地表最速乘法傳說！碰到大得要命的數字，這是最快的乘法方式

本文與 高柏科技 合作，泛科學企劃執行。

當我們談論能擊敗輝達（NVIDIA）、Google、微軟，甚至是 Meta 的存在，究竟是什麼？答案或許並非更強大的 AI，也不是更高速的晶片，而是你看不見、卻能瞬間讓伺服器崩潰的「熱」。

 2024 年底至 2025 年初，搭載 Blackwell 晶片的輝達伺服器接連遭遇過熱危機，傳聞 Meta、Google、微軟的訂單也因此受到影響。儘管輝達已經透過調整機櫃設計來解決問題，但這場「科技 vs. 熱」的對決，才剛剛開始。 

不僅僅是輝達，微軟甚至嘗試將伺服器完全埋入海水中，希望藉由洋流降溫；而更激進的做法，則是直接將伺服器浸泡在冷卻液中，來一場「浸沒式冷卻」的實驗。

但這些方法真的有效嗎？安全嗎？從大型數據中心到你手上的手機，散熱已經成為科技業最棘手的難題。本文將帶各位跟著全球散熱專家 高柏科技，一同看看如何用科學破解這場高溫危機！

運算=發熱？為何電腦必然會發熱？

這並非新問題，1961年物理學家蘭道爾在任職於IBM時，就提出了「蘭道爾原理」（Landauer Principle），他根據熱力學提出，當進行計算或訊息處理時，即便是理論上最有效率的電腦，還是會產生某些形式的能量損耗。因為在計算時只要有訊息流失，系統的熵就會上升，而隨著熵的增加，也會產生熱能。

換句話說，當計算是不可逆的時候，就像產品無法回收再利用，而是進到垃圾場燒掉一樣，會產生許多廢熱。

要解決問題，得用科學方法。在一個系統中，我們通常以「熱設計功耗」（TDP，Thermal Design Power）來衡量電子元件在正常運行條件下產生的熱量。一般來說，TDP 指的是一個處理器或晶片運作時可能會產生的最大熱量，通常以瓦特（W）為單位。也就是說，TDP 應該作為這個系統散熱的最低標準。每個廠商都會公布自家產品的 TDP，例如AMD的CPU 9950X，TDP是170W，GeForce RTX 5090則高達575W，伺服器用的晶片，則可能動輒千瓦以上。

散熱不僅是AI伺服器的問題，電動車、儲能設備、甚至低軌衛星，都需要高效散熱技術，這正是高柏科技的專長。

「導熱介面材料（TIM）」：提升散熱效率的關鍵角色

在電腦世界裡，散熱的關鍵就是把熱量「交給」導熱效率高的材料，而這個角色通常是金屬散熱片。但散熱並不是簡單地把金屬片貼在晶片上就能搞定。

現實中，晶片表面和散熱片之間並不會完美貼合，表面多少會有細微間隙，而這些縫隙如果藏了空氣，就會變成「隔熱層」，阻礙熱傳導。

為了解決這個問題，需要一種關鍵材料，導熱介面材料（TIM，Thermal Interface Material）。它的任務就是填補這些縫隙，讓熱可以更加順暢傳遞出去。可以把TIM想像成散熱高速公路的「匝道」，即使主線有再多車道，如果匝道堵住了，車流還是無法順利進入高速公路。同樣地，如果 TIM 的導熱效果不好，熱量就會卡在晶片與散熱片之間，導致散熱效率下降。

那麼，要怎麼提升 TIM 的效能呢？很直覺的做法是增加導熱金屬粉的比例。目前最常見且穩定的選擇是氧化鋅或氧化鋁，若要更高效的散熱材料，則有氮化鋁、六方氮化硼、立方氮化硼等更高級的選項。

典型的 TIM 是由兩個成分組成：高導熱粉末（如金屬或陶瓷粉末）與聚合物基質。大部分散熱膏的特點是流動性好，盡可能地貼合表面、填補縫隙。但也因為太「軟」了，受熱受力後容易向外「溢流」。或是造成基質和熱源過分接觸，高分子在高溫下發生熱裂解。這也是為什麼有些導熱膏使用一段時間後，會出現乾裂或表面變硬。

為了解決這個問題，高柏科技推出了凝膠狀的「導熱凝膠」，說是凝膠，但感覺起來更像黏土。保留了可塑性、但更有彈性、更像固體。因此不容易被擠壓成超薄，比較不會熱裂解、壽命也比較長。

