如果數學是藝術創作的繆思女神？來自全球的數學藝術展覽── Bridges 2018 研討會（上）

國民法官生存指南：用足夠的智識面對法庭裡的一切。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 作者：墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯：

• 用隨機化的方法將受試者分組，所分出的各組在實施處理之前，應該各方面都類似。
• 之所以用「比較」的設計，是要確保除了實驗上的處理外，其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
• 因此，反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組，以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中，醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組，指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差，不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組，會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近，例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說，隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多，即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

新藥研究上不隨機分組帶來的後果：安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式，潛藏變數會有什麼影響呢？安慰劑效應就是潛藏變數，只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療，所以有些組別是在流感季節治療，有些則不是，那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中，我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應，他們會接受相同的治療，全部的組別會在相同的時間接受相同的治療，所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你，醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢，應該不會讓你驚訝，因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用，他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用，但是後來有人起疑，進行了隨機化比較實驗後，卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了，這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋，經過適當的比較實驗研究過的療法，以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比，而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果，納入研究的 56 種療法當中，用歷史對照組來比較時，有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後，只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比，醫師的判斷仍過於樂觀。

目前來說，法律已有規定，新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置，比如手術，就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」（以歷史對照組來比較）這個關鍵字，可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置，所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣，隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時，有可能運氣不好，抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣，隨機指派受試者時，也可能運氣不好，把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道，如果抽選很大的隨機樣本，樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理，如果我們用很多受試者，加上利用隨機指派方式分組，也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多，表示實驗處理組的機遇變異會比較小，因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」，同為「統計實驗設計」的基本原則。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

國民法官生存指南：用足夠的智識面對法庭裡的一切。

• 撰文／詹遠至｜臺灣邏輯、方法論、科學與科技哲學學會助理、臺灣大學哲學系碩士生
• 校對／陳樂知｜臺灣大學哲學系副教授、臺大傳統與科學形上學研究中心執行長、臺灣邏輯、方法論、科學與科技哲學學會秘書長

我們所處的二十一世紀已是科學的時代，科學理論被視為宇宙的終極答案。在這個「科學至上」的時代，人文探求還如何可能？人文如何可以與科學攜手並進？以「人文」與「科學」之間的對話為主軸，臺灣邏輯、方法論、科學與科技哲學學會（LMPST Taiwan）於 2022 年 11 月 19 日在臺灣大學主辦了一場以《科學內外的人文可能》為題的論壇，邀請了國內哲學學者以及科學普及界的資深工作者擔任講者。

本活動主持人由鄭會穎教授（政治大學哲學系助理教授、政大現象學研究中心主任）擔任，受邀講者則包括陳竹亭教授（臺灣大學化學系名譽教授）、陳樂知教授（臺灣大學哲學系副教授、臺大傳統與科學形上學研究中心執行長、LMPST Taiwan 秘書長）、鄭國威先生（PanSci 泛科學知識長）與嚴如玉教授（陽明交通大學心智哲學研究所副教授兼所長）。

本論壇屬於 LMPST Taiwan 長期舉辦的《種種意識論壇》系列。除 LMPST Taiwan 以外，這一系列的論壇由政治大學現象學研究中心、清華大學實作哲學中心、臺灣大學哲學系、臺灣跨校意識社群、PHEDO 台灣高中哲學教育推廣學會、沃草公民學院共同合辦；贊助單位則為順奕有限公司。

科學為人文帶來危機？先論科學主義與自然主義

主持人鄭會穎教授點出了本論壇的核心議題後，陳樂知教授（臺灣大學哲學系副教授、臺大傳統與科學形上學研究中心執行長、LMPST Taiwan 秘書長）發表了他的觀點。

陳教授想要討論的是「就其理論本質而言，科學是否威脅人文」這個問題。陳教授首先談到一些人持有「科學主義（scientism）」的世界觀。科學主義認為，科學是唯一可以讓我們獲得知識的可靠方法。陳教授認為科學主義是一種自相矛盾的世界觀；原因在於科學主義本身並不是科學，並未被科學方法證明，它只是一個哲學理論。因此，科學主義身為一個哲學理論，它本身就是自己會排斥的對象。

回到核心問題，科學是否帶來了人文危機？陳教授的答案是否定的。他認為科學所帶來的其實不是科學主義，而是「自然主義（naturalism）」。自然主義認為，這個世界最根本、基礎的組成，就是自然科學理論認為存在的那些事物，例如粒子、力場、化學反應等。

