現在的64位元電腦就可以處理到……一個非常大的數，呵呵。

那超過電腦能處理的數的話，到頭來，還是要用傳統的方法來處理，為了不要讓數字太大，我們以 8 位元的電腦為例，處理數字就會看成 256 進位來處理，533×499 就會變成

所以當數字大的時候，這時 Karatsuba 的方法就有用了。

值得一提的是，當電腦硬體從 8 位元升級到 16 位元時，軟體若沒有改成 65536 進位的話，而用 16 位元電腦來存 255 以內的數，前面就會補了更多的 0，處理起反而會浪費時間。而若軟體有跟著處理成 65536 進位的話，533×499 就會變只有位元邏輯運算而已，會超快。這就是為什麼電腦硬體剛進入 64 位元時代時，軟體沒有跟上的話，執行程式反而變慢的原因。

歷經三十年的演算法改進

OK，我們再回來乘法的問題。Karatsuba 的方法，在數字大的時候的確可以加快乘法，以一千位數的乘法來說，此法的速度大約是傳統乘法的 17 倍。

隔年，1963 年，A. L. Toom改進到了 ；後來 1966 年 Arnold Schönhage 用了新的方法推進到；1969 年 Knuth（沒錯，就大家所知道的Knuth），改進到。

後來 1971 年，Schönhage 捲土重來，與 Volker Strassen 利用快速傅立葉變換改進為 O(nlogn log logn)，此為有名的 Schönhage–Strassen algorithm，在差不多三萬位數以上的乘法，會比 Karatsuba 方法還要快。此法也是目前大數字乘法的主流，著名的梅森質數搜尋網（Great Internet Mersenne Prime Search，在 2018 年 12 月找到第 51 個）就是用 Schönhage–Strassen algorithm 來達到快速乘法。

隔了三十幾年，一直到了2007年，Martin Fürer一樣是用快速傅立葉變換，將複雜度下降到了O(n (log n) 16^log*n)，其中 log*n 就是 n 取幾次 log 會讓這個數小於 1，這是一個成長很慢的函數，基本上可以視它為常數了。

最後最後，David Harvey 與 Joris Van Der Hoeven 寫了幾篇的論文，把這個結果改成 O(n(logn)8^log*n)，然後 O(n(log n)4^log*n)，直到 2019 年，終於證明了 Schönhage 與 Strassen 的猜測 O(n log n)。

Volker Strassen 的大矩陣乘法

值得一提的是，Volker Strassen 除了是「大整數乘法」的始祖外，他也是「大矩陣乘法」的始祖（筆者寫到這裡，不自覺的跪了下來）。以 2×2 的矩陣來說，傳統計算

時，由於 x = ae + bg, y = af + bh, z=ce + dg, w=cf+dh，總共需要 8 次的乘法，但 1969 年，Strassen說，先計算下面 7 個值，

然後讀者可以自行驗證

因此只用了 7 個乘法就完成了。天啊！這是怎麼想到的！

一般 n×n 矩陣乘法，用 Strassen algorithm 只需要 O(n^log7) = O(n^2.8) 次乘法。從此大家才知道，原來矩陣乘法竟然可以比 n³ 還要快，矩陣乘法的改進也有相當精彩的發展歷史，詳細就不再一一介紹了，目前最好的結果是 2014 年 François Le Gall 的 O(n^2.3728639)。

演算法已經超越所需要的計算尺度啦

不管是大整數乘法，或大矩陣乘法，目前都是以 Schönhage–Strassen algorithm 與 Strassen algorithm 為主流，沒有採用後來看起來較好的方法主因是後來的方法太複雜，且要在很大很大很大的整數、矩陣執行效能才會比較好，已經超越了人類目前所需要的計算尺度。另一方面，電腦硬體的發展快速，會直接把這些演算法寫到晶片，變成指令集，讓程式直接呼叫，甚至是多條相同的指令可以平行處理，經由硬體的加速，乘法的速度已經超越了演算法改進的速度了（尤其是矩陣的乘法）。

不過只要還沒達到所謂的最佳解，相信數學家們都還是會繼續為數學理論極限而努力。

參考文獻

• Schönhage and V. Strassen. Schnelle Multiplikation großer Zahlen. Computing, 7:281–292, 1971.
• Fürer. Faster integer multiplication. In Proceedings of the Thirty-Ninth ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 2007, pages 57–66, New York, NY, USA, 2007. ACM Press.
• David Harvey, Joris Van Der Hoeven. Integer multiplication in time O(n log n). 2019. hal-02070778

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。