吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！

廣義相對論的基本

廣義相對論，簡單地說就是兩點。

• 第一，一個有質量的物質，會彎曲它周圍的時空。這是「物質告訴時空如何彎曲」。
• 第二，在不受外力的情況下，一個物體總是沿著時空中的測地線運動。這是「時空告訴物質如何運動」。

這裡根本沒有引力的事，根本不需要引力。

這個畫面是這樣的。你可以將時空想像成一張彈簧床，本來彈簧床是平的，往上面放幾顆球，彈簧床上有球的地方周圍就變成彎曲的了——這幾顆球，彎曲了各自周圍的時空。

地球為什麼繞著太陽轉？牛頓認為那是因為太陽對地球有引力。但是廣義相對論認為，地球根本不知道太陽在哪裡，只是太陽把時空彎曲得比較厲害，地球是根據自己所在時空的測地線運動而已。就好像彈簧床上的小球可以繞著大球滾動，而你知道大球並沒有吸引小球，那只是因為彈簧床上大球的周圍有凹陷。

同樣的時空，每個物體的速度不一樣，它們遵循的測地線也不一樣。有的物體會直接掉向太陽，有的會繞著太陽做橢圓運動，有的與太陽擦肩而過，這些都只不過是物體在沿著自己的測地線運動而已。

當然，每個有質量的物體在彎曲時空當中運動的同時，也是在彎曲著自己周圍的時空，只是彎曲的程度不同。時空的形狀由這些物質共同決定，而所有物質都會沿著自己周圍時空的測地線運動。

用彈簧床打比方是不得已而為之，物質彎曲時空並不是如同小球在彈簧床上往下「壓」的結果，而是自然地彎曲周圍所有方向上的時空，所造成的結果。而且請注意，被彎曲的不僅僅是空間，還有時間，只是這部分，我們留到後面的章節再細說。

在這裡，我還要澄清一點。你也許會有這樣的疑問：既然高速運動物體的質量會增加，那多出來的質量是不是也會彎曲空間呢？答案是不會。廣義相對論裡說的「物質彎曲了空間」，可以理解成是物質的「靜止質量」在彎曲空間，靜止質量是所有座標系都同意的不變數。時空的內在幾何形狀是絕對的，但是時空在不同的座標系中被看成了不同的樣子。

廣義相對論就是這麼簡單。

自然運動狀態

愛因斯坦再一次看破了紅塵。什麼是引力？可以說根本沒有引力，有的只是時空的彎曲。

或者也可以說，所謂引力，就是在大尺度下才能看出來的、時空的彎曲。鯨魚的身體是曲線型的，但是如果近距離看，它身上每個地方都近似一塊很平的小平面。局部的測地線就是很直很直的直線，這就是為什麼我們上一章說「局部沒有引力」。

講到這裡，我們要重新定義「自然運動狀態」這個概念。所謂自然運動，就是在沒有任何外力干擾的情況下，一個物體自由自在的狀態。

亞里斯多德（Aristotle）認為自然的運動狀態是靜止。這符合我們的生活經驗——沒有外力干擾的東西好像都是靜止不動的。

後來，伽利略和牛頓說這不對，力並不是讓物體運動的原因，力其實是改變物體運動狀態的原因。一個物體在光滑的平面上滑動，如果沒有任何摩擦力干擾，它就會一直這樣運動下去。所以等速直線運動和靜止沒有差別，它們都是自然運動。

而現在，愛因斯坦表示，一切沿著測地線的運動，都是自然運動。

可以想像太空中有一個周圍非常空曠、沒有任何星體的地方，這裡的時空是平直的，測地線是完美的直線，所以物體沿著測地線運動，正好就是等速直線運動。

如果時空是彎曲的，太空人就會繞著地球轉，而失控的電梯就會直接掉下去，這兩個運動看似不同，但其實都是自由落體運動，它們謹守本分地沿著自己的測地線運動。所以它們雖然有加速度，仍然是自然運動。

自由落體運動、等速直線運動，以及靜止，它們沒有本質上的差別。你在一個封閉的實驗室裡不管做什麼實驗，都沒有辦法區分它們。愛因斯坦表示它們是同一回事，都是沿著測地線運動，都是自然運動。

反過來說，你站在地面不動，站一會兒就累了，這其實是一種不自然的運動。你本來想沿著測地線往下掉，可是地板阻止了你。想要體驗真正的自由，你應該做自由落體運動。

為什麼引力質量正好等於慣性質量，為什麼一輕一重兩個鐵球會同時著地？現在，廣義相對論給這個巧合提供了一個解釋——因為只要質量沒有大到能與地球相提並論、足以顯著影響周圍時空的形狀的程度，測地線就只和物體的初始速度有關，與質量無關！