陳教授認為科學所帶來的自然主義是現代世界觀的基礎；即使一些特定人士因為宗教背景等理由而不同意自然主義，其實也應該要同意例外情況相當有限。如果我們接受「自然主義」，而非「科學主義」，那麼科學本身根本就不會帶來人文危機。這是因為，自然主義只認為世界最根本的組成是科學所談論的事物，但是它並不認為我們只能透過科學方法來認識這些事物。

事實上，從科學世界觀的角度來說，人類也是自然的一員。人類作為一種自然生命體，出於其演化而來的結構，與生俱來就有各種世界互動、認識世界的方式，不限於科學方法。就此而言，人類會發展出的人文也是一種自然現象。因此，雖然人類後來發展出了「科學方法」這種較為優化的認識途徑，我們依然不能否定「人文方法」也是一種認識世界的可靠方法。

接著，陳教授提及羅素（Bertrand Russell）對「熟知知識（knowledge by acquaintance）」以及「描述知識（knowledge by description）」的區分。熟知知識指的是我們透過直接的感受、互動與掌握所獲得的知識，描述知識則是理論性的知識。

陳教授認為熟知知識與描述知識不可被截然二分，兩者之間是程度上的差別。而人文學門的一些觀念就較為接近熟知知識，因為它們重視同理及感受。雖然如此，這一切都符合腦神經科學的描述，人文仍然是自然現象。另一方面，人文因此仍然是科學可以研究的對象，也需要科學的補充。人文學門自己也必須要了解，自己所研究的熟知知識其實也是自然現象，有其組成基礎與運作原理。

因此，科學可以幫助人文把熟知知識轉換為更精確的描述知識，並且為人文提供更精密的研究方法，以及協助其排除錯誤，比如排除人類先天認知系統的偏誤、漏洞等等。總結來說，科學與人文其實研究的是同一個自然界；科學非但不應帶來人文危機，還可以幫助人文研究走得更加長遠。

跨科際合作的需求，兼論「人類世」中的人文與科學走向

不同於陳樂知教授從哲學觀點出發，陳竹亭教授（臺灣大學化學系名譽教授）帶來的是他在教育方面的經驗。首先，陳教授介紹了他為台灣教育部主持的「科學人文跨科際人才培育計畫」，簡稱「SHS（Society-Humanities-Science）計畫」。

由於現代社會中的問題包含人文以及科學的面向，因此 SHS 計畫的主軸在於推動「跨科際教育（trans-disciplinary education）」。以往的教育先是學科主義，然後衍生出「多領域（multi-disciplinary）」或是「跨領域（inter-disciplinary）」，也就是由各學科各自探究共同問題，或是由兩個學科進行合作。

跨科際教育則有所不同，它以「真實世界的共同問題」為核心，直接打破學科之間的界線。只要是對解決真實世界的問題有幫助的知識，參與的學科，甚至政府、產業、民間的 NPO 或利害關係人都擔責分工合作進行知識生產、解決問題。

由於現代社會中的問題愈趨複雜、多元，且多樣，社會對科學界的要求也跟以往有所不同。科學家開始被要求具備社會意識及社會參與的能力，還有溝通與對話的能力；這些能力都是傳統的科學界非常缺乏的。有鑑於此，陳教授所主持的 SHS 計畫積極推動「問題導向的學習」、「系統思考」、以及「實用方法論上的創新」。他也提到，SHS 計畫的推動非常有賴於大學對本身社會角色的自覺與復興。

陳教授參與的另一個國科會計畫是「以社會需求為核心的跨領域研究計畫」。與 SHS 計畫相同，這個計畫也非常重視跨科際教育，並且認知到單靠科學知識無法解決真實世界的複雜問題。

那麼，人文究竟該扮演什麼樣的角色呢？陳教授討論到他撰寫的新書《丈量人類世》中的「人類世（anthropocene）」這個概念。「人類世」指的是一個新的地質紀元。在工業革命之後，人類文明成為影響地球環境與生態變遷的關鍵角色。因此，部分學者認為地球已經進入「人類世」這個地質紀元。

在人類世中，全球有非常多的變遷趨勢，其中一個就是：科學發展帶動理性價值的昂揚，其他的人性價值卻被輕忽。陳教授說，我們培養出了許多「職業科學家」。可是，在科技急速發展的同時，人類的科技文明卻缺乏方向感：我們正面臨物質文明與精神文明之間極大的不均衡。總而言之，他認為「人類的智能尚未學會如何掌舵文明巨輪的方向」。

