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樂透:一定會中獎,但機率小到不行!-《不大可能法則》

PanSci_96
・2015/01/12 ・2227字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 485 ・五年級

有一件事深受必然法則影響,只是我們或許沒有察覺,那就是樂透。

根據我手上的《新牛津英語字典》(New Oxford Dictionary of English),樂透的定義為「藉由販售編號票券並發獎金給持有某一隨機選中之號碼的票券者來集資的方式」。這套作法由來已久,同樣的原理也早就被人用來挑選陪審團成員和理事會代表。一七六三年,西班牙國王卡洛斯三世(Carlos III)推出樂透來募款,以資助西班牙部隊參與拿破崙戰爭。然而,樂透經常會讓發行者和道德上反對樂透的人彼此對立。的確,由於樂透中獎率極低(還記得那一株草嗎?),不少人認為這只是一種從窮人和最買不起樂透的人身上榨取金錢的手段。

目前的樂透彩券上,通常會有一小組從一大群數字中選出的號碼。例如英國國家彩券上有六組號碼,購買者可以挑選從一到四十九的整數;芬蘭樂透彩從三十九個數字中選出七個;美國賓州凱許五號彩券,從四十三個數字中挑出五個;佛州新范特西五號彩券則從三十六個號碼挑選五個。有時為了方便起見,這類樂透稱為r╲s彩券,其中s是可挑選的號碼總數,r是應挑的號碼數,例如英國國家彩券的s是49,r是6。你手上的彩券要對中由電腦隨機選出的r組號碼,其機率由r和s的數值共同決定。兩者數值愈大,單張彩券的中獎率就愈低,因為從s組號碼中選出r組號碼的可能組合也愈多。購買一張英國國家彩券,中獎(分得彩金)的機率為1/13,983,816,約為一千四百萬分之一。國家彩券的宣傳說得沒錯,你也可能中獎!只是它沒有告訴你,那機率小到不行。[1]

有些樂透彩券會要求購買者挑選兩套號碼,例如歐洲百萬樂透彩券除了必須從前五十個整數中挑出五個數字,還要從前十一個整數中再挑兩個,因此是5╲50+2╲11彩券。美國威力球樂透必須從前五十九個整數挑選五個,再從前三十五個數字挑選一個,是5╲59+1╲35彩券(不過這些數字以往曾經更改過)。隨機選號的威力球彩券,中獎機率是1/175,223,510。

假設你買了一張威力球彩券,也就是從一到五十九中選了五個數字,又從一到三十五中選了一個數字,結果中了頭獎,你可能會覺得自己很幸運。你在挑選號碼時也許有什麼邏輯,如出生年月日,這時就可能用第二章提到的某個因素來解釋。但你也可能是用電腦快選機制挑的號碼(大多數樂透彩都有這種隨機選號服務),這時你或許會說頭獎開出同樣的號碼只是巧合。

然而,要是有175,223,510個人買了威力彩,而且號碼都不相同,那麼絕對可以保證會有一個人中頭獎。因為彩券只有175,223,510個號碼可選,全都被購買者買下了。

這讓你有辦法必中頭獎—只要你錢夠多,買下所有的號碼,一定會有一張中獎。這麼一來,顯然需要強大的動員能力和雄厚的財產,才能買下這上億張的彩券,但不是不可能。事實上還真有人做了。

一九九○年代,美國維吉尼亞州立彩券是從一到四十四中選出六個號碼,頭獎機率是1/7,059,052。這個中獎機率比威力球高多了,只要花費約七百萬美元就能保證買到頭獎彩券,因為所有彩券都在你手上。

一九九二年二月十五日,由於連續數週沒有人中獎,維吉尼亞州立彩券的頭獎彩金飆漲到兩千七百萬美元,創下驚人的新紀錄。其他小獎(部分號碼跟頭獎號碼相同)的總獎金也有九十萬美元,因此總額超過兩千七百萬美元。你可以自己計算:只要花七百萬美元,就能贏得兩千七百多萬美元—不過事情沒這麼簡單,我們晚點再談。

