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笛卡兒座標系:將思考推往高維度的世界——《用數學的語言看世界》

臉譜出版_96
・2018/01/14 ・3975字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 533 ・七年級

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劃時代的想法「笛卡兒座標系」

15 世紀,古騰堡(Gutenberg)將活字印刷應用化之後,歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。從 1482 年威尼斯的初版開始, 世界上有超過一千種版本,可以說是除了《聖經》之外,銷量最多的 一本書。幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

笛卡爾《談談方法》原版封面。圖/wikimedia commons

為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的,是 1596 年出生的近代理性主義之父笛卡兒(Descartes)。笛卡兒在他的著作《談談方法》 中,提出追求真理的四大步驟:

1. 如果不是具有明證的真理,就不承認其為真。
2. 為了更加了解問題,要將問題分割成許多小問題。
3. 思考的順序是從單純的事物開始,依序往複雜的事物前進。
4. 小問題都解決了之後,將小問題全部列出來,看看是否有遺漏, 能不能涵蓋原本的大問題。

勒內·笛卡兒畫像,圖/by Frans Hals@wikipedia commons。

這也反應出了《幾何原本》的精神,從看起來理所當然的公理開始,一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》,是討論關於探討真理的方法的書籍序論。笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解,做為這個方法的試論,那就是:

「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示,也就是(x, y)」。

在平面上垂直相交的兩條線,分別稱為 x 軸以及 y 軸。為了表示平面上的點的位置,將點分別與 x 軸以及 y 軸做垂線,相交的點分別為 x 以及 y,於是這個點的位置就可以用 (x, y) 來表 示,這就是所謂的「笛卡兒座標系」(圖 6-10)。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的, 這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」,但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念,所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。使用笛卡兒座標系的話,平面幾何的問題都可以代換成關於(x, y)的計算問題,連歐幾里德的五個公理, 都可以用笛卡兒座標來解釋了。

圖 6-10 笛卡兒座標系(直角座標系),圖/《用數學的語言看世界》提供。

例如,〈公理 3〉提到,平面上兩點(x1, y1)與 (x2, y2),以一點為圓心,求通過另外一點的圓的解。「圓」就是與某一點距離相同的 所有點的集合,所以首先計算這兩點的距離。 如圖 6-11,可以將(x1, y1)與 (x2, y2)的距離,也就是這兩點所連 結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理,對角線的長度 r 的平方,就是長邊與短邊的平方和。也可以表示成:

〈公理 3〉的「以(x1, y1)為中心,通過(x2, y2)的圓」就是與點(x1, y1)距離 r 的所有點的集合,因此滿足下面算式的所有(x, y)的集合就是解答。

(x - x1) 2 + (y - y1) 2 = r2

利用笛卡兒座標系,就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

圖 6-11 兩點間的距離 r,可以當作長方形的對角線來計算,圖/《用數學的語言看世界》提供。

用方程式解開美妙的「垂心定理」

2009 年,日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》(この定理が美しい)的書。這是一個大型企畫,由 20 位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理,並且講述定理獨特的魅力,而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。在這本書中,京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理,得先介紹三角形的垂線。由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線,這條線就稱為垂線。三角形有三個頂點,理所當然就有三條垂線。所謂的「垂心定理」是指,這三條垂線必會相交在一個點,而這個點稱為垂心。

三角形垂心:由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線的「垂線」,三條垂線必會相交在一個點,而這個點稱為「垂心」。圖/wikimedia commons

兩條直線如果不是平行的話,一定會在某處相交,形成一個交點,這是理所當然的事情。但是三條直線,就不一定會相交在同一個點了。牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到,「當時身為中學生的我,被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服,圖形的協調以及層層堆積的理論,使我確確實實感受到定理的美妙」。 古希臘時代流傳下來的,關於垂心定理的證明,巧妙的使用了輔助線,說是藝術也不為過。網路上有許多關於垂心定理的證明,有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。證明中不講求細節, 只是希望大家能感受一下方程式的氣氛,體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為 a = (0,0),b = (p,0), c = (q,r)。頂點 c 對 ab 邊的垂線,可以用方程式表示為:

x = q

頂點 a 對 bc 邊的垂線也可以用方程式表示為:

頂點 b 對 ca 邊的垂線也可以用方程式表示為:

最初的兩個方程式是 x,y 的聯立方程式,求解之後可以得到 :

(x, y) =(q, (p - q)q/r)

這個解也能滿足第三個方程式。也就是說,這三個方程式有共同的一個解。換句話說,三條垂線具有一個共同的交點,也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式,接著解聯立方程式,按照步驟機械式地一步步操作而已。但正是因為不需要靈感,所以只要知道解法,誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車,享受著田園風景前進,那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代,進入了重視效率的近代。

