用新視角一窺來自古印度的九九乘法表：吠陀立方樓層法

本文與  益福生醫 合作，泛科學企劃執行

昨晚，你又在床上翻來覆去、無法入眠了嗎？這或許是現代社會最普遍的深夜共鳴。儘管換了昂貴的乳膠枕、拉上百分之百遮光的窗簾，甚至在腦海中數了幾百隻羊，大腦的那個「睡眠開關」卻彷彿生鏽般卡住。這種渴望休息卻睡不著的過程，讓失眠成了一場耗損身心的極限馬拉松 。

皮質醇：你體內那位「永不熄滅」的深夜警報器

要理解失眠，我們得先認識身體的一套精密防衛系統：下視丘-垂體-腎上腺軸（HPA axis） 。這套系統原本是演化給我們的禮物，讓我們在面對劍齒虎或突如其來的危險時，能迅速進入「戰鬥或快逃」的備戰狀態。當這套系統啟動，腎上腺就會分泌皮質醇 (壓力荷爾蒙)，這種荷爾蒙能調動能量、提高警覺性，讓我們在危機中保持清醒 。

然而，現代人的「劍齒虎」不再是野獸，而是無止盡的專案進度、電子郵件與職場競爭。對於長期處於高壓或高強度工作環境的人們來說，身體的警報系統可能處於一種「切換不掉」的狀態。

在理想的狀態下，人類的生理時鐘像是一場精確的接力賽。入夜後，身體會進入「修復模式」，此時壓力荷爾蒙「皮質醇」的濃度應該降至最低點，讓「睡眠荷爾蒙」褪黑激素（Melatonin）接棒主導。褪黑激素不僅負責傳遞「天黑了」的訊號，它還能抑制腦中負責維持清醒的食慾素（Orexin）神經元，幫助大腦順利關閉覺醒開關。

然而，當壓力介入時，這場接力賽就會變成跑不完的馬拉松賽。研究指出，長期的高壓環境會導致 HPA 軸過度活化，使得夜間皮質醇異常分泌。這不僅會抑制褪黑激素的分泌，更會讓食慾素在深夜裡持續活化，強迫大腦維持在「高覺醒狀態（Hyperarousal）」。 這種令人崩潰的狀態就是，明明你已經累到不行，但大腦卻像停不下來的發電機！

長期的睡眠不足會導致體內促發炎細胞激素上升，而發炎反應又會進一步活化 HPA 軸，分泌更多皮質醇來試圖消炎，高濃度的皮質醇會進一步干擾深層睡眠與快速動眼期（REM），導致睡眠品質變得低弱又破碎，最終形成「壓力－發炎－失眠」的惡行循環。也就是說，你不是在跟睡眠上的意志力作對，而是在跟失控的生理長期鬥爭。

從腸道重啟好眠開關：PS150 菌株如何調校你的生理時鐘

面對這種煞車失靈的失眠困局，科學家們將目光投向了人體內另一個繁榮的生態系：腸道。腸道與大腦之間存在著一條雙向通訊的高速公路，這就是「菌-腸-腦軸 (Microbiome-Gut-Brain Axis, MGBA)」，而某些特殊菌株不僅能幫助消化、排便，更能透過神經與內分泌途徑與大腦對話，直接參與調節我們的壓力調節與睡眠節律。這種菌株被科學家稱為「精神益生菌」（Psychobiotics）。

在眾多研究菌株中，發酵乳桿菌 Limosilactobacillus fermentum PS150 的表現格外引人注目。PS150菌株源於亞洲益生菌權威「蔡英傑教授」團隊的專業研發，累積多年功能性菌株研發經驗的科學成果。針對臨床常見的「初夜效應」（First Night Effect, FNE），也就是現代人因出差、換床或環境改變導致的入睡困難，俗稱認床。科學家在進行實驗時發現，補充 PS150 菌株能顯著恢復非快速動眼期（NREM）的睡眠長度，且入睡更快，起床後也更容易清醒。更重要的是，不同於常見的藥物助眠手段（如抗組織胺藥物 DIPH）容易造成快速動眼期（REM）剝奪或導致睡眠破碎化，PS150 菌株展現出一種更為「溫和且自然」的調節力，它能有效縮短入睡所需的時間，並恢復睡眠中代表深層修復的「Delta 波」能量。