OK，到這裡，「匝道」的問題解決了，接下來的問題是：這條散熱高速公路該怎麼設計？你會選擇氣冷、水冷，還是更先進的浸沒式散熱呢？

液冷與 3D VC 散熱技術：未來高效散熱方案解析

傳統的散熱方式是透過風扇帶動空氣經過散熱片來移除熱量，也就是所謂的「氣冷」。但單純的氣冷已經達到散熱效率的極限，因此現在的散熱技術有兩大發展方向。

其中一個方向是液冷，熱量在經過 TIM 後進入水冷頭，水冷頭內的不斷流動的液體能迅速帶走熱量。這種散熱方式效率好，且增加的體積不大。唯一需要注意的是，萬一元件損壞，可能會因為漏液而損害其他元件，且系統的成本較高。如果你對成本有顧慮，可以考慮另一種方案，「3D VC」。

3D VC 的原理很像是氣冷加液冷的結合。3D VC 顧名思義，就是把均溫板層層疊起來，變成3D結構。雖然均溫板長得也像是一塊金屬板，原理其實跟散熱片不太一樣。如果看英文原文的「Vapor Chamber」，直接翻譯是「蒸氣腔室」。

在均溫板中，會放入容易汽化的工作流體，當流體在熱源處吸收熱量後就會汽化，當熱量被帶走，汽化的流體會被冷卻成液體並回流。這種利用液體、氣體兩種不同狀態進行熱交換的方法，最大的特點是：導熱速度甚至比金屬的熱傳導還要更快、熱量的分配也更均勻，不會有熱都聚集在入口（熱源處）的情況，能更有效降溫。

整個 3DVC 的設計，是包含垂直的熱導管和水平均溫板的 3D 結構。熱導管和均溫板都是採用氣、液兩向轉換的方式傳遞熱量。導熱管是電梯，能快速把散熱工作帶到每一層。均溫板再接手將所有熱量消化掉。最後當空氣通過 3DVC，就能用最高的效率帶走熱量。3DVC 跟水冷最大的差異是，工作流體移動的過程經過設計，因此不用插電，成本僅有水冷的十分之一。但相對的，因為是被動式散熱，其散熱模組的體積相對水冷會更大。

從 TIM 到 3D VC，高柏科技一直致力於不斷創新，並多次獲得國際專利。為了進一步提升 3D VC 的散熱效率並縮小模組體積，高柏科技開發了6項專利技術，涵蓋系統設計、材料改良及結構技術等方面。經過設計強化後，均溫板不僅保有高導熱性，還增強了結構強度，顯著提升均溫速度及耐用性。

隨著散熱技術不斷進步，有人提出將整個晶片組或伺服器浸泡在冷卻液中的「浸沒式冷卻」技術，將主機板和零件完全泡在不導電的特殊液體中，許多冷卻液會選擇沸點較低的物質，因此就像均溫板一樣，可以透過汽化來吸收掉大量的熱，形成泡泡向上浮，達到快速散熱的效果。

然而，因為水會導電，因此替代方案之一是氟化物。雖然效率差了一些，但至少可以用。然而氟化物的生產或廢棄時，很容易產生全氟/多氟烷基物質 PFAS，這是一種永久污染物，會對環境產生長時間影響。目前各家廠商都還在試驗新的冷卻液，例如礦物油、其他油品，又或是在既有的液體中添加奈米碳管等特殊材質。

另外，把整個主機都泡在液體裡面的散熱邏輯也與原本的方式大相逕庭。如何重新設計液體對流的路線、如何讓氣泡可以順利上浮、甚至是研究氣泡的出現會不會影響元件壽命等等，都還需要時間來驗證。

高柏科技目前已將自家產品提供給各大廠商進行相容性驗證，相信很快就能推出更強大的散熱模組。

非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質，兩者都是「非阿貝爾理論」 （non-Abeliantheories）。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心（參見【科學解釋 6】）的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你，如果隨便拿兩個數字 A 和 B，用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣，你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢；一個袋子裝兩塊錢，三個袋子總共還是六塊錢。

這件事對數字永遠都成立，是千真萬確的事實。然而，我們有個很好的方法能定義出一套數學架構，其中的 AB 不等於 BA。實際上，數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是，物理學家竟然也在許多地方應用這套數學，因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱，所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘，會得到另一個矩陣 C，方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人，卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣，還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭^＊。

