0

0
1

文字

分享

0
0
1

用新視角一窺來自古印度的九九乘法表:吠陀立方樓層法

Sharkie Lin_96
・2017/03/21 ・3505字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 542 ・八年級

上回介紹了我運用數字感把風靡世界數千年的古印度數學──吠陀方形(Vedic square)加了一個維度以後定義與發明了吠陀立方(Vedic cube)[1]。

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根(digital root)運算,例如說 5 乘上 5 會得到 25,把 2 加上 5 得到 7,這個 7 就是 25 的位數根也是吠陀方形裡座標點(5, 5)的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭的數學知識體系之中 [2]。

吠陀方形(Vedic Square)。圖/Shark Lin 提供

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰(pattern)構成了特定的幾何圖案如下圖,晚一點還會繼續用到:

吠陀方形中的位數根胚騰。圖/Shark Lin 提供

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體,也就是三個數字相乘的三維乘法表(9 × 9 × 9),是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果,可以用函數 D(X, Y, Z)代表吠陀立方中座標(X, Y, Z)該數字的位數根,實際運算時的數學式為 D(X × Y × Z)。例如座標點(2, 3, 5)在吠陀立方中的數值即為 D(2 × 3 × 5)= D(30)= D(3)= 3。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

然而,上回提到以軟體繪出吠陀立方中的位數根胚騰散布情況相當複雜(可見上一篇),難以看出這些座標點在空間中構成的意義,因此需要以其他方法解析。結束有點長的前情提要以後,這一回我要以樓層法(Floor method)深入解析吠陀立方,帶大家往更高的樓層邁進,發現數學蘊含的規律。

既然無法一眼就看出三維空間的位數根胚騰散布情況與這些座標點在空間中構成的意義,那何不把吠陀立方視為有 9 層樓高如同建築物的立方體,這方法我稱它為樓層法。下圖是吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值,樓層區分的原則是 Z 軸的高度。

樓層法,吠陀立方 1 樓至 9 樓。圖/Shark Lin 提供

基本圖樣與行列的代碼定義

把 1 樓至 9 樓的所有數值都列出來以後,就可以來進一步觀察位數根在不同樓層之間構成的圖樣,這些圖樣其實是幾種基本圖樣(basic pattern)的變換或是變形,這些基本圖樣是吠陀方形中出現的幾何圖樣。

為了方便稱呼與後續討論,必須先定義這些基本圖樣的名稱。像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣,就稱為 D1F1,因為是基本圖樣所以可以將 F1 省略,簡稱 D1;而數字 8 構成的圖樣 D8F1 為數字 1 對鉛直線的鏡射或說旋轉 90 度後的結果,簡稱 D8,其他數字構成的圖樣名稱以此類推。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
先定義這些基本圖樣的名稱,像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣,就稱為 D1F1,簡稱 D1。圖/Shark Lin 提供

2 樓以上樓層代碼中的 F 則不可省略,例如位數根 1 於 2 樓的圖樣稱為 D1F2,位數根 4 於 7 樓的圖樣稱為 D4F7,其他位數根於其他特定樓層的圖樣代碼也依照此原則表示。至於行列代碼的定義如下,以 C2F1 表示吠陀立方中 1 樓的第 2 行,即 246813579,其他樓層的行列以此類推,實際上行與列的組成數字相同,在此以行(column)代表行與列。

動手發現數學胚騰

介紹完代碼以後,建議大家實際拿出筆來試著自行發現數學胚騰。初階的玩法是選定一個數字,例如自己生日的位數根,也就是俗稱的生命靈數。例如泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日,生日位數根是 1,就把 1 到 9 樓的數字 1 都塗上顏色或是圈起來做標記,再對照前面提到的基本圖樣 D1 至 D9 看看兩者對應的關係。

