最自戀的乘方開方數字團體——位數根的快樂夥伴（二）

本文與 TRPMA 台灣研發型生技新藥發展協會合作，泛科學企劃執行

如果把癌細胞比喻成身體裡的頭號通緝犯，那誰來負責逮捕？

許多人第一時間想到的，可能是化療、放療這些外來的「賞金獵人」。但其實，我們體內早就駐紮著一支最強的警察部隊「免疫系統」。

既然「免疫系統」的警力這麼堅強，為什麼癌症還是屢屢得逞？關鍵就在於：癌細胞是偽裝高手。有的會偽造「良民證」，騙過免疫系統的菁英部隊；更厲害的，甚至能直接掛上「免查通行證」，讓負責巡邏的免疫細胞直接視而不見，大搖大擺地溜過。

過去，免疫檢查點抑制劑的問世，為癌症治療帶來突破性的進展，成功撕下癌細胞的偽裝，也讓不少患者重燃希望。不過，目前在某些癌症中，反應率仍只有兩到三成，顯示這條路還有優化的空間。

今天，我們要來聊的，就是科學家如何另闢蹊徑，找出那些連「通緝令」都發不出去的癌細胞。這個全新的免疫策略，會是破解癌症偽裝的新關鍵嗎？

免疫療法登場：從殺敵一千到精準出擊

在回答問題之前，我們先從人類對抗癌症的「治療演變」說起。

最早的「傳統化療」，就像威力強大的「七傷拳」，殺傷力高，但不分敵我，往往是殺敵一千、自損八百，副作用極大。接著出現的「標靶藥物」，則像能精準出招的「一陽指」，能直接點中癌細胞的「穴位」，大幅減少對健康細胞的傷害，副作用也小多了。但麻煩的是，癌細胞很會突變，用藥一段時間就容易產生抗藥性，這套點穴功夫也就漸漸失靈。

直到這個世紀，人類才終於領悟到：最強的武功，是驅動體內的「原力」，也就是「重新喚醒免疫系統」來對付癌症。這場關鍵轉折，也開啟了「癌症免疫療法」的新時代。

你可能不知道，就算在健康狀態下，平均每天還是會產生數千個癌細胞。而我們之所以安然無恙，全靠體內那套日夜巡邏的「免疫監測 (immunosurveillance)」機制，看到癌細胞就立刻清除。但，癌細胞之所以難纏，就在於它會發展出各種「免疫逃脫」策略。

免疫系統中，有一批受過嚴格訓練的菁英，叫做「T細胞」，他們是執行最終擊殺任務的霹靂小組。狡猾的癌細胞為了躲過追殺，會在自己身上掛出一張「偽良民證」，這個偽裝的學名，「程序性細胞死亡蛋白配體-1 (programmed death-ligand 1, PD-L1) 」，縮寫PD-L1。

當T細胞來盤查時，T細胞身上帶有一個具備煞車功能的「讀卡機」，叫做「程序性細胞死亡蛋白受體-1 (programmed cell death protein 1, PD-1) 」，簡稱 PD-1。當癌細胞的 PD-L1 跟 T細胞的 PD-1 對上時，就等於是在說：「嘿，自己人啦！別查我」，也就是腫瘤癌細胞會表現很多可抑制免疫 T 細胞活性的分子，這些分子能通過免疫 T 細胞的檢查哨，等於是通知免疫系統無需攻擊的訊號，因此 T 細胞就真的會被唬住，轉身離開且放棄攻擊。

這種免疫系統控制的樞紐機制就稱為「免疫檢查點 （immune checkpoints）」。而我們熟知的「免疫檢查點抑制劑」，作用就像是把那張「偽良民證」直接撕掉的藥物。良民證一失效，T細胞就能識破騙局、發現這是大壞蛋，重新發動攻擊！

目前免疫療法已成為晚期癌症患者心目中最後一根救命稻草，理由是他們的體能可能無法負荷化療帶來的副作用；標靶藥物雖然有效，不過在用藥一段期間後，終究會出現抗藥性；而「免疫檢查點抑制劑」卻有機會讓癌症獲得長期的控制。