科學家發現，即便將 PS150 菌株經過特殊的熱處理（Heat-treated），轉化為不具活性但保有關鍵成分的「後生元」（Postbiotics），其生物活性依然能與活菌媲美 。HT-PS150 技術解決了益生菌在儲存與攝取過程中容易失去活性的痛點，讓這些腸道通訊員能更穩定地發揮作用 。

在臨床實驗中，科學家觀察到一個耐人尋味的現象：當詢問受試者的主觀感受時，往往會遇到強大的「安慰劑效應」，無論是服用 HT-PS150 還是安慰劑的人，主觀上大多表示睡眠變好了。這種「體感上的進步」有時會掩蓋真相，讓人分不清是心理作用還是真實效益。

然而，客觀的生理數據（Biomarkers）卻揭開了關鍵的差異。在排除主觀偏誤後，實驗數據顯示 HT-PS150 組有更高比例的人（84.6%）出現了夜間褪黑激素分泌增加，且壓力荷爾蒙（皮質醇）顯著下降，這證明了菌株確實啟動了體內的睡眠調控系統，而不僅僅是心理安慰。

最值得關注的是，對於那些失眠指數較高（ISI ≧ 8）的族群，這種「生理修復」與「主觀體感」終於達成了一致。這群人在補充 HT-PS150 後，不僅生理標記改善，連原本嚴重困擾的主觀睡眠效率、持續時間，以及焦慮感也出現了顯著的進步。

了解更多PS150助眠益生菌：https://lihi3.me/KQ4zi

重新定義深層睡眠：構建全方位的深夜修復計畫

睡眠從來就不只是單純的休息，而是一場生理功能的全面重整。想要重獲高品質的睡眠，關鍵在於為自己建立一個全方位的修復生態系。

這套系統的基石，始於良好的生活習慣。從減少睡前數位螢幕的干擾、優化室內環境，到作息調整。當我們透過規律作息來穩定神經系統，並輔以現代科學對於 PS150 菌株的調節力發現，身體便能更順暢地啟動睡眠開關，回歸自然的運作節律。

與其將失眠視為意志力的抗爭，不如將其看作是生理機能與腸道微生態的深度溝通。透過生活作息的調整與科學實證的支持，每個人都能擁有掌控睡眠的主動權。現在就從優化生活型態開始，為自己按下那個久違的、如嬰兒般香甜的關機鍵吧。

本文由 肺纖維化(菜瓜布肺)社團衛教 合作，泛科學撰文

在現代醫學的警示清單裡，乳癌、大腸癌這些疾病大家都不陌生；但有一個「隱蔽且致命」的威脅卻常被忽視，那就是「肺纖維化」。其中最常見的類型「特發性肺纖維化」（IPF），其預後往往不太樂觀，確診後的五年存活率甚至比許多常見的癌症還低。

首先，我們得先破解一個迷思：肺纖維化並不是單一疾病，而是許多種間質性肺病的共同表現。當我們聽到「肺纖維化」，腦中常浮現「菜瓜布肺」的形象，患者的肺部外觀充滿一個個空洞與疤痕，像極了乾燥的絲瓜。這精準描繪了肺部組織逐漸硬化、失去彈性的過程。

更重要的是，IPF 這類肺纖維化的威脅在於「不可逆」的特性，一旦形成就很難逆轉。這跟部分 COVID-19 康復者身上、仍有機會復原的肺纖維化，是兩種完全不同的概念。

肺部為何會變成「菜瓜布」？

為什麼好端端的肺會變成菜瓜布？這其實是一場身體修復機制失控的結果。

「纖維化」的組織，就是肺部間質組織（interstitium）的疤痕化。間質是圍繞在肺泡周圍，包含血管與支持肺部結構的結締組織。在正常情況下，肺部損傷後會啟動修復機制，並再生健康組織。但在肺纖維化的患者體內，這套修復機制卻「當機」了。

