用新視角一窺來自古印度的九九乘法表：吠陀立方樓層法

本文與 TRPMA 台灣研發型生技新藥發展協會合作，泛科學企劃執行

我們知道癌症是台灣人健康的頭號公敵。 為此，我們花了很多時間介紹最新、最有效的抗癌方法之一：免疫療法。

免疫療法中最重要的技術就是抗體藥物。科學家會人工製造一批抗體去標記癌細胞。它們就像戰場上的偵察無人機，能精準鎖定你體內的敵人——癌細胞，為它們打上標記，然後引導你的免疫系統展開攻擊。

這跟化療、放射線治療那種閉著眼睛拿機槍亂掃不同。免疫療法是重新叫醒你的免疫系統，為身體「上buff (增益) 」來抗癌，副作用較低，因此備受好評。

但尷尬的是，經過幾年的臨床考驗，科學家發現：光靠抗體對抗癌症，竟然已經不夠用了。

事情是這樣的，臨床上醫生與科學家逐漸發現：這個抗體標記，不是容易損壞，就是癌細胞同時設有多個陷阱關卡，只靠叫醒免疫細胞，還是難以發揮戰力。

但好消息是，我們的生技工程也大幅進步了。科學家開始思考：如果這台偵察無人機只有「標記」這一招不夠用，為什麼不幫它升級，讓它多學幾招呢？

這個能讓免疫藥物（偵察無人機）大進化的訓練器，就是今天的主角—融合蛋白（fusion protein）。

融合蛋白是什麼？

免疫療法遇到的問題，我們可以這樣理解：想像你的身體是一座國家，病毒、細菌、腫瘤就是入侵者；而抗體，就是我們派出的「偵察無人機」。

當我們透過注射放出這支無人機群進到體內，它能迅速辨識敵人、緊抓不放，並呼叫其他免疫單位（友軍）一同解決威脅。過去 20 年，最強的偵查機型叫做「單株抗體」。1998年，生技公司基因泰克（Genentech）推出的藥物赫賽汀（Herceptin），就是一款針對 HER2 蛋白的單株抗體，目標是治療乳癌。

這支無人機群為什麼能對抗癌症？這要歸功於它「Y」字形的小小抗體分子，構造看似簡單，卻蘊藏巧思：

• 「Y」 字形上面的兩隻「叉叉」是敵人偵測器，能找到敵人身上的抗原特徵，並黏上去，稱為抗體結合區「Fab 區域」。
  
• 「Y」 字形的「尾巴」就是我們說的「標籤」，它能通知免疫系統啟動攻擊，稱為結晶區域片段「Fc 區域」。具體來說，當免疫細胞在體內巡邏，免疫細胞上的 Fc 受體 (FcR) 會和 Fc區域結合，進而認出病原體或感染細胞，接著展開清除。

更厲害的是，這個 Fc 區域標籤還能加裝不同功能。一般來說，人體內多餘的分子，會被定期清除。例如，細胞內會有溶酶體不斷分解多餘的物質，或是血液經過肝臟時會被代謝、分解。那麼，人造抗體對身體來說，屬於外來的東西，自然也會被清除。

而 Fc區域會與細胞內體上的Fc受體結合，告訴細胞「別分解我」的訊號，阻止溶酶體的作用。又或是單純把標籤做的超大，例如接上一段長長的蛋白質，或是聚乙二醇鏈，讓整個抗體分子的大小，大於腎臟過濾孔的大小，難以被腎臟過濾，進而延長抗體在體內的存活時間。

偵測器（Fab）加上標籤（Fc）的結構，使抗體成為最早、也最成功的「天然設計藥物」。然而，當抗體在臨床上逐漸普及，一個又一個的問題開始浮現。抗體的強項在於「精準鎖定」，但這同時也是它的限制。

第一個問題：抗體只能打「魔王」，無法毀掉「魔窟」。 

抗體一定要有一個明確的「標的物」才能發揮作用。這讓它在針對「腫瘤」或「癌細胞本身」時非常有效，因為敵人身上有明顯標記。但癌細胞的形成與惡化，是細胞在「生長、分裂、死亡、免疫逃脫」這些訊號通路上被長期誤導的結果。抗體雖然勇猛，卻只能針對已經帶有特定分子的癌細胞魔王，無法摧毀那個孕育魔王的系統魔窟。這時，我們真正欠缺的是能「調整」、「模擬」或「干擾」這些錯誤訊號的藥物。

第二個問題：開發產線的限制。

抗體的開發，得經過複雜的細胞培養與純化程序。每次改變結構或目標，幾乎都要重新開發整個系統。這就像你無法要求一台偵測紅外線的無人機，明天立刻改去偵測核輻射。高昂的成本與漫長的開發時間，讓新產線難以靈活創新。

為了讓免疫藥物能走向多功能與容易快速製造、測試的道路，科學家急需一個更工業化的藥物設計方式。雖然我們追求的是工業化的設計，巧合的是，真正的突破靈感，仍然來自大自然。

在自然界中，基因有時會彼此「融合」成全新的組合，讓生物獲得額外功能。例如細菌，它們常仰賴一連串的酶來完成代謝，中間產物要在細胞裡來回傳遞。但後來，其中幾個酶的基因彼此融合，而且不只是基因層級的合併，產出的酶本身也變成同一條長長的蛋白質。

