用新視角一窺來自古印度的九九乘法表：吠陀立方樓層法

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。

上回介紹了我運用數字感把風靡世界數千年的古印度數學──吠陀方形（Vedic square）加了一個維度以後定義與發明了吠陀立方（Vedic cube）[1]。

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根（digital root）運算，例如說 5 乘上 5 會得到 25，把 2 加上 5 得到 7，這個 7 就是 25 的位數根也是吠陀方形裡座標點（5, 5）的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭的數學知識體系之中 [2]。

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰（pattern）構成了特定的幾何圖案如下圖，晚一點還會繼續用到：

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體，也就是三個數字相乘的三維乘法表（9 × 9 × 9），是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果，可以用函數 D（X, Y, Z）代表吠陀立方中座標（X, Y, Z）該數字的位數根，實際運算時的數學式為 D（X × Y × Z）。例如座標點（2, 3, 5）在吠陀立方中的數值即為 D（2 × 3 × 5）= D（30）= D（3）= 3。

然而，上回提到以軟體繪出吠陀立方中的位數根胚騰散布情況相當複雜（可見上一篇），難以看出這些座標點在空間中構成的意義，因此需要以其他方法解析。結束有點長的前情提要以後，這一回我要以樓層法（Floor method）深入解析吠陀立方，帶大家往更高的樓層邁進，發現數學蘊含的規律。

既然無法一眼就看出三維空間的位數根胚騰散布情況與這些座標點在空間中構成的意義，那何不把吠陀立方視為有 9 層樓高如同建築物的立方體，這方法我稱它為樓層法。下圖是吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值，樓層區分的原則是 Z 軸的高度。

基本圖樣與行列的代碼定義

把 1 樓至 9 樓的所有數值都列出來以後，就可以來進一步觀察位數根在不同樓層之間構成的圖樣，這些圖樣其實是幾種基本圖樣（basic pattern）的變換或是變形，這些基本圖樣是吠陀方形中出現的幾何圖樣。

為了方便稱呼與後續討論，必須先定義這些基本圖樣的名稱。像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣，就稱為 D1F1，因為是基本圖樣所以可以將 F1 省略，簡稱 D1；而數字 8 構成的圖樣 D8F1 為數字 1 對鉛直線的鏡射或說旋轉 90 度後的結果，簡稱 D8，其他數字構成的圖樣名稱以此類推。

2 樓以上樓層代碼中的 F 則不可省略，例如位數根 1 於 2 樓的圖樣稱為 D1F2，位數根 4 於 7 樓的圖樣稱為 D4F7，其他位數根於其他特定樓層的圖樣代碼也依照此原則表示。至於行列代碼的定義如下，以 C2F1 表示吠陀立方中 1 樓的第 2 行，即 246813579，其他樓層的行列以此類推，實際上行與列的組成數字相同，在此以行（column）代表行與列。

動手發現數學胚騰

介紹完代碼以後，建議大家實際拿出筆來試著自行發現數學胚騰。初階的玩法是選定一個數字，例如自己生日的位數根，也就是俗稱的生命靈數。例如泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1，就把 1 到 9 樓的數字 1 都塗上顏色或是圈起來做標記，再對照前面提到的基本圖樣 D1 至 D9 看看兩者對應的關係。

如果還意猶未盡的話進階玩法是下載吠陀立方每一層樓的 pdf 檔案，觀察其他 8 個數字在每個樓層的數學胚騰與其變換的規律與規則，檔案中同一層樓印 9 個為了方便大家觀察完自己選定的數字以後，還可以觀察其他 8 個數字在同一樓層的數學胚騰，畫記數字時才不會把圖樣混在一起。

不同樓層的位數根圖樣變換

經過這些觀察以後，我發現同個位數根構成的圖樣在不同樓層之間也具有對稱、鏡射的性質，像是位數根 1 在 2 樓（D1F2）與 7 樓（D1F7）的圖樣其實為 D5 與 D4，兩個圖樣在 X-Y 平面的投影為相互對鉛直線鏡射，此外 1 樓與 8 樓、3 樓與 6 樓、4 樓與 5 樓也都具有這樣的性質。也就是說 5 樓至 8 樓的位數根圖樣可分別由 4 樓至 1 樓鏡射得到，位數根 1 在各個樓層構成的圖樣如下圖：

