樂透：一定會中獎，但機率小到不行！－《不大可能法則》

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

隨著科技的快速進步及生活水準的不斷提高，人類在日常生活使用的工具越來越複雜。面對推陳出新，源源不絕的各種新式工具，要如何有效地使用它們呢？看到這麼多的廣告，又要如何判斷它們的真偽呢？

這些應用科學的工具固然帶來許多便利性，但是使用者在不了解背後科學原理的情況下，也可能發生誤解，造成一些錯誤觀念以訛傳訛，反而促成不必要的浪費。本文便是筆者以日常生活中的見聞，來探討生活用品背後的一些物理原理與數學，期望能釐清一些迷思，讓讀者能夠撥雲見日。

電熱水瓶

在「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」一文裡，筆者提到了許多改變我們日常生活的現代科技，卻忘了非常重要的網路購物！事實上，除了菜市場外，筆者現在幾乎已不在任何商店買東西了。網路購物有一個很大的優點，那就是很容易比較不同品牌的商品。例如 2020 年筆者決定換個熱水瓶時，在美國最大的網路市場亞馬遜（Amazon）碰到一個問題：一般的熱水瓶（如松下）大約只要美金 100 左右，唯獨像印（Zojirushi）卻有高達美金 200 元以上的熱水瓶；仔細比較一下，唯一的大不同是後者有真空保溫的外層。一向節儉慣的筆者幾經思考後決定購買 4 公升裝的松下。

在透過提高裝貨運送速度、實施更嚴格的賣家驗證流程來應對假冒產品的擔憂後，中國大陸的「全球速賣通」（AliExpress） 似乎已重返美國市場，筆者最近兩、三年也開始敢在其網站購物了。數月前看到它廣告只要美金 150 元的像印真空保溫熱水瓶，一向喜歡佔小便宜的筆者就買了一隻，讓筆者有實際的數據來比較像印的高價是否值得。像印的規格資料謂保持在 90℃ 的平均功率是 24 瓦特；美國聖荷西市的電費是每一度（千瓦小時）0.39 美元，因此每年用在保溫的電費為

松下的規格資料謂保持在 88℃ 的平均功率是 39 瓦特，因此每年用在保溫的電費是

即像印熱水瓶每年可節省約 51 美元的保溫費！值不值得高價買像印熱水瓶那就看讀者準備要用多久了。筆者的松下熱水瓶用了 4 年多，因此後悔當初沒有買比較貴的像印真空保溫熱水瓶了！

一般電熱水瓶均有所謂的「節能定時器功能」：因為晚上睡覺時不用熱水，所以在睡覺前將熱水瓶關掉，可以設定幾小時後，再自動加熱，讓讀者起來時立即有熱水泡茶或沖咖啡。這看起來是很方便，但真的節能嗎？

讓我們在這裡來分析一下吧。如果有科學儀器幫忙，分析將是輕而易舉；但事實上即使沒有，我們還是可以做很多有意義之分析的。我們關掉熱水瓶的電後，其溫度將類似圖一的紅線下降（註一），「最後」到達室溫。理論上「最後」應是慢慢逼近，永遠不可能達到室溫的。

但在實應上，我們可以說到達 1.5 之 x 座標時已經是室溫。而 1.5 到底是多少小時，則因電熱水瓶的設計及室溫之不同而異。如果設定的節能定時 x ≤ 1.5，那麼熱水瓶所散的熱正好由重新啟動的加熱補上，所以根本沒有節能；如果設定的 x > 1.5，則因熱水瓶在 x ≥ 1.5 後就已經不再散熱了，而沒有關掉的熱水瓶仍必須繼續保溫（圖一藍線），所以關掉熱水瓶是值得的、有節能的效果。

松下熱水瓶只有一個 6 小時的定時，筆者夏天做了一個實驗，發現 7 小時後還是室溫，所以沒用過它的「節能定時器功能」；像印松下熱水瓶在 6-12 小時間有 6 個定時。

便攜式空調

聖荷西夏天很熱的時間不長，因此筆者一直想買容易移動的「便攜式空調」（portable air conditioner），以便炎暑一過就可以收起來。以「portable air conditioner」搜尋亞馬遜網路市場，發現有價格差異很大的兩種空調：一種大約在美金 100 元以下，另一種則大約在 200 元以上。

仔細「研究」發現其差異是前者不必要往外面排熱氣，後者必須有管子通到外面以便排掉熱氣。我們知道能量不滅定律，如果用電產生的熱不往外排掉，那熱只能留在房間內，房間只會越來越熱，不可能變冷的！所以這類的「冷氣機」（圖二）只能像電扇一樣，讓你在電扇前面感到涼爽而已！

事實上比電扇好一點的都加了一個水箱，利用蒸發水會吸熱，讓你感到的風比電扇更冷一點，所以價錢比普通電扇高一點。這種電扇在乾燥的地方事實上是一雙箭雕：除了吹冷風外，同時可以增加空氣的濕度；但是在濕度很高的台灣，其結果可能讓人感到更悶、更難受。