結果，反應效率大幅提升。因為中間產物不必再「跑出去找下一個酶」，而是直接在同一條生產線上完成。對細菌來說，能更快處理養分、用更少能量維持生存，自然形成適應上的優勢，這樣的融合基因也就被演化保留下來。

科學家從中得到關鍵啟發：如果我們也能把兩種有用的蛋白質，「人工融合」在一起，是否就能創造出更強大的新分子？於是，融合蛋白（fusion protein）就出現了。

以假亂真：融合蛋白的HIV反制戰

融合蛋白的概念其實很直覺：把兩種以上、功能不同的蛋白質，用基因工程的方式「接起來」，讓它們成為同一個分子。 

1990 年，融合蛋白 CD4 免疫黏附素（CD4 immunoadhesin）誕生。這項設計，是為了對付令人類聞風喪膽的 HIV 病毒。

我們知道 T 細胞是人體中一種非常重要的白血球。在這些 T 細胞中，大約有六到七成表面帶有一個叫做「CD4」的輔助受體。CD4 會和另一個受體 TCR 一起合作，幫助 T 細胞辨識其他細胞表面的抗原片段，等於是 T 細胞用來辨認壞人的「探測器」。表面擁有 CD4 受體的淋巴球，就稱為 CD4 淋巴球。

麻煩的來了。 HIV 病毒反將一軍，竟然把 T 細胞的 CD4 探測器，當成了自己辨識獵物的「標記」。沒錯，對 HIV 病毒來說，免疫細胞就是它的獵物。HIV 的表面有一種叫做 gp120 的蛋白，會主動去抓住 T 細胞上的 CD4 受體。

一旦成功結合，就會啟動一連串反應，讓病毒外殼與細胞膜融合。HIV 進入細胞內後會不斷複製並破壞免疫細胞，導致免疫系統逐漸崩潰。

為了逆轉這場悲劇，融合蛋白 CD4 免疫黏附素登場了。它的結構跟抗體類似，由由兩個不同段落所組成：一端是 CD4 假受體，另一端則是剛才提到、抗體上常見的 Fc 區域。當 CD4 免疫黏附素進入體內，它表面的 CD4 假受體會主動和 HIV 的 gp120 結合。

厲害了吧。 病毒以為自己抓到了目標細胞，其實只是被騙去抓了一個假的 CD4。這樣 gp120 抓不到 CD4 淋巴球上的真 CD4，自然就無法傷害身體。

而另一端的 Fc 區域則有兩個重要作用：一是延長融合蛋白在體內的存活時間；二是理論上能掛上「這裡有敵人！」的標籤，這種機制稱為抗體依賴性細胞毒殺（ADCC）或免疫吞噬作用（ADCP）。當免疫細胞的 Fc 受體與 Fc 區域結合，就能促使免疫細胞清除被黏住的病毒顆粒。

不過，這裡有個關鍵細節。

在實際設計中，CD4免疫黏附素的 Fc 片段通常會關閉「吸引免疫細胞」的這個技能。原因是：HIV 專門攻擊的就是免疫細胞本身，許多病毒甚至已經藏在 CD4 細胞裡。若 Fc 區域過於活躍，反而可能引發強烈的發炎反應，甚至讓免疫系統錯把帶有病毒碎片的健康細胞也一併攻擊，這樣副作用太大。因此，CD4 免疫黏附素的 Fc 區域會加入特定突變，讓它只保留延長藥物壽命的功能，而不會與淋巴球的 Fc 受體結合，以避免誘發免疫反應。

從 DNA 藍圖到生物積木：融合蛋白的設計巧思

融合蛋白雖然潛力強大，但要製造出來可一點都不簡單。它並不是用膠水把兩段蛋白質黏在一起就好。「融合」這件事，得從最根本的設計圖，也就是 DNA 序列就開始規劃。

我們體內的大部分蛋白質，都是細胞照著 DNA 上的指令一步步合成的。所以，如果科學家想把蛋白 A 和蛋白 B 接在一起，就得先把這兩段基因找出來，然後再「拼」成一段新的 DNA。

不過，如果你只是單純把兩段基因硬接起來，那失敗就是必然的。因為兩個蛋白會互相「打架」，導致摺疊錯亂、功能全毀。

這時就需要一個小幫手：連接子（linker）。它的作用就像中間的彈性膠帶，讓兩邊的蛋白質能自由轉動、互不干擾。最常見的設計，是用多個甘胺酸（G）和絲胺酸（S）組成的柔性小蛋白鏈。

設計好這段 DNA 之後，就能把它放進細胞裡，讓細胞幫忙「代工」製造出這個融合蛋白。接著，科學家會用層析、電泳等方法把它純化出來，再一一檢查它有沒有摺疊正確、功能是否完整。

如果一切順利，這個人工設計的融合分子，就能像自然界的蛋白一樣穩定運作，一個全新的「人造分子兵器」就此誕生。

CD4免疫黏附素問世之後，融合蛋白逐漸成為生物製藥的重要平台之一。而且現在的融合蛋白，早就不只是「假受體＋Fc 區域」這麼單純。它已經跳脫模仿抗體，成為真正能自由組裝、自由設計的生物積木。

