最自戀的乘方開方數字團體——位數根的快樂夥伴（二）

本文由 高柏科技 合作，泛科學撰文

林唯耕剛回台灣任教時，曾在清華大學的實驗室裡用一立方公分的「氨」做實驗。沒想到氨氣意外洩漏，那股刺鼻的氣味瞬間瀰漫整棟大樓，引來眾多師生抗議。

「從此以後，我再也不敢在實驗室裡用氨了。」他在《思想實驗室》的訪談中，帶著笑意回憶這段往事。

這段插曲聽來像是一則工程師的寓言：在理論模型中，氨是太空熱控系統的理想介質；但在現實的辦公大樓裡，它首先是逼人逃竄的臭味。公式本身沒有錯，但現實世界永遠比公式更複雜——它包含了人、成本、風險，以及必須為後果負責的工程師。

高柏科技技術專家、清華大學榮譽退休教授林唯耕 ，曾任職於美國 OAO 工程部熱流組，深耕電子構裝散熱與熱管技術多年。隨著 AI 浪潮席捲全球，他鑽研一輩子的老問題再次被推向科技產業的核心：當晶片運算速度無止境攀升，那股伴隨而生的熱，究竟該往哪裡去？

熱不會讀新品發表會

科技巨頭在發表會上熱衷於談論大型語言模型、GPU 規格與驚人的算力。這些詞彙在投影片上光鮮亮麗，彷彿進步毫無邊界。然而，每一次數位運算都紮實地發生在實體晶片上。晶片會發熱、材料會疲勞老化，一旦設備過熱，系統便會降頻保護。在物理現實面前，再動聽的發表會敘事也必須低頭。

回顧個人電腦發展早期，晶片幾乎不需專屬散熱元件。隨後，鋁製鰭片、風扇、熱管到均溫板逐一登場。這段歷程常被視為技術升級，其實更像是對空間的極限勒索：晶片功率翻倍，發熱源的面積卻沒變大，機箱空間也不可能無限擴張。

林唯耕指出，散熱設計的核心只有三要素：功率、熱源面積與空間限制。他舉例，在標準的 1U 機箱中，若發熱面積約為三十乘三十毫米，氣冷系統在達到八百瓦時就會面臨瓶頸。這並非固定的物理常數，而是取決於空間、面積與氣流的動態平衡。最現實的代價在於，風扇轉速提升的背後，是噪音、電力損耗與空間占用。

因此，「液冷技術」的興起並非單純為了追求酷炫，而是算力密度提升後的必然選擇。它能更精準地帶走晶片廢熱，卻也將新的挑戰帶入機房：漏液風險、流道堵塞、材料相容性，以及維運時的難度。工程的進步，本質上鮮少是徹底消滅問題，更多時候是選擇一組「比較值得承擔」的新問題。

太空教他的，不是把答案搬回地面

太空熱控工程之所以迷人，是因為它剝奪了地球上最常見的散熱工具。在真空宇宙中，沒有空氣能讓風扇製造對流；受光面溫度破百度，陰影處卻極度嚴寒。工程師必須純粹仰賴熱傳導、熱輻射，以及熱管與環路型熱管（LHP）來搬移熱能。

熱管運作的關鍵在於「相變」——液體蒸發時吸收大量潛熱，冷凝後重回循環。林唯耕比較了銅與水的熱傳導能力：在他設定的特定條件下，實心銅塊約能傳導 120 瓦的熱能；但若每秒有一立方公分的水發生蒸發相變，移熱量可瞬間拉升至 2.4 千瓦（kW）。他強調「每秒」的觀念，因為散熱談的是動態流動速率，而非靜態的冷卻魔法。

儘管如此，太空科技並不能直接套用到地面。太空元件因考量重量、功耗與維修難度，偏好無馬達幫浦的被動式設計；但地面 AI 伺服器面臨更高的熱負載與環境溫度，往往仍需幫浦驅動流量。當年那場「氨氣洩漏」事故正是最好的提醒：技術是否「先進」，與它是否「適合」當下的場景，始終是兩回事。

