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今天的星座運勢是……不宜相信占星術?——《數盲、詐騙與偽科學》

大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/07 ・2000字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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占星術的背後

占星術是極普遍的偽科學,書店架上塞滿了談占星的書,而且幾乎每一份報紙都會發布每日星座運勢。蓋洛普(Gallup)1986 年發布的一項調查報告指出,52% 的美國青少年相信星座,而各行各業中,認同占星學中某些亙古流傳說法的人,也多到讓人難過。我說讓人難過,是因為如果那些人相信占星師和占星術,當你進一步思考他們還可能相信哪些人事物,會讓人不寒而慄。一旦那些人手握大權(比方說雷根總統)、卻根據這類信念行事,特別可怕。

占星術主張,人出生那一刻的各星球牽引力,會影響一個人的個性。但這個論點很難讓人接受,理由有二:(一)占星學完全沒有提到這種牽引(或是其他)力道,到底要透過哪一種生理或神經生理機制運作,更別說解釋了;(二)負責接生的產科醫師施加的牽引力,遠高於各個星球。請記住,一件物體對於身體(比方說,新生兒)施加的牽引力,和物體的質量成正比,但和物體與身體的距離平方成反比。這是否代表比較胖的產科醫師接生的寶寶,會有一組人格特質;比較瘦的產科醫師接生的寶寶,會有另一種不同的人格特質?

占星理論中有很多缺陷,但數盲視而不見。他們不太關心運作的機制,也不太想去比較數值大小。話說回來,即使沒有清晰明瞭的理論基礎,但如果占星術有用、有實務證據撐腰,還是應該獲得尊重。只可惜,一個人的出生日期,與標準人格測驗的得分之間,沒有任何相關性。

圖/envato

一直以來,都有人找占星師做相關的實驗(最近是加州大學的蕭恩.卡爾森﹝Shawn Carlson﹞)。研究人員會給占星師看三個匿名的人格特質側寫,其中一個是當事人的。當事人提供所有占星要用到的數據(透過問卷,而非面對面),占星師必須從人格特質側寫中挑出哪一份是當事人。實驗中總共有 116 位當事人,而負責檢驗的是歐洲與美國 30 位最頂尖(由同業判定)的占星師。實驗結果如下:占星師約有三分之一的機率,可以挑出正確的當事人人格特質側寫,也就是說,和隨機猜測沒什麼區別。

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凱斯西儲大學(Case Western Reserve Univer sity)物理學家約翰.馬蓋文(John McGervey)檢視《美國科學名人錄》(American Men of Science)上,超過 1 萬 6,000 位科學家,以及《美國政治名人錄》(Who’s Who in American Politics)上,超過 6,000 位政治人物的出生日期,發現他們的星座是隨機且均勻分布在十二個月中。密西根州立大學(Mi chi gan State University)的伯納德.西弗曼(Bernard Silver-man)取得密西根州 3,000 對夫婦的紀錄,發現他們的星座和占星師預測相配的星座之間,沒有相關性。

那麼,為何這麼多人相信占星之說?一個明顯的理由是:在通常語焉不詳的占星預言中,人們會去讀他們想讀到的一切,然後為預言添加根本不存在的真實性。他們也比較可能記得有成真的「預言」,過度看重巧合,忽略其他。其他理由還包括,占星術的歷史悠久(當然,人祭﹝ritual murder﹞和獻祭也同樣古老)。或是因為,它原理很簡單、但操作起來有一定的複雜度,會讓人感到安心。或者是,堅稱這個月能不能墜入愛河和天上的浩瀚星海有關,很能寬慰人心。

圖/envato

我猜,此外還有最後一個理由,那就是在一對一諮詢期間,占星師會從臉部表情、儀態、肢體語言等等,尋找和人格特質有關的線索。我們來看看知名的案例:聰明的漢斯(Clever Hans)。漢斯看來是一匹會算數的馬,牠的訓練師會擲骰子,問牠骰子上面的點數是多少。而漢斯會用馬蹄踏出正確答案,然後停住,旁觀者都大為驚異。但人們看不出來的是,訓練師原先都站定不動,等到馬兒敲到正確的次數,會有意無意地動了一下,就是這樣的反應讓漢斯停了下來。所以,不是這匹馬知道答案,牠只是反映了訓練師知道答案。人常無意間在占星師面前扮演訓練師的角色,占星師就像漢斯一樣,反映出客戶的需求。