由於免疫檢查點抑制劑是借著免疫系統的刀來殺死腫瘤，所以有著毒性較低並且治療耐受性較佳的優勢。對免疫檢查點抑制劑有治療反應的患者，也能獲得比起化療更長的存活期，以及較好的生活品質。

不過，儘管免疫檢查點抑制劑改寫了治癌戰局，這些年下來，卻仍有些問題。

CD47來救？揭開癌細胞的「免死金牌」機制

「免疫檢查點抑制劑」雖然帶來治療突破，但還是有不少挑戰。

首先，是藥費昂貴。 雖然在台灣，健保於 2019 年後已有條件給付，但對多數人仍是沉重負擔。 第二，也是最關鍵的，單獨使用時，它的治療反應率並不高。在許多情況下，大約只有 2成到3成的患者有效。

換句話說，仍有七到八成的患者可能看不到預期的效果，而且治療反應又比較慢，必須等 2 至 3 個月才能看出端倪。對患者來說，這種「沒把握、又得等」的療程，心理壓力自然不小。

為什麼會這樣？很簡單，因為這個方法的前提是，癌細胞得用「偽良民證」這一招才有效。但如果癌細胞根本不屑玩這一套呢？

想像一下，整套免疫系統抓壞人的流程，其實是這樣運作的：當癌細胞自然死亡，或被初步攻擊後，會留下些許「屍塊渣渣」——也就是抗原。這時，體內負責巡邏兼清理的「巨噬細胞」就會出動，把這些渣渣撿起來、分析特徵。比方說，它發現犯人都戴著一頂「大草帽」。

接著，巨噬細胞會把這個特徵，發布成「通緝令」，交給其他免疫細胞，並進一步訓練剛剛提到的菁英霹靂小組─T細胞。T細胞學會辨認「大草帽」，就能出發去精準獵殺所有戴著草帽的癌細胞。

而PD-1/PD-L1 的偽裝術，是發生在最後一步：T 細胞正準備動手時，癌細胞突然高喊：「我是好人啊！」，來騙過 T 細胞。

但問題若出在第一步呢？如果第一關，巡邏的警察「巨噬細胞」就完全沒有察覺這些屍塊有問題，根本沒發通緝令呢？

這正是更高竿的癌細胞採用的策略：它們在細胞表面大量表現一種叫做「 CD47 」的蛋白質。這個 CD47 分子，就像一張寫著「自己人，別吃我！」的免死金牌，它會跟巨噬細胞上的接收器─訊號調節蛋白α (Signal regulatory protein α，SIRPα) 結合。當巨噬細胞一看到這訊號，大腦就會自動判斷：「喔，這是正常細胞，跳過。」

結果會怎樣？巨噬細胞從頭到尾毫無動作，癌細胞就大搖大擺地走過警察面前，連罪犯「戴草帽」的通緝令都沒被發布，T 細胞自然也就毫無頭緒要出動！

這就是為什麼只阻斷 PD-L1 的藥物反應率有限。因為在許多案例中，癌細胞連進到「被追殺」的階段都沒有！

為了解決這個問題，科學家把目標轉向了這面「免死金牌」，開始開發能阻斷 CD47 的生物藥。但開發 CD47 藥物的這條路，可說是一波三折。

不只精準殺敵，更不能誤傷友軍

研發抗癌新藥，就像打造一把神兵利器，太強、太弱都不行！

第一代 CD47 藥物，就是威力太強的例子。第一代藥物是強效的「單株抗體」，你可以想像是超強力膠帶，直接把癌細胞表面的「免死金牌」CD47 封死。同時，這個膠帶尾端還有一段蛋白質IgG-Fc，這段蛋白質可以和免疫細胞上的Fc受體結合。就像插上一面「快來吃我」的小旗子，吸引巨噬細胞前來吞噬。

問題來了！CD47 不只存在於癌細胞，全身上下的正常細胞，尤其是紅血球，也有 CD47 作為自我保護的訊號。結果，第一代藥物這種「見 CD47 就封」的策略，完全不分敵我，導致巨噬細胞連紅血球也一起攻擊，造成嚴重的貧血問題。

