【Gene思書齋】機率陷阱的風險

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是常態分布？

圖 13.3 和 13.4 裡的密度曲線，同屬一族特別重要的曲線：常態曲線。圖 13.7 再呈現了兩個常態密度曲線。常態曲線都是對稱、單峰、鐘形的，尾部降得很快，所以我們應該不會看到離群值。由於常態分布是對稱的，所以平均數和中位數都落在曲線的中間位置，而這也是尖峰所在。

常態曲線還有一個特別性質：我們可以用目測方式在曲線上找到它的標準差。對大部分其他的密度曲線，沒有法子這樣做。做法是這樣的。想像你要從山頂開始滑雪，山的形狀和常態曲線一樣。起先，你從山頂出發時，往下滑的角度非常陡：

幸好，在你還沒有直直墜下之前，斜坡就變緩了，你愈往下滑出去，坡度愈平：

曲率（curvature）發生改變的地方，是在平均數兩側、各距平均數一個標準差的位置。圖 13.7 的兩條曲線上都標示出了標準差。你如果用鉛筆沿著常態曲線描，應該可以感受到曲率改變的地方，進而找出標準差。

常態曲線有個特別的性質是，只要知道平均數及標準差，整條曲線就完全確定了。平均數把曲線的中心定下來，而標準差決定曲線的形狀。變動常態分布的平均數並不會改變曲線的形狀，只會改變曲線在 x 軸上的位置。但是，變動標準差卻會改變常態曲線的形狀，如圖 13.7 所示。標準差較小的分布，散布的範圍比較小，尖峰也比較陡。以下是常態曲線基本性質的總結：

常態密度曲線的特性

常態曲線（normal curve）是對稱的鐘形曲線，具備以下性質：

• 只要給了平均數和標準差，就可以完全描述特定的常態曲線。
• 平均數決定分布的中心，這個位置就在曲線的對稱中心。
• 標準差決定曲線的形狀，標準差是指從平均數到平均數左側或右側的曲率變化點的距離。

為什麼常態分布在統計裡面很重要呢？首先，對於某些真實數據的分布，用常態曲線可以做很好的描述。最早將常態曲線用在數據上的是大數學家高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855）。

天文學家或測量員仔細重複度量同一個數量時，所得出的量測值會有小誤差，高斯就利用常態曲線來描述這些小誤差。你有時候會看到有人把常態分布叫做「高斯分布」，就是為了紀念高斯。

十九世紀的大部分時間中，常態曲線曾叫做「誤差曲線」，也就因為常態曲線最早是用來描述量測誤差的分布。後來慢慢發現，有些生物學或心理學上的變數也大致符合常態分布時，「誤差曲線」這個名詞就不再使用了。1889 年，高騰（Francis Galton）率先把這些曲線稱做「常態曲線」。高騰是達爾文的表弟，他開拓了遺傳的統計研究。

常態分布的形狀：鐘形曲線

人類智慧高低的分布，是不是遵循常態分布的「鐘形曲線」？IQ 測驗的分數的確大致符合常態分布，但那是因為測驗分數是根據作答者的答案計算出來的，而計算方式原本就是以常態分布為目標所設計的。要說智慧分布遵循鐘形曲線，前提是：大家都同意 IQ 測驗分數可以直接度量人的智慧。然而許多心理學家都不認為世界上有某種人類特質，可以讓我們稱為「智慧」，並且可以用一個測驗分數度量出來。

當我們從同一母體抽取許多樣本時，諸如樣本比例（當樣本大小很大、而比例的數值中等時）及樣本平均數（當我們從相同母體取出許多樣本時）這類統計量的分布，也可以用常態曲線來描述。我們會在後面的章節進一步細談統計分布。

抽樣調查結果的誤差界限，也常常用常態曲線來算。然而，即使有許多類的數據符合常態分布，仍然有許多是不符合的，比如說，大部分的所得分布是右偏的，因而不是常態分布。非常態的數據就和不平常的人一樣，不僅常見，而且有時比常態的數據還有趣。

68 – 95 – 99.7 規則

常態曲線有許多，每一個常態曲線都可以用各自的平均數和標準差來描述。所有常態曲線都有許多共同性質，特別要提的是，對常態分布來說，標準差是理所當然的量度單位。這件事實反映在下列規則當中。

圖 13.8 說明了 68 – 95 – 99.7 規則。記住這三個數字之後，你就可以在不用一直做囉嗦計算的情況下考慮常態分布。不過還得記住，沒有哪組數據是百分之百用常態分布描述的。不管對於 SAT 分數，或者蟋蟀的身長， 68–95–99.7 規則都只是大體正確。

年輕女性的身高常態

年輕女性的身高約略是平均數 63.7 英寸、標準差 2.5 英寸的常態分布。要運用 68 – 95 – 99.7 規則，首先得畫一個常態曲線的圖。圖 13.9 說明了這個規則用在女性的身高上會是什麼情況。

任何常態分布都有一半的觀測值在平均數之上，所以年輕女性中有一半高於 63.7 英寸。

任何常態分布的中間68%觀測值，會在距平均數一個標準差的範圍內。而這 68 %中的一半，即 34 %，會在平均數之上。所以有 34 %的年輕女性，身高在 63.7 英寸及 66.2 英寸之間。把身高不到 63.7 英寸的 50% 女性也加上去，可以得知總共有84%的年輕女性身高不到 66.2 英寸。所以推知超過 66.2 英寸的人占 16%。

任何常態分布的中間 95% 的值，在距平均數兩個標準差範圍內。這裡的兩個標準差是 5 英寸，所以年輕女性身高的中間 95% 是在 58.7（= 63.7 − 5）和 68.7（= 63.7 + 5）英寸之間。