於是,同年二月,一群自稱是國際樂透基金的成員召集了兩千五百位小額投資民眾,湊足了買下所有號碼組合的七百多萬美元。這些投資者多數來自澳洲,但也有來自美國、歐洲和紐西蘭的民眾。

這項工程最困難的或許是動員與調度,因為這些人必須在一週之內買到總價值七百萬美元的所有彩券。國際樂透基金派了二十人小組到維吉尼亞州,從八家連鎖商店旗下的一百二十五家超商及雜貨店蒐購彩券。事實上,由於工程實在太過浩大,他們最後只買到總額五百萬美元的彩券。這真是非常不妙,因為你不難想像他們的焦慮:中頭獎的機率只剩七分之五,不再是百分之百,而且錯過頭獎的機會更超過四分之一。

然而,集資撈獎還有一個更嚴重的風險,並且就算順利達成計畫,買下總值七百萬美元的所有彩券,風險依然存在。那就是可能會有其他人也選中頭獎的號碼。只要有另一人中獎,集資者拿到的彩金就會少一半。事實上,州立彩券過去一百七十次開出頭獎,有十次得主不只一人。雖然只多一人中獎,集資民眾分得的獎金依然可觀,但風險實在不容小覷。

二月那天的頭獎號碼是8、11、13、15、19和20。集資者拿著價值五百萬美元的彩券焦急對獎,結果真的被他們買到了。

然而,如釋重負的感覺沒有持續太久。維吉尼亞州法律為了防止有人買入彩券後高價轉售,規定每張彩券均須在購買的端點當場付款。但集資者有價值三百萬的彩券是直接向新鮮農場超市總部購買,再去端點領取的。集資者坦承不諱,但強調他們也在切薩比克那家開出頭獎的彩券行直接購買了彩券,因此無法判斷那張中獎彩券是在那家彩券行或是向新鮮農場超市買的。

最後,彩券發行商認為證明非常困難,追究只會陷入冗長的訴訟,而且不一定會有明確的結果,因此決定將彩金發給集資者。

不大可能法則書封本文選自《不大可能法則》,大塊文化出版

參考資料:

  1. 樂透彩的宣傳標語通常自成一格。美國麻薩諸塞州樂透彩的標語只偏離了事實一點點:買了就會中(但忘了提中獎彩券可能沒有半個人買到)。奧勒岡州彩券的標語就有一點遊走道德邊緣了:「買樂透做好事。」科羅拉多州彩券的標語非常簡單:「記得買一張。」北卡羅來納州樂透彩則是不說廢話:「有買才會中。」
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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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你能想像棒球穿牆嗎?突破物理世界的常識:量子穿隧——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/20 ・1226字 ・閱讀時間約 2 分鐘

想像一個全壘打王,面對前方的來球,大棒一揮,球越過了全壘打牆,到了牆的另外一邊。

Home~~~Run!圖/GIPHY

但假如,那個全壘打牆變成了兩層樓高呢?也許,他更大力地擊球(給球更多的能量),那顆球還是能夠飛越過全壘打牆,到牆的另外一邊。但如果,那全壘打牆變成了三十層樓高呢?我想會認為,除非靠機器,否則再厲害的全壘打王,不管用了多少力氣,他應該都無法讓球飛過三十層樓那麼高。

上述的例子,正顯示了我們日常生活中的物理原則:只要物體(球)的能量不足以跨越障礙物(牆),那麼它永遠不可能到達障礙物的另一側——但是,在量子的世界,卻不是這樣。

粒子是怎麼跨越各種障礙的?

