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「量子狀態」聽起來好難?其實就是機率與疊加——《阿宅聯盟:量子危機》

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・2023/01/19 ・1256字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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想像我們往水池內丟兩顆石頭,以石頭的落點為中心,會個別產生漣漪,在水面上擴散開來。

而當兩個漣漪互相接觸時,交會之處的水面其實同時反應了兩個漣漪的影響;可以說,兩個漣漪疊加在一起了。漣漪是靠水傳遞的一種波,稱為水波;而「疊加」的現象,就是屬於波的一種特性

當兩個漣漪相互接觸時,會疊加在一起。圖/Envato Elements

物質的波,也就是物質波,同樣存在疊加的特性。只不過,物質波跟水波不同的地方在於,它不需要依賴「水」這種實際的東西來傳遞,而是一種「機率波」。機率波的數學形式長得像波,而它代表的,是量子系統處於不同狀態的機率分布

量子系統的狀態:機率波

當我們在描述量子系統的狀態時,就會用到「機率波」的概念。舉例來說,在電玩遊戲中要是打怪成功,死掉的怪物會留下寶物。怪物可能有 50% 的機率掉落寶物 A,也有 50% 的機率掉落寶物 B,但我們不會在事前就知道怪物會留下哪種寶物。

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所以,怪物可以說是同時擁有「掉落寶物 A」和「掉落寶物 B」這兩種狀況,直到我們成功打完怪,才能確定牠究竟帶哪一種寶物。類似地,機率波告訴我們的,就是量子系統「有多少機率處於狀態 A、又有多少機率處於狀態 B」的資訊;如同兩個水波在水面上疊加,A 和 B 這兩個狀態同時存在這個量子系統上。所以,我們把量子系統「同時處於不同狀態疊加」的狀況,稱為「疊加態」

直到我們打怪成功,才能確定究竟掉哪一種寶物。圖/GIPHY

另一方面,也跟打完怪物才知道掉什麼寶物類似,在我們實際觀測量子系統前,並無法知道會看到狀態 A 還是狀態 B,要觀測完才會知道。因為量子疊加的特殊性質,科學家想到,或許可以拿來做一些實際的運用。

例如,在現代的電腦運算中,「位元」是資訊的最小單位,可以用 0 或 1 這兩個數值來表示。那麼,我們也許能夠把「同時存在兩種不同狀態的量子系統」當作位元使用,讓它的兩種狀態分別代表 0 跟 1 來儲存資訊,而這就被稱為量子位元

由於物理性質的不同,量子位元在某些狀況下,可以運算得比傳統位元更有效率;利用量子位元建構的電腦,就稱為量子電腦。雖然目前已經有少數量子電腦問世,能以最多一百多個量子位元進行運算,但要能大規模運用在日常生活中,除了要再想辦法增加量子位元之外,還有許多難題要克服,所以,現在就先讓漫畫的想像來代替很可能成真的未來吧。

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——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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量子力學可以幫你判斷物體溫度?從古典物理過渡到近代的一大推手——黑體輻射
PanSci_96
・2024/03/24 ・3634字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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1894 年,美國物理學家邁克生(Albert Abraham Michelson)作為芝加哥大學物理系的創立者,在為學校的瑞爾森物理實驗室(Ryerson Physical Laboratory)落成典禮致詞時,表示:「雖然無法斷言說,未來的物理學不會比過去那些驚奇更令人驚嘆,但似乎大部分的重要基本原則都已經被穩固地建立了。」

以我們現在的後見之明,這段話聽起來固然錯得離譜,但在當時,從 17、18 到 19 世紀,在伽利略、牛頓、馬克士威等前輩的的貢獻之下,物理學已經達成了非凡的成就。

我們現在稱為古典的物理學,對於整個世界的描述幾乎是面面俱到了,事實上沒有人預料到 20 世紀將出現徹底顛覆世界物理學認知的重要理論,量子力學。

而這最一開始竟只是出自於一件不起眼的研究,關於物體發出的光。

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萬物皆輻射

在此我們要先理解一個觀念:所有物體無時無刻不在發出電磁波輻射,包括了你、我、你正使用的螢幕,以及我們生活中的所有物品。

至於為什麼會這樣子呢?其中一個主要原因是,物體都是由原子、分子組成,所以內部充滿了帶電粒子,例如電子。這些帶電粒子隨著溫度,時時刻刻不停地擾動著,在過程中,就會以電磁波的形式放出能量。

