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《裙拖六幅湘江水──裙子的奧妙》——2019數感盃 / 國中組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/15 ・1874字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 562 ・九年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:曾瑀婕、林郁璇、吳羽桐/福和國中

一、 研究動機

閱讀李群玉的著作時,讀到了裙拖「六幅湘江水」,查閱資料後,發現古代湘裙的特別之處:古代湘裙是必須用六幅或八幅拼貼而成的,那要如何計算出需用到的布料呢?因而引發了我們一探究竟的想法及之後一連串的討論。

注︰幅是指唐代一種固定尺寸的布(寬為1尺8吋)

二、 故事背景

詩句:裙拖六幅湘江水,鬢聳巫山一段雲

——唐 李群玉《杜丞相悰筵中贈美人》

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語譯:美人的裙子好像拖來了瀟水湘江的粼粼綠波,她濃密的鬢髮好像烏山上 段美麗的雲彩。而“六幅”指的是裙子的做法,有“八幅羅裙”、“六幅羅裙”的說法,就是一種樣式。現在的裙子也能看出是幾片布拼和做成的。古時候織布技術有限,一幅布的寬度是一定的,一條裙子要用預先折成百褶裙樣式的六塊或八塊的布拼成,可見裙擺是比較寬的。

三、 探討過程

假設美人的腰圍是 65 釐米,每幅都是按照圖(二)那樣摺起來,做好的湘裙如圖(一)那樣;下擺的圓周直徑正好等於 3 倍的腰圍直徑,而且摺好後的六幅在一起正好合成一個 1/4 的圓(如圖(三)中的實線部分)。請問,這條裙子的下擺最長可展開到幾公尺?而這條裙子最少要用多少布?

從圖(二)的折疊方式,已經可以知道每一幅展開後的總面積等於原來的 3 倍,因此當六幅全展開時,如圖(三)的虛線部分所示,總共會占大圓的 扇形面積,由此可以計算得到扇形的總外周長為:65×3×3=585 cm

再由圖(三)來計算裙長,按圓的 來考慮,扇形中的小圓周和大圓周應該是個同心圓,而且所夾的角度均為 90度,若設小圓的半徑為 r,裙長為 l 得到:

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2π/360 ×90=65

2π(γ+l)/360 ×90=65×3

經過聯立求解,得到:

γ = 41.4 cm
l = 82.8 cm

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可得布料的面積為:

S =3/4 * [π(γ+l)2 – πγ2]
= 3/4 * [π(41.4+82.8)2 – π*41.42]
= 3/4 * 9 π*41.4=36345.8 平方釐米
≈ 3.6 平方米

由此可知,這條湘裙最少要用到 3.6 m2的布料,而下擺最長可以展開到 5.85 米。

四、延伸

另外,要如何依照黃金比例,來找到最適合自己的裙長呢?

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完美的黃金比例大約是 1.618,準確值為 (1+√5)/2,所以是個無理數(如下圖)。

根據專家研究,若一個女生從肩膀到腳趾的長度,除以肩膀到腰部的長度,越接近黃金比例 1.618,則整體看起來會比較漂亮。由以上推論,最適合的裙子長度計算方式如下:

假設從肩膀到腳趾的長度為 X 除以黃金比例 1.618,得出的數字就是從肩膀量到你該有的裙子下擺長度為 Y,但因為要求裙長,因此還要將其減掉從肩膀到腰的長度為 Z。如下圖,可列出的方程式為:

(X/1.618)-Z = 裙長

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舉例:

假設一個人從肩膀到腳趾的長度為 160 cm

從肩膀到腰部長度為 30 cm

請問,依據黃金比例,最適合她的的裙長為何?
列式:

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160÷1.618-30
≒99-30
= 69

因此最適合她的裙長為 69 cm。

而身高越高的人,依照黃金比例來計算,她的裙長就會越長;身高越矮的人則反之,她的裙長便會越短。那為甚麼有些婚紗要長到拖著地板呢?又為甚麼日本有些人要穿迷你裙,甚至連冬天也是如此?

完美的婚紗是女人的夢想,第一次結婚時,白紗代表著幸福,裙長代表著這對新人能長長久久,而拖尾的長度也有新人財富的象徵。

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古代的日本地瘠民貧、物資缺乏,棉花、布匹都算是奢侈品,因而養成了吃苦耐勞的習慣,今天的日本雖然不再缺棉花,但還是保留了如此的傳統。

四、 結論

愛美是人的天性,古今中外對於美人的定義或許有不同,但如何穿著得體並且展現落落大方的一面,絕對是值得深入研究與探討。唐代的人對裙子很講究,加上古代織布技術不發達,量身訂做一條裙子,需要精密的計算六幅和八幅的拼合,所需的布料較多,而且要用的金錢和時間也更多。唐代的裙子樣式因當時頗為開放,在中國各朝代中算是十分多樣的,雖然說符合完美黃金比例的穿著方式已有科學驗證,但是如何穿出屬於自己的風格與自信,才是現代人最該追求的目標吧!經過這次的研究與探討,讓我們更加了解到裙子的奧妙!

