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用積木創作,進行空間的四則運算──《轉幾.轉積.轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》臺灣在地的數學藝術展

Sharkie Lin_96
・2017/12/23 ・3888字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 499 ・六年級

「木刻是減法,泥塑是加法,積木可以加減乘除!」– 吳寬瀛

積木是空間體操,雙手與大腦合力思考,掙脫被紙筆測驗困住的平面。以兒時熱愛的積木為素材,吳寬瀛老師在指間進行空間的四則運算,讓抽象深奧的數學化為具體可見的雕塑,排列組合出幾何造型的無限可能。

自 12 月 1 日開展的《轉幾.轉積.轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》「轉幾.轉積.轉機」為主題,透過「平面幾何」與「立體幾何」兩種維度,呈現吳寬瀛老師充滿想像力的幾何創作,期待觀者從中感受創作的純粹與熱情,發掘數學的理性與感性。

展場設置積木體驗區,讓我們放下手機,與吳寬瀛老師一起翻「轉幾」何、玩「轉積」木,找尋屬於自己的「轉機」,喚回天真爛漫的赤子之心吧。

國內近來相當多積木展,像是奈森.薩瓦亞(Nathan Sawaya)的《潮!積木》以及西恩·肯尼(Sean Kenney)的《動物大奇積》創作,這回我要來介紹的展覽《轉幾.轉積.轉機》同樣精彩,是國內幾何雕塑家吳寬瀛老師的積木幾何創作展,也是繼上回介紹《多面自造》展後,嘉義大學委託我們策劃的第二檔數學藝術展。

這一檔我們推出可轉可翻可玩的超可愛文宣,對摺以後翻開來變成藍色「轉幾」,轉正後對摺翻轉文宣後得到黃色「轉積」,紅色「轉機」設計則是由木構作品而來,示範影片在此:

《轉幾.轉積.轉機》到底在轉什麼呢?展覽作品分成平面幾何與立體幾何兩種維度,其中立體幾何包含積木與木構作品,平面幾何包含各式對稱圖樣與多邊形,接下來我們就來介紹一些這次展覽吳寬瀛老師的TICO積木創作吧!

玩轉積木!TICO積木創作作品

門格爾海綿(Menger Sponge)為立體碎形的經典代表,每一面都是謝爾賓斯基地毯,不同尺度縮放自如依舊自我相似為碎形的重要特性。下圖為吳老師親自拆解門格爾海綿,讓大家知道如何以模組化的積木堆疊方式創作。

〈門格爾海綿〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

下圖左方兩件相似卻不同的碎形作品,是吳老師展覽以來首次背對背擺放在一起,方便大家在展場比較異同之處。這兩件作品的特點是只要觀看的視角改變,看到的形狀也會跟著變換,像是從作品前方會看到三角形,從作品上方則會發現原來是正方形組成的。

相較於下圖左方兩件作品的實體碎形,右方看起來像是兩個金字塔上下接在一起的作品,則是以空隙中的陰影呈現自我相似的碎形,此件幾何藝術作品以光影探討明暗、虛實、陰陽等概念;吳寬瀛老師的作品中除了強調造型本身,影子更是作品不可或缺的一部份。

碎形作品。圖片來源:轉幾‧轉積‧轉機
金字塔-碎形系列創作。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

〈99乘法變形〉為吳寬瀛老師最近探討數與形的新創作,由四個九乘九矩陣加上最高點十乘十組合而成,其高度為兩個數字乘積後的值。我對這件作品特別有共鳴,因為吠陀方形吠陀立方兩者的數學原理皆是從九九乘法表延伸而來。

〈99乘法變形〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

別以為積木組出的造型就只能是方方正正的,吳老師用突破框架的想像力和特殊的連結方式,讓積木轉彎了,以下是顛覆想像的曲線系列:

曲線系列。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

除了精彩的立體作品之外,還有一件特殊的平面作品可以讓觀眾動手操作翻玩,甚至可以讓正方形斜斜地相互卡住,讓不同大小的正方形邊長形成曲線,類似蛇形藝廊2002設計概念,有趣到難以用言語形容,還好有吳寬瀛老師親自示範的影片可看:

圖片來源:轉幾.轉積.轉機
積木創作區展場照。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

這次展覽不只積木幾何創作,吳寬瀛老師還加碼展出木構創作如下,像是這件以〈費氏數列〉 1,1, 2, 3, 5, 8為立方體邊長的可拆解作品,除了形狀很有美感,老師也使用了質樸的材質。第一次看見這件作品的時候聯想到臺北二二八公園的紀念碑,但其實兩者並不相同。