量子力學裡,一個粒子具備的能量即使不足以跨越障礙,它仍然有小機率會出現在障礙的另一邊;而且,若粒子的能量跟跨越障礙所需要的能量愈接近、或是說只少一點,那麼這個粒子出現在障礙另一邊的機率就愈大。

這樣神奇的現象,彷彿就像是粒子挖了隧道穿過障礙一般(儘管並沒有真的隧道),所以稱為「量子穿隧」效應。

不過,在丟球的例子裡,我們可以想像,若是牆愈高或愈厚,那麼球就愈難飛過牆壁。同樣地,在量子力學的情形下,雖然粒子有可能在能量不足的狀況下穿過障礙,但要是障礙無限高或無限厚的話,那麼粒子就還是過不去的

儘管在量子力學的情況下,障礙無限高或無限厚,粒子還是過不去的。圖/Envato Elements

事實上,量子穿隧效應跟我們先前提到的「物質具有波的特性」非常有關係。想像水池中間有一顆大石頭,池中的水波在遇到石頭這個障礙物時,會從旁邊繞道而過;但如果是一般物質,一旦遇到障礙物就直接被擋住了,沒辦法繞道而行。

就是因為在量子世界,物質也具有波的特性,我們才會看到粒子的穿隧效應。儘管量子效應感覺很奇特,但它在很多方面都有實際的影響。

例如,我們知道太陽核心是依賴核融合反應來產生能量;在過程中,會將兩個氫原子核,融合成更重的原子核。但因為氫原子核都帶正電,要抵抗正電荷間的排斥力,將它們融合在一起,其實非常困難。也幸虧有量子穿隧效應,太陽內部的氫原子核才能克服電荷排斥力的阻礙,順利融合在一起,並製造能量。

所以,在地球的我們,能夠享受到太陽的光和熱,說起來也要感謝量子穿隧效應呢!

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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「量子狀態」聽起來好難?其實就是機率與疊加——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/19 ・1256字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

想像我們往水池內丟兩顆石頭,以石頭的落點為中心,會個別產生漣漪,在水面上擴散開來。

而當兩個漣漪互相接觸時,交會之處的水面其實同時反應了兩個漣漪的影響;可以說,兩個漣漪疊加在一起了。漣漪是靠水傳遞的一種波,稱為水波;而「疊加」的現象,就是屬於波的一種特性

當兩個漣漪相互接觸時,會疊加在一起。圖/Envato Elements

物質的波,也就是物質波,同樣存在疊加的特性。只不過,物質波跟水波不同的地方在於,它不需要依賴「水」這種實際的東西來傳遞,而是一種「機率波」。機率波的數學形式長得像波,而它代表的,是量子系統處於不同狀態的機率分布

量子系統的狀態:機率波

當我們在描述量子系統的狀態時,就會用到「機率波」的概念。舉例來說,在電玩遊戲中要是打怪成功,死掉的怪物會留下寶物。怪物可能有 50% 的機率掉落寶物 A,也有 50% 的機率掉落寶物 B,但我們不會在事前就知道怪物會留下哪種寶物。

所以,怪物可以說是同時擁有「掉落寶物 A」和「掉落寶物 B」這兩種狀況,直到我們成功打完怪,才能確定牠究竟帶哪一種寶物。類似地,機率波告訴我們的,就是量子系統「有多少機率處於狀態 A、又有多少機率處於狀態 B」的資訊;如同兩個水波在水面上疊加,A 和 B 這兩個狀態同時存在這個量子系統上。所以,我們把量子系統「同時處於不同狀態疊加」的狀況,稱為「疊加態」

直到我們打怪成功,才能確定究竟掉哪一種寶物。圖/GIPHY

另一方面,也跟打完怪物才知道掉什麼寶物類似,在我們實際觀測量子系統前,並無法知道會看到狀態 A 還是狀態 B,要觀測完才會知道。因為量子疊加的特殊性質,科學家想到,或許可以拿來做一些實際的運用。

例如,在現代的電腦運算中,「位元」是資訊的最小單位,可以用 0 或 1 這兩個數值來表示。那麼,我們也許能夠把「同時存在兩種不同狀態的量子系統」當作位元使用,讓它的兩種狀態分別代表 0 跟 1 來儲存資訊,而這就被稱為量子位元

由於物理性質的不同,量子位元在某些狀況下,可以運算得比傳統位元更有效率;利用量子位元建構的電腦,就稱為量子電腦。雖然目前已經有少數量子電腦問世,能以最多一百多個量子位元進行運算,但要能大規模運用在日常生活中,除了要再想辦法增加量子位元之外,還有許多難題要克服,所以,現在就先讓漫畫的想像來代替很可能成真的未來吧。

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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