美國天文學家卡爾.薩根(Carl Sagan)就說過,要破解占星術以及更廣義的偽科學,最好的辦法就是真正的科學。真正科學的奇妙之處也同樣神奇,不過多了一項優點:這些奇妙之處很可能是真有其事。說到底,偽科學之所以成為偽科學,並不是因為得出的結論稀奇古怪。畢竟,運氣好猜中、機緣巧合、奇特的假說,甚至是一開始的誤信,都在科學上扮演過一定角色。偽科學失當,是因為其結論經不起檢驗,以及無法和其他經過檢驗的主張之間,建立起一致的關係。我很難想像,像演員莎莉.麥克琳(Shirley MacLaine,按:麥克琳是推動新時代運動的先驅)這些人會因為證據不足、或有更好的替代解釋,就去否定通靈等超自然現象。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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賭博與愛情公式:用數學擬定你的擇偶策略——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/06 ・2486字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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理解期望值,有助於分析賭場裡的大部分賭局,以及美國中西部和英國的嘉年華會中,常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法:骰子擲好運(chuck-a-luck)。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力:你從 1 到 6 挑一個號碼,莊家一次擲三顆骰子,如果三個骰子都擲出你挑的號碼,莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼,莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼,莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現,那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子,你有三次機會贏,而且,有時候你還不只贏 1 美元,最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安.李維絲(Joan Rivers)的名言(按:她的名言是:「我們能聊一聊嗎?」),問一句:「我們能算一算嗎?」(如果你寧願不算,可以跳過這一節。)不管你選哪個號碼,贏的機率顯然都一樣。不過,為了讓計算更明確易懂,假設你永遠都選 4。骰子是獨立的,三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6=1/216,你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

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僅有兩個骰子出現 4 點的機率,會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布,我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4,有三種彼此互斥的情況:X44、4X4 或 44X,其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6=5/216,第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加,可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216,你有這樣的機率會贏得 2 美元。

圖/envato

同樣的,要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率,也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6=25/216,得到 X4X 和 XX4 的機率亦同,三者相加,得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率,因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率,我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1(或是100%)減去(1/216 +15/216 + 75/216),得出的答案是 125/216。所以,平均而言,你每玩 216 次骰子擲好運,就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來,就可以算出你贏的期望值($3×1/216)+($2×15/216)+($1×75/216)+(–$1×125/216)=$(–17/216)=–$0.08。平均來說,你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局,大概就要輸掉 8 美分。

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尋找愛情,有公式?

面對愛情,有人從感性出發,有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好,但加起來⋯⋯也不是很妙。不過,如果善用兩者,成功的機率可能還是大一些。回想舊愛,憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣,並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人,很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中,假設女主角——就叫她香桃吧(按:在希臘神話中,香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物,象徵愛與美)有理由相信,在她的「約會生涯」中,會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說,N 可能等於 2;對另一些人來說,N 也許是 200。香桃思考的問題是:到了什麼時候我就應該接受X先生,不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」?我們也假設她是一次遇見一個人,有能力判斷她遇到的人是否適合她,以及,一旦她拒絕了某個人之後,此人就永遠出局。

為了便於說明,假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士,她對這些人的排序如下:3—5—1—6—2—4。這是指,在她約過會的這 6 人中,她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名,對第二人的喜歡程度排第 5 名,最喜歡第三個人,以此類推。如果她見了第七個人,她對此人的喜歡程度超過其他人,但第三人仍穩居寶座,那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人,她就更新追求者的相對排序。她在想,到底要用什麼樣的規則擇偶,才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中,選出最好的。

圖/envato

要得出最好的策略,要善用條件機率(我們會在下一章介紹條件機率)和一點微積分,但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好,且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面,她大概需要拒絕前面的 37%,之後真命天子出現時(如果有的話),就接受。

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舉例來說,假設香桃不是太有魅力,她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設,這 4 個人與她相見的順序,是 24 種可能性中的任何一種(24=4×3×2×1)。