這問題影響可不小，導致一些備受矚目的藥物，例如美國製藥公司吉立亞醫藥（Gilead）的明星藥物 magrolimab，在2024年2月宣布停止開發。它原本是預期用來治療急性骨髓性白血病（AML）的單株抗體藥物。

太猛不行，那第二代藥物就改弱一點。科學家不再用強效抗體，而是改用「融合蛋白」，也就是巨噬細胞身上接收器 SIRPα 的一部分。它一樣會去佔住 CD47 的位置，但結合力比較弱，特別是跟紅血球的 CD47 結合力，只有 1% 左右，安全性明顯提升。

像是輝瑞在 2021 年就砸下 22.6 億美元，收購生技公司 Trillium Therapeutics 來開發這類藥物。Trillium 使用的是名為 TTI-621 和 TTI-622 的兩種融合蛋白，可以阻斷 CD47 的反應位置。但在輝瑞2025年4月29號公布最新的研發進度報告上，TTI-621 已經悄悄消失。已經進到二期研究的TTI-622，則是在6月29號，研究狀態被改為「已終止」。原因是「無法招募到計畫數量的受試者」。

但第二代也有個弱點：為了安全，它對癌細胞 CD47 的結合力，也跟著變弱了，導致藥效不如預期。

於是，第三代藥物的目標誕生了：能不能打造一個只對癌細胞有超強結合力，但對紅血球幾乎沒反應的「完美武器」？

為了找出這種神兵利器，科學家們搬出了超炫的篩選工具：噬菌體（Phage），一種專門感染細菌的病毒。別緊張，不是要把病毒打進體內！而是把它當成一個龐大的「鑰匙資料庫」。

科學家可以透過基因改造，再加上AI的協助，就可以快速製造出數億、數十億種表面蛋白質結構都略有不同的噬菌體模型。然後，就開始配對流程：

1. 先把這些長像各異的「鑰匙」全部拿去試開「紅血球」這把鎖，能打開的通通淘汰！
   
2. 剩下的再去試開「癌細胞」的鎖，從中挑出結合最強、最精準的那一把「神鑰」！

接著，就是把這把「神鑰」的結構複製下來，大量生產。可能會從噬菌體上切下來，或是定序入選噬菌體的基因，找出最佳序列。再將這段序列，放入其他表達載體中，例如細菌或是哺乳動物細胞中來生產蛋白質。最後再接上一段能號召免疫系統來攻擊的「標籤蛋白 IgG-Fc」，就大功告成了！

目前這領域的領頭羊之一，是美國的 ALX Oncology，他們的產品 Evorpacept 已完成二期臨床試驗。但他們的標籤蛋白使用的是 IgG1，對巨噬細胞的吸引力較弱，需要搭配其他藥物聯合使用。

而另一個值得關注的，是總部在台北的漢康生技。他們利用噬菌體平台，從上億個可能性中，篩選出了理想的融合蛋白 HCB101。同時，他們選擇的標籤蛋白 IgG4，是巨噬細胞比較「感興趣」的類型，理論上能更有效地觸發吞噬作用。在臨床一期試驗中，就展現了單獨用藥也能讓腫瘤顯著縮小的效果以及高劑量對腫瘤產生腫瘤顯著部分縮小效果。因為它結合了前幾代藥物的優點，有人稱之為「第 3.5 代」藥物。

除此之外，還有漢康生技的FBDB平台技術，這項技術可以將多個融合蛋白「串」在一起。例如，把能攻擊 CD47、PD-L1、甚至能調整腫瘤微環境、活化巨噬細胞與T細胞的融合蛋白接在一起。讓這些武器達成 1+1+1 遠大於 3 的超倍攻擊效果，多管齊下攻擊腫瘤細胞。

結語

從撕掉「偽良民證」的 PD-L1 抑制劑，到破解「免死金牌」的 CD47 藥物，再到利用 AI 和噬菌體平台，設計出越來越精準的千里追魂香。 

對我們來說，最棒的好消息，莫過於這些免疫療法，從沒有停下改進的腳步。科學家們正一步步克服反應率不足、副作用等等的缺點。這些努力，都為癌症的「長期控制」甚至「治癒」，帶來了更多的希望。