如果還意猶未盡的話進階玩法是下載吠陀立方每一層樓的 pdf 檔案,觀察其他 8 個數字在每個樓層的數學胚騰與其變換的規律與規則,檔案中同一層樓印 9 個為了方便大家觀察完自己選定的數字以後,還可以觀察其他 8 個數字在同一樓層的數學胚騰,畫記數字時才不會把圖樣混在一起。

不同樓層的位數根圖樣變換

經過這些觀察以後,我發現同個位數根構成的圖樣在不同樓層之間也具有對稱、鏡射的性質,像是位數根 1 在 2 樓(D1F2)與 7 樓(D1F7)的圖樣其實為 D5 與 D4,兩個圖樣在 X-Y 平面的投影為相互對鉛直線鏡射,此外 1 樓與 8 樓、3 樓與 6 樓、4 樓與 5 樓也都具有這樣的性質。也就是說 5 樓至 8 樓的位數根圖樣可分別由 4 樓至 1 樓鏡射得到,位數根 1 在各個樓層構成的圖樣如下圖:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
位數根 1 在各個樓層構成的圖樣。圖/Shark Lin 提供

有趣的是,這些位數根胚騰在不同樓層之間變換的規則,可由吠陀方形(1 樓的 X-Y 平面)清楚看見。下圖同樣先以位數根 1 為例解釋。我把位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換紀錄在下圖(a)表格中的圖樣欄位,該欄位代表在 X 樓時,位數根 1 構成的圖樣是對應吠陀方形中哪一種基本圖樣。

我在研究時發現,位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值,就是基本圖樣出現的順序!例如說下圖(b)當 X 為 2 時對應的 Y 值為 5,D1F2 對應的即是 D5 圖樣,其他樓層 X 的圖樣變換可由箭頭指向的 Y 值辨認之,像是可以看到由 X 樓對應的 Y 值與箭頭辨別出在 4、5、7、8 樓對應的圖樣各為 D7、 D2、 D4、 D8。

圖(a)位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換。圖/Shark Lin 提供
圖(b)位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值,就是基本圖樣出現的順序!圖/Shark Lin 提供

圖樣變換解釋

由吠陀方形指認吠陀立方位數根胚騰的變換順序是巧合還是有根據呢?由上面我們知道 D1F2 會等同 D5 圖樣,D5 圖樣對應的是吠陀方形中位數根 5 的圖樣。由定義我們知道 2 樓的組成數字是 1 樓的所有數字都乘上 2,那什麼數字乘上 2 之後的位數根會等於 1 呢?從乘法表中於 X = 2 的地方,只有 Y = 5 此相對應的位置,才會得到位數根為 1,因此 D1F2 = D5。

在 4 樓我們發現 D1F4 = D7,也可以想成是原本在 1 樓的 D7 圖案,到了四樓以後乘上 4 之後的位數根自然而然就變成了 1。如此一來便能解答為什麼 3 樓、6 樓、9 樓都沒有1(以及 2、4、5、7、8)呢,因為沒有任何數字乘上 3、6、9 之後的位數根會是 1 啊!除了位數根 1 之外,其他的位數根都遵循上述的原理,讀者可由前面提供的檔案自行對照。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

只要圖解吠陀方形,就可以知道其他位數根於特定樓層中會是哪一種圖樣。也就是我們可經由二維平面的吠陀方形進一步了解三維空間的吠陀立方。吠陀方形這個二維平面不只為三維空間的一個剖面或是一樓而已,更是了解三維空間位數根胚騰非常重要的基礎。

若是想用方程式求得位數根 p 在 q 樓的圖樣會與哪一個位數根 r 在 s 樓的圖樣相同,可利用此式判別與求解未知數 D(p × s)= D(q × r),若等式兩邊相等則 DpFq = DrFs 成立。s = 1 時求得的 Dr 即為對應的基本圖樣,表示 Dr 位置的位數根在 q 樓層會是 p 位數根。例如說想要知道位數根 7 在 8 樓的圖樣會對應哪一個基本圖樣 Dr,可以用D(7) = D(8 × r)得出 r 為 2,D7F8 = D2 與直接觀察的結果相同。

