另外一個你可能存在嗎？從宇宙誕生到現在，你的存在需要經過一千兆個「偶然」——《宇宙大哉問》

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兩、三年以來的防疫生活，終於迎來全面 0+7 的這一天啦！返國之後不再需要隔離的一天來了，冰友們，你是不是已經收拾好心情、收拾好行李，在進行機＋酒的比價了呢？除了規劃好出國行程、找好景點與美食店家，想要讓自己不可或缺的網路生活也更加安全，一定要趁即將到來了感恩節黑五期間，把超優惠的 Surfshark VPN 服務買起來，為自己的網路生活加買最平安的保險！

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在疫情下，網購成為了更多人的日常。不僅各樣的在地購物節為網友帶來眾多優惠，全球化的購物活動，台灣當然也不會缺席！美國感恩節（Thanksgiving）都是 11 月第四個星期四，但是感恩節後的週五，便是聖誕節前的購物佳期啟動日，這一天通常都會業績超標（在收支表上呈現正向收入（顯示為黑色字體，而非赤字的紅色字體），各家的瘋狂優惠都會在黑五祭出！相信許多精打細算的朋友，對黑五購物節絕對不陌生（很可能還搶過很多優惠！！）

網購怎能漏掉「亞馬遜」！

雅虎奇摩之於台灣，就像是亞馬遜（Amazon.com）之於美國那麼的有名！絕對也是什麼都賣、什麼都不奇怪的最佳代表。

如果你平常就很喜愛一些美國品牌，趁著黑五的日子到亞馬遜清空購物車，覺對優惠不會讓你失望。這時候，透過 Surfshark 連線到亞馬遜美國站，絕對會顯示的價格絕對讓你眼睛為之一亮，這時候最新搭載 M2 晶片的 iPad Pro，獨家支援動態島顯示的 iPhone 14 Pro，絕對是最好入手的時機。除此之外，亞馬遜平台經典的 Kindle 閱讀器，也是超合適的禮物，送禮自用兩相宜啊！另外要特別留意，購買時可以確認商品有沒有幫忙送到台灣，如果還沒有，可以先跟美國的朋友確認一下，邀請他們回國時幫你一起帶回來！

跨國追劇最爽快

對於喜愛追劇的朋友，品味可能相當豐富且多元，畢竟欣賞優秀影視作品，不現語言，更是不限地區啊！只不過，若是你訂閱 Netflix 等跨國 OTT 服務，都會有各地不同的上架影視作品，可能會讓你無法在第一時間就能夠立即「追」到劇，讓你等得心癢癢！還好這一切只要連上 Surfshark VPN 都能解決，Surfshark 支援超過 100 國的 VPN 連線，無論你想看韓國、日本還是哪一國的最新戲劇，通通讓你一秒追到最新進度！

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出差大陸翻牆超方便

在過往出國、返國都需要隔離的階段，肯定讓不少工作上需要經常往返多國之間的朋友，感到生活驟變。所幸，在防疫政策解封之後，一切都可逐漸恢復正常。對於經常有需要到中國大陸出差的朋友，肯定都會感受到網路斷聯的不方便，因為無論是 LINE、Facebook Messenger、YouTube、Gmail 等你可很能天天都在使用的網路服務，大陸都無法使用。這還不打緊，連跟家人、朋友報平安也很不便。這時候 Surfshark 連上，就可以幫助你輕鬆「翻牆」，跟台灣親人網路無距離！

上網不留痕跡，不被追蹤最自由

對於一個人來說，最私密的資料之一，除了你的個資，就屬我們每天耗費大量時間逗留的網路。我們所在網路上留下的痕跡，絕對是超真實的自己，當然你不會期待這樣的自己被「搜尋引擎」、「網路廣告」公司了解得太透徹，好像你在網路上的一言一行，都被監視著。

．．０００0000\0；也可隱藏IP位置，避免被廣告商追蹤；更可以為你我阻擋惡意程式、釣魚軟體等，讓你防止被攻擊，以及被網路充斥的廣告打擾，好處多又多！

如果對於 Surfshark 還覺得不夠熟悉的話，不得不告訴大家，今年 Surfshark 榮獲第六屆 CyberSecurity Breakthrough 頒發的「VPN 年度最佳解決方案」（VPN Solution of the Year），也就是成為今年最推薦的 VPN 方案。CyberSecurity Breakthrough 是全球領先的獨立市場情報組織，致力於表揚當今全球資訊安全市場上的頂尖企業、技術和產品。有了他們「掛保證」，代表 Surfshark 絕對是品質、信譽都讓你安心的VPN 服務。

講了這麼多，是不是讓你感到很心動了。如果你原本就是網路重度使用者，用來上網的設備是樣樣都有，Surfshark 一個帳號就能支援所有設備，CP 值超高！趁著年度超狂黑五購物節的到來，送給你自己兩年安心無虞的網路生活，肯定是送自己的最好禮物！

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在我以數學家自居時，我所發現的最強大捷徑之一是，找到合適的用語來討論問題。很多時候，我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題，只要能找到另一種說法，把這道謎題轉化成新的用語，答案就會突然明朗許多。換個語言，我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中，辨認出奇特的相關性。

人生的大部分時間都是一場遊戲，但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲，可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候，發現了最令我興奮的啟示之一：

把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間──也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。

「合適的語言」

除非找到合適的語言來描述，否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在，「湧現」（從組成成分產生的性質）的概念就是一例。舉例來說，如果講水的個別分子 H₂O，很難描述水的溼潤性質。