利用尺規作圖畫出的正五邊型,圖/by Hkpawn@wikipedia commons。

有科學技術的地方,就有笛卡兒座標系

高斯定理:「如果圖形的邊長比,能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話,這個圖形就可以作圖,如果不能,圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。作圖的基本規則是只使用尺跟圓規,所以又稱為尺規作圖。在笛卡兒座標系中,利用尺畫出的直線,可以表示為一次函數 y = ax + b,利用圓規畫出的圓是二次函數 (x - x1) 2 + (y - y1) 2 = r2

因此,重複這些步驟作圖得到的線段長的比值,就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解,也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學,對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時,剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象,包括——

  • 鐘擺的等時性」:鐘擺的擺動週期是固定的,與擺動幅度無關;
  • 自由落體法則」:物體落下時所需要的時間與物體重量無關;
  • 慣性法則」:以等速度移動的物體,在不施加外力的狀況下,會一直維持等速度運動;
  • 相對性」:在等速度移動的座標系中的力學法則,看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是,即使發現了這麼多重大的發現,伽利略卻沒有完成力學體系,其中一個原因,或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

伽利略畫像,圖/by Justus Sustermans@wikipedia commons。

在伽利略過世那年出生的牛頓,為了將力學以及重力學的法則用 數學方法表示時所使用的,正好就是笛卡兒座標系。從此以後,科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日,只要是有科學技術的地方,就有笛卡兒座標系。例如,電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置,就是轉換成笛卡兒座標系,以數字表示,而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界

笛卡兒座標還有另一個重大貢獻,它將人類的思考從平面中解放,前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字(x,y)表示,三維空間的點也能用一組三個的數字(x,y,z)代表。在三維空間中畫出互相垂直相 交的三條直線,稱之為 x 軸、y 軸、z 軸,在三維空間的點,分別對 這三個軸做垂線,得到 x、y、z 的數值,這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點(x,y)與(x’,y’)的距離 r 的公式是:

同樣的,三維空間中兩點(x,y,z)與(x’,y’,z’)的距離 r 公式是:

利用座標表示點的位置的話,能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。n 維度的空間,就是無數個由一組 n 個數的座標(x1,……,xn)所表示的點的集合。三維的世界是眼睛可以看到的世界,但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。然而,我們的日常生活所遭遇的事物之中,就隱藏著高維度世界。

 

 

本文選自《用數學的語言看世界:一位博士爸爸送給女兒的數學之書,發現數學真正的趣味、價值與美》,臉譜出版

 

 

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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黃金比例如何啟發世界的「美」!
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・2021/07/19 ・3828字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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  • 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引,取名時加上「黃金」二字,好像就能讓身價大漲,變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果,黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑(大誤)……人們用黃金形容所有美好的事物,連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例,你一定聽聞過,如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例,就越迷人的説法。然而一個數字比例,怎麼會和美學扯上關係?

人類探究黃金比例的歷史,可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前,癡迷於數學的畢達哥拉斯,認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者,被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏,畢氏學派恐怕是一群怪人:恪守極爲嚴格的生活條規,不可吃肉和豆類,還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜,尤其對數字 5 和五角星形的迷戀,使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割,由短至長排列,把最短的兩條線段相加,恰恰等於第三條線段長;把第二短和第三短的線段相加,也會等於第四條線段,依序如是,顯示出黃金比例的奇妙!不過,他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年,歐基里德所著的《幾何原本》問世,才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎?歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」,其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」(Extreme and mean ratio)。歐基里德對這個比例的說明如下:

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

(一條線段如果切在「極限與均值比例」上,則線段的全長與較長分割段的長度比例,和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。)

黃金比例的線段:a + b:a = a:b。圖/wikipedia

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ,就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位,較長的線段 a 定義成 x 單位,再用一點國中數學上過的一元二次方程式,就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看~~~不到盡頭的無理數,都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率,是以 「π」來表示,黃金比例也有自己的符號,叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ,跟「π」押同韻,但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多,純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是,這個「極限與均值比例」,會變成美的代言人,帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集,文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞,一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前,它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期,被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡.帕西奧利(Luca Pacioli),出版了名叫《神聖比例》(Divina scalee)的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發,對正多面體和半正多面體的性質做討論。

1509 年由盧卡·帕西奧利出版的《神聖比例》,書中插圖由達文西繪製。圖/wikimedia

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發,開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段(全長、長邊、短邊),都在描述同一條線,像極了基督教的神學觀,既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數,所具備無法窮盡的性質,就如同凡人無法理解全能無限的上帝般,兩個線段之比例是相等的(全:長 = 長:短),則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

從數學上看見神學解釋的帕西奧利,遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來,被神所創造的人類,其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後,「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破,成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈,成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題,後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度,背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在?藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造,數學界和藝術界還在爭辯不休,但實際上不需要人爲設計,大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列(Fibonacci number),可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0,第一項是 1,從第二項以後的值,就是前兩項加起來的和,所以依序會是:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