融合蛋白的強項，就在於它能「自由組裝」。

以抗體為骨架，科學家可以接上任何想要的功能模組，創造出全新的藥物型態。一般的抗體只能「抓」（標記特定靶點）；但融合蛋白不只會抓，還能「阻斷」、「傳遞」、甚至「調控」訊號。在功能模組的加持下，它在藥物設計上，幾乎像是一個分子級的鋼鐵蜘蛛人裝甲。

一般來說，當我們選擇使用融合蛋白時，通常會期待它能發揮幾種關鍵效果：

1. 療效協同： 一款藥上面就能同時針對多個靶點作用，有機會提升治療反應率與持續時間，達到「一藥多效」的臨床價值。
2. 減少用藥： 原本需要兩到三種單株抗體聯合使用的療法，也許只要一種融合蛋白就能搞定。這不僅能減少給藥次數，對病人來說，也有機會因為用藥減少而降低治療成本。
3. 降低毒性風險： 經過良好設計的融合蛋白，可以做到更精準的「局部活化」，讓藥物只在目標區域發揮作用，減少副作用。

到目前為止，我們了解了融合蛋白是如何製造的，也知道它的潛力有多大。

那麼，目前實際成效到底如何呢？

一箭雙鵰：拆解癌細胞的「偽裝」與「內奸」

2016 年，德國默克（Merck KGaA）展開了一項全新的臨床試驗。 主角是一款突破性的雙功能融合蛋白──Bintrafusp Alfa。這款藥物的厲害之處在於，它能同時封鎖 PD-L1 和 TGF-β 兩條免疫抑制路徑。等於一邊拆掉癌細胞的偽裝，一邊解除它的防護罩。

PD-L1，我們或許不陌生，它就像是癌細胞身上的「偽裝良民證」。當 PD-L1 和免疫細胞上的 PD-1 受體結合時，就會讓免疫系統誤以為「這細胞是自己人」，於是放過它。我們的策略，就是用一個抗體或抗體樣蛋白黏上去，把這張「偽裝良民證」封住，讓免疫系統能重新啟動。

但光拆掉偽裝還不夠，因為癌細胞還有另一位強大的盟友—一個起初是我軍，後來卻被癌細胞收買、滲透的「內奸」。它就是，轉化生長因子-β，縮寫 TGF-β。

先說清楚，TGF-β 原本是體內的秩序管理者，掌管著細胞的生長、分化、凋亡，還負責調節免疫反應。在正常細胞或癌症早期，它會和細胞表面的 TGFBR2 受體結合，啟動一連串訊號，抑制細胞分裂、減緩腫瘤生長。

但當癌症發展到後期，TGF-β 跟 TGFBR2 受體之間的合作開始出問題。癌細胞表面的 TGFBR2 受體可能突變或消失，導致 TGF-β 不但失去了原本的抑制作用，反而轉向幫癌細胞做事。

它會讓細胞骨架（actin cytoskeleton）重新排列，讓細胞變長、變軟、更有彈性，還能長出像觸手的「偽足」（lamellipodia、filopodia），一步步往外移動、鑽進組織，甚至進入血管、展開全身轉移。

更糟的是，這時「黑化」的 TGF-β 還會壓抑免疫系統，讓 T 細胞和自然殺手細胞變得不再有攻擊力，同時刺激新血管生成，幫腫瘤打通營養補給線。

為了對抗這個內奸，默克在 Bintrafusp Alfa 的結構裡，加上了一個「TGF-β 陷阱（trap）」。就像 1989 年的 CD4 免疫黏附素用「假受體」去騙 HIV 一樣，這個融合蛋白在體內循環時，會用它身上的「陷阱」去捕捉並中和游離的 TGF-β。這讓 TGF-β 無法再跟腫瘤細胞或免疫細胞表面的天然受體結合，從而鬆開了那副壓抑免疫系統的腳鐐。

告別單一解方：融合蛋白的「全方位圍剿」戰

但，故事還沒完。我們之前提過，癌細胞之所以難纏，在於它會發展出各種「免疫逃脫」策略。

而近年我們發現，癌細胞的「偽良民證」至少就有兩張：一張是 PD-L1；另一張是 CD-47。CD47 是癌細胞向巨噬細胞展示的「別吃我」訊號，當它與免疫細胞上的 SIRPα 結合時，就會抑制吞噬反應。

為此，總部位於台北的漢康生技，決定打造能同時對付 PD-L1、CD-47，乃至 TGF-β 的三功能生物藥 HCB301。

雖然三功能融合蛋白聽起來只是「再接一段蛋白」而已，但實際上極不簡單。截至目前，全球都還沒有任何三功能抗體或融合蛋白批准上市，在臨床階段的生物候選藥，也只佔了整個生物藥市場的 1.6%。

漢康生技透過自己開發的 FBDB 平台技術，製作出了三功能的生物藥 HCB301，目前第一期臨床試驗已經在美國、中國批准執行。

免疫療法絕對是幫我們突破癌症的關鍵。但我們也知道癌症非常頑強，還有好幾道關卡我們無法攻克。既然單株抗體在戰場上顯得單薄，我們就透過融合蛋白，創造出擁有多種功能模組的「升級版無人機」。