好論文，為什麼仍可能造不出好產品

學術研究致力於證明「可行性」，而工業現場則要求「可重複性」——不僅要能運作，還得確保每台出廠的設備都不漏水。林唯耕將此定義為「從 0 到 1」與「從 1 到 100」的差別。後者涉及良率、成本、公差與客戶信任。論文中那次最完美的實驗數據，在產線上往往未必管用。

他從不避談失敗。在高柏科技早期與學界合作時，也曾遇過實驗數據無法複製，或研究方向偏離產業需求。這未必是雙方努力不夠，而是彼此對「成功」的標準不同。為了解決這道鴻溝，高柏科技推動「柏苗啟航創新培育計畫」，每年投入逾千萬資金與成大、中山、台科大等校合作，並指派專業人才在過程中持續微調、校正，確保研發貼近產線現實。

他分享了近期一項液冷工質校正專案。團隊使用非侵入式的超音波流量計進行觀測，但由於儀器預設以「水」校正，換成其他化學流體後讀數便出現誤差。最初嘗試用幫浦壓差推算，卻發現缺乏重複性，數據甚至推導出不合理的蒸發率。最後團隊回歸基本面，改用秤重法搭配能量平衡進行交叉驗證，才讓數據成功收斂。

這個故事真正的價值不在於「產學雙贏」的口號，而在於那段不夠優雅的挫折：假設失效、數據混亂、方法砍掉重練。也正是在這種時刻，企業需要的不只是會算數的人才，而是能洞察研究何時「走鐘」，並有權力喊停、要求重來的關鍵決策者。

林唯耕坦言，過去在校園裡總認為「技術第一、成本第二」，進入商界後才驚覺行銷與信任關係往往才是關鍵。這番話雖然不如科技突破那樣動聽，卻是產品能否進入市場的殘酷真相。再卓越的散熱設計，若無法穩定生產或贏得客戶信任，也僅止於一份精美的報告。

AI 會給答案，誰來負責出貨？

訪談尾聲，主持人國威提出了一個時代難題：假設 AI 能在彈指間生成散熱架構、材料配方與流道設計，企業該選擇全面擁抱 AI 的速度，還是保留緩慢但穩定的工程驗證，以規避潛在的失效風險？

林唯耕拒絕落入二選一的框架。他的觀點是：兩者並存。AI 擅長處理資訊、生成草案；但工程師仍須實作原型，進行嚴苛的性能與可靠度測試，最終由人決定是否出貨。這並非盲目崇拜人類直覺，而是基於一項事實：AI 的資料庫裡，通常沒記載下一次「意外洩漏」或「材料疲勞」的細節，且模型永遠無法為量產結果擔負法律與商業責任。

在 AI 時代，最稀缺的未必是熟練下指令（Prompt）的人，而是具備這種能力的人：能預判答案可能在哪裡出錯、能設計實驗將問題「逼」出來，並且願意為最終的量產品質負起責任。

大眾習慣將雲端想像成輕盈、無重量的空間。但現實中，雲端是由龐大的機房架構而成，裡面裝滿了晶片、管線、泵浦與冷卻液。虛擬算力的每一次擴張，都會在實體世界留下發熱的足跡。散熱工程師的價值，就是不讓這筆物理帳單，被埋沒在光鮮亮麗的投影片背後。

本文由 微星科技 委託，泛科學企劃執行。

• 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引，取名時加上「黃金」二字，好像就能讓身價大漲，變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果，黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑（大誤）……人們用黃金形容所有美好的事物，連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例，你一定聽聞過，如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例，就越迷人的説法。然而一個數字比例，怎麼會和美學扯上關係？

人類探究黃金比例的歷史，可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前，癡迷於數學的畢達哥拉斯，認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者，被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏，畢氏學派恐怕是一群怪人：恪守極爲嚴格的生活條規，不可吃肉和豆類，還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜，尤其對數字 5 和五角星形的迷戀，使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割，由短至長排列，把最短的兩條線段相加，恰恰等於第三條線段長；把第二短和第三短的線段相加，也會等於第四條線段，依序如是，顯示出黃金比例的奇妙！不過，他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年，歐基里德所著的《幾何原本》問世，才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎？歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」，其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」（Extreme and mean ratio）。歐基里德對這個比例的說明如下：