回頭再看上一章中講的兩個想像實驗。不管你是在加速的火箭上，還是站在地面不動，都有一個外力在阻止你沿著測地線走，所以它們是一樣的。

無論是在地球附近自由落體，還是在太空中空曠、沒有任何星體的地方做等速直線運動，都是沿著該地測地線的自然運動，所以它們也是一樣的。

只要你接受時空尺寸是相對的，你就能接受狹義相對論；只要你接受時空可以彎曲，你就能接受廣義相對論。接受了時空的這兩個性質，光速為什麼不變、慣性質量為什麼等於引力質量、引力到底是不是真實的存在⋯⋯這些問題就不用再糾結了。

所以，相對論是個簡單理論，它只是相當深刻；其實我覺得廣義相對論比狹義相對論還容易理解，它只是美麗非常。

也許下次看見鯨魚的時候，你可以想起廣義相對論。

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

• 作者／彼得．凱夫（Peter Cave）；譯者／丁宥榆

「好久好久以前，宇宙間空無一物……」

這故事不好發展下去。

如果我們接著說「……然後，有個東西出現了」，一定會有很多人要問：「那個東西是怎麼突然出現的？無中生有嗎？是嗎？」我們能給出的回答也只有：「就是出現了。」

可是這樣聽起來很弱。有些物理學家提到有自然法則在「支撐」，但是我們要納悶，都空無一物了，是要支撐什麼？我們還要納悶，何以見得自然法則存在，而不是不存在。

我們試著把故事重講一遍。

「好久好久以前，宇宙間有個東西……」

終於有東西可以發揮了。但是很多人不禁又要問：「這東西哪裡來的？」對於這個問題，我們可以提出幾個暫時令人滿意的答案。我們可以宣稱這個東西是由另一個東西引發的，另一個東西又是由另另一個東西引發的，另另一個東西又是……云云，把解釋的責任全推到另一件事身上。

姑且不論這種「引發它」的串連鏈能否一直下去，不斷往回推，找不到起點，仍有一個問題存在：這種串連鏈，無論有無盡頭，怎麼會存在？為什麼不是什麼都沒有？

讓我們第三次把故事重來一遍。

「好久好久以前，宇宙間存在一切萬物……」

這會兒我們可能開始擔心，問題會不會出在一直被我們忽略的「好久好久以前」。

我們可能會指出，在好久好久以前的那個時候，並沒有什麼都已經存在。有在那之前就已經存在的所有事物，還有在那之後才出現的所有事物，即，所有那些過去事物和所有那些未來事物。

我們可能開始沉思是否只有現在存在，或只有現在和過去存在而尚未有未來，抑或是，過去、現在、未來三者都存在。在這裡我們先不考慮這麼複雜的問題。

「好久好久以前」的故事蘊含變動在內，常訴說著某些事件如何作為其他事件的結果出現。因此，我們要再來改一下故事的開頭。

「好久好久以前，宇宙間存在著直到並包括那個時候所存在的一切……」

為何萬物存在呢？

為何現在會存在這些存在的一切萬物？為何過去會存在那些已經存在的一切萬物？

即便這些「萬物」已經包含引發一連串已經發生的事物在內，上述問題仍然還是會被問起。我們還可以加問一句：「為何未來會存在即將存在的一切萬物？」

上述問題可歸類成兩個問題：「現在或過去為何會有萬物存在？『及』現在或過去萬物為何會帶著它們所具有的特質存在？」

我們先來討論第一個問題，它有兩種理解。第一種理解中，這個問題經常被各種社會階層的人提出，人們想知道答案，也有人提出答案。另一種理解中，這個問題也常被各種人問起，不過大家不是真的想知道答案，也未曾有人提出過很好或很具體的答案。這兩種理解都聚焦在問題的「一切」或「萬物」。

• 第一種理解認為「萬物」涵括整個宇宙，即科學家所研究的一切：恆星、行星、電、遊戲主機、汽車、中央暖氣、男人、女人、糖漿餡餅—所有的一切，包含心智、金錢等制度、法律和道德。

這裡需要留意複雜的用詞問題：近年來有部分哲學家以及物理學家認為，可能有好幾個宇宙存在。我們這裡所說的「宇宙」就是涵蓋這一切的全部。

當我們這樣理解「萬物」，有人便要問：「『萬物』是怎麼出現的？或為什麼會出現？」就算這個「萬物」是由一連串沒有起頭的事件所組成，那麼為何會有這樣的串連呢？有些人認為這才是個真正的問題，找不到答案就將之化為奧祕。

