你能想像棒球穿牆嗎？突破物理世界的常識：量子穿隧——《阿宅聯盟：量子危機》

提出物質波的法國王族

1923 年，巴黎索邦大學的研究生路易・德布羅意親王（1892 – 1987）提出一個驚人的觀點，即粒子可能具有波的性質。愛因斯坦認為必須以二象性來理解光，這個觀點深深影響了德布羅意。

德布羅意在 1924 年的博士論文中寫道……

愛因斯坦的光粒子能引起光電效應（將電子從金屬中撞擊出來），同時能攜帶「週期性」的訊息，在不同的環境（例如雙狹縫實驗）下產生干涉效應。這令德布羅意印象深刻。

接下來就是鉅作了。德布羅意在論文的第一部分，提出了物理學中最偉大的統一原理之一……

引導粒子運動的波

德布羅意所做的事情是給定一個頻率，但不是針對粒子（例如他想像中的愛因斯坦光子）內部的週期性行為，而是一種伴隨粒子穿越時間和空間的波，讓這種波可以與「內部」的過程保持同方向。

這樣的波可以偵測得到嗎？也就是說，這些神祕的波可能和粒子實際的運動有關，並且可以測量嗎？

可以，德布羅意這樣說。這些波不僅僅是抽象的。這個新的顛覆性想法在物理上的重要結果是，與領波相關的速度有兩種。

德布羅意確認了群速度就如同一個粒子的速度，並證明增強區域展現了粒子所有的力學性質，例如能量和動量。（這類似疊加許多不同頻率的波會產生一道脈衝。）

將物質波公式帶入各類公式中！

當他寫下簡單的數學關係式來描述這些由光子類推而得的想法時，更戲劇性的結論出現了。

他從愛因斯坦著名的方程式 E＝mc2 開始，著手計算所有東西的總能量。在這種情況下，光子……

現在看看德布羅意一連串的代換……

由於mc就是質量乘以速度，也就是光子的動量 p……

運用波的關係式 c（速度）＝ f（頻率）乘以 λ（波長）

將普朗克／愛因斯坦的方程式 E = hf 與上述式子畫上等號，我們可以得到：並透過簡單的代數可以得到……

德布羅意用直接類比的方式，主張他的關係式不僅適用於光子，也適用於電和所有粒子。

λ = h/p ……

也就是（波長）＝（普朗克常數除以動量）

對電子來說，下式

動量 p = (m)(v) =（質量）（速度）

可以很輕易地以實驗驗證，因此可以從德布羅意的方程式來預測波長。

對大多數物理學家來說，這個概念看似荒謬。電子是一種粒子，自從湯姆森 1897 年發現電子以來，古典物理學家一直都這樣認為！

——本文摘自《大話題：量子理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

被挑戰的古典物理世界觀

古典物理學家建立了一系列的假設，將他們的思想統整起來，這使得他們很難接受新的概念。以下列出他們對物質世界有哪些確定不疑⋯⋯

1. 宇宙就像一臺放在絕對時空框架中的巨型機器。複雜的運動可以理解為機器內部各零件的簡單運動，即使這些零件並不可見。
2. 牛頓的理論說明一切運動都有原因。如果一個物體表現出運動，人們一定能找出運動的原因。這是單純的因果關係，沒有人質疑這一點。
3. 如果我們知道物體在某一點（例如現在）的運動狀態，就能判斷它在未來甚至過去任何時刻的運動狀態。沒有什麼不確定，一切都是先前的一些因素造成的結果。這是決定論。
4. 馬克士威電磁波理論完全描述了光的性質，並可由湯瑪士・楊格在 1802 年簡單的雙狹縫實驗中觀察到的干涉圖樣加以證實。
5. 運動中的能量可以用兩種物理模型來表達：一種是粒子，其表現就像無法穿透的球體，例如撞球；另一種是波，其表現就像在海面上朝著岸邊打去的海浪。這兩者是互相排斥的，即能量必定只以其中一種方式表現。
6. 一個系統的性質，如溫度或速度等，要測量得多準確都可以。只要降低觀察者的探測強度或根據理論來校正即可。原子級的系統也不例外。

古典物理學家認為以上這些事情都是千真萬確的。但這六個假設最終都會被證明是有疑慮的。首先體認到這一點的，是 1927 年 10 月 24 日在布魯塞爾大都會飯店會面的一群物理學家。