除了上述原因之外,物體發出的電磁波輻射,還可能有其他來源,我們就暫時省略不提。無論如何,從小到大我們都學過的,熱的傳遞方式分成傳導、對流、輻射三種,其中的輻射,就是我們現在在談的,物體以電磁波形式發出的能量。

那麼,這些輻射能量有什麼樣的特徵呢?為了搞清楚這件事,我們必須先找個適當的範本來研究。

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理想上最好的選擇是,這個範本必須能夠吸收所有外在環境照射在上面的光線,只會發出因自身溫度而產生的電磁輻射。這樣子的話,我們去測量它發出的電磁波,就不會受到反射的電磁波干擾,而能確保電磁波是來自它自己本身。

這樣子的理想物體,稱為黑體;畢竟,黑色物體之所以是黑的,就是因為它能夠吸收外在環境光線,且不太會反射。而在我們日常生活中,最接近理想的黑體,就是一點也不黑、還超亮的太陽!這是因為我們很大程度可以肯定,太陽發出來的光,幾乎都是源於它自身,而非反射自外在環境的光線。

或者我們把一個空腔打洞後,從洞口發出的電磁波,也會近似於黑體輻射,因為所有入射洞口的光都會進入空腔,而不被反射。煉鐵用的鼓風爐,就類似這樣子的結構。

到目前為止,一切聽起來都只是物理學上一個平凡的研究題目。奇怪的是,在對電磁學已經擁有完整瞭解的 19 世紀後半到 20 世紀初,科學家儘管已經藉由實驗得到了觀測數據,但要用以往的物理理論正確推導出黑體的電磁波輻射,卻遇到困難。正是由此開始,古典物理學出現了破口。

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黑體輻射

由黑體發出的輻射,以現在理論所知,長得像這個樣子。縱軸代表黑體輻射出來的能量功率,橫軸代表黑體輻射出來的電磁波波長。

在理想狀況下,黑體輻射只跟黑體的溫度有關,而跟黑體的形狀和材質無關。

以溫度分別處在絕對溫標 3000K、4000K 和 5000K 的黑體輻射為例,我們可以看到,隨著黑體的溫度越高,輻射出來的能量功率也越大;同時,輻射功率最高的波段,也朝短波長、高頻率的方向靠近。

為了解釋這個曲線,物理學家們開始運用「當時」畢生所學來找出函數方程式,分成了兩派:

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一派是 1896 年,由德國物理學家維因(Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien),由熱力學出發推導出的黑體輻射公式,另一派,在 1900 與 1905 年,英國物理學家瑞立(John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh)和金斯(James Jeans),則是藉由電磁學概念,也推導出了他們的黑體輻射公式,稱為瑞立-金斯定律。

你看,若是同時擺上這兩個推導公式,會發現他們都各自對了一半?

維因近似 Wien approximation 只在高頻率的波段才精確。而瑞立-金斯定律只對低頻率波段比較精確,更預測輻射的強度會隨著電磁波頻率的提升而趨近無限大,等等,無限大?――這顯然不合理,因為現實中的黑體並不會放出無限大的能量。

顯然這兩個解釋都不夠精確。

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就這樣,在 1894 年邁克生才說,物理學可能沒有更令人驚嘆的東西了,結果沒幾年,古典物理學築起的輝煌成就,被黑體輻射遮掩了部分光芒,而且沒人知道,這是怎麼一回事。

普朗克的黑體輻射公式

就在古典物理學面臨進退維谷局面的時候,那個男人出現了——德國物理學家普朗克(Max Planck)。

1878年學生時代的普朗克。圖/wikimedia

普朗克於 1900 年就推導出了他的黑體輻射公式,比上述瑞立和金斯最終在 1905 年提出的結果要更早,史稱普朗克定律(Planck’s law)。普朗克假想,在黑體中,存在許多帶電且不斷振盪、稱為「振子」的虛擬單元,並假設它們的能量只能是某個基本單位能量的整數倍。

