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最自戀的乘方開方數字團體——位數根的快樂夥伴(二)

Sharkie Lin_96
・2016/12/29 ・3152字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 482 ・五年級

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今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴,數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方(powers of 2),立方是自己乘自己再乘自己(powers of 3),總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?

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為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方,立方是自己乘自己再乘自己,總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?圖/By Kevin Simpson @ flickr, CC BY-SA 2.0

很早以前,有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡,心血來潮向老師借了一本數學課本,後面的附錄有著一個密密麻麻的表格,裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100,還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子:

表 1:沒有開方的乘方開方表(節錄)

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這位少年不知道怎麼回事,動手計算了 N2 那一欄數字的位數根,看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道,一算就驚為天人(?)他驚奇地發現新的位數根數列有規律,不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字,一直到 100 都遵循著如此的規律,就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。

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那 N3 的位數根會不會也有規律?這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方(powers of n),也會有規律吧!?有了這麼多 powers 和咒語,可以召喚金剛戰士(Go Go Power Rangers!)的好朋友智多星來解惑嗎?雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人,可現在的機器可以幫忙做很多事情,計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。

發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失,所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體,先把 N 的更高次方 N4, N5, …, NK 全部的值都列出來,拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根,直到試算表都出現了科學符號還停不下來。

這精神相當可敬但方法太傻了,還記得位數根的第一位快樂夥伴費波那契數列和他的兔子嗎?我們可以使用試算表的公式自動計算位數根,這裡也幫大家建立好了線上表格,點進去先觀察一下再回來讀文章,數學的樂趣源自於觀察。

藉由電腦輔助發現的規律如下表,D(N) 表示自然數 N 的位數根,K 表示非負整數,也就是從 0 開始的整數。

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表 2:自然數 N 在不同次方數的位數根

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為什麼表 2 裡頭 D(N6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢?首先藉由現代智多星電腦的幫忙,在剛剛的線上表格發現了一件事情,N8 和 N2 的位數根 D(N8) 和 D(N2)這兩欄的數字是一樣的,而 N9 和 N3 的位數根 D(N9)和 D(N3)也是一樣的,以此類推,也就是說位數根的次方從 D(N8)開始就會重複。

首先,來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化:

D(N) = 1 那一列的數字都是 1,所以每 1 個次方皆重複一次;

D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2,每 6 個次方重複一次;

其他數字以此類推可以產生下面這個表格,描述 D(N)= 1 到 9 時,其次方數的規律是每幾個次方重複一次:

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表 3

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同樣為了方便討論以及適當地呈現表格,取 6 (也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數)做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K,表示每 6 個次方數一循環。

知道 6K 是怎麼來的以後,緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N2)那一欄是 9 個數字一循環,D(N4)、D(N5)、D(N7)也同樣是 9 個數字一循環;而 D(N3) 和 D(N6) 都是 3 個數字(1, 8, 9 和 1, 1, 9)即重複。同樣為了便於討論,在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9,也就是 9 個數字一循環來表示。

為什麼表 2 是從 D(N6K+2)開始,為什麼不是從 D(N6K+1) 開始?還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字?

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第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N6K+7)的數字組成蠻像的嗎,9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的,相似度高達 78 %,只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數,所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後,平方之後的項都會是 9 的倍數,位數根也必為 9,自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N6K+2)開始。

原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表,竟然隱含了數字甚至次方的規律,一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂,就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽,那樣使人嘴角上揚。

p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者,可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X,X = 9K + D(X)。K 為非負整數,D(X) 為 X 的位數根。

生命靈數能代表宇宙的秩序?

看完上面的故事,覺得那位少年很瘋狂嗎?偷偷告訴你一個祕密,他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。(那位少年究竟是不是作者本人呢?)

其實他不是特例,因為,人類對數字的狂熱就是沒有極限!狂熱的代表是生命靈數(Numerology)也被稱為數秘學,好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等,在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎!?