最後，針對人文與科學應該要如何在人類世中發展，陳教授提出了他本人的看法。首先，科學研究的同儕審核程序需要人文專業學者的投入，也就是科學家不能閉門造車。再來，婦女應該要積極加入科學與科技事業的陣容，因為科學發展不能只由男性思維主導。

最後，未來教育的趨勢必須往跨科際的方向邁進，也就是人文與科學必須並重。如此一來，陳教授強調：「人文的啟發價值和社會重大需求必須挺身而出，為人類文明的永續承擔文明指南針的角色，與科學共同尋求世紀困境的解方。」

「科學實作哲學」帶來人文與科學的合作新可能

繼陳竹亭教授分享了跨科際教育發展的大方向後，嚴如玉教授（陽明交通大學心智哲學研究所副教授兼所長）則分享了她在科學人文互動的個案經驗。嚴教授身為一個哲學學者，卻在因緣際會下，走上了不同於普通學者每天關在辦公室做研究的路。她為了提升生醫背景的學生對哲學的興趣，也為了把哲學帶到課堂之外，推動了青銀共學。

嚴教授把社區中的長輩們請到大學的哲學課堂上，與大學生一起進行小組報告。這些生醫背景的學生們未來大多會從醫；因此，對未來將要在醫療院所工作的他們來說，與長輩互動是很好的練習。

嚴教授也針對與學生們未來在醫療場域會遇到的一些價值性思考，與哲學作出連結，讓學生們學習哲學能夠學以致用，對醫療過程有所幫助。舉例來說，她會帶領學生討論如何面對死亡、以及照護倫理等哲學議題。她認為，在學生未來的臨床工作上，這些哲學議題將派得上用場。

除了青銀共學外，嚴教授還以非常不同於傳統學者的方式，進行她個人的哲學研究。傳統哲學學者往往是埋首於書堆中，發展自己的理論；她則是親自到醫療院所中進行田野調查，去訪問醫生、護理師等第一線的人員。藉由直接了解醫療工作者在實作上遇到的困難，她試圖讓哲學能夠真正被實用。

嚴教授說，這樣的研究方法被稱為「科學實作哲學」。科學實作哲學作為一種研究方法，其實不單單適用於人文學門，也同樣適用於科學。非常理論性、艱深的基礎科學如果能夠走出象牙塔，了解社會的真實需求，便有機會與人文接軌。因此，不論是科學或人文學門，若研究者可以調整研究方法，從研究對象在實作上的細節出發，再轉而調整自己的理論，那麼科學與人文的互動、合作並非不可能。

科學素養對現代社會的重要性

最後進行分享的是科普媒體《PanSci 泛科學》的知識長鄭國威先生。鄭知識長首先釐清了「人文」的定義：他認為，「人文主義」認為人類可以靠自身的能力認識這個世界，而「人文學科」正是培養這種能力的學科。從這個定義來看，人文與科學根本就不是分開的；畢竟科學也是人類靠自身能力認識世界的方式之一。

鄭知識長提到，台灣的學生在國際學生能力評量計畫（PISA）中表現非常優異，世界排名名列前茅。然而，台灣的學生卻普遍缺乏自信，在失敗時容易產生自我質疑。

在學習的過程中，我們大致可以把人分為兩種：具有「定型心態」與具有「成長心態」的人。前者只重視結果、學習態度較消極，且容易受挫折打擊；後者則重視過程、學習態度較積極，且勇於面對挑戰。鄭知識長指出，具有定型心態的台灣學生似乎占多數。

鄭知識長在高中時也面臨相同的困境，他那時非常厭惡數學和理化，完全沒有學習他們的熱忱。他後來發現不止他是如此，有許多人也在學生階段就放棄了對科學的學習；這對台灣社會是個嚴重的現象。舉例來說，公投的題目許多都牽涉科學知識，放棄學習科學的公民要如何在這種公投中作出正確的判斷？這樣的考量促使他後來創辦 PanSci 泛科學。

鄭知識長認為，獲得成長心態最簡單的方式就是學會科學原則與方法，也就是用科學方法來面對日常生活中遇到的問題。而培養科學素養則需要承認自己對許多事的無知，且需要身處一個好的素養集體之中。最後，鄭知識長勉勵大家一起培養出「科學思辨力」，為本次的論壇畫下一個強而有力的句點。