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序（AB 或 BA）在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺，和先走十公尺再轉九十度，兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉，矩陣 A 代表直行，那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣（C = AB）；這和「直行後旋轉」的矩陣（D = BA）必定不會相同。C 不等於 D，所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同，我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾，這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時，矩陣被證實是他所需要的工具。實際上，電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它，這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍；所有原子的行為和元素周期表的規律，都與自旋有深刻的關聯。除此之外，這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係，這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多，為了研究我們要付出許多的時間和金錢，因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具，能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論，好比矩陣及反物質，看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神，我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前，先繞個路來講微中子，最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日，中國的大亞灣核反應爐微中子實驗（DayaBay Reactor Neutrino Experiment）發表了最新的研究成果。

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大，也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事，大可跳過這一段沒關係，下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了！

——本文摘自《撞出上帝的粒子：深入史上最大實驗現場》，2022 年 12 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

文／郭君逸｜數學科普 Unimath 網站作者，國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家

這是一張從高鐵網站下載的票價表。眼前除了一堆數字之外，你還注意到哪些數學呢？

「矩陣！」

對的，你的觀察很正確。矩陣是大學線性代數這門課裡的主角，線性代數和微積分兩者並列為一窺高等數學的計算基礎，因此除了自然科學領域的學生強迫必修，甚至一些社會科學領域的學生也需要修讀，例如經濟、商管······等。聽起來或許有點恐怖，不過別緊張，撇開複雜的計算，單純矩陣表示法其實是生活中蠻常見實用的技巧，可以做為一群事物中兩兩彼此之間的關聯表格。像是上圖高鐵票價關係就是「起」「訖」點間的票價關係，還有各種比賽中選手或球隊彼此間的勝負關係。

這張圖右上半部是半價的優待票，以下討論我們只要看左下半部的全票即可。不知道讀者有沒有發現，「彰化→左營」的票價原本是 670 元，但「彰化→嘉義 250 元」加上「嘉義→左營 410 元」卻是 660 元，分開買居然可以省 10 元！？

是不是一直把票分段買，就可以越來越便宜呢？

其實並非如此！

例如「嘉義→左營」是 410 元，但改成「嘉義→台南 ＋ 台南→左營」兩段票的話，會變成 420 元，反而變貴了。

為什麼會有這種現象呢？

首先我們先來研究一下高鐵的票價訂法。政府每年會先用「消費者物價總指數（GICP）」來訂定每人的基本消費率，交通部把基本消費率乘以 1.2 當作高鐵的基本費率（2016 年）的基本費率是 4.386 元／人公里。（註：詳細計算方式請參閱：交通部高速鐵路工程局常見問答集或高鐵票價調整案說明專區）

而台北到左營站的距離為 339.284 公里，所以 4.386 * 339.284 = 1488.099 元/人，四捨五入到十位，所以才變成了 1490 元。問題就出在四捨五入的部分，1488 若拆成兩段 744 的話，四捨五入都變成 740，總合就是 1480 省了 10 元。相反地，如果 534 拆成兩個 267 的話，四捨五入後就會多出 10 元。

拆票的時機

那到底要什麼時候要拆票，什麼時候不拆呢？這是個很麻煩的問題，只能夠用暴力法，把所有情況都試過，才會知道。這時手算實在太累，我們要藉助電腦的幫忙了。但「暴力法」只是個大方向，實際要如何使用「暴力」，巧妙各有不同。

此類的問題，我們通常會用「動態規劃」（Dynamic Programming），這是一種「用空間換取時間」的概念來寫程式讓電腦幫我們解決問題的方法。當然這細節並非一時一刻可以講的清楚的。不過，教電腦如何解決問題就是數學！若我們可以把生活上遇到的難題（尤其是需要重複操作的動作），跟所學結合，很多都能夠迎刃而解。

筆者利用最短路徑演算法中的「無圈戴克斯特拉演算法」（Acyclic Dijkstra’s Algorithm），經過一些改進，並利用電腦計算出所有最便宜的票要如何購買，結果如下表：

此表要怎麼查呢？是這樣的，不管南下或北上，都先視為南下，例如要買嘉義到新竹的票，先視為「新竹→嘉義」，查上表得「苗, 780」這串字，代表要先拆票買「新竹→苗栗」，剩下「苗栗→嘉義」這段，再查表，得「640」，沒有國字在數字前面，表示直接買是最便宜的。因此嘉義到新竹，就可以拆成「嘉義苗栗」與「苗栗新竹」兩張票買，只有 780 元，比原票價的 790 省了 10 元。