圖樣可以多重組合

有的時候特定數字於特定樓層構成的圖樣將會不只涵蓋一個基本圖樣,而是多個基本圖樣組合而成。舉 D3F3 的圖樣組合當做例子,下圖左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時,對應的 Y 值有 3 個,分別是 Y = 1、4、7,對應的基本圖樣為 D1、D4、D7。下圖右方顯示了 D3F3 的圖樣,是由 D1(黃)、D4(綠)、D7(藍)這三種圖樣組合而成的,以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。

左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時,對應的 Y 值有 3 個,分別是 Y = 1、4、7,右方顯示了 D3F3 的圖樣,以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。圖/Shark Lin 提供

從上圖可以發現 X = 6 時對應的數值為 3 也有 3 個,分別是 Y = 2、5、8,也可寫成 D3F6 = D2 + D5 + D8,表示位數根 3 在 6 樓是由 D2、D5、D8 圖樣組合而成。類似的多重圖樣組合尚有 D3F6、D6F3、D6F6、D9F3、D9F6、D9F9。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖樣多重組合的原理可以解答為何 9 樓每一個位數根皆為 9,因為不管 1 到 9 是哪一個數字,乘上 9 之後都會是 9 的倍數,位數根也會是 9,所以在 9 樓每一個位數根皆為 9,也表示了 D9F9 為所有的基本圖樣組合而成。以數學式表達可以寫成  D9F9 = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9。

吠陀方形除了隱含三維空間位數根圖樣變換的根據之外,還蘊藏了不同樓層之間行列變換的規則,例如吠陀立方 2 樓的行順序事實上為 1 樓的行順序乘上 2,也是 1 樓第 2 行對應的數字。2 樓的 1 至 9 行的組成順序為 1 樓的第 2、4、6、8、1、3、5、7、9 行。2 樓的第 1 行等同 1 樓的第 2 行,以代碼表示則為 C1F2 = C2F1,其他樓層以此類推。

若是想知道 i 樓的第 h 行列會與 k 樓的第 j 行相同,可利用此式判別與求解未知數D(h * i)= D(j * k),若等號兩邊相等則 ChFi = CjFk,k = 1 求得的 Cj 即為對應的基本行,表示 Cj 在 i 樓層會出現於第 h 行。這個公式和前面的是不一樣的。

次回預告

樓層法專注在解析吠陀立方各層本身的性質以及與吠陀方形的關係,較難探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性,所以下回將會帶大家以第二種方法──對稱面法切入吠陀立方的中心一探究竟。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

參考資料

  1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
  2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.
文章難易度
Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

0

8
2

文字

分享

0
8
2
快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

文章難易度

討論功能關閉中。

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
196 篇文章 ・ 300 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

0

0
0

文字

分享

0
0
0
如果數學是藝術創作的繆思女神?來自全球的數學藝術展覽── Bridges 2018 研討會(上)
Sharkie Lin_96
・2018/12/27 ・3946字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 534 ・七年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

如果數學是藝術創作的繆思女神,世界上可是有一群人每年聚在一起,搶著分享和女神約會的心得,這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會!

Bridges 從 1998 年開始舉辦,是個一年一度以數學為主的大型全球聚會,結合藝術、音樂、建築、教育與文化,是國際間知名的跨領域會議,任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開,會議從 7/25 至 7/29 共為期五天,包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽,是全球最大的盛會,今年總共展示了一百多件來自全球的作品,其中台灣有四位數學藝術家前去參展,撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

Bridges 2018文宣。
圖/Bridges 2018

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1],充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集,另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演,以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice,1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事,正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。(可見「瑞典科技博物館數學花園:融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。)