有趣的是，這些位數根胚騰在不同樓層之間變換的規則，可由吠陀方形（1 樓的 X-Y 平面）清楚看見。下圖同樣先以位數根 1 為例解釋。我把位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換紀錄在下圖（a）表格中的圖樣欄位，該欄位代表在 X 樓時，位數根 1 構成的圖樣是對應吠陀方形中哪一種基本圖樣。

我在研究時發現，位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值，就是基本圖樣出現的順序！例如說下圖（b）當 X 為 2 時對應的 Y 值為 5，D1F2 對應的即是 D5 圖樣，其他樓層 X 的圖樣變換可由箭頭指向的 Y 值辨認之，像是可以看到由 X 樓對應的 Y 值與箭頭辨別出在 4、5、7、8 樓對應的圖樣各為 D7、 D2、 D4、 D8。

圖樣變換解釋

由吠陀方形指認吠陀立方位數根胚騰的變換順序是巧合還是有根據呢？由上面我們知道 D1F2 會等同 D5 圖樣，D5 圖樣對應的是吠陀方形中位數根 5 的圖樣。由定義我們知道 2 樓的組成數字是 1 樓的所有數字都乘上 2，那什麼數字乘上 2 之後的位數根會等於 1 呢？從乘法表中於 X = 2 的地方，只有 Y = 5 此相對應的位置，才會得到位數根為 1，因此 D1F2 = D5。

在 4 樓我們發現 D1F4 = D7，也可以想成是原本在 1 樓的 D7 圖案，到了四樓以後乘上 4 之後的位數根自然而然就變成了 1。如此一來便能解答為什麼 3 樓、6 樓、9 樓都沒有1（以及 2、4、5、7、8）呢，因為沒有任何數字乘上 3、6、9 之後的位數根會是 1 啊！除了位數根 1 之外，其他的位數根都遵循上述的原理，讀者可由前面提供的檔案自行對照。

只要圖解吠陀方形，就可以知道其他位數根於特定樓層中會是哪一種圖樣。也就是我們可經由二維平面的吠陀方形進一步了解三維空間的吠陀立方。吠陀方形這個二維平面不只為三維空間的一個剖面或是一樓而已，更是了解三維空間位數根胚騰非常重要的基礎。

若是想用方程式求得位數根 p 在 q 樓的圖樣會與哪一個位數根 r 在 s 樓的圖樣相同，可利用此式判別與求解未知數 D（p × s）= D（q × r），若等式兩邊相等則 DpFq = DrFs 成立。s = 1 時求得的 Dr 即為對應的基本圖樣，表示 Dr 位置的位數根在 q 樓層會是 p 位數根。例如說想要知道位數根 7 在 8 樓的圖樣會對應哪一個基本圖樣 Dr，可以用D（7） = D（8 × r）得出 r 為 2，D7F8 = D2 與直接觀察的結果相同。

圖樣可以多重組合

有的時候特定數字於特定樓層構成的圖樣將會不只涵蓋一個基本圖樣，而是多個基本圖樣組合而成。舉 D3F3 的圖樣組合當做例子，下圖左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時，對應的 Y 值有 3 個，分別是 Y = 1、4、7，對應的基本圖樣為 D1、D4、D7。下圖右方顯示了 D3F3 的圖樣，是由 D1（黃）、D4（綠）、D7（藍）這三種圖樣組合而成的，以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。

從上圖可以發現 X = 6 時對應的數值為 3 也有 3 個，分別是 Y = 2、5、8，也可寫成 D3F6 = D2 + D5 + D8，表示位數根 3 在 6 樓是由 D2、D5、D8 圖樣組合而成。類似的多重圖樣組合尚有 D3F6、D6F3、D6F6、D9F3、D9F6、D9F9。

圖樣多重組合的原理可以解答為何 9 樓每一個位數根皆為 9，因為不管 1 到 9 是哪一個數字，乘上 9 之後都會是 9 的倍數，位數根也會是 9，所以在 9 樓每一個位數根皆為 9，也表示了 D9F9 為所有的基本圖樣組合而成。以數學式表達可以寫成　 D9F9 = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9。

吠陀方形除了隱含三維空間位數根圖樣變換的根據之外，還蘊藏了不同樓層之間行列變換的規則，例如吠陀立方 2 樓的行順序事實上為 1 樓的行順序乘上 2，也是 1 樓第 2 行對應的數字。2 樓的 1 至 9 行的組成順序為 1 樓的第 2、4、6、8、1、3、5、7、9 行。2 樓的第 1 行等同 1 樓的第 2 行，以代碼表示則為 C1F2 = C2F1，其他樓層以此類推。

