地表最速乘法傳說！碰到大得要命的數字，這是最快的乘法方式

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

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非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質，兩者都是「非阿貝爾理論」 （non-Abeliantheories）。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心（參見【科學解釋 6】）的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你，如果隨便拿兩個數字 A 和 B，用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣，你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢；一個袋子裝兩塊錢，三個袋子總共還是六塊錢。

這件事對數字永遠都成立，是千真萬確的事實。然而，我們有個很好的方法能定義出一套數學架構，其中的 AB 不等於 BA。實際上，數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是，物理學家竟然也在許多地方應用這套數學，因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱，所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘，會得到另一個矩陣 C，方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人，卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣，還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭^＊。

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序（AB 或 BA）在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺，和先走十公尺再轉九十度，兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉，矩陣 A 代表直行，那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣（C = AB）；這和「直行後旋轉」的矩陣（D = BA）必定不會相同。C 不等於 D，所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同，我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾，這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時，矩陣被證實是他所需要的工具。實際上，電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它，這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍；所有原子的行為和元素周期表的規律，都與自旋有深刻的關聯。除此之外，這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係，這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多，為了研究我們要付出許多的時間和金錢，因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具，能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論，好比矩陣及反物質，看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神，我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前，先繞個路來講微中子，最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日，中國的大亞灣核反應爐微中子實驗（DayaBay Reactor Neutrino Experiment）發表了最新的研究成果。

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大，也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事，大可跳過這一段沒關係，下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了！

——本文摘自《撞出上帝的粒子：深入史上最大實驗現場》，2022 年 12 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

文／郭君逸｜數學科普 Unimath 網站作者，國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家

這是一張從高鐵網站下載的票價表。眼前除了一堆數字之外，你還注意到哪些數學呢？

「矩陣！」

對的，你的觀察很正確。矩陣是大學線性代數這門課裡的主角，線性代數和微積分兩者並列為一窺高等數學的計算基礎，因此除了自然科學領域的學生強迫必修，甚至一些社會科學領域的學生也需要修讀，例如經濟、商管······等。聽起來或許有點恐怖，不過別緊張，撇開複雜的計算，單純矩陣表示法其實是生活中蠻常見實用的技巧，可以做為一群事物中兩兩彼此之間的關聯表格。像是上圖高鐵票價關係就是「起」「訖」點間的票價關係，還有各種比賽中選手或球隊彼此間的勝負關係。

這張圖右上半部是半價的優待票，以下討論我們只要看左下半部的全票即可。不知道讀者有沒有發現，「彰化→左營」的票價原本是 670 元，但「彰化→嘉義 250 元」加上「嘉義→左營 410 元」卻是 660 元，分開買居然可以省 10 元！？

是不是一直把票分段買，就可以越來越便宜呢？

其實並非如此！

例如「嘉義→左營」是 410 元，但改成「嘉義→台南 ＋ 台南→左營」兩段票的話，會變成 420 元，反而變貴了。

為什麼會有這種現象呢？

首先我們先來研究一下高鐵的票價訂法。政府每年會先用「消費者物價總指數（GICP）」來訂定每人的基本消費率，交通部把基本消費率乘以 1.2 當作高鐵的基本費率（2016 年）的基本費率是 4.386 元／人公里。（註：詳細計算方式請參閱：交通部高速鐵路工程局常見問答集或高鐵票價調整案說明專區）

而台北到左營站的距離為 339.284 公里，所以 4.386 * 339.284 = 1488.099 元/人，四捨五入到十位，所以才變成了 1490 元。問題就出在四捨五入的部分，1488 若拆成兩段 744 的話，四捨五入都變成 740，總合就是 1480 省了 10 元。相反地，如果 534 拆成兩個 267 的話，四捨五入後就會多出 10 元。

拆票的時機

那到底要什麼時候要拆票，什麼時候不拆呢？這是個很麻煩的問題，只能夠用暴力法，把所有情況都試過，才會知道。這時手算實在太累，我們要藉助電腦的幫忙了。但「暴力法」只是個大方向，實際要如何使用「暴力」，巧妙各有不同。

此類的問題，我們通常會用「動態規劃」（Dynamic Programming），這是一種「用空間換取時間」的概念來寫程式讓電腦幫我們解決問題的方法。當然這細節並非一時一刻可以講的清楚的。不過，教電腦如何解決問題就是數學！若我們可以把生活上遇到的難題（尤其是需要重複操作的動作），跟所學結合，很多都能夠迎刃而解。

筆者利用最短路徑演算法中的「無圈戴克斯特拉演算法」（Acyclic Dijkstra’s Algorithm），經過一些改進，並利用電腦計算出所有最便宜的票要如何購買，結果如下表：