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

（一條線段如果切在「極限與均值比例」上，則線段的全長與較長分割段的長度比例，和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。）

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ，就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位，較長的線段 a 定義成 x 單位，再用一點國中數學上過的一元二次方程式，就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看～～～不到盡頭的無理數，都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率，是以 「π」來表示，黃金比例也有自己的符號，叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ，跟「π」押同韻，但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多，純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是，這個「極限與均值比例」，會變成美的代言人，帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集，文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞，一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前，它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期，被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡．帕西奧利（Luca Pacioli），出版了名叫《神聖比例》（Divina scalee）的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發，對正多面體和半正多面體的性質做討論。

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發，開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段（全長、長邊、短邊），都在描述同一條線，像極了基督教的神學觀，既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數，所具備無法窮盡的性質，就如同凡人無法理解全能無限的上帝般，兩個線段之比例是相等的（全：長 = 長：短），則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

從數學上看見神學解釋的帕西奧利，遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來，被神所創造的人類，其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後，「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破，成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈，成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題，後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度，背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在？藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造，數學界和藝術界還在爭辯不休，但實際上不需要人爲設計，大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列（Fibonacci number），可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0，第一項是 1，從第二項以後的值，就是前兩項加起來的和，所以依序會是：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒（Johannes Kepler）發現，把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話，會是 1 / 1 = 1， 2 / 1 = 2，3 / 2 = 1.5，5 / 3 = 1.67， 8 / 5 = 1.6， 13 / 8 = 1.625， 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏，你是不是也察覺到其中奧妙？隨著數列遞進繼續相除，這個值竟會越來越趨近於黃金比例！也因此，費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物，其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量，你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子，才不會擋住彼此吸收陽光？玫瑰的花瓣要如何排列，才會顯得漂亮對稱？松果上的種子要怎麽生長，才可以有效利用有限的空間？這些問題的答案通通都是：旋轉角度的比值（以 360° 為分母）要符合黃金比例！

不只是植物界，無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線，抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀，就連宇宙中漩渦星系的旋臂，都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼，大至遙遠光年之外的星系，都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛，讓科學家着迷不已。

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系，都不約而同服膺於一個神奇的比值，展現一種似乎自世界誕生以來就存在，難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類，也不停在各樣的建築或藝術品中追尋，渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像，也沒辦法百分百貼近黃金比例，畢竟誤差永遠不能被全面消除，更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美，才迫使我們得以在追求美的道路上，不停努力地前進，再前進。

連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊，又有什麼東西用到黃金比例呢？

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參考文獻

• 作者／大衛．翁弗拉許；譯者／林柏宏

科學的起源：以真實性質的角度來理解自然

二十世紀物理學家理查． 費曼（Richard Feynman，1918-1988）認為，當代物理學奠基於巴比倫人的數學方法，他們會以數學的方式來闡述問題，這種經驗能夠讓人學會歸納，進而發現自然原理。歐幾里得（Euclid ofAlexandria，西元前三世紀中期到西元前 285 年）的治學方法則與此相對，這位希臘思想家運用基本的邏輯規則，從我們稱為公設的基礎事實推導出更多複雜的定理。

在大約西元前三百年時，歐幾里得的方法很流行，而他的演繹法發源於更早的幾世紀前，當時的希臘思想家剛開始大膽地以真實性質的角度來理解自然。

對於月亮、太陽與眾行星性質的了解要真正有所進展，希臘的天文學家就得接受量化的方法。他們會需要巴比倫人研究天文的方法，包含實際數學運算，以及從單調的天象觀測中蒐集大量資料。他們的研究必須將這些資料融合希臘文化特有的、探討本質的思維。這種思維是從西元前六世紀的愛奧尼亞人社群開始的。