若是想知道 i 樓的第 h 行列會與 k 樓的第 j 行相同，可利用此式判別與求解未知數D（h * i）= D（j * k），若等號兩邊相等則 ChFi = CjFk，k = 1 求得的 Cj 即為對應的基本行，表示 Cj 在 i 樓層會出現於第 h 行。這個公式和前面的是不一樣的。

次回預告

樓層法專注在解析吠陀立方各層本身的性質以及與吠陀方形的關係，較難探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性，所以下回將會帶大家以第二種方法──對稱面法切入吠陀立方的中心一探究竟。

參考資料

1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.

從「科學」的角度解「開封」印在商品中的知識，就是我們科學開封府的職司。開封府內的胞大仁、㜊妱、公猻測會不定期介紹各種與科學有關的各種玩意，有時溫柔勸敗，偶爾龍虎狗頭鍘伺候剁手，不管怎樣，請您上座啦！

本次科學開封府邀請了泛科學專欄作者 Shark Lin 來為我們介紹充滿藝數美感的PRISM幾何飾品系列！

從去年秋天開始，我幾乎每天都會上網瀏覽世界數學藝術的相關創作，外國有許多團隊利用衍生藝術（generative art），設計出許多藝數時尚商品，曾在 2016 泛．知識節分享過幾個案例，另一方面也感嘆台灣相關創作較少，沒想到不久後就驚喜發現單挑概念工作室的作品─PRISM幾何飾品。

單挑概念在今年二月舉辦了試戴會（2017），原本以為像是一般的飾品一樣，不過一到現場馬上感受到了金工的魅力，「P01蛻變系列」不僅擁有高質感的外觀，還能夠動手把玩，更有深邃的幾何意涵，一件作品能有如此多層次，真的令人十分驚艷。

PRISM幾何飾品的質感不言自明，為了讓大家了解P01的深刻內涵，我將會詳細介紹其設計巧思與幾何結構。而令人驚奇的是，P01除了能夠以立方體的型式當作墜子，還可以用不規則的超展開作為項鍊或手環。

雖然網路上有介紹影片與組合教學，到現場P01的不規則展開仍然讓腦袋有點打結，我試著摺疊回立方體研究其幾何結構，花了很多時間還是很難參透，對於不規則展開是如何設計出來的特別感到好奇，畢竟我在研究吠陀立方的對稱面法時，曾經畫過上百個立方體反覆思考空間分割，竟然還是沒法完全了解。

再更仔細看，會注意到P01有三條對角線通過同一個點（可視為原點），其方程式為X=Y, Y=Z, X=Z；與吠陀立方的主對稱面群非常類似，差別是在前者為線、後者為面。

把玩樣品的過程中，P01能夠變型成3個四角錐如下圖。然而，不規則的動態展開仍是個謎，因此我親自走訪了單挑概念工作室，試圖還原設計與發想過程，希望能了解其中的巧思。到底裡面藏了什麼機關呢？

最初，設計師是從平面展開圖去思考如何拆解立方體，在展開後的正方形加上對角線覺得還是過於單調，構思過程中以徒手繪圖搭配電腦軟體，決定再朝立方體的對角線下手，得到了一個底面為正方形的四角錐（五面體）。

設計師當時假設可用四角錐拼成立方體，把多個四角錐的各個面展開畫在紙上，再嘗試拼接、排列、組合，最終發現三個四角錐可組成立方體。

由上圖可知，立方體可以被分成三個四角錐。切法是從一個頂點（可視為原點），沿著三個對稱面切，直到立方體的對角線X=Y=Z為止，切面不超過對角線即可得到。

了解P01的基本元素以後，再來談談不規則的超展開。現在知道立方體由三個四角錐（五面體）構成，理論上飾品攤開來應該有15個面，算一算卻只有13個面，大家可以想一想缺少的2個面分別是四角錐的哪個面，以及在P01的何處？

設計師對立方體幾何原理有相當程度的感知，加上突破框架的創意才能發展出不規則設計，拿掉2個面讓展開變得不對稱，主要是為了整體美感與輕量化考量。我個人十分欣賞這樣的不規則設計，帶有沒法一眼看穿的神秘感。

幾何本身帶有一種普世性的美感，能夠成為引領時尚的潮流。單挑概念將把立方體轉化成金工飾品P01蛻變系列，除了飾品本身相當精緻與迷人，還可以讓人動手把玩，更蘊藏了許多設計巧思，充分體現了幾何美學的優雅質感與知性內涵。