瑞典科技博物館「數學花園」概念圖。
圖/Tekniska Museet

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園,參加不同場次需要穿梭在各博物館,彷彿跨越知識間的藩籬,同時呼應 Bridges 的跨域精神,這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間,科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段,讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館,Bridges 本身就是以多元的論文展覽活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富,從早到晚滿滿的數學藝術(詳細議程),可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊,遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子,今年我終於鼓起勇氣報名,非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助,因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出,除了作品本身,在 GE 展廳還可以展示相關的物件,因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型,希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

Symmetric Mirrors(對稱的鏡面),Shark Lin(林家妤)。
攝影/Shark Lin

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 / 發現的吠陀立方數學原理製作而成,將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現(延伸閱讀:吠陀立方對稱面法:解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧!),會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果,觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動,觀察鏡中成像變化 [註 2]。

雷射光打在〈對稱的鏡面〉形成之反射。
攝影/Shark Lin

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

展覽期間有許多觀眾來看作品,甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位;而作品本身也獲得許多不錯的評價,像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品,對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中,台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品:分別是工程背景的我(林家妤,Shark Lin)、金必耀教授(Bih-Yaw Jin)團隊的化學串珠、陳明璋教授(Mingjang Chen)的碎形疊代畫作,以及施宣光教授(Shen-Guan Shih)的巧蝸積木 (SL blocks)。

Bead model for the Type I & II clathrate hydrates,左家靜與金必耀。
攝影/Shark Lin

Castle emerging above clouds,陳明璋。
攝影/Shark Lin

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

Break a symmetry,施宣光。
攝影/Shark Lin

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集,以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文,該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外,我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品,不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件,論文數量也破百篇,就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪,只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品,來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作,而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素,搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射,就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

值得一提的是,他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎,分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid(中文書名:哥德爾、艾舍爾、巴赫:集異璧之大成)這本書三位大師的頭像作為創作主題。

Four Fabulous Beatles Faces in a 3D Object,Walt van Ballegooijen and Hans Kuiper。
攝影/Shark Lin

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛,來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten,創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過,沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到,讓人驚喜連連!

KUHKUBUS,Alexander Guerten。
攝影/Shark Lin

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg,他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組,最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時,看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包,似乎在哪裡看過卻又想不起來? 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

ANTIPRISMS – Porcelain,Uyen Nguyen。
圖/WINWIN

對方拿出名片之後,我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen),所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中,有推薦過這檔展覽(延伸閱讀:新年科青走春!全台幾何藝術景點大搜查),也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時,她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

左側為本文作者 Shark Lin,右側為奇美博物館《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen) 與摺紙作品
圖/作者提供。

最讓我喜出望外的是,以錯視作品享譽全球的杉原厚吉(Kokichi Sugihara)教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4],終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的!

杉原厚吉(Kokichi Sugihara)教授於Bridges 2018分享錯視創作與原理,圖中為〈Ambiguous Cylinder Illusion〉。
攝影/Shark Lin

與杉原厚吉教授合影,我們手中拿的是《錯視維度》酷卡。 圖/作者提供。

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%,若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽,下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力!

延伸閱讀

Bridges 2018相關網站

  1. 官方網站
  2. 線上藝廊
  3. 相關活動
  4. 論文集
  5. 詳細議程

註釋

  • 註 1:諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall),晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
  • 註 2:本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作,曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過,而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
  • 註 3:Bridges 是一個以數學為基礎的展覽,因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明,以便評審委員審查,Bridges 的作品分類與徵選標準如下:
    (1) 2D 作品(如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計)
    (2) 3D 作品(多面體、摺紙)
    (3) 自然界中特別的數字與數學(費氏數列、黃金比例)
    (4) 拓樸學(莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等)
    (5) 演算藝術(奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣)
    (6) 碎形
    而徵選標準有以下五項標準,括弧裡的字為官方註解:
    (1) 數學內容(這裡有數學知識豐富的觀眾)
    (2) 美感(顯然這相當主觀)
    (3) 材質(多樣的材質會讓展覽更多元)
    (4) 工藝技術(可有效地傳達作品概念)
    (5) 創新與原創性(將數學藝術推往新方向)
  • 註 4:杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台,並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻:視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講(Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions);而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象,以及《錯視維度》展覽內容與策展過程,相關報導可見此(連結)。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會(國藝會)國際交流計畫補助。

Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

0

0
0

文字

分享

0
0
0
把幾何的美戴出去炫耀!來自台灣團隊「單挑概念」的幾何金工——科學開封府系列
Sharkie Lin_96
・2017/06/07 ・1966字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 493 ・六年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

從「科學」的角度解「開封」印在商品中的知識,就是我們科學開封府的職司。開封府內的胞大仁㜊妱公猻測會不定期介紹各種與科學有關的各種玩意,有時溫柔勸敗,偶爾龍虎狗頭鍘伺候剁手,不管怎樣,請您上座啦!

本次科學開封府邀請了泛科學專欄作者 Shark Lin 來為我們介紹充滿藝數美感的PRISM幾何飾品系列!

從去年秋天開始,我幾乎每天都會上網瀏覽世界數學藝術的相關創作,外國有許多團隊利用衍生藝術(generative art),設計出許多藝數時尚商品,曾在 2016 泛.知識節分享過幾個案例,另一方面也感嘆台灣相關創作較少,沒想到不久後就驚喜發現單挑概念工作室的作品─PRISM幾何飾品。

單挑概念在今年二月舉辦了試戴會(2017),原本以為像是一般的飾品一樣,不過一到現場馬上感受到了金工的魅力,「P01蛻變系列」不僅擁有高質感的外觀,還能夠動手把玩,更有深邃的幾何意涵,一件作品能有如此多層次,真的令人十分驚艷。

PRISM幾何飾品的質感不言自明,為了讓大家了解P01的深刻內涵,我將會詳細介紹其設計巧思與幾何結構。而令人驚奇的是,P01除了能夠以立方體的型式當作墜子,還可以用不規則的超展開作為項鍊或手環。

圖/單挑概念提供

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖/單挑概念提供

雖然網路上有介紹影片與組合教學,到現場P01的不規則展開仍然讓腦袋有點打結,我試著摺疊回立方體研究其幾何結構,花了很多時間還是很難參透,對於不規則展開是如何設計出來的特別感到好奇,畢竟我在研究吠陀立方對稱面法時,曾經畫過上百個立方體反覆思考空間分割,竟然還是沒法完全了解。

再更仔細看,會注意到P01有三條對角線通過同一個點(可視為原點),其方程式為X=Y, Y=Z, X=Z;與吠陀立方的主對稱面群非常類似,差別是在前者為線、後者為面。

把玩樣品的過程中,P01能夠變型成3個四角錐如下圖。然而,不規則的動態展開仍是個謎,因此我親自走訪了單挑概念工作室,試圖還原設計與發想過程,希望能了解其中的巧思。到底裡面藏了什麼機關呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

最初,設計師是從平面展開圖去思考如何拆解立方體,在展開後的正方形加上對角線覺得還是過於單調,構思過程中以徒手繪圖搭配電腦軟體,決定再朝立方體的對角線下手,得到了一個底面為正方形的四角錐(五面體)。

設計師當時假設可用四角錐拼成立方體,把多個四角錐的各個面展開畫在紙上,再嘗試拼接、排列、組合,最終發現三個四角錐可組成立方體。

圖/截取自影片

圖/單挑概念提供

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

由上圖可知,立方體可以被分成三個四角錐。切法是從一個頂點(可視為原點),沿著三個對稱面切,直到立方體的對角線X=Y=Z為止,切面不超過對角線即可得到。

了解P01的基本元素以後,再來談談不規則的超展開。現在知道立方體由三個四角錐(五面體)構成,理論上飾品攤開來應該有15個面,算一算卻只有13個面,大家可以想一想缺少的2個面分別是四角錐的哪個面,以及在P01的何處?