融合蛋白強的不是個別的偵查或阻敵能力，而是一組可以「客製化組裝」的平台，用以應付癌細胞所有的逃脫策略。

Catch Me If You Can？融合蛋白的回答是：「We Can.」

未來癌症的治療戰場，也將從尋找「唯一解」，轉變成如何「全方位圍剿」癌細胞，避免任何的逃脫。

本文與 Perplexity 合作，泛科學企劃執行

「Hello. I am… a robot.」

在我們的記憶裡，機器人的聲音就該是冰冷、單調，不帶一絲情感 。它們的動作僵硬，肢體不協調，像一個沒有靈魂的傀儡，甚至啟發我們創造了機械舞來模仿那獨特的笨拙可愛。但是，現今的機器人發展不再只會跳舞或模仿人聲，而是已經能獨立完成一場膽囊切除手術。

就在2025年，美國一間實驗室發表了一項成果：一台名為「SRT-H」的機器人（階層式手術機器人Transformer），在沒有人類醫師介入的情況下，成功自主完成了一場完整的豬膽囊切除手術。SRT-H 正是靠著從錯誤中學習的能力，最終在八個不同的離體膽囊上，達成了 100% 的自主手術成功率。

這項成就的意義重大，因為過去機器人手術的自動化，大多集中在像是縫合這樣的單一「任務」上。然而，這一場完整的手術，是一個包含數十個步驟、需要連貫策略與動態調整的複雜「程序」。這是機器人首次在包含 17 個步驟的完整膽囊切除術中，實現了「步驟層次的自主性」。

這就引出了一個讓我們既興奮又不安的核心問題：我們究竟錯過了什麼？機器人是如何在我們看不見的角落，悄悄完成了從「機械傀儡」到「外科醫生」的驚人演化？

這趟思想探險，將為你解密 SRT-H 以及其他五款同樣具備革命性突破的機器人。你將看到，它們正以前所未有的方式，發展出生物般的觸覺、理解複雜指令、學會團隊合作，甚至開始自我修復與演化，成為一種真正的「準生命體」 。

所以，你準備好迎接這個機器人的新紀元了嗎？

只靠模仿還不夠？手術機器人還需要學會「犯錯」與「糾正」

那麼，SRT-H 這位機器人的外科大腦，究竟藏著什麼秘密？答案就在它創新的「階層式框架」設計裡 。

你可以想像，SRT-H 的腦中，住著一個分工明確的兩人團隊，就像是漫畫界的傳奇師徒—黑傑克與皮諾可 。

• 第一位，是動口不動手的總指揮「黑傑克」： 它不下達具體的動作指令，而是在更高維度的「語言空間」中進行策略規劃 。它發出的命令，是像「抓住膽管」或「放置止血夾」這樣的高層次任務指令 。
• 第二位，是靈巧的助手「皮諾可」： 它負責接收黑傑克的語言指令，並將這些抽象的命令，轉化為機器手臂毫釐不差的精準運動軌跡 。

但最厲害的還不是這個分工，而是它們的學習方式。SRT-H 研究團隊收集了 17 個小時、共 16,000 條由人類專家操作示範的軌跡數據來訓練它 。但這還只是開始，研究人員在訓練過程中，會刻意讓它犯錯，並向它示範如何從抓取失敗、角度不佳等糟糕的狀態中恢復過來 。這種獨特的訓練方法，被稱為「糾正性示範」 。

這項訓練，讓 SRT-H 學會了一項外科手術中最關鍵的技能：當它發現執行搞砸了，它能即時識別偏差，並發出如「重試抓取」或「向左調整」等「糾正性指令」 。這套內建的錯誤恢復機制至關重要。當研究人員拿掉這個糾正能力後，機器人在遇到困難時，要不是完全失敗，就是陷入無效的重複行為中 。

正是靠著這種從錯誤中學習、自我修正的能力，SRT-H 最終在八次不同的手術中，達成了 100% 的自主手術成功率 。

SRT-H 證明了機器人開始學會「思考」與「糾錯」。但一個聰明的大腦，足以應付更混亂、更無法預測的真實世界嗎？例如在亞馬遜的倉庫裡，機器人不只需要思考，更需要實際「會做事」。

要能精準地與環境互動，光靠視覺或聽覺是不夠的。為了讓機器人能直接接觸並處理日常生活中各式各樣的物體，它就必須擁有生物般的「觸覺」能力。

解密 Vulcan 如何學會「觸摸」

讓我們把場景切換到亞馬遜的物流中心。過去，這裡的倉儲機器人（如 Kiva 系統）就像放大版的掃地機器人，核心行動邏輯是極力「避免」與周遭環境發生任何物理接觸，只負責搬運整個貨架，再由人類員工挑出包裹。

但 2025 年5月，亞馬遜展示了他們最新的觸覺機器人 Vulcan。在亞馬遜的物流中心裡，商品被存放在由彈性帶固定的織物儲物格中，而 Vulcan 的任務是必須主動接觸、甚至「撥開」彈性織網，再從堆放雜亂的儲物格中，精準取出單一包裹，且不能造成任何損壞。

Vulcan 的核心突破，就在於它在「拿取」這個動作上，學會了生物般的「觸覺」。它靈活的機械手臂末端工具（EOAT, End-Of-Arm Tool），不僅配備了攝影機，還搭載了能測量六個自由度的力與力矩感測器。六個自由度包含上下、左右、前後的推力，和三個維度的旋轉力矩。這就像你的手指，裡頭分布著非常多的受器，不只能感測壓力、還能感受物體橫向拉扯、運動等感觸。