這是來自我們台灣的設計，令國際驚豔的MIT作品，我個人十分欣賞，在此也推薦給正在收看這篇文章的你和妳。

PRISM 幾何飾品在泛科市集

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• 資料來源：單挑概念官網、粉絲頁

到目前為止，吠陀立方系列文章已經介紹過流傳千年的古印度數學－吠陀方形（Vedic square），我運用數字感把它加上一個維度定義了吠陀立方（Vedic cube），再以樓層法去解析位數根胚騰（Digital root patterns）層層之間的關係[1]，這回來介紹吠陀立方對稱面法。

吠陀立方：將吠陀方形從平面延伸成立體

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根（digital root）運算，例如說 4 乘上 8 會得到 32，把  3 加上 2 得到 5，這個 5 即為 32 的位數根，也是吠陀方形裡座標點（4, 8）的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭文化的數學知識體系之中[2]。

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰（pattern）構成了特定的幾何圖案如下圖：

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體，也就是三個數字相乘的三維乘法表（9×9×9），是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果，可以用函數 D(X, Y, Z) 代表吠陀立方中座標 (X, Y, Z) 該數字的位數根，實際運算時的數學式為 D(X×Y×Z)。例如座標點 (2, 4, 7)在吠陀立方中的數值即為 D(2×4×7) = D(56) = D(11) = D(2) = 2。

之前提到以程式繪出吠陀立方中的位數根胚騰，其散布情況相當複雜（可見此篇），難以看出這些座標點在空間中構成的意義。用樓層法解析吠陀立方，能夠觀察出位數根胚騰在各層本身的性質，甚至可從二維的吠陀方形推算不同樓層之間的變換。只是樓層法是把三維空間轉化成許多二維平面，較少探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性，這時又該如何是好呢？

解構吠陀立方

回到數學或科學研究的基本方法，觀察、觀察、再觀察。

吠陀方形中，位數根 1 至位數根 8 位置構成的八個圖樣會沿著兩條對角線 X=Y 與 X+Y=9 對稱，兩條對角線為對稱軸，不僅在 X-Y 平面可以成立，在 Y-Z 平面、X-Z 平面同樣成立。從二維拓展至三維的過程中，對角線就變成了對角面同時也是對稱面，因此吠陀立方共有六個對稱面。

為了找到空間中最小不可分割的塊體，也就是不重複的基本元素（element），以及內部對應的座標點，希望能探討位數根胚騰在三維空間中的關係，所以我將沿著對稱面群切割與解構吠陀立方。

吠陀立方的對稱面群分為兩組，一組叫做主對稱面群（main symmetry planes, MSP），為 X=Y, Y=Z, X=Z，這三個對稱面都有通過原點，如圖 4；另一組則為副對稱面群（secondary symmetry planes, SSP），為 X+Y=9, Y+Z=9, X+Z=9，如圖 5。

圖 4 和圖 5 的每一塊灰色塊體，都可藉由一次鏡射後得到完整的吠陀立方。至於分析的塊體取對稱面群兩邊任何一塊皆可，並沒有限制要取對稱面群的哪一邊。除此之外，可以選擇先在 X-Y, Y-Z, X-Z 平面沿著主副對稱面群切割，得到的塊體將是三角柱體，其底面為 1/4 正方形面積的等腰直角三角形。

沿著主對稱面群分割吠陀立方的結果如圖 6，得到 6 個 MSP 四面體（MSP unit tetrahedron），值得注意的是這 6 個四面體為雙直角四面體（birectangular tetrahedron），顧名思義此四面體包含兩個直角，在數學上也稱為 Schläfli orthoscheme。此雙直角四面體的底面為 1/2 正方形面積的等腰直角三角形，高為立方體的邊長，因此體積為吠陀立方的1/6。

每一個 MSP 四面體可沿著 X=Y, Y=Z, X=Z 共鏡射三次得到吠陀立方。主對稱面群的交集為一條線，也就是吠陀立方的對角線 X=Y=Z，因此會將吠陀立方分成 6 塊。