結果導致許多人主張，如此必有個作為造物主的上帝（或神明們）存在。他們說，唯有主張造物主存在，才能解釋宇宙之存在。

• 第二種理解則是這樣子的。「萬物」的意思，說來奇怪（登楞！），就是一切萬物。它包含整個宇宙，也包含任何存在的上帝或神明。

那麼這個被認為已經涵蓋一切的「萬物」是怎麼來的？弔詭的是，有些人對這個問題反而不以為意。

他們回答，必須有個造物主（或神明們）存在，祂既是萬物的一部分，也創造其他萬物。宇宙也許只是偶然存在，可上帝不是。上帝必然存在。你我也許不曾存在；我們是有條件的存有，不是必要的存有。要不是我們的父母某天（某晚的可能性更高）從事了奇怪的身體交易，我們也不會存在。上帝不一樣。祂的存在不取決於祂自身之外，祂必然存在。

但是怎麼會有某件事物必然存在呢？有時答案也只是：「那是個奧祕。」

「到此為止吧，」我們很想這樣回答，「不要再說什麼唯有接受上帝存在，才能合理解釋這看似成謎的宇宙存在問題。」倘若我們提出宇宙本身也必然存在，不需要由上帝創造，一定會有人搖頭回答：「如果那樣就會是個奧祕了。」

會嗎？還有比必然存在一個行動奧祕的造物主還要奧祕的事情嗎？

環環相扣的充分理由定律

這些教人摸不著頭腦的思想之所以出現，也許是我們太期望得到解釋。

萊布尼茲採納「充分理由定律」：萬物之存在必有其充分理由。

當我們提出理由或解釋時，往往會訴諸於解釋對象以外的事物。我們用 B 來解釋 A，再用 C 來解釋 B，依此類推。以至於當我們成功解釋了一件事，無可避免須涉及另一件事，因此又需要另一個解釋，也就是還要再找出一個另一件事。

體認到必須在某處終結這些解釋，於是訴諸於造物主。然而一旦又體認到這一點，就沒有必要去索求是誰創造了宇宙，也許，宇宙就是偶然發生的吧。

如果「宇宙」就是個偶然……

假如宇宙就只是偶發，有沒有可能最初真的空無一物？或者必然已存在某個宇宙，唯獨不一定是我們這個宇宙。

一想到原本可能空無一物，真教人頭昏腦脹。當我們試著想像一個空無狀態，我們腦子裡可能把宇宙間所有的東西都拿掉，可縱使清空，不是還有時間和空間嗎？時間和空間要怎麼拿掉？然而不能因為我們無法想像「空無一物」（假如我們真的無法想像的話），便說宇宙最初不可能空無一物。

時間與空間有可能是空的嗎？讓我們聚焦在時間上。假如沒有任何事情產生變化，沒有時鐘滴答響，沒有電子活動，沒有心臟跳動，如何定義時間流逝？也許時間之存在仰賴活動與事件之存在；當然，活動與事件也需要占據時間才能發生。

有沒有可能有某樣東西，既不存在於空間亦不存在於時間？

有人回答，上帝獨立於空間與時間之外。倒是有種非空間性與非時間性是我們可以理解的：數字，假如數字存在的話，既不存在於空間，也不存在於某一特定時間。

但是，假設上帝沒有時間性，另一個奧祕便要出現：創造乃為一種活動、一項事件，在時間中占據位置。假設上帝不存在於時間中，祂要怎麼進行創造？至少數字不用創造東西，可上帝卻往往被認為要創造東西。

還有其他更多奧祕。其中一個關注的焦點是：時間本身到底有沒有開端？

時間當然不可能找到起點，如果時間可以無限回推，是否代表至今已完成的「時間段」是個「無窮級數」，即沒有盡頭的序列呢？這怎麼可能？

即便某樣事物的存在可以不需要解釋，仍有人堅持這一樣事物是需要理由的，它便是充滿有意識、有智慧（偶爾啦）生命的宇宙。這個宇宙極可能不是經由精心設計而來的，不是嗎？

我不大確定當我們探討宇宙時，對於何為可能、何為不可能有任何理解，對於宇宙我們知之甚少，亦只有單一宇宙作為參考。無論我們對可能性做出什麼樣的結論，何以宇宙只是偶發的可能性，會小於上帝創造宇宙的可能性？

毫無疑問，我們將繼續被灌輸上帝的行動是很奧祕的，那麼為什麼上帝的奧祕會比宇宙存在的奧祕來得不奧祕，還真是個奧祕。

好了，奧祕來奧祕去的，也夠了。不能再繼續製造奧祕，也不能再繼續解釋下去了，不過這倒是令我想到……我們的故事該如何作結呢？

「到最後，事情就這麼戛然而止」

「到最後，宇宙間將空無一物。」

「到最後，沒有最後。」

人們的關注往往圍繞在「萬物」的起源，但是也許「萬物」的結局也一樣成謎。果真又製造出更多奧祕。

——本書摘自《機器人會變成人嗎？33 則最令現代人焦慮的邏輯議題》，2019 年 10 月，EZ 叢書館出版。