此表要怎麼查呢？是這樣的，不管南下或北上，都先視為南下，例如要買嘉義到新竹的票，先視為「新竹→嘉義」，查上表得「苗, 780」這串字，代表要先拆票買「新竹→苗栗」，剩下「苗栗→嘉義」這段，再查表，得「640」，沒有國字在數字前面，表示直接買是最便宜的。因此嘉義到新竹，就可以拆成「嘉義苗栗」與「苗栗新竹」兩張票買，只有 780 元，比原票價的 790 省了 10 元。

若是「台北→左營」的話，查上表可知，買「台北、桃園、新竹、苗栗、彰化、嘉義、左營」拆成六段票，會是 1480元，也是省 10 元。但這樣買的話，可能屁股還沒坐熱，就又要起來換位置了，還蠻麻煩的。

比較實用的是自由座。我們先來看一下現在高鐵自由座票價：

自由座全票價計算規則是把標準全票打 95 折後取比較靠近的 5 的倍數，也是類似四捨五入，其最佳的拆票表如下：

上表可以看出自由座長途車票拆票的話，最多可以省到 20 元。而且坐上車後，不用換位置，可以坐到底，非常方便。自由座優惠票（半票）最佳拆票表如下，最多可以省到 25 元：

至於商務艙屬於特殊服務，票價並不受交通部規範，所以它的計算方式並沒有用到「四捨五入」，而是每一段直接疊加的，所以怎麼拆票價錢都是一樣的。

至於團體票、早鳥票，實用性不高，這裡就不列出了。若讀者真的有需要，或是想檢驗自己跑出的結果，都歡迎來信跟我索取。

從上面的例子，有個很重要很重要的現象：「誤差是會疊加的！」標準全票因為用到四捨五入，所以會有誤差，最多差到 10 元，自由座把標準全票乘以 0.95 後再四捨五入，最多可以差到 20 元，自由座半票又再乘以 0.5 後再四捨五入，所以最多可以差到 25 元。若自由座半票，直接是把標準全票的原始票價乘以 0.95，再乘以 0.5，最後再做四捨五入的話，這樣誤差就小很多了。

事實上，筆者也把台鐵的票價表做了計算，下表是西部幹線山線的拆票表：
（台鐵各列車票價請參考：台鐵自強號票價查詢；台鐵票價計算方式請參考：台鐵票價試算。）

因為台鐵票價是四捨五入到個位數，所以即使基隆到屏東最長的路線拆成了 13 段票，也只省了 2 元。我想應該沒有人會為了省 2 元，自找麻煩吧。

考考讀者，若所有票價計算，皆改成無條件捨去的話，那會如何呢？改成無條件進入呢？

數學就在你身邊！

由以上幾個分享的例子（以及文末推薦的延伸閱讀），可以了解到數線、平面坐標、極坐標的制定概念，其實早就存在生活中，只是數學家將它更嚴謹地用數學語言描述出來。另外，同餘概念、最優化、微積分、演算法，這些求學過程各階段中學到的數學，也都可以運用到生活上。

大多的知識，其實都有其演進堆疊的過程，而且生活上的事物，常常也可以跟所學連結。因此，多學總是有益無害的，但通常我們的學習環境，都是只有學習，卻不常訓練學生如何去應用，「培養數感」其實就是「培養數學時常能跟生活結合的感覺」，有了「數感」就會有學習動機，有了學習動機，學生就會主動學習。

前陣子爆紅的手機遊戲 Pokémon Go，社群網站上，就可以看到各種神人分享所學與遊戲結合的結果：

• 演算法熟悉的人，就分享怎麼安排行走路線會最省時省力；
• 熟悉統計與最優化的人，就會分享如何撒花比較划算，提升抓到怪的機率；
• 學組合數學的人，可以計算所有怪獸搜集完全所需要時間的期望值、同樣的怪要轉換（transfer）誰、怪的體質與屬性的相剋分析、預估升級時間；
• 學電子的人會設計一個雷達裝置放在身上，路上遇到怪就會發出通知、利用無人裝置孵蛋；
• 駭客就會攔截遊戲訊號，取得怪的隱藏數值（IV）······等。

每個主題都不是一時一刻可以講的清楚，但看到不同背景的人，無不使用渾身解術，把所學運用到生活中，著實為我們帶來了不少正能量。

UniMath，You need Math，本期刊就是希望能培養大眾的數感而生，雖然每個人的學習背景不同，但只要能夠時時抱持著自己的知識都能用在生活上的信念，相信一定能蹦出不少的火花。

後記

編按：這篇文章近期在各大新聞也有許多相關的討論（例如：「數學老師幫你算好了　高鐵票分段買最便宜」 /以及後續的「高鐵票分段買最便宜？高鐵：恐造成行程延誤」），原作者郭君逸老師也在PTT上針對這個主題撰寫的初衷和一些網友的提問做了回答。而這些回應也讓文章的討論更臻完整，於是泛科學以後記的方式在此將原本的回文進行增補。