若是「台北→左營」的話，查上表可知，買「台北、桃園、新竹、苗栗、彰化、嘉義、左營」拆成六段票，會是 1480元，也是省 10 元。但這樣買的話，可能屁股還沒坐熱，就又要起來換位置了，還蠻麻煩的。

比較實用的是自由座。我們先來看一下現在高鐵自由座票價：

自由座全票價計算規則是把標準全票打 95 折後取比較靠近的 5 的倍數，也是類似四捨五入，其最佳的拆票表如下：

上表可以看出自由座長途車票拆票的話，最多可以省到 20 元。而且坐上車後，不用換位置，可以坐到底，非常方便。自由座優惠票（半票）最佳拆票表如下，最多可以省到 25 元：

至於商務艙屬於特殊服務，票價並不受交通部規範，所以它的計算方式並沒有用到「四捨五入」，而是每一段直接疊加的，所以怎麼拆票價錢都是一樣的。

至於團體票、早鳥票，實用性不高，這裡就不列出了。若讀者真的有需要，或是想檢驗自己跑出的結果，都歡迎來信跟我索取。

從上面的例子，有個很重要很重要的現象：「誤差是會疊加的！」標準全票因為用到四捨五入，所以會有誤差，最多差到 10 元，自由座把標準全票乘以 0.95 後再四捨五入，最多可以差到 20 元，自由座半票又再乘以 0.5 後再四捨五入，所以最多可以差到 25 元。若自由座半票，直接是把標準全票的原始票價乘以 0.95，再乘以 0.5，最後再做四捨五入的話，這樣誤差就小很多了。

事實上，筆者也把台鐵的票價表做了計算，下表是西部幹線山線的拆票表：
（台鐵各列車票價請參考：台鐵自強號票價查詢；台鐵票價計算方式請參考：台鐵票價試算。）

因為台鐵票價是四捨五入到個位數，所以即使基隆到屏東最長的路線拆成了 13 段票，也只省了 2 元。我想應該沒有人會為了省 2 元，自找麻煩吧。

考考讀者，若所有票價計算，皆改成無條件捨去的話，那會如何呢？改成無條件進入呢？

數學就在你身邊！

由以上幾個分享的例子（以及文末推薦的延伸閱讀），可以了解到數線、平面坐標、極坐標的制定概念，其實早就存在生活中，只是數學家將它更嚴謹地用數學語言描述出來。另外，同餘概念、最優化、微積分、演算法，這些求學過程各階段中學到的數學，也都可以運用到生活上。

大多的知識，其實都有其演進堆疊的過程，而且生活上的事物，常常也可以跟所學連結。因此，多學總是有益無害的，但通常我們的學習環境，都是只有學習，卻不常訓練學生如何去應用，「培養數感」其實就是「培養數學時常能跟生活結合的感覺」，有了「數感」就會有學習動機，有了學習動機，學生就會主動學習。

前陣子爆紅的手機遊戲 Pokémon Go，社群網站上，就可以看到各種神人分享所學與遊戲結合的結果：

• 演算法熟悉的人，就分享怎麼安排行走路線會最省時省力；
• 熟悉統計與最優化的人，就會分享如何撒花比較划算，提升抓到怪的機率；
• 學組合數學的人，可以計算所有怪獸搜集完全所需要時間的期望值、同樣的怪要轉換（transfer）誰、怪的體質與屬性的相剋分析、預估升級時間；
• 學電子的人會設計一個雷達裝置放在身上，路上遇到怪就會發出通知、利用無人裝置孵蛋；
• 駭客就會攔截遊戲訊號，取得怪的隱藏數值（IV）······等。

每個主題都不是一時一刻可以講的清楚，但看到不同背景的人，無不使用渾身解術，把所學運用到生活中，著實為我們帶來了不少正能量。

UniMath，You need Math，本期刊就是希望能培養大眾的數感而生，雖然每個人的學習背景不同，但只要能夠時時抱持著自己的知識都能用在生活上的信念，相信一定能蹦出不少的火花。

後記

編按：這篇文章近期在各大新聞也有許多相關的討論（例如：「數學老師幫你算好了　高鐵票分段買最便宜」 /以及後續的「高鐵票分段買最便宜？高鐵：恐造成行程延誤」），原作者郭君逸老師也在PTT上針對這個主題撰寫的初衷和一些網友的提問做了回答。而這些回應也讓文章的討論更臻完整，於是泛科學以後記的方式在此將原本的回文進行增補。