設計師對立方體幾何原理有相當程度的感知,加上突破框架的創意才能發展出不規則設計,拿掉2個面讓展開變得不對稱,主要是為了整體美感與輕量化考量。我個人十分欣賞這樣的不規則設計,帶有沒法一眼看穿的神秘感。

從幾何結構到產品設計不免有些轉化,像是圖中的梯形其實是代表一個大三角形,設計斜桿是為了項鍊與手鍊的扣頭有地方可扣。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

幾何本身帶有一種普世性的美感,能夠成為引領時尚的潮流。單挑概念將把立方體轉化成金工飾品P01蛻變系列,除了飾品本身相當精緻與迷人,還可以讓人動手把玩,更蘊藏了許多設計巧思,充分體現了幾何美學的優雅質感與知性內涵。

這是來自我們台灣的設計,令國際驚豔的MIT作品,我個人十分欣賞,在此也推薦給正在收看這篇文章的你和妳。

PRISM 幾何飾品在泛科市集

購買 P00 拼圖系列請由此去→

購買 P01 蛻變系列請由此去→

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

0

0
1

文字

分享

0
0
1
用新視角一窺來自古印度的九九乘法表:吠陀立方樓層法
Sharkie Lin_96
・2017/03/21 ・3505字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 542 ・八年級

上回介紹了我運用數字感把風靡世界數千年的古印度數學──吠陀方形(Vedic square)加了一個維度以後定義與發明了吠陀立方(Vedic cube)[1]。

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根(digital root)運算,例如說 5 乘上 5 會得到 25,把 2 加上 5 得到 7,這個 7 就是 25 的位數根也是吠陀方形裡座標點(5, 5)的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭的數學知識體系之中 [2]。

吠陀方形(Vedic Square)。圖/Shark Lin 提供

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰(pattern)構成了特定的幾何圖案如下圖,晚一點還會繼續用到:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

吠陀方形中的位數根胚騰。圖/Shark Lin 提供

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體,也就是三個數字相乘的三維乘法表(9 × 9 × 9),是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果,可以用函數 D(X, Y, Z)代表吠陀立方中座標(X, Y, Z)該數字的位數根,實際運算時的數學式為 D(X × Y × Z)。例如座標點(2, 3, 5)在吠陀立方中的數值即為 D(2 × 3 × 5)= D(30)= D(3)= 3。

然而,上回提到以軟體繪出吠陀立方中的位數根胚騰散布情況相當複雜(可見上一篇),難以看出這些座標點在空間中構成的意義,因此需要以其他方法解析。結束有點長的前情提要以後,這一回我要以樓層法(Floor method)深入解析吠陀立方,帶大家往更高的樓層邁進,發現數學蘊含的規律。

既然無法一眼就看出三維空間的位數根胚騰散布情況與這些座標點在空間中構成的意義,那何不把吠陀立方視為有 9 層樓高如同建築物的立方體,這方法我稱它為樓層法。下圖是吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值,樓層區分的原則是 Z 軸的高度。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

樓層法,吠陀立方 1 樓至 9 樓。圖/Shark Lin 提供

基本圖樣與行列的代碼定義

把 1 樓至 9 樓的所有數值都列出來以後,就可以來進一步觀察位數根在不同樓層之間構成的圖樣,這些圖樣其實是幾種基本圖樣(basic pattern)的變換或是變形,這些基本圖樣是吠陀方形中出現的幾何圖樣。

為了方便稱呼與後續討論,必須先定義這些基本圖樣的名稱。像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣,就稱為 D1F1,因為是基本圖樣所以可以將 F1 省略,簡稱 D1;而數字 8 構成的圖樣 D8F1 為數字 1 對鉛直線的鏡射或說旋轉 90 度後的結果,簡稱 D8,其他數字構成的圖樣名稱以此類推。