身體會不斷地發出訊號，導致負責修復工作的「纖維母細胞」（fibroblasts）被過度活化，進而失控地沉積膠原蛋白疤痕組織，最終在肺部形成永久性的纖維化。

科學家發現，這個過程之所以棘手，在於它是一個「惡性循環」，肺部同時存在著「發炎反應」與「纖維化」這兩條路徑 ，它們相互加乘，演變成難以阻斷的強大破壞力。

雖然特發性肺纖維化 (IPF) 的具體成因不明 ，但已知某些特定族群的風險更高。例如抽菸，特定年齡與性別(50歲以上男性)、長期暴露於粉塵環境的工作者(農業、畜牧業、採礦業…)、胃食道逆流者。此外，患有自體免疫疾病（如類風濕性關節炎、乾燥症、硬皮症、皮肌炎/多發性肌炎，）的患者，他們併發肺纖維化的機率遠高於一般人，必須特別警覺。

打斷惡性循環的挑戰，為何只對抗「纖維化」還不夠？

面對這個不可逆的疾病，醫學界長年束手無策，直到 2014 年才迎來一道曙光。美國 FDA 批准了兩種機制不同的新藥：Nintedanib 和 Pirfenidone。這兩種藥物的出現是治療史上的分水嶺，首度被證實能夠「延緩」IPF 患者肺功能的惡化速度。

然而，這場戰役尚未結束。現有的治療雖然帶來了希望，卻也凸顯了「未被滿足的醫療需求」。從機制上來看，這些藥物主要抑制的是「纖維化路徑」。

這讓科學界開始思考這個未被滿足的棘手問題：既然疾病的本質是「發炎」與「纖維化」的雙重打擊，那麼，我們是否能找到「同時抑制」這兩條路徑的全新策略，從而更有效地打斷這個惡性循環？

找到同時調控「發炎」與「纖維化」的新靶點

為了解決難題，科學家將目光鎖定在一個細胞內的酵素：磷酸二酯酶 4B（PDE4B）。

為什麼鎖定它？讓我們看看它的「雙重作用」機制：

1. 關鍵位置： PDE4B 同時存在於免疫細胞（與發炎有關）與纖維母細胞（與纖維化有關）當中。
2. 作用機制： PDE4B 的主要工作是降解細胞內一種叫 cAMP（環磷酸腺苷） 的訊號分子。cAMP 可以被視為細胞內的「穩定信號」。
3. 雙重抑制： 當我們使用藥物抑制了 PDE4B 的活性，細胞內的 cAMP 就不會被分解，濃度會隨之升高。高濃度的 cAMP 能穩定免疫細胞和纖維母細胞，同時產生抗發炎與抗纖維化的雙重效應。

簡單來說，鎖定並抑制 PDE4B，就像是同時抑制了免疫風暴與纖維化的工程，有望從雙從抑制打擊這個惡性循環。

全球臨床試驗帶來的新希望

近十年來，全球在肺纖維化領域投入了大量的臨床試驗，我們相信，在科學家逐步破解肺纖維化惡性循環的複雜難題後，期盼未來能為無數患者爭取到更安全、健康的生活與未來。

最後，我們必須再次提醒，特發性肺纖維化（IPF）與漸進性肺纖維化（PPF）是極具破壞性、且不可逆的疾病。面對這個比癌症更致命的對手，雖然現有的治療手段能延緩惡化，但無法逆轉已經形成的肺部疤痕組織，因此「早期診斷、早期治療」仍是對抗肺纖維化最重要的黃金時刻。

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。

上回介紹了我運用數字感把風靡世界數千年的古印度數學──吠陀方形（Vedic square）加了一個維度以後定義與發明了吠陀立方（Vedic cube）[1]。

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根（digital root）運算，例如說 5 乘上 5 會得到 25，把 2 加上 5 得到 7，這個 7 就是 25 的位數根也是吠陀方形裡座標點（5, 5）的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭的數學知識體系之中 [2]。

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰（pattern）構成了特定的幾何圖案如下圖，晚一點還會繼續用到：

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體，也就是三個數字相乘的三維乘法表（9 × 9 × 9），是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果，可以用函數 D（X, Y, Z）代表吠陀立方中座標（X, Y, Z）該數字的位數根，實際運算時的數學式為 D（X × Y × Z）。例如座標點（2, 3, 5）在吠陀立方中的數值即為 D（2 × 3 × 5）= D（30）= D（3）= 3。