愛奧尼亞地區位於今日土耳其西部沿岸的城市與島嶼，最早開始推斷大自然是可探究、可預測的希臘人都來自這一帶，他們認為大自然的運作與眾神的意志無關。這種去除神祕面紗的世界觀由米利都的泰利斯起頭，從而解放了愛奧尼亞人的思考，開始為自然現象提出物理學的解釋模型，對科學的進步發揮了重要作用。

然而，希臘世界另一邊的哲學家都反對泰利斯的論點，這些哲學家的根據地是位於南義大利的希臘殖民地─大希臘（Magna Grecia）。

在這場論爭裡，一些大希臘區的哲學家其實是最早發現月亮是球形而非一圓盤的人，有一批大希臘的人還引進了會讓希臘天文學突飛猛進的數學知識。但是，大希臘區並無科學思維，這裡的人高張神祕主義，鄙視實證精神，影響力最大的神祕主義團體還掩蓋、打壓與其主張相左的新發現。

諷刺的是，這個神祕主義勢力團體的創始人，出生於愛奧尼亞區中心地帶薩摩斯島（Samos）的畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前 570-495），其實就學於泰利斯門下，並由此展開他的學術之路。

泰利斯預測日食，阻止戰爭

要是西元前二千六百年就有諾貝爾和平獎，肯定會頒發給米利都的泰利斯。

他出生時，正是巴比倫文明崛起，催生出前所未有的知識創發活躍期，他也漸漸愛上數學與天文學。愛奧尼亞隸屬於呂底亞王國（Lydian），不過泰利斯或許去過巴比倫，不然就是取得了巴比倫的天文學文獻。不管是哪種情形，泰利斯都認識到日食與月食的沙羅週期，這與他的想法不謀而合，他本來就認為神明與自然無涉。

當時呂底亞正與其敵對國之一，米迪亞（Media）交戰，泰利斯知道雙方指揮官都是迷信的人，便提出警告說，眾神要求他們休兵，並且會在西元前五百八十五年春季的某一天使太陽暗下來，以表明神意，其實泰利斯根據沙羅週期進行計算後，已經得知這一天應該會發生日食。

儘管泰利斯自己未察覺，但當他如此運用沙羅週期時，實際上計算的正是月球在太陽前方的移動。總之，日食確實出現了，戰事也平息了，泰利斯在愛奧尼亞聲名大噪，想向他學習自然研究的人蜂擁而至，其中一位就是從薩摩斯島搭船前來的畢達哥拉斯。

當時的米利都是個富庶的港口城市，當地的希臘居民不願向帝國統治者效忠，他們獨立自主，擁抱新知，或許是因為常從各地的航海貿易商口中得知新觀念，長此以往，泰利斯與其他米利都人的思考方式開始變得新穎激進。

比方說，他們認為地震是由於海中巨浪擊打陸地，土地陸塊是來自海水淤積堆造而成。這些關於自然的解釋終究會被證明並不正確，但重要的是，當時他們的想法和其他地方的人不一樣，他們的想法是可以接受驗證、有可能被否證推翻的，與那些虛無縹緲的神明無關。

泰利斯和在他之後的愛奧尼亞人之所以與眾不同，乃在於他們斷定，認識自然是可行的，可以接受觀察與分析─ 而且，對於他們之中某些人而言，也能透過試驗實證。

為封口無理數的發現而殺人的畢達哥拉斯

薩摩斯的畢達哥拉斯是目前已知世上最早指出月亮是球狀的第一人，他會這麼想或許一開始源自觀察的結果，例如發現月球明暗分界線（lunarterminator）是彎曲的，這道線區分了月球被照亮與未被照亮的兩部分。

畢達哥拉斯畢竟是泰利斯的學生，而且比同時代的人更早認出晨星（the MorningStar）與暮星（the Evening Star）是同一顆物體─ 金星。這種認知來自於觀察，雖然畢達哥拉斯後來排斥觀測，轉而堅持藉由純粹的思索即可了解宇宙。