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回答這問題之前,先告訴你們一件意外的事實,人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲,而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支,此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯,畢氏定理的畢就是這個畢。

生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數,像是以生日的年月日加總後的生命靈數,還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。

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生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。圖/By David Goehring @ flickr, CC BY 2.0

相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來,加到不能夠再加就是生命靈數,用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日,生日位數根是 1。

可是很多人的生日位數根也是 1 耶,這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的,因此成為泛科學的粉絲嗎?那其他生日位數根的粉絲呢?顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在,也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。

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生命靈數之於數學,就像是占星術之於天文學,以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的,大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時,會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。

對數字的狂熱,沒有極限

很多數學家、數學愛好者,或者顯然就是作者本人的那位少年,因為沉浸在自己的小世界,而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek;生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問,並且認為數字能夠代表宇宙的秩序,看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧!

  • 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

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Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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圖形處理單元與人工智慧
賴昭正_96
・2024/06/24 ・6944字 ・閱讀時間約 14 分鐘

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  • 作者/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒,那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬.霍金(Stephen Hawking) 英國理論物理學家

大約在八十年前,當第一台數位計算機出現時,一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧;但七十年後,還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」(Artificial Intelligent,簡稱 AI)的能力最近十年突然起飛,在許多(所有?)領域的測試中擊敗了人類,正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元(graphic process unit,簡稱 GPU)是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia(英偉達)股票從每股不到 $5,上升到今天(5 月 24 日)每股超過 $1000(註一)的全世界第三大公司,其創辦人(之一)兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳(Jenson Huang)也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人!可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎?到底是時勢造英雄,還是英雄造時勢?

黃仁勳出席2016年台北國際電腦展
Nvidia 的崛起究竟是時勢造英雄,還是英雄造時勢?圖/wikimedia

在回答這問題之前,筆者得先聲明筆者不是學電腦的,因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事,不是我們外行人需要了解的;但作為一位現在的知識分子或公民,了解基本原理則是必備的條件:例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析,即可判斷永動機是騙人的;又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上,它們不用往室外排廢熱氣,就可以提供屋內冷氣,讀者買嗎?

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」(central process unit,簡稱 CPU)。CPU 是電腦的「腦」,其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務,如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作;但為了簡單化,我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作(arithmetic and logic unit,簡稱 ALU),如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下,CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

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在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時,CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後,CPU 開始顯示心有餘而力不足:例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素(pixel),每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年,英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定/裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」(註二)定位為「世界上第一款 GPU」,「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU,GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作,快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢?因每一時刻只能做一件事,所以其步驟為:

  • 計算 7×5;
  • 計算 6/3;
  • 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢?很多工作便可以同時(平行)進行:

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  • 同時計算 7×5 及 6/3;
  • 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間,但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢?單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間(16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間),而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間(1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間)!

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了,如何將它擺正成右圖呢? 一句話:「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點(座標 x, y)組成的,所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了:每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

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即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算!如果每一運算需要 10-6 秒,那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉,便需要 6 秒,這豈是電動玩具畫面變化所能接受的?

圖形處理的例子

人類的許多發明都是基於需要的關係,因此電腦硬件設計家便開始思考:這些點轉換都是獨立的,為什麼我們不讓它們同時進行(平行運算,parallel processing)呢?於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 106 運算,那上圖的轉換只需 10-6 秒鐘!

GPU 的興起

GPU 可分成兩種:

  • 整合式圖形「卡」(integrated graphics)是內建於 CPU 中的 GPU,所以不是插卡,它與 CPU 共享系統記憶體,沒有單獨的記憶體組來儲存圖形/視訊,主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上;早期英特爾(Intel)因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤,在這方面的研發佔領先的地位,約佔 68% 的市場。
  • 獨立顯示卡(discrete graphics)有不與 CPU 共享的自己專用內存;由於與處理器晶片分離,它會消耗更多電量並產生大量熱量;然而,也正是因為有自己的記憶體來源和電源,它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年,英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後,科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化,在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效,因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理,不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化,也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬(註三)等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分,正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲,遠遠落在英偉達(80%)及超微半導體公司(Advance Micro Devices Inc.,19%,註四)之後,大約只有 1% 的市場。

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典型的CPU與GPU架構

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」,而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心(core)單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心,因此其核心功能不如 CPU 核心強大,但它們能同時高速執行大量相同的指令,在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心;GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書,不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等,也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺,它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是:嘴巴在講,腦筋思考已經不知往前跑了多少公里,常常為了追趕而越講越快,將不少學生拋到腦後!這不表示筆者聰明,因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技,因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣(matrix)的讀者應該知道,如果用矩陣和向量(vector)表達,上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的(註五)。而矩陣和向量計算正是機器學習(machine learning)演算法的基礎!也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在!因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石:它們的架構就是充分利用並行處理,來快速執行多個操作,進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」(deep learning)。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂:「下一次工業革命已經開始了:企業界和各國正與英偉達合作,將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升,幫助企業降低成本和提高能源效率,同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子:下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後,讀者是不是認為筆者該退休了?