這個基本單位能量寫成 E=hν,和電磁輻射的頻率 ν 成正比,比例常數 h 則稱為普朗克常數。換言之,黑體輻射出來的能量,以hν為基本單位、是一個個可數的「量」加起來的,也就是能量被「量子化」了。

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根據以上假設,再加上不同能量的「振子」像是遵循熱力學中的粒子分佈,普朗克成功推導出吻合黑體輻射實驗觀測的公式。

普朗克的方程式,同時包含了維因近似和瑞立-金斯定律的優點,不管在低頻率還是高頻率的波段,都非常精確。如果我們比較在地球大氣層頂端觀測到的太陽輻射光譜,可以發現觀測數據和普朗克的公式吻合得非常好。

其實有趣的是普朗克根本不認為這是物理現象,他認為,他假設的能量量子化,只是數學上用來推導的手段,而沒有察覺他在物理上的深遠涵意。但無論如何,普朗克成功解決了黑體輻射的難題,並得到符合觀測的方程式。直到現在,我們依然使用著普朗克的方程式來描述黑體輻射。不只如此,在現實生活中,有許多的應用,都由此而來。

正因為不同溫度的物體,會發出不同特徵的電磁波,反過來想,藉由測量物體發出的電磁波,我們就能得知該物體的溫度。在疫情期間,我們可以看到某些場合會放置螢幕,上面呈現類似這樣子的畫面。

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事實上,這些儀器測量的,是特定波長的紅外線。紅外線屬於不可見光,也是室溫物體所發出的電磁輻射中,功率最大的波段。只要分析我們身體發出的紅外線,就能在一定程度上判斷我們的體溫。當然,一來我們都不是完美的黑體,二來環境因素也可能產生干擾,所以還是會有些許誤差。

藉由黑體輻射的研究,我們還可以將黑體的溫度與發出的可見光顏色標準化。

在畫面中,有彩虹背景的部分,代表可見光的範圍,當黑體的溫度越高,發出的電磁輻射,在可見光部分越偏冷色系。當我們在購買燈泡的時候,會在包裝上看到色溫標示,就是由此而來。所以,如果你想要溫暖一點的光線,就要購買色溫較低,約兩、三千 K 左右的燈泡。

結語

事實上,在黑體輻射研究最蓬勃發展的 19 世紀後半,正值第二次工業革命,當時鋼鐵的鍛冶技術出現許多重大進步。

德國鐵血宰相俾斯麥曾經說,當代的重大問題要用鐵和血來解決。

就傳統而言,煉鋼要靠工匠用肉眼,從鋼鐵的顏色來判斷溫度,但若能更精確地判斷溫度,無疑會有很大幫助。

德國作為鋼鐵業發達國家,在黑體輻射的研究上,曾做出許多貢獻,這一方面固然可能是學術的求知慾使然,但另一方面,也可以說跟社會的需求與脈動是完全吻合的。
總而言之,普朗克藉由引進能量量子化的概念,成功用數學式描述了黑體輻射;這件事成為後來量子力學發展的起點。儘管普朗克本人沒有察覺能量量子化背後的深意,但有另一位勇者在數年後繼承了普朗克的想法,並做出意味深長的詮釋,那就是下一個故事的主角――愛因斯坦的事了。

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你聽過「量子意識」嗎?電子雙狹縫實驗讓人猜測意識會影響物質世界,真的假的?
PanSci_96
・2024/03/06 ・3800字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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在市面上,我們常會看到號稱運用量子力學原理的商品或課程,像是量子內褲、量子能量貼片、量子首飾、量子寵物溝通、量子速讀、量子算命、量子身心靈成長課程等等。有人說,量子力學代表了意識具有能量,藉由調整心靈的共振頻率,就能保持身心健康,只要你利用量子力學原理進行療癒或冥想,就能提昇自己的能量,人能長高、身體變壯、每次考試都考一百分;又像是,量子力學就代表一種信息場,讓你跟別人有心電感應,只要轉念,讓宇宙能量幫助你,你就能發大財還能避免塞車。也有人說,別人吃一個下午茶,你也馬上吃一個下午茶,別人喝一杯咖啡,你也馬上喝一杯咖啡,別人跟家人吵架,你也馬上找一件事跟家人吵架,這就是量子糾纏。

然而,量子到底是什麼?跟身心靈、宗教和玄學真的扯得上關係嗎?是否真能幫助你維持健康又賺大錢呢?