旅居埃及多年，又去了巴比倫之後，畢達哥拉斯帶來了一項定理，直角三角形斜邊圍成的正方形面積，等於兩短邊各自圍成正方形的面積和。這不是他自己想出來的，埃及人與巴比倫人早將這觀念實際運用在生活中好幾百年了，巴比倫甚至發展出三角學這門數學。無論如何，由於畢達哥拉斯將這個定理引介給希臘人，未來幾世代探究大自然所需的數學知識才有機會出現。

但對畢達哥拉斯而言，數學不僅是工具，而是宗教信仰。

球狀月亮的想法只是畢達哥拉斯兄弟會神祕思想的一部分，畢達哥拉斯在位於義大利的克羅敦殖民地（the Croton colony）創立了這支教派。畢達哥拉斯教徒主張天界的「星球和諧」，認為月亮與其他星體不只是球形，而且是完美球形，繞著絕對的圓旋轉，每顆星球會產生特定的音符。再加上畢達哥拉斯輕視觀測法，凡是和其完美和諧觀念牴觸的新發現都一貫打壓。

其中一例是他的學生發現數字 2 開平方根會得到無理數，也就是無法化作分數，不能以兩個整數做為分子與分母來表示。謠傳畢達哥拉斯為了封口，謀殺了那個學生。

但他並不需要依靠暴力來提倡自己的學說。不久後，柏拉圖（Plato，約西元前 427-347）將熱心採納畢達哥拉斯的神祕主義，包含那些完美球形、圓形軌道、對觀察實測的輕蔑，以及阻撓接下來幾世紀科學進展的一切花俏玩意兒。

採納實證主義的亞里斯多德

和他的老師柏拉圖比起來，亞里斯多德比較有科學精神。

雖然兩人的出發點都是想將畢達哥拉斯、巴門尼德提倡的這類神祕主義哲學與愛奧尼亞人的自然主義整合在一起，柏拉圖終究傾向了神祕主義，亞里斯多德則對愛奧尼亞思維更有好感。若提到愛奧尼亞的實證主義（empiricism）── 主張知識必須透過感官作用的經驗才能取得，兩人的分歧會特別明顯。

愛奧尼亞人泰利斯觀察尼羅河的沉積土層後，做出了假設，認為全世界的大塊陸地都是經由類似過程，從一原始大洋中形成的。而泰利斯的學生、米利都的阿那克西曼德（Anaximander of Miletus，西元前 610-545）觀察幼魚和人類的差異，並在看過化石骨骼後，構想出早期版本的生物演化假說。綜合他們的所見所聞，愛奧尼亞人了解到，大自然不停地在變動。

亞里斯多德在研究如生物這一類地球上的物質時，大致上採納愛奧尼亞式的實證主義與變化觀念，可是一旦主題來到天象，他就表現出神祕主義的遺緒。畢達哥拉斯有個很妙的想法，認為天上的星體都是繞著正圓形軌道轉的完美球形，亞里斯多德深受此思想荼毒，同時還採用巴門尼德的主張，認為萬物恆定不變，結果形成了以下觀點：

星星、太陽與行星都是恆久不變的，有永遠固定的幾何形狀，地球是墮落不潔的，也因此不完美。違背這完美理念的還有月球表面的暗黑地貌，亞里斯多德對此的解釋是，月球和地球走太近了，太靠近存在於地表上的汙染，指的就是人類和其他生命形式。

——本文摘自《月球之書》，2019 年 9 月，時報出版。

今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴，數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢？平方是自己乘上自己自戀二次方（powers of 2），立方是自己乘自己再乘自己（powers of 3），總共要乘三次難道還不夠自戀嗎？

很早以前，有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡，心血來潮向老師借了一本數學課本，後面的附錄有著一個密密麻麻的表格，裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100，還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子：

表 1：沒有開方的乘方開方表（節錄）

這位少年不知道怎麼回事，動手計算了 N² 那一欄數字的位數根，看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道，一算就驚為天人（？）他驚奇地發現新的位數根數列有規律，不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字，一直到 100 都遵循著如此的規律，就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。