本文由 微星科技 委託，泛科學企劃執行。

• 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引，取名時加上「黃金」二字，好像就能讓身價大漲，變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果，黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑（大誤）……人們用黃金形容所有美好的事物，連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例，你一定聽聞過，如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例，就越迷人的説法。然而一個數字比例，怎麼會和美學扯上關係？

人類探究黃金比例的歷史，可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前，癡迷於數學的畢達哥拉斯，認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者，被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏，畢氏學派恐怕是一群怪人：恪守極爲嚴格的生活條規，不可吃肉和豆類，還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜，尤其對數字 5 和五角星形的迷戀，使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割，由短至長排列，把最短的兩條線段相加，恰恰等於第三條線段長；把第二短和第三短的線段相加，也會等於第四條線段，依序如是，顯示出黃金比例的奇妙！不過，他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年，歐基里德所著的《幾何原本》問世，才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎？歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」，其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」（Extreme and mean ratio）。歐基里德對這個比例的說明如下：

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

（一條線段如果切在「極限與均值比例」上，則線段的全長與較長分割段的長度比例，和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。）

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ，就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位，較長的線段 a 定義成 x 單位，再用一點國中數學上過的一元二次方程式，就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看～～～不到盡頭的無理數，都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率，是以 「π」來表示，黃金比例也有自己的符號，叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ，跟「π」押同韻，但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多，純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是，這個「極限與均值比例」，會變成美的代言人，帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集，文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞，一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前，它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期，被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡．帕西奧利（Luca Pacioli），出版了名叫《神聖比例》（Divina scalee）的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發，對正多面體和半正多面體的性質做討論。

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發，開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段（全長、長邊、短邊），都在描述同一條線，像極了基督教的神學觀，既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數，所具備無法窮盡的性質，就如同凡人無法理解全能無限的上帝般，兩個線段之比例是相等的（全：長 = 長：短），則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

從數學上看見神學解釋的帕西奧利，遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來，被神所創造的人類，其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後，「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破，成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈，成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題，後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度，背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在？藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造，數學界和藝術界還在爭辯不休，但實際上不需要人爲設計，大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列（Fibonacci number），可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0，第一項是 1，從第二項以後的值，就是前兩項加起來的和，所以依序會是：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒（Johannes Kepler）發現，把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話，會是 1 / 1 = 1， 2 / 1 = 2，3 / 2 = 1.5，5 / 3 = 1.67， 8 / 5 = 1.6， 13 / 8 = 1.625， 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏，你是不是也察覺到其中奧妙？隨著數列遞進繼續相除，這個值竟會越來越趨近於黃金比例！也因此，費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物，其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量，你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子，才不會擋住彼此吸收陽光？玫瑰的花瓣要如何排列，才會顯得漂亮對稱？松果上的種子要怎麽生長，才可以有效利用有限的空間？這些問題的答案通通都是：旋轉角度的比值（以 360° 為分母）要符合黃金比例！

不只是植物界，無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線，抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀，就連宇宙中漩渦星系的旋臂，都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼，大至遙遠光年之外的星系，都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛，讓科學家着迷不已。

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系，都不約而同服膺於一個神奇的比值，展現一種似乎自世界誕生以來就存在，難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類，也不停在各樣的建築或藝術品中追尋，渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像，也沒辦法百分百貼近黃金比例，畢竟誤差永遠不能被全面消除，更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美，才迫使我們得以在追求美的道路上，不停努力地前進，再前進。

連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊，又有什麼東西用到黃金比例呢？

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參考文獻

• 作者／大衛．翁弗拉許；譯者／林柏宏

科學的起源：以真實性質的角度來理解自然

二十世紀物理學家理查． 費曼（Richard Feynman，1918-1988）認為，當代物理學奠基於巴比倫人的數學方法，他們會以數學的方式來闡述問題，這種經驗能夠讓人學會歸納，進而發現自然原理。歐幾里得（Euclid ofAlexandria，西元前三世紀中期到西元前 285 年）的治學方法則與此相對，這位希臘思想家運用基本的邏輯規則，從我們稱為公設的基礎事實推導出更多複雜的定理。