副對稱面群分割後的結果為 8 個塊體如圖 7，包括 2 個 SSP 六面體（SSP unit hexahedron），體積各佔吠陀立方的 1/4；以及 6 個 SSP 四面體（SSP unit tetrahedron），其底面為 1/2 正方形面積的等腰直角三角形，高為吠陀立方邊長的 1/2，體積各佔吠陀立方的 1/12。副對稱面群的交集為一個點，為吠陀立方的中心 (4.5, 4.5, 4.5)，因此會將立方體分成 8 塊，而這 8 塊的體積並不完全相同。

把幾何問題從書桌搬到餐桌！

在思考副對稱面群分割問題時，為了驗證自己的想法，在愛爾蘭的聖誕假期，我把所有的研究材料從書桌搬到了餐桌，以做菜來輔助研究，餓的話馬上補充體力。

平常雖然沒有那麼喜歡豆腐，但豆腐不僅好切、還能增進空間幾何的思考，更可以照顧到五臟廟，在廚房實作數學效果意外倍增！老實說，這麼可愛的幾何豆腐還真讓人有點捨不得吃掉呢。

切完豆腐和著其他食材煮湯飽食一頓以後，問題也快解完了。最後的步驟是沿著另一個對稱面群繼續分割，即使副對稱面群分割出的塊體並不全然相同，但最終結果為一單位四面體，其底面為 1/4 正方形面積的等腰直角三角形，高為立方體邊長的 1/2，體積各佔吠陀立方的 1/24，如圖 9。

原先主對稱面群分割的 MSP 四面體（1/6 立方體體積）會被副對稱面群的邊界條件分為形狀相等的 4 小塊；而副對稱面群分割出的塊體則有二種情況，第一種為 SSP 六面體（1/4 立方體體積）將會被主對稱面群的邊界條件分為形狀相等的 6 小塊，第二種情況則是 SSP 四面體（1/12 立方體體積）將被分為形狀相等的 2 小塊。

無論由主對稱面群或是從副對稱面群開始分割，得到的結果相同，為 24 塊全等的四面體如圖 10，稱之為吠陀立方單位四面體（unit tetrahedron of Vedic cube, UTVC），為三直角四面體（trirectangular tetrahedron），表示其中一個頂角包含三個直角。任一個 UTVC 已是最小不重複的基本元素，可沿著對稱面群鏡射六次得到原先的吠陀立方。

也就是說，我們只要列出 UTVC 裡面的位數根 1、2、3、4 座標點位（可藉由旋轉分別得到位數根 8、7、6、5，如吠陀方形的位數根胚騰），就可以將原先複雜的座標點位分布，簡化成不能再簡化的胚騰。

表1列出了位數根 1、2、3、4 在 4 個 UTVC 中的座標點位。表中的點包含了邊界條件上的點，這些點會被數個 UTVC 同時共用。UTVC 中的位數根座標點沿著對稱面群確實能鏡射出其他位數根座標點，而每個 UTVC 中座標點構成的向量也相同。

• 表1｜位數根 1、2、3、4 在 4 個 UTVC 中的座標點。

從二維平面至三維空間，吠陀立方的更多應用

吠陀立方的發展是從二維平面至三維空間，其簡化是了解三維空間的位數根胚騰性質的重要步驟。從對稱面群解構的方法可大幅簡化吠陀立方的複雜度，也可找出三維空間的基本元素，不再限於吠陀方形於二維平面隱含的圖樣與規律（樓層法）。

位數根於吠陀立方散布的胚騰，是大自然本身形成的奧妙形態，除了純數學研究或是建構演算規則外，也許能和分子晶體、空間、藝術或是建築等相關領域結合應用。像是行為藝術教母瑪莉娜·阿布拉莫維奇（Marina Abramović）與她的夥伴曾在Nightsea Crossing的作品中，根據吠陀方形而決定各自所穿的衣服顏色。

吠陀立方是受到古印度數學吠陀方形、伊斯蘭幾何圖樣、倫敦蛇形藝廊 2002 的啟發，跨越數千年與東西方文化最終在台灣這個文化交融之地產生的數學。我身為吠陀立方的發明與發現者，特別期待未來有人能受到啟發，將吠陀立方的概念運用於建築設計或藝術創作，就像是塞西爾．巴爾蒙德（Cecil Balmond）運用演算法把正方形轉化成蛇形藝廊 2002 那樣令人驚艷。

對我來說，數學與藝術是兩面鏡子，可以一直相互映射彼此的光亮；而東方和西方，也能夠不斷跨越邊界彼此對話與啟發。

後續，我們再來聊聊如何將吠陀立方轉化成數學藝術創作。

參考資料

1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.