那 N³ 的位數根會不會也有規律？這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方（powers of n），也會有規律吧！？有了這麼多 powers 和咒語，可以召喚金剛戰士（Go Go Power Rangers！）的好朋友智多星來解惑嗎？雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人，可現在的機器可以幫忙做很多事情，計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。

發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失，所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體，先把 N 的更高次方 N⁴, N⁵, …, N^K 全部的值都列出來，拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根，直到試算表都出現了科學符號還停不下來。

這精神相當可敬但方法太傻了，還記得位數根的第一位快樂夥伴費波那契數列和他的兔子嗎？我們可以使用試算表的公式自動計算位數根，這裡也幫大家建立好了線上表格，點進去先觀察一下再回來讀文章，數學的樂趣源自於觀察。

藉由電腦輔助發現的規律如下表，D(N) 表示自然數 N 的位數根，K 表示非負整數，也就是從 0 開始的整數。

表 2：自然數 N 在不同次方數的位數根

為什麼表 2 裡頭 D(N^6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢？首先藉由現代智多星電腦的幫忙，在剛剛的線上表格發現了一件事情，N⁸ 和 N² 的位數根 D(N⁸) 和 D(N²)這兩欄的數字是一樣的，而 N⁹ 和 N³ 的位數根 D(N⁹)和 D(N³)也是一樣的，以此類推，也就是說位數根的次方從 D(N⁸)開始就會重複。

首先，來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化：

D(N) = 1 那一列的數字都是 1，所以每 1 個次方皆重複一次；

D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2，每 6 個次方重複一次；

…

其他數字以此類推可以產生下面這個表格，描述 D(N)= 1 到 9 時，其次方數的規律是每幾個次方重複一次：

表 3

同樣為了方便討論以及適當地呈現表格，取 6 （也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數）做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K，表示每 6 個次方數一循環。

知道 6K 是怎麼來的以後，緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N²)那一欄是 9 個數字一循環，D(N⁴)、D(N⁵)、D(N⁷)也同樣是 9 個數字一循環；而 D(N³) 和 D(N⁶) 都是 3 個數字（1, 8, 9 和 1, 1, 9）即重複。同樣為了便於討論，在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9，也就是 9 個數字一循環來表示。

為什麼表 2 是從 D(N^6K+2)開始，為什麼不是從 D(N^6K+1) 開始？還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字？

第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N^6K+7)的數字組成蠻像的嗎，9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的，相似度高達 78 %，只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數，所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後，平方之後的項都會是 9 的倍數，位數根也必為 9，自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N^6K+2)開始。

原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表，竟然隱含了數字甚至次方的規律，一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂，就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽，那樣使人嘴角上揚。

p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者，可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X，X = 9K + D(X)。K 為非負整數，D(X) 為 X 的位數根。

生命靈數能代表宇宙的秩序？

看完上面的故事，覺得那位少年很瘋狂嗎？偷偷告訴你一個祕密，他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。（那位少年究竟是不是作者本人呢？）

其實他不是特例，因為，人類對數字的狂熱就是沒有極限！狂熱的代表是生命靈數（Numerology）也被稱為數秘學，好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等，在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎！？

回答這問題之前，先告訴你們一件意外的事實，人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲，而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支，此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯，畢氏定理的畢就是這個畢。

生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性，可以利用數字更加瞭解自己以及世界，甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統，而數字反映了其中的秩序，數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數，像是以生日的年月日加總後的生命靈數，還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。

相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來，加到不能夠再加就是生命靈數，用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1。

可是很多人的生日位數根也是 1 耶，這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的，因此成為泛科學的粉絲嗎？那其他生日位數根的粉絲呢？顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在，也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。

生命靈數之於數學，就像是占星術之於天文學，以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的，大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時，會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。

對數字的狂熱，沒有極限

很多數學家、數學愛好者，或者顯然就是作者本人的那位少年，因為沉浸在自己的小世界，而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek；生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問，並且認為數字能夠代表宇宙的秩序，看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧！

• 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

• 數秘學，維基百科