拆票有可能變便宜，我想很多人很早就知道了；如許多鄉民所講，只要利用加法還有比較大小，就可以知道了。其實會這樣想的話，表示已經可以把數學用到生活中了。

不過再更進一步去想你可能會想問：

1. 有時拆票又會變貴，到底為什麼？是不是高鐵的Bug？
2. 又怎麼拆會最便宜？

不管答不答的出來，會這樣想的人就是有著數學思維，Unimath的目的其實就達到了。而這篇文章的重點其實就是為了幫大家回答這兩個問題：

1. 因為「誤差是會累加的」，高鐵票的計算方式是四捨五入到十元，有誤差，所以分越多段的誤差就會越大。
2. 但怎麼拆才會「最佳」，這就要靠電腦的幫忙了。（演算法用在哪？後面會講）

而記者把重點放錯了，都著重在省20元，或是去售票機買不會影響別人之類的。 而且下的標題還很聳動！（這當然不能怪記者，因為不聳動的標題，沒人要點進去看！但至少重點要放對啊……）其實還蠻高興大家對這個主題有興趣的， 若有什麼好的科普主題或文章，歡迎投稿Unimath，跟大家一起分享。

下面是一些比較 boring 的部份，也順便回答一些鄉民的問題：

1. 演算法用在哪？不是只要加法就可以了嗎？

會這樣問的人，應該是沒有碰過程式。知道怎麼拆票的話，當然是直接把每一段票價加起來即可，所以只用到加法。但問題就是不知道怎麼拆，有時拆了還會變貴。

一個簡單的想法是：如果A到F中間有B,C,D,E站的話，每個站要分不分，總共2^4種切法都去試，這樣就是一種演算法。但這樣的爆力法，效率很差（指數時間），高鐵站可能還好，但如果像台鐵當中間的站點一多，連電腦也會算不完。

那要怎麼省時間呢？我觀察到了中間有很多重複計算的部份，例如： 計算A到F站的話，在試切C點時，也會把AC與CF的最佳解都算過了，後來就不用再重複算。 所以我就採取空間換取時間的方法（Dynamic Programming）把算過的存起來就不用再重算， 這樣的演算法就會快很多，即時算台鐵的所有站的分票，也是按個Enter馬上就算完了。

整個演算法雖然是我自己想的，後來還是查了一下書， 發現在演算法書中，最短路徑一章就有很多類似的東西，然後我的演算法跟Dijkstra無迴圈的版本很像。 （其實還是有點不同只是原理相同， 有興趣的同學可以自己寫程式列出所有站點之間的分票方式，比較能體會其奧妙，程式其實很短。）

2. 誤差疊加很重要，求學時老師每次講，台下的我聽了都沒感覺。

明明多項式計算就代進去就好，為什麼還要改成巢狀計算； 矩陣就直接乘就好，為什麼還要對角化、Jordan Form……然後就會在台下說，學這個到底要幹嘛、多此一舉， 後來等到自己遇到麻煩了，才知道自己當時的無知。

3. 時間成本很重要，誰會省這20元。

這當然是這樣，現在比較忙時間都不夠用，我自己每次坐高鐵都坐直達的，誰想每站在那裡換位置！省錢只是文章的手段，讓讀者願意點進來看，但重點不在此，不要再被記者拉著走了。

4. 數學教授整天算一些沒用的東西。

其實有沒有用每個人都不同， 否則籃球員為什麼要一直把球丟到籃框裡？ 畫家為何要畫畫？攝影不就照起來，再用一些濾鏡就好了？ 這都是他們的工作、成果、興趣。 自然會有欣賞的人，自然也都有它的價值在。

5. 只要會加減乘除就可以活的好好的，為什麼要學這麼多？

這老生常談了。這就讓大家幫忙回答吧！ 連加減都不會，也是可以活的好好的。

• ［數學妙用］不會測速的測速相機，郭君逸，UniMath。
• 生活中的數學：交通篇(上)，郭君逸，UniMath。
• Pokémon Go 指南：如何用數學幫助你 Catch ’em all，賴以威、陳宏賓，UniMath。

本文轉載自 UniMath，《高鐵票分段買比較便宜?》

作者簡介：郭君逸 － 國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家。
主要研究興趣為組合、圖論、演算法。近年來致力於科普的推廣，喜愛玩各種數學遊戲、益智玩具以及各類型魔術方塊。目前為世界魔方聯盟(WCA)台灣地區認證員。曾開設整個學期的魔術方塊通識課程，跑遍全台進行魔術方塊系列演講。

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