〈費氏數列〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

吳寬瀛老師的作品不僅造型優美,從木構作品的卡榫、導角等小細節,都可以看出吳老師紮實的木工基礎,上一檔展覽《多面自造》的展場木工為吳老師親自操刀,2017數學年會的紀念品「有秩序的糾纏」材料包是由老師及林義強老師共同設計,再由吳老師製作。

〈砲城〉為碎形系列創作。圖片來源:轉幾.轉積.轉機
從這個角度看〈螺旋線〉,還以為漂浮在空中呢!圖片來源:轉幾.轉積.轉機
木構創作區展場照。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

這次展覽呈現了吳寬瀛老師巧妙連結數學與童趣經驗的「轉積」,以及融合結構力學與美學的「轉幾」,接下來我們就來聊聊積木是如何成為藝術家一生的「轉機」。

三歲開始玩積木成為人生轉機

圖片來源:吳寬瀛藝術工作室

吳寬瀛,1958年出生於新竹,現居住與工作於高雄,臺灣著名幾何雕塑家。

為延續從3歲開始對積木的熱情而成為教師,27歲進入大學就讀,畢業於國立彰化師範大學工業教育與技術學系,後於高雄高工電腦機械製圖科任教並退休。

吳寬瀛老師的創作多元且富實驗性,小至積木雕塑大至公共藝術,皆以數學為基礎進行縝密計算,結構造型多變同時蘊含秩序之美;多年培養的身體感讓他創作時經常進入心流狀態,沉浸在與自身對話的時間。理性的數理思維與感性的創作經驗相互交融於作品中,充分體現吳寬瀛老師對數學的豐富想像與旺盛熱情。

為了這次策展,我們貼身採訪吳寬瀛老師許多次,也曾拜訪了座落在高雄大寮農田間的吳寬瀛藝術工作室,這是個連 google map 都定位不到的地方,裡頭卻藏著各式有趣的積木作品,以及從3歲開始熱愛玩積木的一顆赤子之心。

吳老師從小數學成績不好,透過玩積木知道自己空間理解力強並不因此沮喪,他為了有個穩定的工作能夠繼續玩積木,因此辭掉工作去補習班準備聯考,對當時的他來說是個很大的賭注。吳老師打趣地說,讀了這一年死書讓他變笨。

自國小三年級從新竹搬到高雄旗津,吳老師幾乎每天都過著去海邊潛水抓螃蟹和龍蝦的生活,玩水之外還可以拿去賣錢。早期的這段經歷,讓吳老師練就十分驚人的體力與意志力,因此多年來能夠不斷創作與挑戰各種類型與尺寸的幾何作品,他在五十歲之前的一日睡眠時間經常少於四小時。

吳寬瀛老師經驗豐富且規劃縝密,強大的氣場讓人非常安心,在佈展過程中他總是說「不急」,提醒大家先想好再行動,工作起來輕鬆又有效率。除此之外,吳寬瀛老師還能因應場地調整作品尺寸,自在把玩積木當場創作,根本已經達到人積合一的境界。

經過這幾個月的相處,私底下的吳寬瀛老師其實非常幽默,與上面那張藝術家照片中的冷峻感有股奇妙的反差,像是曾經用過《人到中年還有夢,禿頭一片天》當作藝術展覽標題,有觀眾因此跑來還以為是在治禿頭呢。

創作以外,吳寬瀛老師經常帶領工作坊,以積木與木條讓孩童/成人跳脫平面紙筆計算,從遊戲中產生對數學幾何的興趣。問到與孩童互動的秘訣時,他認為這是自然而然的,在過程中除了技術的傳授之外,還要照顧到觀眾的情緒,畢竟在課堂中學生經常被迫學習。

我們策這兩檔展覽希望能讓大家掙脫紙筆測驗中的數學夢魘,因此並未強調數學實用的那一面,而是想傳達數學的本質其實就和藝術一樣,需要無限的想像力;吳寬瀛老師巧妙結合理性的數學與感性的美學於作品中,誠摯邀請大家到展場走一趟感受吳老師對數學的豐沛想像力,讓雙手與大腦合力思考,一起用積木作個空間體操。

吳寬瀛老師和他熱愛的大型索瑪立方。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

「木刻是減法,泥塑是加法,積木可以加減乘除。」– 吳寬瀛

"Carving is subtraction and moulding is addition, while bricks can solve them all." – WU Kuan-Ying

《轉幾‧轉積‧轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》展覽資訊

參考資料:

  1. 吳寬瀛藝術工作室粉絲頁
  2. 數學不僅擁有真, 而且擁有非凡的美–Artist 藝術家吳寬瀛 積木幾何世界
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Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
103 篇文章 ・ 221 位粉絲
張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。