然而，上回提到以軟體繪出吠陀立方中的位數根胚騰散布情況相當複雜（可見上一篇），難以看出這些座標點在空間中構成的意義，因此需要以其他方法解析。結束有點長的前情提要以後，這一回我要以樓層法（Floor method）深入解析吠陀立方，帶大家往更高的樓層邁進，發現數學蘊含的規律。

既然無法一眼就看出三維空間的位數根胚騰散布情況與這些座標點在空間中構成的意義，那何不把吠陀立方視為有 9 層樓高如同建築物的立方體，這方法我稱它為樓層法。下圖是吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值，樓層區分的原則是 Z 軸的高度。

基本圖樣與行列的代碼定義

把 1 樓至 9 樓的所有數值都列出來以後，就可以來進一步觀察位數根在不同樓層之間構成的圖樣，這些圖樣其實是幾種基本圖樣（basic pattern）的變換或是變形，這些基本圖樣是吠陀方形中出現的幾何圖樣。

為了方便稱呼與後續討論，必須先定義這些基本圖樣的名稱。像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣，就稱為 D1F1，因為是基本圖樣所以可以將 F1 省略，簡稱 D1；而數字 8 構成的圖樣 D8F1 為數字 1 對鉛直線的鏡射或說旋轉 90 度後的結果，簡稱 D8，其他數字構成的圖樣名稱以此類推。

2 樓以上樓層代碼中的 F 則不可省略，例如位數根 1 於 2 樓的圖樣稱為 D1F2，位數根 4 於 7 樓的圖樣稱為 D4F7，其他位數根於其他特定樓層的圖樣代碼也依照此原則表示。至於行列代碼的定義如下，以 C2F1 表示吠陀立方中 1 樓的第 2 行，即 246813579，其他樓層的行列以此類推，實際上行與列的組成數字相同，在此以行（column）代表行與列。

動手發現數學胚騰

介紹完代碼以後，建議大家實際拿出筆來試著自行發現數學胚騰。初階的玩法是選定一個數字，例如自己生日的位數根，也就是俗稱的生命靈數。例如泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1，就把 1 到 9 樓的數字 1 都塗上顏色或是圈起來做標記，再對照前面提到的基本圖樣 D1 至 D9 看看兩者對應的關係。

如果還意猶未盡的話進階玩法是下載吠陀立方每一層樓的 pdf 檔案，觀察其他 8 個數字在每個樓層的數學胚騰與其變換的規律與規則，檔案中同一層樓印 9 個為了方便大家觀察完自己選定的數字以後，還可以觀察其他 8 個數字在同一樓層的數學胚騰，畫記數字時才不會把圖樣混在一起。

不同樓層的位數根圖樣變換

經過這些觀察以後，我發現同個位數根構成的圖樣在不同樓層之間也具有對稱、鏡射的性質，像是位數根 1 在 2 樓（D1F2）與 7 樓（D1F7）的圖樣其實為 D5 與 D4，兩個圖樣在 X-Y 平面的投影為相互對鉛直線鏡射，此外 1 樓與 8 樓、3 樓與 6 樓、4 樓與 5 樓也都具有這樣的性質。也就是說 5 樓至 8 樓的位數根圖樣可分別由 4 樓至 1 樓鏡射得到，位數根 1 在各個樓層構成的圖樣如下圖：

有趣的是，這些位數根胚騰在不同樓層之間變換的規則，可由吠陀方形（1 樓的 X-Y 平面）清楚看見。下圖同樣先以位數根 1 為例解釋。我把位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換紀錄在下圖（a）表格中的圖樣欄位，該欄位代表在 X 樓時，位數根 1 構成的圖樣是對應吠陀方形中哪一種基本圖樣。

我在研究時發現，位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值，就是基本圖樣出現的順序！例如說下圖（b）當 X 為 2 時對應的 Y 值為 5，D1F2 對應的即是 D5 圖樣，其他樓層 X 的圖樣變換可由箭頭指向的 Y 值辨認之，像是可以看到由 X 樓對應的 Y 值與箭頭辨別出在 4、5、7、8 樓對應的圖樣各為 D7、 D2、 D4、 D8。