拆票有可能變便宜，我想很多人很早就知道了；如許多鄉民所講，只要利用加法還有比較大小，就可以知道了。其實會這樣想的話，表示已經可以把數學用到生活中了。

不過再更進一步去想你可能會想問：

1. 有時拆票又會變貴，到底為什麼？是不是高鐵的Bug？
2. 又怎麼拆會最便宜？

不管答不答的出來，會這樣想的人就是有著數學思維，Unimath的目的其實就達到了。而這篇文章的重點其實就是為了幫大家回答這兩個問題：

1. 因為「誤差是會累加的」，高鐵票的計算方式是四捨五入到十元，有誤差，所以分越多段的誤差就會越大。
2. 但怎麼拆才會「最佳」，這就要靠電腦的幫忙了。（演算法用在哪？後面會講）

而記者把重點放錯了，都著重在省20元，或是去售票機買不會影響別人之類的。 而且下的標題還很聳動！（這當然不能怪記者，因為不聳動的標題，沒人要點進去看！但至少重點要放對啊……）其實還蠻高興大家對這個主題有興趣的， 若有什麼好的科普主題或文章，歡迎投稿Unimath，跟大家一起分享。

下面是一些比較 boring 的部份，也順便回答一些鄉民的問題：

1. 演算法用在哪？不是只要加法就可以了嗎？

會這樣問的人，應該是沒有碰過程式。知道怎麼拆票的話，當然是直接把每一段票價加起來即可，所以只用到加法。但問題就是不知道怎麼拆，有時拆了還會變貴。

一個簡單的想法是：如果A到F中間有B,C,D,E站的話，每個站要分不分，總共2^4種切法都去試，這樣就是一種演算法。但這樣的爆力法，效率很差（指數時間），高鐵站可能還好，但如果像台鐵當中間的站點一多，連電腦也會算不完。

那要怎麼省時間呢？我觀察到了中間有很多重複計算的部份，例如： 計算A到F站的話，在試切C點時，也會把AC與CF的最佳解都算過了，後來就不用再重複算。 所以我就採取空間換取時間的方法（Dynamic Programming）把算過的存起來就不用再重算， 這樣的演算法就會快很多，即時算台鐵的所有站的分票，也是按個Enter馬上就算完了。

整個演算法雖然是我自己想的，後來還是查了一下書， 發現在演算法書中，最短路徑一章就有很多類似的東西，然後我的演算法跟Dijkstra無迴圈的版本很像。 （其實還是有點不同只是原理相同， 有興趣的同學可以自己寫程式列出所有站點之間的分票方式，比較能體會其奧妙，程式其實很短。）

2. 誤差疊加很重要，求學時老師每次講，台下的我聽了都沒感覺。

明明多項式計算就代進去就好，為什麼還要改成巢狀計算； 矩陣就直接乘就好，為什麼還要對角化、Jordan Form……然後就會在台下說，學這個到底要幹嘛、多此一舉， 後來等到自己遇到麻煩了，才知道自己當時的無知。

3. 時間成本很重要，誰會省這20元。

這當然是這樣，現在比較忙時間都不夠用，我自己每次坐高鐵都坐直達的，誰想每站在那裡換位置！省錢只是文章的手段，讓讀者願意點進來看，但重點不在此，不要再被記者拉著走了。

4. 數學教授整天算一些沒用的東西。

其實有沒有用每個人都不同， 否則籃球員為什麼要一直把球丟到籃框裡？ 畫家為何要畫畫？攝影不就照起來，再用一些濾鏡就好了？ 這都是他們的工作、成果、興趣。 自然會有欣賞的人，自然也都有它的價值在。

5. 只要會加減乘除就可以活的好好的，為什麼要學這麼多？

這老生常談了。這就讓大家幫忙回答吧！ 連加減都不會，也是可以活的好好的。

• ［數學妙用］不會測速的測速相機，郭君逸，UniMath。
• 生活中的數學：交通篇(上)，郭君逸，UniMath。
• Pokémon Go 指南：如何用數學幫助你 Catch ’em all，賴以威、陳宏賓，UniMath。

本文轉載自 UniMath，《高鐵票分段買比較便宜?》

作者簡介：郭君逸 － 國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家。
主要研究興趣為組合、圖論、演算法。近年來致力於科普的推廣，喜愛玩各種數學遊戲、益智玩具以及各類型魔術方塊。目前為世界魔方聯盟(WCA)台灣地區認證員。曾開設整個學期的魔術方塊通識課程，跑遍全台進行魔術方塊系列演講。

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