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GPU(圖形處理單元)和 AI(人工智慧)之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力,特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步,使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率,使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐,而且使其更具成本效益,因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展,GPU 的角色可能會變得更加不可或缺,推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標,這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作,使我們能夠執行複雜的任務,例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外,研究表明,與非人類動物相比,人類大腦具有更多平行通路,這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上,一邊聽音樂一邊做飯,或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技,因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵:透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

(註一)當讀者看到此篇文章時,其股票已一股換十股,現在每一股約在 $100 左右。

(註二)組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」(GeForce 256)插卡吧?

(註三)筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時,就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士(fellow)」Enrico Clementi 的團隊:因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層,我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦(非 IBM 品牌!)與一大型電腦連接來做平行運算,進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

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(註四)補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商:英偉達及 ATI(Array Technology Inc.)。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立,2006 年被超微半導體公司收購,品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐(Lisa Tzwu-Fang Su)博士為執行長後,股票從每股 $4 左右,上升到今天每股超過 $160,其市值已經是英特爾的兩倍,完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色,正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題:超微半導體公司現任總裁(兼 AI 策略負責人)為出生於台北的彭明博(Victor Peng);與黃仁勳及蘇姿豐一樣,也是小時候就隨父母親移居到美國。

(註五)

延伸閱讀

  • 熱力學與能源利用」,《科學月刊》,1982 年 3 月號;收集於《我愛科學》(華騰文化有限公司,2017 年 12 月出版),轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
  • 網路安全技術與比特幣」,《科學月刊》,2020 年 11 月號;轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。
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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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黃金比例如何啟發世界的「美」!
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/07/19 ・3828字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 微星科技 委託,泛科學企劃執行。

  • 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引,取名時加上「黃金」二字,好像就能讓身價大漲,變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果,黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑(大誤)……人們用黃金形容所有美好的事物,連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例,你一定聽聞過,如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例,就越迷人的説法。然而一個數字比例,怎麼會和美學扯上關係?

人類探究黃金比例的歷史,可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前,癡迷於數學的畢達哥拉斯,認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者,被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏,畢氏學派恐怕是一群怪人:恪守極爲嚴格的生活條規,不可吃肉和豆類,還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜,尤其對數字 5 和五角星形的迷戀,使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割,由短至長排列,把最短的兩條線段相加,恰恰等於第三條線段長;把第二短和第三短的線段相加,也會等於第四條線段,依序如是,顯示出黃金比例的奇妙!不過,他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年,歐基里德所著的《幾何原本》問世,才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎?歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」,其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」(Extreme and mean ratio)。歐基里德對這個比例的說明如下:

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“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

(一條線段如果切在「極限與均值比例」上,則線段的全長與較長分割段的長度比例,和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。)

黃金比例的線段:a + b:a = a:b。圖/wikipedia

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ,就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位,較長的線段 a 定義成 x 單位,再用一點國中數學上過的一元二次方程式,就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看~~~不到盡頭的無理數,都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率,是以 「π」來表示,黃金比例也有自己的符號,叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ,跟「π」押同韻,但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多,純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是,這個「極限與均值比例」,會變成美的代言人,帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集,文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞,一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前,它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期,被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡.帕西奧利(Luca Pacioli),出版了名叫《神聖比例》(Divina scalee)的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發,對正多面體和半正多面體的性質做討論。

1509 年由盧卡·帕西奧利出版的《神聖比例》,書中插圖由達文西繪製。圖/wikimedia

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發,開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段(全長、長邊、短邊),都在描述同一條線,像極了基督教的神學觀,既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數,所具備無法窮盡的性質,就如同凡人無法理解全能無限的上帝般,兩個線段之比例是相等的(全:長 = 長:短),則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

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從數學上看見神學解釋的帕西奧利,遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來,被神所創造的人類,其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後,「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破,成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈,成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題,後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度,背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在?藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造,數學界和藝術界還在爭辯不休,但實際上不需要人爲設計,大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列(Fibonacci number),可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0,第一項是 1,從第二項以後的值,就是前兩項加起來的和,所以依序會是:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