1927 年索爾維會議──量子理論的成形

第一次世界大戰爆發前幾年，比利時實業家歐內斯特・索爾維（1838-1922）在布魯塞爾主辦了一系列國際物理會議，延請來賓傾全力討論某項預訂的題目。只有獲得特別邀約的人才能出席，人數通常限制在30人左右。

1911 年至 1927 年舉行的前五次會議，以最令人大開眼界的方式記錄了 20 世紀物理學的發展。1927 年的會議專門討論量子理論，每場至少都有 9 位理論物理學家出席，他們對量子理論做出了根本貢獻，並且最終都因而獲得諾貝爾獎。

要介紹有哪些人推動了最現代的物理理論，這張 1927 年的索爾維會議照片是很好的起點。後代將會驚歎，1927 年這些量子物理巨擘竟然在這麼短的時間、這麼小的地方齊聚一堂。

寥寥數人在這麼短的時間內就釐清了這麼多事情，在科學史上可說是空前絕後。

看看第一排坐在瑪麗・居禮（1867-1934）旁邊那位愁眉苦臉的馬克斯・普朗克（1858-1947）。普朗克拿著帽子和雪茄，看來有氣無力，好像在花了這麼多年試圖反駁自己對物質和輻射的革命性想法後，他已筋疲力盡。

幾年後，在 1905年，瑞士一位名叫阿爾伯特・愛因斯坦（1879-1955）的年輕專利事務員對普朗克的概念進行推論。

前排正中間穿著禮服拘謹地坐著的就是愛因斯坦，他自從 1905 年發表早期論文之後，二十多年來一直苦思量子問題，但未得出任何真實的見解。他一直出力推動量子理論的發展，並以驚人的信心支持其他人的獨創見解。他最偉大的理論「廣義相對論」使他成為國際知名學者，那已是十年前的事了。

在布魯塞爾，愛因斯坦為了量子理論奇怪的結論，和最受敬重、最堅定的量子理論支持者尼爾斯・波耳（1885-1962）爭辯。之後波耳將比任何人都更嘔心瀝血，致力於解釋和理解量子理論。波耳在照片中間那排的最右邊，這位時年 42 歲的教授正如日中天，顯得輕鬆自信。

愛因斯坦後方最後一排的埃爾溫・薛丁格（1887-1961）身穿獵裝，戴著領結，顯得非常隨意。他的左邊跳過一人後是「少壯派」的沃夫岡・包立（1900-58）、維爾納・海森堡（1901-76）──兩人當時才二十幾歲。第二排則有保羅・狄拉克 （1902-84）、路易・德布羅意（1892-1987）、馬克斯・波恩（1882-1970）和波耳。這些人的發現與微觀世界的基本性質息息相關，因此名留青史，像是薛丁格方程式、包立不相容原理、海森堡測不準原理，以及波耳原子等等。

他們都聚在這裡──從 69 歲、年紀最大的普朗克（他在 1900 年開啟了一切），到 25 歲、年紀最小的狄拉克（他在 1928 年完成了這個理論）。

1927 年 10 月 30 日，拍下這張照片的隔天，與會者的腦海中還縈繞著波耳與愛因斯坦的歷史性交鋒。他們在布魯塞爾中央車站坐上了火車，各自返回柏林、巴黎、劍橋、哥廷根、哥本哈根、維也納和蘇黎世。

他們帶著科學家所創造出最離奇的一套理論離開。大多數人私底下可能同意愛因斯坦的觀點，認為這種被稱為量子理論的瘋狂想法，只是通往更完整理論的一步，以後會被更好、更符合常識的理論推翻。

——本文摘自《大話題：量子理論》，2023 年 ３ 月，大家出版，未經同意請勿轉載。

前言：本文為鑑識系列中，罕見提及統計學的故事。不過，繁複的計算過程全部省略，僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

荷蘭護理人員 Lucia de Berk，長年於海牙茱莉安娜兒童醫院（Juliana Kinderziekenhuis）的 1 個病房，與紅十字醫院（Rode Kruis Ziekenhuis）的 2 個病房工作。2001 年 12 月，她因謀殺罪嫌被捕。^[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因，發現是中毒身亡；後來連帶調查 1997 至 2001 年間，幾家醫院可能的謀殺案件，於是找上了她。^[2]在法庭上，司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念，證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說，就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法，叫做超幾何分佈（又稱「超幾何分配」；hypergeometric distribution）。^[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中，隨機抽取樣本，不再放回的情形。例如：袋子裝有 N 顆球，其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球，不特別挑選的話，紅球碰巧被抓到的機率為 X。^{[3, 4]}以此類推，在此案被調查的時間範圍內，病房總共有 N 個班次，其中 Lucia de Berk 值了 L 班，而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為 X。^[1]（公式介紹。^[4]）