EOAT 也擁有相同精確的「觸覺」，能夠在用力過大之前即時調整力道。這讓 Vulcan 能感知推動一個枕頭和一個硬紙盒所需的力量不同，從而動態調整行為，避免損壞貨物。

其實，這更接近我們人類與世界互動的真實方式。當你想拿起桌上的一枚硬幣時，你的大腦並不會先計算出精準的空間座標。實際上，你會先把手伸到大概的位置，讓指尖輕觸桌面，再沿著桌面滑動，直到「感覺」到硬幣的邊緣，最後才根據觸覺決定何時彎曲手指、要用多大的力量抓起這枚硬幣。Vulcan 正是在學習這種「視覺＋觸覺」的混合策略，先用攝影機判斷大致的空間，再用觸覺回饋完成最後精細的操作。

靠著這項能力，Vulcan 已經能處理亞馬遜倉庫中約 75% 的品項，並被優先部署來處理最高和最低層的貨架——這些位置是最容易導致人類員工職業傷害的位置。這也讓自動化的意義，從單純的「替代人力」，轉向了更具建設性的「增強人力」。

SRT-H 在手術室中展現了「專家級的腦」，Vulcan 在倉庫中演化出「專家級的手」。但你發現了嗎？它們都還是「專家」，一個只會開刀，一個只會揀貨。雖然這種「專家型」設計能有效規模化、解決痛點並降低成本，但機器人的終極目標，是像人類一樣成為「通才」，讓單一機器人，能在人類環境中執行多種不同任務。

如何教一台機器人「舉一反三」？

你問，機器人能成為像我們一樣的「通才」嗎？過去不行，但現在，這個目標可能很快就會實現了。這正是 NVIDIA 的 GR00T 和 Google DeepMind 的 RT-X 等專案的核心目標。

過去，我們教機器人只會一個指令、一個動作。但現在，科學家們換了一種全新的教學思路：停止教機器人完整的「任務」，而是開始教它們基礎的「技能基元」（skill primitives），這就像是動作的模組。

例如，有負責走路的「移動」(Locomotion) 基元，和負責抓取的「操作」(Manipulation) 基元。AI 模型會透過強化學習 (Reinforcement Learning) 等方法，學習如何組合這些「技能基元」來達成新目標。

舉個例子，當 AI 接收到「從冰箱拿一罐汽水給我」這個新任務時，它會自動將其拆解為一系列已知技能的組合：首先「移動」到冰箱前、接著「操作」抓住把手、拉開門、掃描罐子、抓住罐子、取出罐子。AI T 正在學會如何將這些單一的技能「融合」在一起。有了這樣的基礎後，就可以開始來大量訓練。

當多重宇宙的機器人合體練功：通用 AI 的誕生

好，既然要學，那就要練習。但這些機器人要去哪裡獲得足夠的練習機會？總不能直接去你家廚房實習吧。答案是：它們在數位世界裡練習。

NVIDIA 的 Isaac Sim 等平台，能創造出照片級真實感、物理上精確的模擬環境，讓 AI 可以在一天之內，進行相當於數千小時的練習，獨自刷副本升級。這種從「模擬到現實」（sim-to-real）的訓練管線，正是讓訓練這些複雜的通用模型變得可行的關鍵。

DeepMind 的 RT-X 計畫還發現了一個驚人的現象：用來自多種「不同類型」機器人的數據，去訓練一個單一的 AI 模型，會讓這個模型在「所有」機器人上表現得更好。這被稱為「正向轉移」(positive transfer)。當 RT-1-X 模型用混合數據訓練後，它在任何單一機器人上的成功率，比只用該機器人自身數據訓練的模型平均提高了 50%。

這就像是多重宇宙的自己各自練功後，經驗值合併，讓本體瞬間變強了。這意味著 AI 正在學習關於物理、物體特性和任務結構的抽象概念，這些概念獨立於它所控制的特定身體。

不再是工程師，而是「父母」： AI 的新學習模式

這也導向了一個科幻的未來：或許未來可能存在一個中央「機器人大腦」，它可以下載到各種不同的身體裡，並即時適應新硬體。

這種學習方式，也從根本上改變了我們與機器人的互動模式。我們不再是逐行編寫程式碼的工程師，而是更像透過「示範」與「糾正」來教導孩子的父母。

NVIDIA 的 GR00T 模型，正是透過一個「數據金字塔」來進行訓練的：

• 金字塔底層： 是大量的人類影片。
• 金字塔中層： 是海量的模擬數據（即我們提過的「數位世界」練習）。
• 金字塔頂層： 才是最珍貴、真實的機器人操作數據。

這種模式，大大降低了「教導」機器人新技能的門檻，讓機器人技術變得更容易規模化與客製化。

當機器人不再是「一個」物體，而是「任何」物體？

我們一路看到了機器人如何學會思考、觸摸，甚至舉一反三。但這一切，都建立在一個前提上：它們的物理形態是固定的。

但，如果連這個前提都可以被打破呢？這代表機器人的定義不再是固定的形態，而是可變的功能：它能改變身體來適應任何挑戰，不再是一台單一的機器，而是一個能根據任務隨選變化的物理有機體。

有不少團隊在爭奪這個機器人領域的聖杯，其中瑞士洛桑聯邦理工學院特別具有代表性，該學院的仿生機器人實驗室（Bioinspired Robotics Group, BIRG）2007 年就打造模組化自重構機器人 Roombots。