圖樣變換解釋

由吠陀方形指認吠陀立方位數根胚騰的變換順序是巧合還是有根據呢？由上面我們知道 D1F2 會等同 D5 圖樣，D5 圖樣對應的是吠陀方形中位數根 5 的圖樣。由定義我們知道 2 樓的組成數字是 1 樓的所有數字都乘上 2，那什麼數字乘上 2 之後的位數根會等於 1 呢？從乘法表中於 X = 2 的地方，只有 Y = 5 此相對應的位置，才會得到位數根為 1，因此 D1F2 = D5。

在 4 樓我們發現 D1F4 = D7，也可以想成是原本在 1 樓的 D7 圖案，到了四樓以後乘上 4 之後的位數根自然而然就變成了 1。如此一來便能解答為什麼 3 樓、6 樓、9 樓都沒有1（以及 2、4、5、7、8）呢，因為沒有任何數字乘上 3、6、9 之後的位數根會是 1 啊！除了位數根 1 之外，其他的位數根都遵循上述的原理，讀者可由前面提供的檔案自行對照。

只要圖解吠陀方形，就可以知道其他位數根於特定樓層中會是哪一種圖樣。也就是我們可經由二維平面的吠陀方形進一步了解三維空間的吠陀立方。吠陀方形這個二維平面不只為三維空間的一個剖面或是一樓而已，更是了解三維空間位數根胚騰非常重要的基礎。

若是想用方程式求得位數根 p 在 q 樓的圖樣會與哪一個位數根 r 在 s 樓的圖樣相同，可利用此式判別與求解未知數 D（p × s）= D（q × r），若等式兩邊相等則 DpFq = DrFs 成立。s = 1 時求得的 Dr 即為對應的基本圖樣，表示 Dr 位置的位數根在 q 樓層會是 p 位數根。例如說想要知道位數根 7 在 8 樓的圖樣會對應哪一個基本圖樣 Dr，可以用D（7） = D（8 × r）得出 r 為 2，D7F8 = D2 與直接觀察的結果相同。

圖樣可以多重組合

有的時候特定數字於特定樓層構成的圖樣將會不只涵蓋一個基本圖樣，而是多個基本圖樣組合而成。舉 D3F3 的圖樣組合當做例子，下圖左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時，對應的 Y 值有 3 個，分別是 Y = 1、4、7，對應的基本圖樣為 D1、D4、D7。下圖右方顯示了 D3F3 的圖樣，是由 D1（黃）、D4（綠）、D7（藍）這三種圖樣組合而成的，以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。

從上圖可以發現 X = 6 時對應的數值為 3 也有 3 個，分別是 Y = 2、5、8，也可寫成 D3F6 = D2 + D5 + D8，表示位數根 3 在 6 樓是由 D2、D5、D8 圖樣組合而成。類似的多重圖樣組合尚有 D3F6、D6F3、D6F6、D9F3、D9F6、D9F9。

圖樣多重組合的原理可以解答為何 9 樓每一個位數根皆為 9，因為不管 1 到 9 是哪一個數字，乘上 9 之後都會是 9 的倍數，位數根也會是 9，所以在 9 樓每一個位數根皆為 9，也表示了 D9F9 為所有的基本圖樣組合而成。以數學式表達可以寫成　 D9F9 = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9。

吠陀方形除了隱含三維空間位數根圖樣變換的根據之外，還蘊藏了不同樓層之間行列變換的規則，例如吠陀立方 2 樓的行順序事實上為 1 樓的行順序乘上 2，也是 1 樓第 2 行對應的數字。2 樓的 1 至 9 行的組成順序為 1 樓的第 2、4、6、8、1、3、5、7、9 行。2 樓的第 1 行等同 1 樓的第 2 行，以代碼表示則為 C1F2 = C2F1，其他樓層以此類推。

若是想知道 i 樓的第 h 行列會與 k 樓的第 j 行相同，可利用此式判別與求解未知數D（h * i）= D（j * k），若等號兩邊相等則 ChFi = CjFk，k = 1 求得的 Cj 即為對應的基本行，表示 Cj 在 i 樓層會出現於第 h 行。這個公式和前面的是不一樣的。

次回預告

樓層法專注在解析吠陀立方各層本身的性質以及與吠陀方形的關係，較難探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性，所以下回將會帶大家以第二種方法──對稱面法切入吠陀立方的中心一探究竟。

參考資料

1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.