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用費波那契數為邊的正方形,可以拼凑出的近似的黃金矩形 ( 1 : 1.618 ) !圖/wikimedia

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler)發現,把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話,會是 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2,3 / 2 = 1.5,5 / 3 = 1.67, 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏,你是不是也察覺到其中奧妙?隨著數列遞進繼續相除,這個值竟會越來越趨近於黃金比例!也因此,費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物,其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量,你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子,才不會擋住彼此吸收陽光?玫瑰的花瓣要如何排列,才會顯得漂亮對稱?松果上的種子要怎麽生長,才可以有效利用有限的空間?這些問題的答案通通都是:旋轉角度的比值(以 360° 為分母)要符合黃金比例!

對稱的玫瑰,決定其花瓣位置的角度遵循黃金比例。圖/Pixabay

不只是植物界,無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線,抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀,就連宇宙中漩渦星系的旋臂,都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼,大至遙遠光年之外的星系,都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛,讓科學家着迷不已。

黃金矩形中隱藏的等角螺線。圖/wikimedia

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系,都不約而同服膺於一個神奇的比值,展現一種似乎自世界誕生以來就存在,難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類,也不停在各樣的建築或藝術品中追尋,渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像,也沒辦法百分百貼近黃金比例,畢竟誤差永遠不能被全面消除,更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美,才迫使我們得以在追求美的道路上,不停努力地前進,再前進。

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連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊,又有什麼東西用到黃金比例呢?

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採用 16 : 10 螢幕的 Creator Z16 ,比市售的 16 : 9 螢幕多了 11% 的可視空間,創作更加自由寬廣。此外,16 : 10 ( 1.6 )也非常接近黃金比例( 1.618 ),讓你在創作時,感受蘊含萬物奧秘、數學家兩千多年來淬鍊的「美」。

本著以人爲本的設計理念, Creator Z16 的觸控面板讓人可更直覺操作,隨時揮灑靈感。 90 Whr 的大容量電池搭配快充功能和 15.9 mm 纖薄金屬打造的 2.2 kg 機身,可完美配合現代人隨時行動隨地工作的步調。以 True Pixel 顯示技術打造的 QHD+ 超高畫質面板,加上獨家 True Color 技術於出廠前進行色彩校正,可以精準呈現璀璨畫面。

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最自戀的乘方開方數字團體——位數根的快樂夥伴(二)
Sharkie Lin_96
・2016/12/29 ・3152字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 482 ・五年級

今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴,數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方(powers of 2),立方是自己乘自己再乘自己(powers of 3),總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?

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為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢?平方是自己乘上自己自戀二次方,立方是自己乘自己再乘自己,總共要乘三次難道還不夠自戀嗎?圖/By Kevin Simpson @ flickr, CC BY-SA 2.0

很早以前,有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡,心血來潮向老師借了一本數學課本,後面的附錄有著一個密密麻麻的表格,裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100,還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子:

表 1:沒有開方的乘方開方表(節錄)

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這位少年不知道怎麼回事,動手計算了 N2 那一欄數字的位數根,看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道,一算就驚為天人(?)他驚奇地發現新的位數根數列有規律,不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字,一直到 100 都遵循著如此的規律,就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。

那 N3 的位數根會不會也有規律?這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方(powers of n),也會有規律吧!?有了這麼多 powers 和咒語,可以召喚金剛戰士(Go Go Power Rangers!)的好朋友智多星來解惑嗎?雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人,可現在的機器可以幫忙做很多事情,計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。

發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失,所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體,先把 N 的更高次方 N4, N5, …, NK 全部的值都列出來,拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根,直到試算表都出現了科學符號還停不下來。

這精神相當可敬但方法太傻了,還記得位數根的第一位快樂夥伴費波那契數列和他的兔子嗎?我們可以使用試算表的公式自動計算位數根,這裡也幫大家建立好了線上表格,點進去先觀察一下再回來讀文章,數學的樂趣源自於觀察。

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藉由電腦輔助發現的規律如下表,D(N) 表示自然數 N 的位數根,K 表示非負整數,也就是從 0 開始的整數。