此處實際帶入數據後得到的答案，說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一（X = 1 / 3.42 x 10⁸）的機率，會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此，法庭認定她的頻繁出現（> 1 / 3.42 x 10⁸），絕非巧合。^{[1, 2, 5, 6]}2003 年，Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂，^[2]被判終身監禁。^[5]

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師，以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授，都覺得事有蹊蹺。^[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄，並指出部份醫療事故的類型和事發時間，與判決所用的數據對不起來。因為後者大半仰賴記憶，他們甚至發現有些遭指控的班次，Lucia de Berk 其實不在現場。然而，光是這些校正，還不足以推翻判決。^{[1, 7]}

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學（Universiteit Leiden）統計學榮譽教授 Richard Gill，也伸出援手。^[2]在協助此案的多年後，他的團隊發表了一篇論文，解釋不該使用超幾何分佈的理由，例如：^[1]

1. 護理人員不可互換：所有受訪醫師都說，護理人員可以相互替換；但是護理人員覺得，他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異，他們對病患的影響也不同。^[1]
2. 醫療事故通報機率：既然每個護理人員都有自己的個性，他們判定某事件為醫療事故，並且通報醫師的機率也不一樣。^[1]畢竟醫院的通報規定是一回事；符合標準與否，都由護理人員判斷。比方說，有個病患每次緊張，血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒，再登記第二次測量的正常結果即可。不過，難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報，分明給病房添亂。
3. 班次與季節事故率：夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師；季節性的特定病例增減；以及病患的生理時鐘等，都會影響出事的機率。^[1]
4. 護理排班並不平均：護理人員的班次安排，理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班，接著是幾個小夜班之類的，^[1]比較方便調整作息。此外，護理人員的資歷和個性，通常也會被納入考量。^[1]以免某個班次全是資深人員；但另個班次緊急事故發生時，卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下，如果單看某個時期的班表，每個人所輪到的各類班次總數，應該不會完全相同。
5. 出院政策曾經改變：茱莉安娜兒童醫院在案發期間，曾經針對確定救不活的小病患，是否該在家中或病房離世，做過政策上的調整。帳面上來說，算在病房裡的事故量絕對會有變化。^[1]

總之，太多因素會影響護理排班，或是干擾醫療事故的通報率，因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是，Henk Elffers 在計算過程中，分開處理 3 個病房的機率，然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調，這樣會造成在多處上班的護理人員，比只為一處服務者，看起來有較高的嫌疑。^[1]

帕松分佈

因應這種情境，Richard Gill 教授建議採用帕松分佈（又譯「布阿松分配」；Poisson distribution），^[1]一種描述特定時間內，事件發生率的統計模型。^[8]有別於先前的計算方法，在這裡事故傾向（accident proneness），以及整體排班狀況等變因，都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度；後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等，也適用於 Lucia de Berk 的案子。^[1]（深入瞭解公式和計算（p. 4 – 6）。^{[1, 8]}）

雖然此模型的細節複雜，統計學家得大費周章解釋給法官聽，但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據，這個計算最後的答案是 0.0206161，意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率，會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據，機率更高達 9 分之 1。^{[1, 9]}換句話說，她單純是倒楣出現在那裡，就被當作連續殺人犯。^[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果，顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而，最不合理的，是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說，怎能不忠於病歷或驗屍報告？Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時，表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊，被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。^[2]他們發現原本被視為受害者的病患，根本都喪命於自然死因。^{[2, 6]}

在各方人士的協助下，Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。^[6]她曾於 2008 年，被允許在家等候重審結果。^[1]但直到 2010 年 4 月，司法才還她清白。^[7]Ton Derksen 認為，在荷蘭像這樣誤判的案件，約佔總判決數的 4 至 11%，也就是每年 1,000 人左右。不過，2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡，只有 5 個上訴到最高法院，而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。^[10]

參考資料

1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
3. 「超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所（Accessed on 03 FEB 2023）
4. 李柏堅（06 FEB 2015）「超幾何分配」CUSTCourses on YouTube.
5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
8. 李伯堅（04 FEB 2015）「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
10. ‘One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.