由於 N=4,37% 策略在這個例子中不夠清楚(無法對應到整數),而 37% 介於 25% 與 50% 之間,因此有兩套對應的最佳策略如下:

(A)拒絕第一個對象(4×25%=1),接受後來最佳的對象。

(B)拒絕前兩名追求者(4×50%=2),接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略,香桃會在 24 種可能性中的 11 種,選到最好的追求者。採取 B 策略的話,會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列,如同前述,1 代表香桃最偏好的追求者,2 代表她的次佳選擇,以此類推。因此,3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇,再來遇見第二選擇,第三次遇到最佳選擇,最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B,代表在這些情況下,採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

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1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134(A);2143(A);2314(A, B);2341(A, B);2413(A, B);2431(A, B);3124(A);3142(A);3214(B);3241(B);3412(A, B);3421;4123(A);4132(A);4213(B);4231(B);4312(B);4321

如果香桃很有魅力,預期可以遇見 25 位追求者,那她的策略是要拒絕前 9 位追求者(25 的 37% 約為 9),接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證,但是這個表會變得很龐雜,因此,最好的策略就是接受通用證明。(不用多說,如果要找伴的人是男士而非女士,同樣的分析也成立。)如果 N 的數值很大,那麼,香桃遵循這套 37% 法則擇偶的成功率也約略是 37%。接下來的部分就比較難了:要如何和真命天子相伴相守。話說回來,這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本,其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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【成語科學】動如參商:參宿和商宿是哪兩顆星星?帶你認識古代中國的星座系統!
張之傑_96
・2023/09/08 ・1103字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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西元 759 年,大詩人杜甫經過老友衛八的家鄉,屈指數來,兩人已 20 年沒見過面。當年衛八還沒結婚,如今已子女成行。杜甫在衛八家過了一夜,翌日匆匆告別,寫下膾炙人口的〈贈衛八處士〉,頭兩句「人生不相見,動如參與商。」就是成語「動如參商」的出典。

唐代習慣以家族的排行稱呼人;處士,對隱士的尊稱。參(ㄕㄣ),指參宿;商,即商星,是心宿的主星。參、心二宿都是二十八宿之一,參宿位於西方時,心宿位於東方,不會同時在天上出現。

參宿位於西方時,心宿位於東方,不會同時在天上出現。圖/高魯《星象統箋》

動如參商,比喻見面不易。我們先談到這裡,造兩個句吧。

畢業後同學們動如參商,再也無法朝夕相處。

您遠渡重洋後咱們動如參商,已難得見上一面。

造完句,接下去要說明什麼是星宿了。無論哪個民族,都會將天上的星星分成組,每組之間作些連線,然後比附成英雄人物、動物、器物等等。這種分組,有利於天文觀測。

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星座,是西方所發展出的天文觀測體系,總共有 88 個,最為人們熟知的是黃道十二宮。太陽在天球上的軌道稱為黃道,黃道上有 12 個星座,在您生日那段時間,太陽在天球上所對應的星座,就是您的生日座。

中國古代將一組星星稱為一個星宿(又稱星官),魏晉時統合成 283 個,含有星星 1464 顆。在這 283 個星宿中,最為人熟知的是二十八宿,也就是月亮運行軌道(白道)所經過的星宿。

二十八宿是:角亢氐房心尾箕,斗牛女虛危室壁;奎婁胃昴畢觜參,井鬼柳星張翼軫。

二十八星宿。圖/wikimedia

在二十八宿中,角亢氐房心尾箕是東方七宿,奎婁胃昴畢觜參是西方七宿。商星是心宿的星星,和西方七宿的參宿是不會同時出現天際的。

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中國的星宿,每一星宿的星星數目不等,以心宿和參宿來說,心宿有 3 顆(第二顆就是商星),參宿則有 7 顆。星宿的星星以數字編號,有時另有專名。以心宿的商星來說,編號是「心宿二」,商星是它的專名。

心宿二(即天蝎座 α 星)是顆紅巨星,會發出火紅色的亮光,所以還有一個專名——大火。我們的祖先早就觀察到,每到夏末秋初,大火星就會落向夜空的西邊,表示天氣將逐漸轉涼了。

心宿二又被稱為大火。圖/wikimedia
張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。