表 2:自然數 N 在不同次方數的位數根

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為什麼表 2 裡頭 D(N6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢?首先藉由現代智多星電腦的幫忙,在剛剛的線上表格發現了一件事情,N8 和 N2 的位數根 D(N8) 和 D(N2)這兩欄的數字是一樣的,而 N9 和 N3 的位數根 D(N9)和 D(N3)也是一樣的,以此類推,也就是說位數根的次方從 D(N8)開始就會重複。

首先,來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化:

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D(N) = 1 那一列的數字都是 1,所以每 1 個次方皆重複一次;

D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2,每 6 個次方重複一次;

其他數字以此類推可以產生下面這個表格,描述 D(N)= 1 到 9 時,其次方數的規律是每幾個次方重複一次:

表 3

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同樣為了方便討論以及適當地呈現表格,取 6 (也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數)做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K,表示每 6 個次方數一循環。

知道 6K 是怎麼來的以後,緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N2)那一欄是 9 個數字一循環,D(N4)、D(N5)、D(N7)也同樣是 9 個數字一循環;而 D(N3) 和 D(N6) 都是 3 個數字(1, 8, 9 和 1, 1, 9)即重複。同樣為了便於討論,在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9,也就是 9 個數字一循環來表示。

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為什麼表 2 是從 D(N6K+2)開始,為什麼不是從 D(N6K+1) 開始?還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字?

第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N6K+7)的數字組成蠻像的嗎,9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的,相似度高達 78 %,只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數,所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後,平方之後的項都會是 9 的倍數,位數根也必為 9,自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N6K+2)開始。

原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表,竟然隱含了數字甚至次方的規律,一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂,就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽,那樣使人嘴角上揚。

p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者,可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X,X = 9K + D(X)。K 為非負整數,D(X) 為 X 的位數根。

生命靈數能代表宇宙的秩序?

看完上面的故事,覺得那位少年很瘋狂嗎?偷偷告訴你一個祕密,他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。(那位少年究竟是不是作者本人呢?)

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其實他不是特例,因為,人類對數字的狂熱就是沒有極限!狂熱的代表是生命靈數(Numerology)也被稱為數秘學,好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等,在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎!?

回答這問題之前,先告訴你們一件意外的事實,人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲,而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支,此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯,畢氏定理的畢就是這個畢。

生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數,像是以生日的年月日加總後的生命靈數,還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。

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生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性,可以利用數字更加瞭解自己以及世界,甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統,而數字反映了其中的秩序,數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。圖/By David Goehring @ flickr, CC BY 2.0

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相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來,加到不能夠再加就是生命靈數,用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日,生日位數根是 1。

可是很多人的生日位數根也是 1 耶,這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的,因此成為泛科學的粉絲嗎?那其他生日位數根的粉絲呢?顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在,也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。

生命靈數之於數學,就像是占星術之於天文學,以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的,大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時,會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。

對數字的狂熱,沒有極限

很多數學家、數學愛好者,或者顯然就是作者本人的那位少年,因為沉浸在自己的小世界,而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek;生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問,並且認為數字能夠代表宇宙的秩序,看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧!

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  • 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

文章難易度
Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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由泰利斯、畢達哥拉斯到亞里斯多德,古希臘如何開展科學思維——《月球之書》
時報出版_96
・2020/02/04 ・3327字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 544 ・八年級

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  • 作者/大衛.翁弗拉許;譯者/林柏宏

科學的起源:以真實性質的角度來理解自然

二十世紀物理學家理查. 費曼(Richard Feynman,1918-1988)認為,當代物理學奠基於巴比倫人的數學方法,他們會以數學的方式來闡述問題,這種經驗能夠讓人學會歸納,進而發現自然原理。歐幾里得(Euclid ofAlexandria,西元前三世紀中期到西元前 285 年)的治學方法則與此相對,這位希臘思想家運用基本的邏輯規則,從我們稱為公設的基礎事實推導出更多複雜的定理。

製作於十九世紀晚期的古希臘地圖。圖/時報出版提供

在大約西元前三百年時,歐幾里得的方法很流行,而他的演繹法發源於更早的幾世紀前,當時的希臘思想家剛開始大膽地以真實性質的角度來理解自然。

對於月亮、太陽與眾行星性質的了解要真正有所進展,希臘的天文學家就得接受量化的方法。他們會需要巴比倫人研究天文的方法,包含實際數學運算,以及從單調的天象觀測中蒐集大量資料。他們的研究必須將這些資料融合希臘文化特有的、探討本質的思維。這種思維是從西元前六世紀的愛奧尼亞人社群開始的。