有不少團隊在爭奪這個機器人領域的聖杯，其中瑞士洛桑聯邦理工學院（EPFL）特別具有代表性。該學院的仿生機器人實驗室（BIRG）在 2007 年就已打造出模組化自重構機器人 Roombots。而 2023 年，來自 EPFL 的另一個實驗室——可重組機器人工程實驗室（RRL），更進一步推出了 Mori3，這是一套把摺紙藝術和電腦圖學巧妙融合的模組化機器人系統。

Mori3 的核心，是一個個小小的三角形模組。別看它簡單，每個模組都是一個獨立的機器人，有自己的電源、馬達、感測器和處理器，能獨立行動，也能和其他模組合作。最厲害的是，它的三條邊可以自由伸縮，讓這個小模組本身就具備「變形」能力。

當許多 Mori3 模組連接在一起時，就能像一群活的拼圖一樣，從平面展開，組合成各種三維結構。研究團隊將這種設計稱為「物理多邊形網格化」。在電腦圖學裡，我們熟悉的 3D 模型，其實就是由許多多邊形（通常是三角形）拼湊成的網格。Mori3 的創新之處，就是把這種純粹的數位抽象，真正搬到了現實世界，讓模組們化身成能活動的「實體網格」。

這代表什麼？團隊已經展示了三種能力：

• 移動：他們用十個模組能組合成一個四足結構，它能從平坦的二維狀態站立起來，並開始行走。這不只是結構變形，而是真正的協調運動。
• 操縱： 五個模組組合成一條機械臂，撿起物體，甚至透過末端模組的伸縮來擴大工作範圍。
• 互動： 模組們能形成一個可隨時變形的三維曲面，即時追蹤使用者的手勢，把手的動作轉換成實體表面的起伏，等於做出了一個會「活」的觸控介面。

這些展示，不只是實驗室裡的炫技，而是真實證明了「物理多邊形網格化」的潛力：它不僅能構建靜態的結構，還能創造具備複雜動作的動態系統。而且，同一批模組就能在不同情境下切換角色。

想像一個地震後的救援場景：救援隊帶來的不是一台笨重的挖土機，而是一群這樣的模組。它們首先組合成一條長長的「蛇」形機器人，鑽入瓦礫縫隙；一旦進入開闊地後，再重組成一隻多足的「蜘蛛」，以便在不平的地面上穩定行走；發現受困者時，一部分模組分離出來形成「支架」撐住搖搖欲墜的橫樑，另一部分則組合成「夾爪」遞送飲水。這就是以任務為導向的自我演化。

這項技術的終極願景，正是科幻中的概念：可程式化物質（Programmable Matter），或稱「黏土電子學」（Claytronics）。想像一桶「東西」，你可以命令它變成任何你需要的工具：一支扳手、一張椅子，或是一座臨時的橋樑。

未來，我們只需設計一個通用的、可重構的「系統」，它就能即時創造出任務所需的特定機器人。這將複雜性從實體硬體轉移到了規劃重構的軟體上，是一個從硬體定義的世界，走向軟體定義的物理世界的轉變。

更重要的是，因為模組可以隨意分開與聚集，損壞時也只要替換掉部分零件就好。足以展現出未來機器人的適應性、自我修復與集體行為。當一群模組協作時，它就像一個超個體，如同蟻群築橋。至此，「機器」與「有機體」的定義，也將開始動搖。

從「實體探索」到「數位代理」

我們一路見證了機器人如何從單一的傀儡，演化為學會思考的外科醫生 (SRT-H)、學會觸摸的倉儲專家 (Vulcan)、學會舉一反三的通才 (GR00T)，甚至是能自我重構成任何形態的「可程式化物質」(Mori3)。

但隨著機器人技術的飛速發展，一個全新的挑戰也隨之而來：在一個 AI 也能生成影像的時代，我們如何分辨「真實的突破」與「虛假的奇觀」？

舉一個近期的案例：2025 年 2 月，一則影片在網路上流傳，顯示一台人形機器人與兩名人類選手進行羽毛球比賽，並且輕鬆擊敗了人類。我的第一反應是懷疑：這太誇張了，一定是 AI 合成的影片吧？但，該怎麼驗證呢？答案是：用魔法打敗魔法。

在眾多 AI 工具中，Perplexity 特別擅長資料驗證。例如這則羽球影片的內容貼給 Perplexity，它馬上就告訴我：該影片已被查證為數位合成或剪輯。但它並未就此打住，而是進一步提供了「真正」在羽球場上有所突破的機器人—來自瑞士 ETH Zurich 團隊的 ANYmal-D。

接著，選擇「研究模式」，就能深入了解 ANYmal-D 的詳細原理。原來，真正的羽球機器人根本不是「人形」，而是一台具備三自由度關節的「四足」機器人。

如果你想更深入了解，Perplexity 的「實驗室」功能，還能直接生成一份包含圖表、照片與引用來源的完整圖文報告。它不只介紹了 ANYmal-D 在羽球上的應用，更詳細介紹了瑞士聯邦理工學院發展四足機器人的完整歷史：為何選擇四足？如何精進硬體與感測器結構？以及除了運動領域外，四足機器人如何在關鍵的工業領域中真正創造價值。