為什麼要使用水呢？除了是最常見的物質之外，水俱有許多其它物質所沒有的性質（參見「奇妙的水分子」），例如氣化熱（一克的水蒸發成一克的氣體所需的熱）、比熱（將一克的水提高溫度一度所需的熱）等等均比其它物質高出許多，所以我們馬上將看到水也常來當冷卻劑。

前面所談到之兩種空調在外表上的不同是「往外面排熱氣的管子」，在內部構造上則是「壓縮機的有無」。壓縮機將氣態冷媒擠壓成液態時會產生大量的熱，冷氣機必須透過「熱交換」將它們丟到外面去，這就是為什麼「真正的冷氣機」需要有通到外面的排氣管。被壓縮的冷媒到了壓力較低的地方會立即透過「熱交換」吸熱膨脹成氣態的冷媒。前者「熱交換」的媒體主要是室外的空氣（為了提高效力，大冷氣機會用水），後者則是室內的空氣（見圖二）。

沒有排氣管的冷氣機

所以真正的冷氣機應該要有排氣管，但筆者在網路上逛店時卻發現有壓縮機、但沒有排氣管的冷氣機！例如有一款「HANLIN HS02 移動冷氣 行動空調」廣告謂：「商業級強勁壓縮機秒速制冷，快速降溫，讓酷暑瞬間消散；……。免排水高溫自蒸發系統，內建水箱設計，開機預設開啟，免排水冷凝水，高溫排風自動霧化」。從產品特色看來，壓縮機所產生的熱量應該是用來蒸發（霧化）「水箱」的水（見圖三）。讓我們在這裡利用能量不滅定律來看看是否可行。

該產品的規格謂其冷氣量為 1400 瓦特，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量。前面提到水的汽化熱很高，約為每公克 2260 焦耳；因此該機器每秒鐘能蒸發掉約 0.62 公克（1400/2260）的水。也就是說為了保持室溫不變，一小時必須蒸發掉 2230 公克（2.23 公升）的水。因此除非水箱是 24 公升大，「12 小時預約定時，可設定開關機時間，方便您的生活」是絕對不可能的！還有，這些蒸發的水氣很快就會達到飽和點、結合成液態水，釋放出其剛吸收的汽化熱到室內，不可能降低室內溫度的！在廣告中他們特別介紹了「外出露營帳篷使用方法」，相信那才是該冷氣機可以真正發揮功能的地方；而商品配件中的「排水管」應該是用來「勸」我們在室內使用吧？

所以用蒸發水來冷卻壓縮機似乎是不可行的，但因為水的比熱較空氣高多了，循環「水箱」的水來冷卻壓縮機效益應該比空氣更高（見圖三），可行嗎？

DIKE 多功能移動式瞬涼水冷氣 HLE700WT就是基於這種想法的一個產品。其廣告謂：創新「無排熱管」冰風機，採用水冷循環及高效壓縮機製冷，出風降溫至 14℃，搭配獨立除溼、送風三合一功能四季都適用！前面涼快，後面涼快，無須排熱風管免窗戶施工。…製冷前需先將水箱加水，維持水循環運作，水箱裝滿 4 公升時可持續製冷 8 到 12小 時，一整天都涼爽。因為水是熱交換媒，因此廣告特別強調「大容量水箱」，讓我們在這裡也利用能量不滅定律來看看是否可行。

廣告中沒有提到冷氣量，讓我們在這裡假設與前面那款冷氣機一樣（1400瓦特）吧，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量，或每小時可以拿掉5040千焦耳的能量。前面提到水的比熱很高，將1公克的水提升溫度一度需4.2焦耳；因此4公升（4000克）的水從30°C提升到100°C 水滾前可以拿掉1176千焦耳（4.2 x 4000 x 70）的熱，也就是說僅能夠拿掉冷氣機0.23小時的壓縮熱能（1176/5040）！

彩券與選擇題

美國有許多州聯合起來的「百萬大獎」（Mega Millions）：玩家可以從兩個獨立的數字池中挑選六個數字——從 1 到 70 中的五個不同數字（白球）和從 1 到 25 中的一個數字（金色百萬富翁球）。學過排列組合的讀者應該可以算出其得獎或然率是 302,575,350 之一（註二）。

美國的人口約為 335 百萬，估計絕對不會有半數以上的人買，所以其設計是每次有人中獎的機會不大，獎金下移累積，因此三不五時會出現一個大獎來製造大新聞。例如有一次大獎是 12.2 億美元，而每張「百萬大獎」券才 2 元；這麼高的「益本比」確實是相當吸引人，因此到處出現大排長龍購買，讀者會加入行列嗎？