愛奧尼亞地區位於今日土耳其西部沿岸的城市與島嶼,最早開始推斷大自然是可探究、可預測的希臘人都來自這一帶,他們認為大自然的運作與眾神的意志無關。這種去除神祕面紗的世界觀由米利都的泰利斯起頭,從而解放了愛奧尼亞人的思考,開始為自然現象提出物理學的解釋模型,對科學的進步發揮了重要作用。

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然而,希臘世界另一邊的哲學家都反對泰利斯的論點,這些哲學家的根據地是位於南義大利的希臘殖民地─大希臘(Magna Grecia)。

在這場論爭裡,一些大希臘區的哲學家其實是最早發現月亮是球形而非一圓盤的人,有一批大希臘的人還引進了會讓希臘天文學突飛猛進的數學知識。但是,大希臘區並無科學思維,這裡的人高張神祕主義,鄙視實證精神,影響力最大的神祕主義團體還掩蓋、打壓與其主張相左的新發現。

諷刺的是,這個神祕主義勢力團體的創始人,出生於愛奧尼亞區中心地帶薩摩斯島(Samos)的畢達哥拉斯(Pythagoras,約西元前 570-495),其實就學於泰利斯門下,並由此展開他的學術之路。

泰利斯預測日食,阻止戰爭

要是西元前二千六百年就有諾貝爾和平獎,肯定會頒發給米利都的泰利斯。

他出生時,正是巴比倫文明崛起,催生出前所未有的知識創發活躍期,他也漸漸愛上數學與天文學。愛奧尼亞隸屬於呂底亞王國(Lydian),不過泰利斯或許去過巴比倫,不然就是取得了巴比倫的天文學文獻。不管是哪種情形,泰利斯都認識到日食與月食的沙羅週期,這與他的想法不謀而合,他本來就認為神明與自然無涉。

泰利斯畫像。描繪這位希臘天文學家的是荷蘭次畫家兼版畫家雅各·德·葛恩(Jacob de Gheyn),這是他 1616 年完成的作品。十七世紀時,荷蘭的鏡片磨製技術領先全球,因此這幅畫時空錯亂地讓泰利斯帶著一副眼鏡,泰利斯預測了西元前 585 年的一場日食。圖/時報出版提供

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當時呂底亞正與其敵對國之一,米迪亞(Media)交戰,泰利斯知道雙方指揮官都是迷信的人,便提出警告說,眾神要求他們休兵,並且會在西元前五百八十五年春季的某一天使太陽暗下來,以表明神意,其實泰利斯根據沙羅週期進行計算後,已經得知這一天應該會發生日食。

儘管泰利斯自己未察覺,但當他如此運用沙羅週期時,實際上計算的正是月球在太陽前方的移動。總之,日食確實出現了,戰事也平息了,泰利斯在愛奧尼亞聲名大噪,想向他學習自然研究的人蜂擁而至,其中一位就是從薩摩斯島搭船前來的畢達哥拉斯。

當時的米利都是個富庶的港口城市,當地的希臘居民不願向帝國統治者效忠,他們獨立自主,擁抱新知,或許是因為常從各地的航海貿易商口中得知新觀念,長此以往,泰利斯與其他米利都人的思考方式開始變得新穎激進。

比方說,他們認為地震是由於海中巨浪擊打陸地,土地陸塊是來自海水淤積堆造而成。這些關於自然的解釋終究會被證明並不正確,但重要的是,當時他們的想法和其他地方的人不一樣,他們的想法是可以接受驗證、有可能被否證推翻的,與那些虛無縹緲的神明無關。

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泰利斯和在他之後的愛奧尼亞人之所以與眾不同,乃在於他們斷定,認識自然是可行的,可以接受觀察與分析─ 而且,對於他們之中某些人而言,也能透過試驗實證。

為封口無理數的發現而殺人的畢達哥拉斯

薩摩斯的畢達哥拉斯是目前已知世上最早指出月亮是球狀的第一人,他會這麼想或許一開始源自觀察的結果,例如發現月球明暗分界線(lunarterminator)是彎曲的,這道線區分了月球被照亮與未被照亮的兩部分。