AI 代理人：數位世界的新物種

從開刀、揀貨、打球，到虛擬練功，這些都是機器人正在學習「幫我們做」的事。但接下來，機器人將獲得更強的「探索」能力，幫我們做那些我們自己做不到的事。

這就像是，傳統網路瀏覽器與 Perplexity 的 Comet 瀏覽器之間的差別。Comet 瀏覽器擁有自主探索跟決策能力，它就像是數位世界裡的機器人，能成為我們的「代理人」（Agent）。

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如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。

上回介紹了我運用數字感把風靡世界數千年的古印度數學──吠陀方形（Vedic square）加了一個維度以後定義與發明了吠陀立方（Vedic cube）[1]。

吠陀方形就是將大家熟悉的九九乘法表中每一個數字進行位數根（digital root）運算，例如說 5 乘上 5 會得到 25，把 2 加上 5 得到 7，這個 7 就是 25 的位數根也是吠陀方形裡座標點（5, 5）的數值。吠陀方形在西元 770 年被穆斯林納入伊斯蘭的數學知識體系之中 [2]。

其中位數根所在的位置互相連結後組成的胚騰（pattern）構成了特定的幾何圖案如下圖，晚一點還會繼續用到：

吠陀立方則是將吠陀方形從平面延伸成立體，也就是三個數字相乘的三維乘法表（9 × 9 × 9），是整個立方體中各個座標點的數字進行位數根運算後的結果，可以用函數 D（X, Y, Z）代表吠陀立方中座標（X, Y, Z）該數字的位數根，實際運算時的數學式為 D（X × Y × Z）。例如座標點（2, 3, 5）在吠陀立方中的數值即為 D（2 × 3 × 5）= D（30）= D（3）= 3。

然而，上回提到以軟體繪出吠陀立方中的位數根胚騰散布情況相當複雜（可見上一篇），難以看出這些座標點在空間中構成的意義，因此需要以其他方法解析。結束有點長的前情提要以後，這一回我要以樓層法（Floor method）深入解析吠陀立方，帶大家往更高的樓層邁進，發現數學蘊含的規律。

既然無法一眼就看出三維空間的位數根胚騰散布情況與這些座標點在空間中構成的意義，那何不把吠陀立方視為有 9 層樓高如同建築物的立方體，這方法我稱它為樓層法。下圖是吠陀立方 1 樓至 9 樓的所有數值，樓層區分的原則是 Z 軸的高度。

基本圖樣與行列的代碼定義

把 1 樓至 9 樓的所有數值都列出來以後，就可以來進一步觀察位數根在不同樓層之間構成的圖樣，這些圖樣其實是幾種基本圖樣（basic pattern）的變換或是變形，這些基本圖樣是吠陀方形中出現的幾何圖樣。

為了方便稱呼與後續討論，必須先定義這些基本圖樣的名稱。像是數字 1 在吠陀方形中所組成的圖樣，就稱為 D1F1，因為是基本圖樣所以可以將 F1 省略，簡稱 D1；而數字 8 構成的圖樣 D8F1 為數字 1 對鉛直線的鏡射或說旋轉 90 度後的結果，簡稱 D8，其他數字構成的圖樣名稱以此類推。

2 樓以上樓層代碼中的 F 則不可省略，例如位數根 1 於 2 樓的圖樣稱為 D1F2，位數根 4 於 7 樓的圖樣稱為 D4F7，其他位數根於其他特定樓層的圖樣代碼也依照此原則表示。至於行列代碼的定義如下，以 C2F1 表示吠陀立方中 1 樓的第 2 行，即 246813579，其他樓層的行列以此類推，實際上行與列的組成數字相同，在此以行（column）代表行與列。

動手發現數學胚騰

介紹完代碼以後，建議大家實際拿出筆來試著自行發現數學胚騰。初階的玩法是選定一個數字，例如自己生日的位數根，也就是俗稱的生命靈數。例如泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1，就把 1 到 9 樓的數字 1 都塗上顏色或是圈起來做標記，再對照前面提到的基本圖樣 D1 至 D9 看看兩者對應的關係。

如果還意猶未盡的話進階玩法是下載吠陀立方每一層樓的 pdf 檔案，觀察其他 8 個數字在每個樓層的數學胚騰與其變換的規律與規則，檔案中同一層樓印 9 個為了方便大家觀察完自己選定的數字以後，還可以觀察其他 8 個數字在同一樓層的數學胚騰，畫記數字時才不會把圖樣混在一起。

不同樓層的位數根圖樣變換

經過這些觀察以後，我發現同個位數根構成的圖樣在不同樓層之間也具有對稱、鏡射的性質，像是位數根 1 在 2 樓（D1F2）與 7 樓（D1F7）的圖樣其實為 D5 與 D4，兩個圖樣在 X-Y 平面的投影為相互對鉛直線鏡射，此外 1 樓與 8 樓、3 樓與 6 樓、4 樓與 5 樓也都具有這樣的性質。也就是說 5 樓至 8 樓的位數根圖樣可分別由 4 樓至 1 樓鏡射得到，位數根 1 在各個樓層構成的圖樣如下圖：