在大約西元前三百年時，歐幾里得的方法很流行，而他的演繹法發源於更早的幾世紀前，當時的希臘思想家剛開始大膽地以真實性質的角度來理解自然。

對於月亮、太陽與眾行星性質的了解要真正有所進展，希臘的天文學家就得接受量化的方法。他們會需要巴比倫人研究天文的方法，包含實際數學運算，以及從單調的天象觀測中蒐集大量資料。他們的研究必須將這些資料融合希臘文化特有的、探討本質的思維。這種思維是從西元前六世紀的愛奧尼亞人社群開始的。

愛奧尼亞地區位於今日土耳其西部沿岸的城市與島嶼，最早開始推斷大自然是可探究、可預測的希臘人都來自這一帶，他們認為大自然的運作與眾神的意志無關。這種去除神祕面紗的世界觀由米利都的泰利斯起頭，從而解放了愛奧尼亞人的思考，開始為自然現象提出物理學的解釋模型，對科學的進步發揮了重要作用。

然而，希臘世界另一邊的哲學家都反對泰利斯的論點，這些哲學家的根據地是位於南義大利的希臘殖民地─大希臘（Magna Grecia）。

在這場論爭裡，一些大希臘區的哲學家其實是最早發現月亮是球形而非一圓盤的人，有一批大希臘的人還引進了會讓希臘天文學突飛猛進的數學知識。但是，大希臘區並無科學思維，這裡的人高張神祕主義，鄙視實證精神，影響力最大的神祕主義團體還掩蓋、打壓與其主張相左的新發現。

諷刺的是，這個神祕主義勢力團體的創始人，出生於愛奧尼亞區中心地帶薩摩斯島（Samos）的畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前 570-495），其實就學於泰利斯門下，並由此展開他的學術之路。

泰利斯預測日食，阻止戰爭

要是西元前二千六百年就有諾貝爾和平獎，肯定會頒發給米利都的泰利斯。

他出生時，正是巴比倫文明崛起，催生出前所未有的知識創發活躍期，他也漸漸愛上數學與天文學。愛奧尼亞隸屬於呂底亞王國（Lydian），不過泰利斯或許去過巴比倫，不然就是取得了巴比倫的天文學文獻。不管是哪種情形，泰利斯都認識到日食與月食的沙羅週期，這與他的想法不謀而合，他本來就認為神明與自然無涉。

當時呂底亞正與其敵對國之一，米迪亞（Media）交戰，泰利斯知道雙方指揮官都是迷信的人，便提出警告說，眾神要求他們休兵，並且會在西元前五百八十五年春季的某一天使太陽暗下來，以表明神意，其實泰利斯根據沙羅週期進行計算後，已經得知這一天應該會發生日食。

儘管泰利斯自己未察覺，但當他如此運用沙羅週期時，實際上計算的正是月球在太陽前方的移動。總之，日食確實出現了，戰事也平息了，泰利斯在愛奧尼亞聲名大噪，想向他學習自然研究的人蜂擁而至，其中一位就是從薩摩斯島搭船前來的畢達哥拉斯。

當時的米利都是個富庶的港口城市，當地的希臘居民不願向帝國統治者效忠，他們獨立自主，擁抱新知，或許是因為常從各地的航海貿易商口中得知新觀念，長此以往，泰利斯與其他米利都人的思考方式開始變得新穎激進。

比方說，他們認為地震是由於海中巨浪擊打陸地，土地陸塊是來自海水淤積堆造而成。這些關於自然的解釋終究會被證明並不正確，但重要的是，當時他們的想法和其他地方的人不一樣，他們的想法是可以接受驗證、有可能被否證推翻的，與那些虛無縹緲的神明無關。

泰利斯和在他之後的愛奧尼亞人之所以與眾不同，乃在於他們斷定，認識自然是可行的，可以接受觀察與分析─ 而且，對於他們之中某些人而言，也能透過試驗實證。

為封口無理數的發現而殺人的畢達哥拉斯

薩摩斯的畢達哥拉斯是目前已知世上最早指出月亮是球狀的第一人，他會這麼想或許一開始源自觀察的結果，例如發現月球明暗分界線（lunarterminator）是彎曲的，這道線區分了月球被照亮與未被照亮的兩部分。