在這一系列影片裡,我們就要來討論,量子力學的原理為何?背後又是基於哪些科學的研究成果。等你看完之後,相信對於量子力學跟上述五花八門商品究竟有沒有關係,心裡自然會有所答案。

量子力學和意識有關?

坊間常會聽到量子力學跟意識有關的說法;或許也是因為這樣,量子力學被許多身心靈成長課程甚至玄學拿來作為背書。但,量子力學真的是這樣子嗎?

說到量子力學跟意識的關係,我們就必須來看看,量子力學最著名的實驗之一,20 世紀的物理學大師費曼(Feynman)甚至曾經說過,這個實驗「包含了量子力學的核心思想。事實上,它包含了量子力學唯一的奧秘。」它,就是雙狹縫干涉實驗。

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雙狹縫干涉實驗

現在我拿的器材,上面有兩道狹縫,中間間隔了非常短的距離。等一下,我們會讓雷射光通過這兩道狹縫,看看會發生什麼事。

我們看到,雷射光在打向雙狹縫之後,於後面的牆上呈現有亮有暗的條紋分布,這跟我們在國、高中學過的波的性質有關。

在兩道光波的波峰相會之處,會產生建設性干涉,即亮紋的位置;而暗紋的部分,則是來自破壞性干涉,是兩道光的波峰和波谷交會之處,亦即,光的效應被抵銷了。

在歷史上,雙狹縫干涉實驗占有非常重要的地位。19 世紀初,英國科學家、也是被譽為「世界上最後一個什麼都知道的人」的湯瑪士.楊(Thomas Young),利用雙狹縫實驗,證明了光是一種波。

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那麼,如果我們拿不是波的東西,來進行雙狹縫實驗,會看到什麼結果呢?讓我們試驗一下。

現在我手邊有一堆的彈珠,前面是用紙板做成的兩道狹縫,後面則是統計彈珠落點的紙板。我們讓這些彈珠朝狹縫的地方滾過去,並在彈珠最後的落點劃下記號;若在同樣位置的記號越多,就代表有越多彈珠打中該位置。

在丟了一百顆彈珠之後,我們可以看到,扣除掉一部份因為路徑被擋住、通不過狹縫的彈珠之外,彈珠最終抵達的位置,大致分別以兩道狹縫的正後方為最多,呈現兩個區塊的分布,不像先前光的雙狹縫干涉實驗中,出現明暗相間的變化。

所以,我們得到結論:若是拿具有物理實體的東西進行雙狹縫實驗,因為其一次只能選一邊通過,所以落點最終只會聚集在兩個狹縫後方的位置;而且要是行進的路徑不對,還可能會被擋住。

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至於波的情形,那就不同了,只要狹縫的大小適當,波可以同時通過兩個狹縫,並互相干涉,產生明暗相間的條紋。

換言之,是波,還是物質,兩者在雙狹縫實驗的表現是截然不同的。

只不過,以上的實驗似乎並沒有什麼太令人感到意外的地方,我們也看不出來,它跟量子,還有意識,到底有什麼關係?事實上,若要真正顯示出它的獨特之處,就要來看電子的雙狹縫干涉實驗。

電子的雙狹縫干涉實驗

我們知道,電子是組成原子的基本粒子之一,而原子又組成了世間萬物。可以說,電子是屬於物質的一種極微小粒子。

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在電子的雙狹縫干涉實驗,科學家朝雙狹縫每次發射一顆電子,並在發射了很多顆電子之後,觀察電子的最終落點分布會怎麼呈現。

既然電子是物質的微小粒子,那麼在想像中,應該會跟我們前面使用彈珠得到的結果差不多,電子會分別聚集在兩道狹縫後方的區域。

從實驗的記錄影片中可以看到,在一開始、電子數量還很少的時候,其落點比較難看得出有明顯規律,但隨著電子的數目越來越多,我們慢慢能夠看出畫面上具有明暗分布,跟使用光進行雙狹縫實驗時得到的干涉條紋,有著類似的結構。