先定義這些基本圖樣的名稱,像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣,就稱為 D1F1,簡稱 D1。圖/Shark Lin 提供

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

2 樓以上樓層代碼中的 F 則不可省略,例如位數根 1 於 2 樓的圖樣稱為 D1F2,位數根 4 於 7 樓的圖樣稱為 D4F7,其他位數根於其他特定樓層的圖樣代碼也依照此原則表示。至於行列代碼的定義如下,以 C2F1 表示吠陀立方中 1 樓的第 2 行,即 246813579,其他樓層的行列以此類推,實際上行與列的組成數字相同,在此以行(column)代表行與列。

動手發現數學胚騰

介紹完代碼以後,建議大家實際拿出筆來試著自行發現數學胚騰。初階的玩法是選定一個數字,例如自己生日的位數根,也就是俗稱的生命靈數。例如泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日,生日位數根是 1,就把 1 到 9 樓的數字 1 都塗上顏色或是圈起來做標記,再對照前面提到的基本圖樣 D1 至 D9 看看兩者對應的關係。

如果還意猶未盡的話進階玩法是下載吠陀立方每一層樓的 pdf 檔案,觀察其他 8 個數字在每個樓層的數學胚騰與其變換的規律與規則,檔案中同一層樓印 9 個為了方便大家觀察完自己選定的數字以後,還可以觀察其他 8 個數字在同一樓層的數學胚騰,畫記數字時才不會把圖樣混在一起。

不同樓層的位數根圖樣變換

經過這些觀察以後,我發現同個位數根構成的圖樣在不同樓層之間也具有對稱、鏡射的性質,像是位數根 1 在 2 樓(D1F2)與 7 樓(D1F7)的圖樣其實為 D5 與 D4,兩個圖樣在 X-Y 平面的投影為相互對鉛直線鏡射,此外 1 樓與 8 樓、3 樓與 6 樓、4 樓與 5 樓也都具有這樣的性質。也就是說 5 樓至 8 樓的位數根圖樣可分別由 4 樓至 1 樓鏡射得到,位數根 1 在各個樓層構成的圖樣如下圖:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

位數根 1 在各個樓層構成的圖樣。圖/Shark Lin 提供

有趣的是,這些位數根胚騰在不同樓層之間變換的規則,可由吠陀方形(1 樓的 X-Y 平面)清楚看見。下圖同樣先以位數根 1 為例解釋。我把位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換紀錄在下圖(a)表格中的圖樣欄位,該欄位代表在 X 樓時,位數根 1 構成的圖樣是對應吠陀方形中哪一種基本圖樣。

我在研究時發現,位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值,就是基本圖樣出現的順序!例如說下圖(b)當 X 為 2 時對應的 Y 值為 5,D1F2 對應的即是 D5 圖樣,其他樓層 X 的圖樣變換可由箭頭指向的 Y 值辨認之,像是可以看到由 X 樓對應的 Y 值與箭頭辨別出在 4、5、7、8 樓對應的圖樣各為 D7、 D2、 D4、 D8。

圖(a)位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換。圖/Shark Lin 提供

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖(b)位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值,就是基本圖樣出現的順序!圖/Shark Lin 提供

圖樣變換解釋

由吠陀方形指認吠陀立方位數根胚騰的變換順序是巧合還是有根據呢?由上面我們知道 D1F2 會等同 D5 圖樣,D5 圖樣對應的是吠陀方形中位數根 5 的圖樣。由定義我們知道 2 樓的組成數字是 1 樓的所有數字都乘上 2,那什麼數字乘上 2 之後的位數根會等於 1 呢?從乘法表中於 X = 2 的地方,只有 Y = 5 此相對應的位置,才會得到位數根為 1,因此 D1F2 = D5。