畢達哥拉斯畢竟是泰利斯的學生，而且比同時代的人更早認出晨星（the MorningStar）與暮星（the Evening Star）是同一顆物體─ 金星。這種認知來自於觀察，雖然畢達哥拉斯後來排斥觀測，轉而堅持藉由純粹的思索即可了解宇宙。

旅居埃及多年，又去了巴比倫之後，畢達哥拉斯帶來了一項定理，直角三角形斜邊圍成的正方形面積，等於兩短邊各自圍成正方形的面積和。這不是他自己想出來的，埃及人與巴比倫人早將這觀念實際運用在生活中好幾百年了，巴比倫甚至發展出三角學這門數學。無論如何，由於畢達哥拉斯將這個定理引介給希臘人，未來幾世代探究大自然所需的數學知識才有機會出現。

但對畢達哥拉斯而言，數學不僅是工具，而是宗教信仰。

球狀月亮的想法只是畢達哥拉斯兄弟會神祕思想的一部分，畢達哥拉斯在位於義大利的克羅敦殖民地（the Croton colony）創立了這支教派。畢達哥拉斯教徒主張天界的「星球和諧」，認為月亮與其他星體不只是球形，而且是完美球形，繞著絕對的圓旋轉，每顆星球會產生特定的音符。再加上畢達哥拉斯輕視觀測法，凡是和其完美和諧觀念牴觸的新發現都一貫打壓。

其中一例是他的學生發現數字 2 開平方根會得到無理數，也就是無法化作分數，不能以兩個整數做為分子與分母來表示。謠傳畢達哥拉斯為了封口，謀殺了那個學生。

但他並不需要依靠暴力來提倡自己的學說。不久後，柏拉圖（Plato，約西元前 427-347）將熱心採納畢達哥拉斯的神祕主義，包含那些完美球形、圓形軌道、對觀察實測的輕蔑，以及阻撓接下來幾世紀科學進展的一切花俏玩意兒。

採納實證主義的亞里斯多德

和他的老師柏拉圖比起來，亞里斯多德比較有科學精神。

雖然兩人的出發點都是想將畢達哥拉斯、巴門尼德提倡的這類神祕主義哲學與愛奧尼亞人的自然主義整合在一起，柏拉圖終究傾向了神祕主義，亞里斯多德則對愛奧尼亞思維更有好感。若提到愛奧尼亞的實證主義（empiricism）── 主張知識必須透過感官作用的經驗才能取得，兩人的分歧會特別明顯。

愛奧尼亞人泰利斯觀察尼羅河的沉積土層後，做出了假設，認為全世界的大塊陸地都是經由類似過程，從一原始大洋中形成的。而泰利斯的學生、米利都的阿那克西曼德（Anaximander of Miletus，西元前 610-545）觀察幼魚和人類的差異，並在看過化石骨骼後，構想出早期版本的生物演化假說。綜合他們的所見所聞，愛奧尼亞人了解到，大自然不停地在變動。

亞里斯多德在研究如生物這一類地球上的物質時，大致上採納愛奧尼亞式的實證主義與變化觀念，可是一旦主題來到天象，他就表現出神祕主義的遺緒。畢達哥拉斯有個很妙的想法，認為天上的星體都是繞著正圓形軌道轉的完美球形，亞里斯多德深受此思想荼毒，同時還採用巴門尼德的主張，認為萬物恆定不變，結果形成了以下觀點：

星星、太陽與行星都是恆久不變的，有永遠固定的幾何形狀，地球是墮落不潔的，也因此不完美。違背這完美理念的還有月球表面的暗黑地貌，亞里斯多德對此的解釋是，月球和地球走太近了，太靠近存在於地表上的汙染，指的就是人類和其他生命形式。

——本文摘自《月球之書》，2019 年 9 月，時報出版。

今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴，數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢？平方是自己乘上自己自戀二次方（powers of 2），立方是自己乘自己再乘自己（powers of 3），總共要乘三次難道還不夠自戀嗎？

很早以前，有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡，心血來潮向老師借了一本數學課本，後面的附錄有著一個密密麻麻的表格，裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100，還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子：