這樣的結果,著實令人困惑。直覺來想,既然電子是一顆一顆發射的,它勢必不可能像光波一樣,同時通過兩個狹縫,並且兩邊互相干涉,產生明暗相間的條紋。

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但無可否認,當我們用電子進行雙狹縫實驗時,最後得到的結果,看起來就跟干涉條紋沒什麼兩樣。

對這出人意表的觀測結果,為了搞清楚發生什麼事,科學家又做了更進一步的實驗:

在狹縫旁放置偵測器,以一一確認這些電子到底是通過哪一個狹縫、又如何可能在通過狹縫後發生干涉。

這下子,謎底就能被解開了――正當大家這麼想的時候,大自然彷彿就像在嘲笑人類的智慧一樣,反將一軍。

科學家發現,如果我們去觀測電子的移動路徑,只會看到電子一顆一顆地通過兩個狹縫其中之一,並最終分別聚集在兩個狹縫的後面――換言之,干涉條紋消失了!

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在那之後,科學家做過無數類似的實驗,都得到一樣的結果:只要你測量了電子的路徑或確切位置,那麼干涉條紋就會消失;反過來說,只要你不去測量電子的路徑或位置,那麼電子的雙狹縫實驗就會產生干涉條紋。

在整個過程中,簡直就像是電子知道有人在看一樣,並因此調整了行為表現。

在日常生活中,若有人要做壞事,往往會挑沒人看得到的地方;反過來說,當有其他人在看,我們就會讓自己的言行舉止符合公共空間的規範。

量子系統也有點像這樣,觀測者的存在與否,會直接影響到量子系統呈現的狀態。

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只不過,這就帶出了一個問題:到底怎麼樣才算是觀測?如果我們在雙狹縫旁邊只放偵測器不去看結果算嗎?我們不放偵測器只用肉眼在旁邊看算嗎?或是,整個偵測過程沒有人在場算嗎?

這就是量子力學裡著名的觀測問題(measurement problem)。

結語

在量子力學剛開始發展的數十年,有許多地方都還不是那麼清楚,觀測問題就是其一。在歷史上,不乏一些物理學家,曾經認真思考,是否要有「人的意識」參與其中,才能代表「觀測」。

如果真是這樣的話,那麼「意識」就存在非常特別的意義,而且似乎暗示人的意識能夠改變物質世界的運作。

有一些物理學家曾認真思考,是否要有「人的意識」參與其中,才能代表「觀測」。圖/envato

可以想見地,上述出自量子力學觀測問題的猜測,後來受到部分所謂靈性導師跟身心靈作家的注意,於是,形形色色宣揚心靈力量或利用量子力學原理進行療癒、冥想或身心靈成長的偽科學紛紛出籠,直到近年都還非常流行。

另一方面,可能因為量子兩個字帶給人一種尖端科學的想像,坊間琳瑯滿目的商品即使跟量子力學一點關係都沒有,也都被冠上量子兩字;除此之外,商品宣傳裡也常出現一堆量子能量、量子共振等不知所謂的概念,不然就是濫用量子力學的專有名詞如量子糾纏、量子穿隧等,來幫自己的商品背書。只要有量子兩字,彷彿就是品質保證,讓你靈性提升、身體健康、心想事成。

對此,我就給三個字:敢按呢(Kám án-ne)?

事實上,量子力學至今仍是持續演進的學問,我們對量子力學的理解也隨時間變得越來越豐富。現代的物理學家,基本上不認為我們可以用意識改變物質世界,也不認為「意識」在「觀測」上佔據一席之地,甚至可以說正好相反,人的意識在觀測上根本無關緊要。

不過,我們不會那麼快就直接進入觀測問題的現代觀點。在之後接下來的幾集,我們會先從基本知識開始說起,循序漸進,讓你掌握量子力學的部分概念。而在本系列影片的最後一集,我們才會重新回到觀測問題,並介紹量子力學領域近幾十年來在此問題上獲得的進展。

