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最自戀的乘方開方數字團體——位數根的快樂夥伴(二)

今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴,數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方(powers of 2),立方是自己乘自己再乘自己(powers of 3),總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?

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為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方,立方是自己乘自己再乘自己,總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?圖/By Kevin Simpson @ flickr, CC BY-SA 2.0

很早以前,有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡,心血來潮向老師借了一本數學課本,後面的附錄有著一個密密麻麻的表格,裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100,還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子:

表 1:沒有開方的乘方開方表(節錄)

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這位少年不知道怎麼回事,動手計算了 N2 那一欄數字的位數根,看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道,一算就驚為天人(?)他驚奇地發現新的位數根數列有規律,不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字,一直到 100 都遵循著如此的規律,就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。

那 N3 的位數根會不會也有規律?這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方(powers of n),也會有規律吧!?有了這麼多 powers 和咒語,可以召喚金剛戰士(Go Go Power Rangers!)的好朋友智多星來解惑嗎?雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人,可現在的機器可以幫忙做很多事情,計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。

發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失,所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體,先把 N 的更高次方 N4, N5, …, NK 全部的值都列出來,拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根,直到試算表都出現了科學符號還停不下來。

這精神相當可敬但方法太傻了,還記得位數根的第一位快樂夥伴費波那契數列和他的兔子嗎?我們可以使用試算表的公式自動計算位數根,這裡也幫大家建立好了線上表格,點進去先觀察一下再回來讀文章,數學的樂趣源自於觀察。

藉由電腦輔助發現的規律如下表,D(N) 表示自然數 N 的位數根,K 表示非負整數,也就是從 0 開始的整數。

表 2:自然數 N 在不同次方數的位數根

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為什麼表 2 裡頭 D(N6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢?首先藉由現代智多星電腦的幫忙,在剛剛的線上表格發現了一件事情,N8 和 N2 的位數根 D(N8) 和 D(N2)這兩欄的數字是一樣的,而 N9 和 N3 的位數根 D(N9)和 D(N3)也是一樣的,以此類推,也就是說位數根的次方從 D(N8)開始就會重複。

首先,來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化:

D(N) = 1 那一列的數字都是 1,所以每 1 個次方皆重複一次;

D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2,每 6 個次方重複一次;

其他數字以此類推可以產生下面這個表格,描述 D(N)= 1 到 9 時,其次方數的規律是每幾個次方重複一次:

表 3

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同樣為了方便討論以及適當地呈現表格,取 6 (也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數)做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K,表示每 6 個次方數一循環。

知道 6K 是怎麼來的以後,緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N2)那一欄是 9 個數字一循環,D(N4)、D(N5)、D(N7)也同樣是 9 個數字一循環;而 D(N3) 和 D(N6) 都是 3 個數字(1, 8, 9 和 1, 1, 9)即重複。同樣為了便於討論,在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9,也就是 9 個數字一循環來表示。

為什麼表 2 是從 D(N6K+2)開始,為什麼不是從 D(N6K+1) 開始?還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字?

第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N6K+7)的數字組成蠻像的嗎,9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的,相似度高達 78 %,只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數,所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後,平方之後的項都會是 9 的倍數,位數根也必為 9,自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N6K+2)開始。

原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表,竟然隱含了數字甚至次方的規律,一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂,就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽,那樣使人嘴角上揚。

p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者,可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X,X = 9K + D(X)。K 為非負整數,D(X) 為 X 的位數根。

生命靈數能代表宇宙的秩序?

看完上面的故事,覺得那位少年很瘋狂嗎?偷偷告訴你一個祕密,他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。(那位少年究竟是不是作者本人呢?)

其實他不是特例,因為,人類對數字的狂熱就是沒有極限!狂熱的代表是生命靈數(Numerology)也被稱為數秘學,好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等,在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎!?

回答這問題之前,先告訴你們一件意外的事實,人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲,而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支,此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯,畢氏定理的畢就是這個畢。

生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數,像是以生日的年月日加總後的生命靈數,還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。

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生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。圖/By David Goehring @ flickr, CC BY 2.0

相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來,加到不能夠再加就是生命靈數,用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日,生日位數根是 1。

可是很多人的生日位數根也是 1 耶,這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的,因此成為泛科學的粉絲嗎?那其他生日位數根的粉絲呢?顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在,也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。

生命靈數之於數學,就像是占星術之於天文學,以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的,大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時,會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。

對數字的狂熱,沒有極限

很多數學家、數學愛好者,或者顯然就是作者本人的那位少年,因為沉浸在自己的小世界,而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek;生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問,並且認為數字能夠代表宇宙的秩序,看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧!

  • 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

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關於作者

Shark Lin

在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,一直懷著強烈的好奇心探索世界,樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態;近來嘗試將數學轉化成藝術創作,以及進行互動式的科普活動。一個既不是念數學也不是學藝術的藝數創作者。歡迎追蹤個人 臉書推特 ,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com