數學及經濟學上有一稱為「預期價值」（expected value）——隨機變數可能的值，乘上其機率的總和——來幫助我們決定是否值得投資。例如假設拋硬幣正面的或然率為 2/3，反面的或然率為 1/3 ；如果擲出正面，您輸掉 $6，反面您贏得 $10；您賭嗎？這遊戲的「預期價值」為：

即平均而言，每次玩此遊戲大約會輸掉 $0.67，所以不值得玩。我們就用這個方法來看看是否值得去排長龍買「百萬大獎」吧。因為一定要買才能中獎，所以嚴格說來，在這裡不能用「預期價值」。但因為中獎幾率可以說是零，所以在這裡假設沒必要買，只是去選號碼，沒中獎時才交$2.00：

也就是說即使每次都是大獎，我們每次只要去排隊選號就可以得到$2.00。筆者雖然退休了，沒什麼大事可做，還是不會浪費時間去排隊購買的；當然，如果是因為愛國，那就另當別論了！

但是如果有 $302,575,350 將所有的組合都買下來，那不是一定可以中獎得到 $12.2 億嗎？筆者謹在此建議「泛科學」讀者成立「美國愛國獎券基金會」，募款 $302,575,350 讓我們一起發財吧（註三）！

除了投資及愛國獎券外，「預期價值」在日常生活中事實上還有一個非常有用的地方：那就是決定考試選擇題的策略。早在 1977 年當筆者還不知道什麼是投資時，就已經用常識分析了這個問題：

現行（大學入學分科測驗）倒扣的計算方法（如五選一，答對 1 分，答錯扣 0.25 分），任何只要具備簡單或然率知識的人均能算出：如果考生「完全瞎猜」，則得分數與倒扣分數剛好互相抵消。

上面這種稱為「邁可生倒扣公式」的預期價值是

在這種倒扣方法下，最佳戰略應該如何決定？顯然地，如果在五個答案中，我已經知道一個或一個以上的答案是錯的，那我應該答，因為得分的或然率已高於倒扣分的或然率：

但是如果我很不幸地「完完全全不知」呢？那因為答了也不吃虧，所以也應該答！！！總而言之，不管怎麼樣，每題都應該答！記住，每題都應該答！

「倒扣」的記分方法原有遏止考生投機的用意，可是根據上面的分析，邁可生倒扣公式不僅達不到遏止投機的目的，反而會助長之；所以，如果要避免考生猜題，倒扣比例應該提高。現在讀者應該不難算出：如果倒扣為 0.30 分，那麼邁可生倒扣公式之預期價值便變成 -0.04，就不值得瞎猜了！

結論

像印牌熱水瓶使用真空保溫，散熱率較低，也因之價格較高，但長期使用下來還是值得的。熱水瓶的「節能定時器功能」是否節能得看環境及定時長短。

「真正的冷氣機」一定要具有能「往外面排熱氣的管子」，否則因為能量不滅的關係，所有的熱只能留在室內，或許可以讓站在出風口處的人感到冷風或冷氣，但是絕對不可能使室溫下降的。事實上根本不需要分析，簡單的邏輯告訴我們：不拿熱到外面的任何機器都不可能讓室內冷下來的！筆者最後還是買了一款定價高一點、體積大很多、有管子通往外面、不怎麼方便的「便攜式空調」（註四），其冷氣量高達 4100 瓦特，為「HANLIN HS02 移動冷氣」的3倍！

美國之「百萬大獎」的「益本比」雖然可以上十億，但投資報酬率（預期價值）似乎太低，不值得浪費時間排隊去買的。如果考試選擇題採用的是「邁可生倒扣公式」，那即是完全不知道答案，也應該每題都要回答！

附註

（註一）只要透過基本微積分就可以導出來。熱水瓶的溫度（T）下降速率應該正比於散熱係數（σ）及裡外溫差（T-T_o）：

式中的 T_o 為室外溫度，解得

式中的 T_w 為熱水瓶的設定溫度（即 t=0 時的溫度）。

（註二）選一「白球」的方法有 C(70, 5) ，選五「金色百萬富翁球」的方法有 C(25, 1) ， 所以選一「白球」及五「金色球」的方法有：

（註三）筆者尚不知如何買下所有的 302,575,350 組合，請讀者提供高見。

（註四）事實上是冷暖兩用機：圖三中的室內、室外互換即成暖氣機。當暖氣機用時，因為要從室外拿熱進來，其效率比一般只在室內用電加熱的「純電熱器」高（2.7：1）。

延伸閱讀

• 「奇妙的水分子」，科學月刊，1979年1月。
• 「聯考與選擇題」，科學月刊，1977年8月。
• 「日常生活中的物理與化學」，科學月刊，2010年12月。
• 「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」，泛科學，2023/03/08。
• 《我愛科學》，華騰文化有限公司，2017年12月出版；內含「奇妙的水分子」、「聯考與選擇題」、「日常生活中的物理與化學」。

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。