用費波那契數為邊的正方形,可以拼凑出的近似的黃金矩形 ( 1 : 1.618 ) !圖/wikimedia

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler)發現,把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話,會是 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2,3 / 2 = 1.5,5 / 3 = 1.67, 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏,你是不是也察覺到其中奧妙?隨著數列遞進繼續相除,這個值竟會越來越趨近於黃金比例!也因此,費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物,其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量,你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子,才不會擋住彼此吸收陽光?玫瑰的花瓣要如何排列,才會顯得漂亮對稱?松果上的種子要怎麽生長,才可以有效利用有限的空間?這些問題的答案通通都是:旋轉角度的比值(以 360° 為分母)要符合黃金比例!

對稱的玫瑰,決定其花瓣位置的角度遵循黃金比例。圖/Pixabay

不只是植物界,無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線,抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀,就連宇宙中漩渦星系的旋臂,都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼,大至遙遠光年之外的星系,都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛,讓科學家着迷不已。

黃金矩形中隱藏的等角螺線。圖/wikimedia

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系,都不約而同服膺於一個神奇的比值,展現一種似乎自世界誕生以來就存在,難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類,也不停在各樣的建築或藝術品中追尋,渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像,也沒辦法百分百貼近黃金比例,畢竟誤差永遠不能被全面消除,更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美,才迫使我們得以在追求美的道路上,不停努力地前進,再前進。


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參考文獻

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花了三百年才證明的世紀難題:費馬的最後定理
數感實驗室_96
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數感實驗室/朱倍玉

如果有人突然問你: \(  a^{2}+b^{2=} \)? 台灣學生大概像膝反射一樣,自然而然地答出 \( c^{2} \)

直角三角形,直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理,也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬的本業是律師,但因為熱衷數學研究而被譽為業餘數學王子。圖/wikipedia

費馬(Pierre de Fermat)是 17 世紀的一名律師,數學是他業餘的興趣,當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠,但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究,在數學界的貢獻不輸職業數學家,也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》(Arithmetica)這本書時,費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \),當 \(  n>2  \) 時無正整數解」,並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明,可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子,再加上一句話,卻讓後世的數學家們花了足足三百年,直到 1995 年才由懷爾斯(Andrew John Wiles)教授完成證明,而這項證明,被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按:原文提及費馬定理時敘述為「無解」,實為「無正整數解」,特此更正。

懷爾斯在費馬的出生地前留影,其後是「費馬猜想」的雕刻。圖/wikipedia

立志要趁早,十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書,當時,他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀,懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好,又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣,懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期,正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明,紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外,要懷爾斯放棄夢想,別白忙一場。也因此除了夢想外,他同時開始研究橢圓曲線註1這個領域。

然而事實上在更早以前,日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山-志村猜想」,他們認為橢圓曲線與「模形式」註2可能有關聯。但是,橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢?1985 年,德國數學家佛列(Gerhard Frey)將谷山-志村猜想與費馬最後定理連結,他認為谷山-志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來,法國數學家賽爾(Jean-Pierre Serre)、美國數學家里貝特(Ken Ribet)也投入研究。他們發現只要證明出谷山-志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明,才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

卡茲協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路。圖/wikipedia

於是,長達 7 年的時間,懷爾斯致力於研究谷山-志村猜想與費馬最後定理,他也找來另一位數學教授卡茲(Nicholas Katz)加入研究。懷爾斯是一個很低調的人,為了避免引起眾人的懷疑與關注,他在學校開設新課程,好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式註3

由於懷爾斯從未說明開課目的,也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理,只是不停地證明,難度相當高,搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後,懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會,對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式,完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言,這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生,許多學者因此前來。研討會上,懷爾斯從橢圓曲線、模形式,一路證明到費馬最後定理,帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上,到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

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儘管過程如此曲折,世紀難題終究還是從未竟之謎的名單中消除了。圖/wikipedia

以為解開了嗎?過程曲折離奇

然而「福兮,禍之所伏」,驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段,卡茲與懷爾斯反覆驗證時,他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤,漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達,在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前,試圖解決這個錯誤,然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際,他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現,他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤,完成證明。1995 年,世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許,我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述,就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時,裡頭一片漆黑,他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後,你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間,整個房間被光線壟罩,你終於,能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯(Andrew John Wiles)

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片,這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽,仰賴歷史上許多數學家的一臂之力,更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到,數學不是計算,更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯,能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日,正好是費馬的 418 歲生日,特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂!

註釋:

  1. 橢圓曲線(Elliptic Curve)是二元三次曲線的一種形式,其圖形並非橢圓,而是圓環狀。
  2. 模形式(Modular forms)是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
  3. 類數公式(Class number formula)與環的有限序列有關。

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數感實驗室_96
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