畢達哥拉斯畢竟是泰利斯的學生,而且比同時代的人更早認出晨星(the MorningStar)與暮星(the Evening Star)是同一顆物體─ 金星。這種認知來自於觀察,雖然畢達哥拉斯後來排斥觀測,轉而堅持藉由純粹的思索即可了解宇宙。

繪有畢達哥拉斯的十八世紀蝕刻畫,以義大利畫家拉斐爾(Raphael,1483-1520)在〈雅典學院〉(The School of Athens,1511)一畫中對這位希臘思想家模樣的詮釋為摹本。圖/時報出版提供

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旅居埃及多年,又去了巴比倫之後,畢達哥拉斯帶來了一項定理,直角三角形斜邊圍成的正方形面積,等於兩短邊各自圍成正方形的面積和。這不是他自己想出來的,埃及人與巴比倫人早將這觀念實際運用在生活中好幾百年了,巴比倫甚至發展出三角學這門數學。無論如何,由於畢達哥拉斯將這個定理引介給希臘人,未來幾世代探究大自然所需的數學知識才有機會出現。

但對畢達哥拉斯而言,數學不僅是工具,而是宗教信仰。

球狀月亮的想法只是畢達哥拉斯兄弟會神祕思想的一部分,畢達哥拉斯在位於義大利的克羅敦殖民地(the Croton colony)創立了這支教派。畢達哥拉斯教徒主張天界的「星球和諧」,認為月亮與其他星體不只是球形,而且是完美球形,繞著絕對的圓旋轉,每顆星球會產生特定的音符。再加上畢達哥拉斯輕視觀測法,凡是和其完美和諧觀念牴觸的新發現都一貫打壓。

其中一例是他的學生發現數字 2 開平方根會得到無理數,也就是無法化作分數,不能以兩個整數做為分子與分母來表示。謠傳畢達哥拉斯為了封口,謀殺了那個學生。

但他並不需要依靠暴力來提倡自己的學說。不久後,柏拉圖(Plato,約西元前 427-347)將熱心採納畢達哥拉斯的神祕主義,包含那些完美球形、圓形軌道、對觀察實測的輕蔑,以及阻撓接下來幾世紀科學進展的一切花俏玩意兒。

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採納實證主義的亞里斯多德

和他的老師柏拉圖比起來,亞里斯多德比較有科學精神。

雖然兩人的出發點都是想將畢達哥拉斯、巴門尼德提倡的這類神祕主義哲學與愛奧尼亞人的自然主義整合在一起,柏拉圖終究傾向了神祕主義,亞里斯多德則對愛奧尼亞思維更有好感。若提到愛奧尼亞的實證主義(empiricism)── 主張知識必須透過感官作用的經驗才能取得,兩人的分歧會特別明顯。

義大利文藝復興時期畫家拉斐爾在〈雅典學院〉(1511)一畫中描繪了古典時期眾多知識界巨星。正中央兩位面對面的人是柏拉圖(左)與亞里斯多德(右)圖/時報出版提供

愛奧尼亞人泰利斯觀察尼羅河的沉積土層後,做出了假設,認為全世界的大塊陸地都是經由類似過程,從一原始大洋中形成的。而泰利斯的學生、米利都的阿那克西曼德(Anaximander of Miletus,西元前 610-545)觀察幼魚和人類的差異,並在看過化石骨骼後,構想出早期版本的生物演化假說。綜合他們的所見所聞,愛奧尼亞人了解到,大自然不停地在變動。

亞里斯多德在研究如生物這一類地球上的物質時,大致上採納愛奧尼亞式的實證主義與變化觀念,可是一旦主題來到天象,他就表現出神祕主義的遺緒。畢達哥拉斯有個很妙的想法,認為天上的星體都是繞著正圓形軌道轉的完美球形,亞里斯多德深受此思想荼毒,同時還採用巴門尼德的主張,認為萬物恆定不變,結果形成了以下觀點:

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星星、太陽與行星都是恆久不變的,有永遠固定的幾何形狀,地球是墮落不潔的,也因此不完美。違背這完美理念的還有月球表面的暗黑地貌,亞里斯多德對此的解釋是,月球和地球走太近了,太靠近存在於地表上的汙染,指的就是人類和其他生命形式。

——本文摘自《月球之書》,2019 年 9 月,時報出版

 

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