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賭博與愛情公式:用數學擬定你的擇偶策略——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/06 ・2486字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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理解期望值,有助於分析賭場裡的大部分賭局,以及美國中西部和英國的嘉年華會中,常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法:骰子擲好運(chuck-a-luck)。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力:你從 1 到 6 挑一個號碼,莊家一次擲三顆骰子,如果三個骰子都擲出你挑的號碼,莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼,莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼,莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現,那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子,你有三次機會贏,而且,有時候你還不只贏 1 美元,最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安.李維絲(Joan Rivers)的名言(按:她的名言是:「我們能聊一聊嗎?」),問一句:「我們能算一算嗎?」(如果你寧願不算,可以跳過這一節。)不管你選哪個號碼,贏的機率顯然都一樣。不過,為了讓計算更明確易懂,假設你永遠都選 4。骰子是獨立的,三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6=1/216,你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

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僅有兩個骰子出現 4 點的機率,會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布,我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4,有三種彼此互斥的情況:X44、4X4 或 44X,其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6=5/216,第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加,可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216,你有這樣的機率會贏得 2 美元。

圖/envato

同樣的,要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率,也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6=25/216,得到 X4X 和 XX4 的機率亦同,三者相加,得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率,因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率,我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1(或是100%)減去(1/216 +15/216 + 75/216),得出的答案是 125/216。所以,平均而言,你每玩 216 次骰子擲好運,就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來,就可以算出你贏的期望值($3×1/216)+($2×15/216)+($1×75/216)+(–$1×125/216)=$(–17/216)=–$0.08。平均來說,你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局,大概就要輸掉 8 美分。

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尋找愛情,有公式?

面對愛情,有人從感性出發,有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好,但加起來⋯⋯也不是很妙。不過,如果善用兩者,成功的機率可能還是大一些。回想舊愛,憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣,並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人,很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中,假設女主角——就叫她香桃吧(按:在希臘神話中,香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物,象徵愛與美)有理由相信,在她的「約會生涯」中,會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說,N 可能等於 2;對另一些人來說,N 也許是 200。香桃思考的問題是:到了什麼時候我就應該接受X先生,不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」?我們也假設她是一次遇見一個人,有能力判斷她遇到的人是否適合她,以及,一旦她拒絕了某個人之後,此人就永遠出局。

為了便於說明,假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士,她對這些人的排序如下:3—5—1—6—2—4。這是指,在她約過會的這 6 人中,她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名,對第二人的喜歡程度排第 5 名,最喜歡第三個人,以此類推。如果她見了第七個人,她對此人的喜歡程度超過其他人,但第三人仍穩居寶座,那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人,她就更新追求者的相對排序。她在想,到底要用什麼樣的規則擇偶,才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中,選出最好的。

圖/envato

要得出最好的策略,要善用條件機率(我們會在下一章介紹條件機率)和一點微積分,但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好,且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面,她大概需要拒絕前面的 37%,之後真命天子出現時(如果有的話),就接受。

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舉例來說,假設香桃不是太有魅力,她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設,這 4 個人與她相見的順序,是 24 種可能性中的任何一種(24=4×3×2×1)。

由於 N=4,37% 策略在這個例子中不夠清楚(無法對應到整數),而 37% 介於 25% 與 50% 之間,因此有兩套對應的最佳策略如下:

(A)拒絕第一個對象(4×25%=1),接受後來最佳的對象。

(B)拒絕前兩名追求者(4×50%=2),接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略,香桃會在 24 種可能性中的 11 種,選到最好的追求者。採取 B 策略的話,會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列,如同前述,1 代表香桃最偏好的追求者,2 代表她的次佳選擇,以此類推。因此,3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇,再來遇見第二選擇,第三次遇到最佳選擇,最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B,代表在這些情況下,採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

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1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134(A);2143(A);2314(A, B);2341(A, B);2413(A, B);2431(A, B);3124(A);3142(A);3214(B);3241(B);3412(A, B);3421;4123(A);4132(A);4213(B);4231(B);4312(B);4321

如果香桃很有魅力,預期可以遇見 25 位追求者,那她的策略是要拒絕前 9 位追求者(25 的 37% 約為 9),接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證,但是這個表會變得很龐雜,因此,最好的策略就是接受通用證明。(不用多說,如果要找伴的人是男士而非女士,同樣的分析也成立。)如果 N 的數值很大,那麼,香桃遵循這套 37% 法則擇偶的成功率也約略是 37%。接下來的部分就比較難了:要如何和真命天子相伴相守。話說回來,這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本,其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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