在 4 樓我們發現 D1F4 = D7,也可以想成是原本在 1 樓的 D7 圖案,到了四樓以後乘上 4 之後的位數根自然而然就變成了 1。如此一來便能解答為什麼 3 樓、6 樓、9 樓都沒有1(以及 2、4、5、7、8)呢,因為沒有任何數字乘上 3、6、9 之後的位數根會是 1 啊!除了位數根 1 之外,其他的位數根都遵循上述的原理,讀者可由前面提供的檔案自行對照。

只要圖解吠陀方形,就可以知道其他位數根於特定樓層中會是哪一種圖樣。也就是我們可經由二維平面的吠陀方形進一步了解三維空間的吠陀立方。吠陀方形這個二維平面不只為三維空間的一個剖面或是一樓而已,更是了解三維空間位數根胚騰非常重要的基礎。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

若是想用方程式求得位數根 p 在 q 樓的圖樣會與哪一個位數根 r 在 s 樓的圖樣相同,可利用此式判別與求解未知數 D(p × s)= D(q × r),若等式兩邊相等則 DpFq = DrFs 成立。s = 1 時求得的 Dr 即為對應的基本圖樣,表示 Dr 位置的位數根在 q 樓層會是 p 位數根。例如說想要知道位數根 7 在 8 樓的圖樣會對應哪一個基本圖樣 Dr,可以用D(7) = D(8 × r)得出 r 為 2,D7F8 = D2 與直接觀察的結果相同。

圖樣可以多重組合

有的時候特定數字於特定樓層構成的圖樣將會不只涵蓋一個基本圖樣,而是多個基本圖樣組合而成。舉 D3F3 的圖樣組合當做例子,下圖左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時,對應的 Y 值有 3 個,分別是 Y = 1、4、7,對應的基本圖樣為 D1、D4、D7。下圖右方顯示了 D3F3 的圖樣,是由 D1(黃)、D4(綠)、D7(藍)這三種圖樣組合而成的,以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。

左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時,對應的 Y 值有 3 個,分別是 Y = 1、4、7,右方顯示了 D3F3 的圖樣,以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。圖/Shark Lin 提供

從上圖可以發現 X = 6 時對應的數值為 3 也有 3 個,分別是 Y = 2、5、8,也可寫成 D3F6 = D2 + D5 + D8,表示位數根 3 在 6 樓是由 D2、D5、D8 圖樣組合而成。類似的多重圖樣組合尚有 D3F6、D6F3、D6F6、D9F3、D9F6、D9F9。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖樣多重組合的原理可以解答為何 9 樓每一個位數根皆為 9,因為不管 1 到 9 是哪一個數字,乘上 9 之後都會是 9 的倍數,位數根也會是 9,所以在 9 樓每一個位數根皆為 9,也表示了 D9F9 為所有的基本圖樣組合而成。以數學式表達可以寫成  D9F9 = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9。

吠陀方形除了隱含三維空間位數根圖樣變換的根據之外,還蘊藏了不同樓層之間行列變換的規則,例如吠陀立方 2 樓的行順序事實上為 1 樓的行順序乘上 2,也是 1 樓第 2 行對應的數字。2 樓的 1 至 9 行的組成順序為 1 樓的第 2、4、6、8、1、3、5、7、9 行。2 樓的第 1 行等同 1 樓的第 2 行,以代碼表示則為 C1F2 = C2F1,其他樓層以此類推。

若是想知道 i 樓的第 h 行列會與 k 樓的第 j 行相同,可利用此式判別與求解未知數D(h * i)= D(j * k),若等號兩邊相等則 ChFi = CjFk,k = 1 求得的 Cj 即為對應的基本行,表示 Cj 在 i 樓層會出現於第 h 行。這個公式和前面的是不一樣的。

次回預告

樓層法專注在解析吠陀立方各層本身的性質以及與吠陀方形的關係,較難探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性,所以下回將會帶大家以第二種方法──對稱面法切入吠陀立方的中心一探究竟。

參考資料

  1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
  2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.
文章難易度
Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com