有趣的是，這些位數根胚騰在不同樓層之間變換的規則，可由吠陀方形（1 樓的 X-Y 平面）清楚看見。下圖同樣先以位數根 1 為例解釋。我把位數根 1 在不同樓層之間的圖樣變換紀錄在下圖（a）表格中的圖樣欄位，該欄位代表在 X 樓時，位數根 1 構成的圖樣是對應吠陀方形中哪一種基本圖樣。

我在研究時發現，位數根 1 在吠陀方形中 X 位置出現時對應的 Y 值，就是基本圖樣出現的順序！例如說下圖（b）當 X 為 2 時對應的 Y 值為 5，D1F2 對應的即是 D5 圖樣，其他樓層 X 的圖樣變換可由箭頭指向的 Y 值辨認之，像是可以看到由 X 樓對應的 Y 值與箭頭辨別出在 4、5、7、8 樓對應的圖樣各為 D7、 D2、 D4、 D8。

圖樣變換解釋

由吠陀方形指認吠陀立方位數根胚騰的變換順序是巧合還是有根據呢？由上面我們知道 D1F2 會等同 D5 圖樣，D5 圖樣對應的是吠陀方形中位數根 5 的圖樣。由定義我們知道 2 樓的組成數字是 1 樓的所有數字都乘上 2，那什麼數字乘上 2 之後的位數根會等於 1 呢？從乘法表中於 X = 2 的地方，只有 Y = 5 此相對應的位置，才會得到位數根為 1，因此 D1F2 = D5。

在 4 樓我們發現 D1F4 = D7，也可以想成是原本在 1 樓的 D7 圖案，到了四樓以後乘上 4 之後的位數根自然而然就變成了 1。如此一來便能解答為什麼 3 樓、6 樓、9 樓都沒有1（以及 2、4、5、7、8）呢，因為沒有任何數字乘上 3、6、9 之後的位數根會是 1 啊！除了位數根 1 之外，其他的位數根都遵循上述的原理，讀者可由前面提供的檔案自行對照。

只要圖解吠陀方形，就可以知道其他位數根於特定樓層中會是哪一種圖樣。也就是我們可經由二維平面的吠陀方形進一步了解三維空間的吠陀立方。吠陀方形這個二維平面不只為三維空間的一個剖面或是一樓而已，更是了解三維空間位數根胚騰非常重要的基礎。

若是想用方程式求得位數根 p 在 q 樓的圖樣會與哪一個位數根 r 在 s 樓的圖樣相同，可利用此式判別與求解未知數 D（p × s）= D（q × r），若等式兩邊相等則 DpFq = DrFs 成立。s = 1 時求得的 Dr 即為對應的基本圖樣，表示 Dr 位置的位數根在 q 樓層會是 p 位數根。例如說想要知道位數根 7 在 8 樓的圖樣會對應哪一個基本圖樣 Dr，可以用D（7） = D（8 × r）得出 r 為 2，D7F8 = D2 與直接觀察的結果相同。

圖樣可以多重組合

有的時候特定數字於特定樓層構成的圖樣將會不只涵蓋一個基本圖樣，而是多個基本圖樣組合而成。舉 D3F3 的圖樣組合當做例子，下圖左方在吠陀方形可以看到 X = 3 時，對應的 Y 值有 3 個，分別是 Y = 1、4、7，對應的基本圖樣為 D1、D4、D7。下圖右方顯示了 D3F3 的圖樣，是由 D1（黃）、D4（綠）、D7（藍）這三種圖樣組合而成的，以數學式表示則為 D3F3 = D1 + D4 + D7。

從上圖可以發現 X = 6 時對應的數值為 3 也有 3 個，分別是 Y = 2、5、8，也可寫成 D3F6 = D2 + D5 + D8，表示位數根 3 在 6 樓是由 D2、D5、D8 圖樣組合而成。類似的多重圖樣組合尚有 D3F6、D6F3、D6F6、D9F3、D9F6、D9F9。

圖樣多重組合的原理可以解答為何 9 樓每一個位數根皆為 9，因為不管 1 到 9 是哪一個數字，乘上 9 之後都會是 9 的倍數，位數根也會是 9，所以在 9 樓每一個位數根皆為 9，也表示了 D9F9 為所有的基本圖樣組合而成。以數學式表達可以寫成　 D9F9 = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9。

吠陀方形除了隱含三維空間位數根圖樣變換的根據之外，還蘊藏了不同樓層之間行列變換的規則，例如吠陀立方 2 樓的行順序事實上為 1 樓的行順序乘上 2，也是 1 樓第 2 行對應的數字。2 樓的 1 至 9 行的組成順序為 1 樓的第 2、4、6、8、1、3、5、7、9 行。2 樓的第 1 行等同 1 樓的第 2 行，以代碼表示則為 C1F2 = C2F1，其他樓層以此類推。

若是想知道 i 樓的第 h 行列會與 k 樓的第 j 行相同，可利用此式判別與求解未知數D（h * i）= D（j * k），若等號兩邊相等則 ChFi = CjFk，k = 1 求得的 Cj 即為對應的基本行，表示 Cj 在 i 樓層會出現於第 h 行。這個公式和前面的是不一樣的。

次回預告

樓層法專注在解析吠陀立方各層本身的性質以及與吠陀方形的關係，較難探討位數根胚騰在三維空間中彼此的相關性，所以下回將會帶大家以第二種方法──對稱面法切入吠陀立方的中心一探究竟。

參考資料

1. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
2. Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School, 18(4), 32–35, 1989.