儘管科學似乎暗示，你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式，但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言，就不容易了解總體經濟學；即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因，但使用個別財貨本身的語言，仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念，實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。

轉變帶來改變

找到不同的措辭來談論情緒狀態，可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」（這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號），你大可改說「悲傷與我同在」，於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯（William James）所寫的：

「我這代人最重要的發現是，人能藉著轉變心智態度來改變生活。」

然而語言的力量不單單影響個人，語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面，而民族國家的概念既是從語言中變出來的，也是由地理或一群人變出來的。

轉換語言有時意味著，某些能用某種語言清楚表達的想法，改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分，所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅（Heinrich Heine）寫說，覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚；在德文中，松樹是陽性名詞，棕櫚是陰性名詞，但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。

有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」，但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起，變成「savoiture et sa voiture」（他的車和他的車），因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中，你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞，但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過，模式（pattern）對我來說是重要的概念，然而當我嘗試把 pattern 這個字翻譯成法文時，卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。

我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡，老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上，接受布朗施維克公爵資助的高斯，差點就選擇讀語文學（研究語言史的學門），而不是數學。

數學背後的不只有一種「語言」

我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜，以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能，所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課：法語、德語、拉丁語，甚至開始收聽 BBC 的俄語廣播課程。

只不過，我在外語學習方面不像高斯那麼有天分，這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎，我變得非常沮喪。

此時貝爾森先生給我一本書，書名叫做《數學的語言》（The Language of Mathematics），我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言，但他也知道，我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。

我在這本書裡發現，數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事，對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀，數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙，你需要的不是德語、俄語或英語，而是數學。

《數學的語言》還告訴我，數學不只是一種語言，而是許多種語言，它很擅長創作詞典，可把一種語言轉換成另一種，好讓捷徑在新的語言中出現。

數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

換種方式讀懂世界

十六世紀的義大利科學家伽利略（Galileo Galilei），意識到代數語言理解自然界的本領，曾寫下一段很有名的文字：

「如果不先學會理解這種語言，認識它的書寫符號，就無法了解宇宙。它是用數學語言寫成的，所用的書寫符號是三角、圓和其他幾何圖形，沒有這些符號就一個字也看不懂；沒有這些，就會像在黑暗迷宮中徘徊。」

在宇宙的諸多故事裡，他希望讀懂的是，了解物體如何落地的難題。東西掉到地上或飛過空中的方式有什麼規律嗎？因為物體通常掉落得太快，要蒐集物體從高樓掉落的資料很困難，但伽利略想到聰明的點子，可放慢實驗速度，方便他蒐集所需的資料。他不是讓東西落下，而是去探討球滾下斜坡的方式，這對他來說速度夠慢，可以記錄球每過一秒滾動了多遠。

斜面必須夠平滑，球才不會因摩擦力減速。伽利略希望盡量接近球在空間中落下的情形。他搭起光滑的表面，開始記錄球每秒行進的距離，馬上就發現有個非常簡單的模式浮現出來了。如果球在一秒後移動了 1 單位的距離，那麼在下一秒它會滾過 3 單位的距離，再下一秒是 5 單位的距離。隨後的每一秒，球都在加速，滾過更多地方，但它走過的距離只有奇數。

等到伽利略考慮行進了一段時間的總距離，物體落地方式的祕密就曝光了。

行進 1 秒後的總距離= 1 單位

行進 2 秒後的總距離= 1 + 3 單位= 4 單位

行進 3 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 單位= 9 單位

行進 4 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 + 7 單位= 16 單位

你注意到模式了嗎？總距離永遠是平方數。但為什麼奇數會與平方數有關呢？把數字轉換成幾何，就可以找到答案。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體，這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。（我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。）其他形態的移動也一樣，如果是游泳，該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的，不值得奇怪。顯然，在這個情形當中，數學提供了各式各樣的模式，而被生物學拿來運用。很少不會用到，不管多麼奇特。

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用，除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的，兩者一定要一起演化，而不是個別的。另外，正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式，因此負責運動的神經網路，必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生，因為下面這個顯著的事實：像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式，跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前，就已經有一種普遍的步調韻律存在了，潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動，甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲，最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是，獵豹在追逐獵物時，可以跑到每小時一百一十公里，這移動真是快速啊！

生物體的種類這麼多，而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進，就像船一樣；像草履蟲（Paramecium）這類單細胞生物，則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

運動的數學模式形形色色，更是令人印象深刻：草履蟲鞭毛的移動有如行進波，就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波；細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的；蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進（圖七○）；響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動，像一個捲曲的彈簧；尺蠖走動時是尾巴頂到頭部，整個身子呈 ∩ 狀，然後前端再向前行並伸展成－字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動，偶爾慵懶地鼓翼一下，以有蹼的腳劃過水面，而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起；大象拖著沉重的腳步，緩慢橫過空曠的熱帶大草原，一次移動一隻腳（圖七一），模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

駱駝行走的模式又不一樣了：先同時移動兩隻左腿，然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」（pace）〕，身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式：跳一下，停一下，然後再跳一下；如果遇到警訊，就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般，滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata（地中海果實蠅）的幼蟲〕，會把自己扭曲成 ∩ 形，然後再伸直，就像一顆砲彈般跳入空中，形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》，2022 年 9 月，天下文化，未經同意請勿轉載。