另外 5% 女性的身高，就超出 58.7 到 68.7 英寸的範圍之外。因為常態分布是對稱的，這其中有一半的女性是在矮的那一頭。年輕女性中最矮的 2.5% ，身高不到 58.7 英寸（149 公分）。

任何常態分布中幾乎所有（99.7%）的值，在距平均數三個標準差的範圍內，所以幾乎所有年輕女性的身高，都在 56.2 及 71.2 英寸之間。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

前言：本文為鑑識系列中，罕見提及統計學的故事。不過，繁複的計算過程全部省略，僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

荷蘭護理人員 Lucia de Berk，長年於海牙茱莉安娜兒童醫院（Juliana Kinderziekenhuis）的 1 個病房，與紅十字醫院（Rode Kruis Ziekenhuis）的 2 個病房工作。2001 年 12 月，她因謀殺罪嫌被捕。^[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因，發現是中毒身亡；後來連帶調查 1997 至 2001 年間，幾家醫院可能的謀殺案件，於是找上了她。^[2]在法庭上，司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念，證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說，就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法，叫做超幾何分佈（又稱「超幾何分配」；hypergeometric distribution）。^[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中，隨機抽取樣本，不再放回的情形。例如：袋子裝有 N 顆球，其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球，不特別挑選的話，紅球碰巧被抓到的機率為 X。^{[3, 4]}以此類推，在此案被調查的時間範圍內，病房總共有 N 個班次，其中 Lucia de Berk 值了 L 班，而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為 X。^[1]（公式介紹。^[4]）

此處實際帶入數據後得到的答案，說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一（X = 1 / 3.42 x 10⁸）的機率，會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此，法庭認定她的頻繁出現（> 1 / 3.42 x 10⁸），絕非巧合。^{[1, 2, 5, 6]}2003 年，Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂，^[2]被判終身監禁。^[5]

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師，以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授，都覺得事有蹊蹺。^[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄，並指出部份醫療事故的類型和事發時間，與判決所用的數據對不起來。因為後者大半仰賴記憶，他們甚至發現有些遭指控的班次，Lucia de Berk 其實不在現場。然而，光是這些校正，還不足以推翻判決。^{[1, 7]}

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學（Universiteit Leiden）統計學榮譽教授 Richard Gill，也伸出援手。^[2]在協助此案的多年後，他的團隊發表了一篇論文，解釋不該使用超幾何分佈的理由，例如：^[1]

1. 護理人員不可互換：所有受訪醫師都說，護理人員可以相互替換；但是護理人員覺得，他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異，他們對病患的影響也不同。^[1]
2. 醫療事故通報機率：既然每個護理人員都有自己的個性，他們判定某事件為醫療事故，並且通報醫師的機率也不一樣。^[1]畢竟醫院的通報規定是一回事；符合標準與否，都由護理人員判斷。比方說，有個病患每次緊張，血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒，再登記第二次測量的正常結果即可。不過，難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報，分明給病房添亂。
3. 班次與季節事故率：夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師；季節性的特定病例增減；以及病患的生理時鐘等，都會影響出事的機率。^[1]
4. 護理排班並不平均：護理人員的班次安排，理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班，接著是幾個小夜班之類的，^[1]比較方便調整作息。此外，護理人員的資歷和個性，通常也會被納入考量。^[1]以免某個班次全是資深人員；但另個班次緊急事故發生時，卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下，如果單看某個時期的班表，每個人所輪到的各類班次總數，應該不會完全相同。
5. 出院政策曾經改變：茱莉安娜兒童醫院在案發期間，曾經針對確定救不活的小病患，是否該在家中或病房離世，做過政策上的調整。帳面上來說，算在病房裡的事故量絕對會有變化。^[1]

總之，太多因素會影響護理排班，或是干擾醫療事故的通報率，因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是，Henk Elffers 在計算過程中，分開處理 3 個病房的機率，然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調，這樣會造成在多處上班的護理人員，比只為一處服務者，看起來有較高的嫌疑。^[1]

帕松分佈

因應這種情境，Richard Gill 教授建議採用帕松分佈（又譯「布阿松分配」；Poisson distribution），^[1]一種描述特定時間內，事件發生率的統計模型。^[8]有別於先前的計算方法，在這裡事故傾向（accident proneness），以及整體排班狀況等變因，都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度；後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等，也適用於 Lucia de Berk 的案子。^[1]（深入瞭解公式和計算（p. 4 – 6）。^{[1, 8]}）

雖然此模型的細節複雜，統計學家得大費周章解釋給法官聽，但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據，這個計算最後的答案是 0.0206161，意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率，會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據，機率更高達 9 分之 1。^{[1, 9]}換句話說，她單純是倒楣出現在那裡，就被當作連續殺人犯。^[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果，顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而，最不合理的，是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說，怎能不忠於病歷或驗屍報告？Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時，表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊，被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。^[2]他們發現原本被視為受害者的病患，根本都喪命於自然死因。^{[2, 6]}

在各方人士的協助下，Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。^[6]她曾於 2008 年，被允許在家等候重審結果。^[1]但直到 2010 年 4 月，司法才還她清白。^[7]Ton Derksen 認為，在荷蘭像這樣誤判的案件，約佔總判決數的 4 至 11%，也就是每年 1,000 人左右。不過，2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡，只有 5 個上訴到最高法院，而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。^[10]

參考資料

1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
3. 「超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所（Accessed on 03 FEB 2023）
4. 李柏堅（06 FEB 2015）「超幾何分配」CUSTCourses on YouTube.
5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
8. 李伯堅（04 FEB 2015）「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
10. ‘One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.