表 1：沒有開方的乘方開方表（節錄）

這位少年不知道怎麼回事，動手計算了 N² 那一欄數字的位數根，看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道，一算就驚為天人（？）他驚奇地發現新的位數根數列有規律，不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字，一直到 100 都遵循著如此的規律，就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。

那 N³ 的位數根會不會也有規律？這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方（powers of n），也會有規律吧！？有了這麼多 powers 和咒語，可以召喚金剛戰士（Go Go Power Rangers！）的好朋友智多星來解惑嗎？雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人，可現在的機器可以幫忙做很多事情，計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。

發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失，所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體，先把 N 的更高次方 N⁴, N⁵, …, N^K 全部的值都列出來，拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根，直到試算表都出現了科學符號還停不下來。

這精神相當可敬但方法太傻了，還記得位數根的第一位快樂夥伴費波那契數列和他的兔子嗎？我們可以使用試算表的公式自動計算位數根，這裡也幫大家建立好了線上表格，點進去先觀察一下再回來讀文章，數學的樂趣源自於觀察。

藉由電腦輔助發現的規律如下表，D(N) 表示自然數 N 的位數根，K 表示非負整數，也就是從 0 開始的整數。

表 2：自然數 N 在不同次方數的位數根

為什麼表 2 裡頭 D(N^6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢？首先藉由現代智多星電腦的幫忙，在剛剛的線上表格發現了一件事情，N⁸ 和 N² 的位數根 D(N⁸) 和 D(N²)這兩欄的數字是一樣的，而 N⁹ 和 N³ 的位數根 D(N⁹)和 D(N³)也是一樣的，以此類推，也就是說位數根的次方從 D(N⁸)開始就會重複。

首先，來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化：

D(N) = 1 那一列的數字都是 1，所以每 1 個次方皆重複一次；

D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2，每 6 個次方重複一次；

…

其他數字以此類推可以產生下面這個表格，描述 D(N)= 1 到 9 時，其次方數的規律是每幾個次方重複一次：

表 3

同樣為了方便討論以及適當地呈現表格，取 6 （也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數）做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K，表示每 6 個次方數一循環。

知道 6K 是怎麼來的以後，緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N²)那一欄是 9 個數字一循環，D(N⁴)、D(N⁵)、D(N⁷)也同樣是 9 個數字一循環；而 D(N³) 和 D(N⁶) 都是 3 個數字（1, 8, 9 和 1, 1, 9）即重複。同樣為了便於討論，在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9，也就是 9 個數字一循環來表示。

為什麼表 2 是從 D(N^6K+2)開始，為什麼不是從 D(N^6K+1) 開始？還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字？

第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N^6K+7)的數字組成蠻像的嗎，9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的，相似度高達 78 %，只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數，所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後，平方之後的項都會是 9 的倍數，位數根也必為 9，自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N^6K+2)開始。

原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表，竟然隱含了數字甚至次方的規律，一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂，就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽，那樣使人嘴角上揚。

p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者，可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X，X = 9K + D(X)。K 為非負整數，D(X) 為 X 的位數根。

生命靈數能代表宇宙的秩序？

看完上面的故事，覺得那位少年很瘋狂嗎？偷偷告訴你一個祕密，他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。（那位少年究竟是不是作者本人呢？）

其實他不是特例，因為，人類對數字的狂熱就是沒有極限！狂熱的代表是生命靈數（Numerology）也被稱為數秘學，好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等，在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎！？

回答這問題之前，先告訴你們一件意外的事實，人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲，而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支，此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯，畢氏定理的畢就是這個畢。

生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性，可以利用數字更加瞭解自己以及世界，甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統，而數字反映了其中的秩序，數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數，像是以生日的年月日加總後的生命靈數，還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。

相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來，加到不能夠再加就是生命靈數，用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1。

可是很多人的生日位數根也是 1 耶，這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的，因此成為泛科學的粉絲嗎？那其他生日位數根的粉絲呢？顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在，也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。

生命靈數之於數學，就像是占星術之於天文學，以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的，大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時，會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。

對數字的狂熱，沒有極限

很多數學家、數學愛好者，或者顯然就是作者本人的那位少年，因為沉浸在自己的小世界，而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek；生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問，並且認為數字能夠代表宇宙的秩序，看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧！

• 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

• 數秘學，維基百科