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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為什麼越累越難睡?當大腦想下班,「腸道」卻還在加班!
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/04/30 ・2519字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文與  益福生醫 合作,泛科學企劃執行

昨晚,你又在床上翻來覆去、無法入眠了嗎?這或許是現代社會最普遍的深夜共鳴。儘管換了昂貴的乳膠枕、拉上百分之百遮光的窗簾,甚至在腦海中數了幾百隻羊,大腦的那個「睡眠開關」卻彷彿生鏽般卡住。這種渴望休息卻睡不著的過程,讓失眠成了一場耗損身心的極限馬拉松 。

皮質醇:你體內那位「永不熄滅」的深夜警報器

要理解失眠,我們得先認識身體的一套精密防衛系統:下視丘-垂體-腎上腺軸(HPA axis) 。這套系統原本是演化給我們的禮物,讓我們在面對劍齒虎或突如其來的危險時,能迅速進入「戰鬥或快逃」的備戰狀態。當這套系統啟動,腎上腺就會分泌皮質醇 (壓力荷爾蒙),這種荷爾蒙能調動能量、提高警覺性,讓我們在危機中保持清醒 。

然而,現代人的「劍齒虎」不再是野獸,而是無止盡的專案進度、電子郵件與職場競爭。對於長期處於高壓或高強度工作環境的人們來說,身體的警報系統可能處於一種「切換不掉」的狀態。

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在理想的狀態下,人類的生理時鐘像是一場精確的接力賽。入夜後,身體會進入「修復模式」,此時壓力荷爾蒙「皮質醇」的濃度應該降至最低點,讓「睡眠荷爾蒙」褪黑激素(Melatonin)接棒主導。褪黑激素不僅負責傳遞「天黑了」的訊號,它還能抑制腦中負責維持清醒的食慾素(Orexin)神經元,幫助大腦順利關閉覺醒開關。

對於長期處於高壓或高強度工作環境的人們來說,身體的警報系統可能處於一種「切換不掉」的狀態 / 圖片來源:envato

然而,當壓力介入時,這場接力賽就會變成跑不完的馬拉松賽。研究指出,長期的高壓環境會導致 HPA 軸過度活化,使得夜間皮質醇異常分泌。這不僅會抑制褪黑激素的分泌,更會讓食慾素在深夜裡持續活化,強迫大腦維持在「高覺醒狀態(Hyperarousal)」。 這種令人崩潰的狀態就是,明明你已經累到不行,但大腦卻像停不下來的發電機!

長期的睡眠不足會導致體內促發炎細胞激素上升,而發炎反應又會進一步活化 HPA 軸,分泌更多皮質醇來試圖消炎,高濃度的皮質醇會進一步干擾深層睡眠與快速動眼期(REM),導致睡眠品質變得低弱又破碎,最終形成「壓力-發炎-失眠」的惡行循環。也就是說,你不是在跟睡眠上的意志力作對,而是在跟失控的生理長期鬥爭。

從腸道重啟好眠開關:PS150 菌株如何調校你的生理時鐘

面對這種煞車失靈的失眠困局,科學家們將目光投向了人體內另一個繁榮的生態系:腸道。腸道與大腦之間存在著一條雙向通訊的高速公路,這就是「菌-腸-腦軸 (Microbiome-Gut-Brain Axis, MGBA)」,而某些特殊菌株不僅能幫助消化、排便,更能透過神經與內分泌途徑與大腦對話,直接參與調節我們的壓力調節與睡眠節律。這種菌株被科學家稱為「精神益生菌」(Psychobiotics)。

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腸道與大腦之間存在著一條雙向通訊的高速公路,這就是「菌-腸-腦軸 (Microbiome-Gut-Brain Axis, MGBA)」/圖片來源:益福生醫

在眾多研究菌株中,發酵乳桿菌 Limosilactobacillus fermentum PS150 的表現格外引人注目。PS150菌株源於亞洲益生菌權威「蔡英傑教授」團隊的專業研發,累積多年功能性菌株研發經驗的科學成果。針對臨床常見的「初夜效應」(First Night Effect, FNE),也就是現代人因出差、換床或環境改變導致的入睡困難,俗稱認床。科學家在進行實驗時發現,補充 PS150 菌株能顯著恢復非快速動眼期(NREM)的睡眠長度,且入睡更快,起床後也更容易清醒。更重要的是,不同於常見的藥物助眠手段(如抗組織胺藥物 DIPH)容易造成快速動眼期(REM)剝奪或導致睡眠破碎化,PS150 菌株展現出一種更為「溫和且自然」的調節力,它能有效縮短入睡所需的時間,並恢復睡眠中代表深層修復的「Delta 波」能量。

科學家發現,即便將 PS150 菌株經過特殊的熱處理(Heat-treated),轉化為不具活性但保有關鍵成分的「後生元」(Postbiotics),其生物活性依然能與活菌媲美 。HT-PS150 技術解決了益生菌在儲存與攝取過程中容易失去活性的痛點,讓這些腸道通訊員能更穩定地發揮作用 。

在臨床實驗中,科學家觀察到一個耐人尋味的現象:當詢問受試者的主觀感受時,往往會遇到強大的「安慰劑效應」,無論是服用 HT-PS150 還是安慰劑的人,主觀上大多表示睡眠變好了。這種「體感上的進步」有時會掩蓋真相,讓人分不清是心理作用還是真實效益。

然而,客觀的生理數據(Biomarkers)卻揭開了關鍵的差異。在排除主觀偏誤後,實驗數據顯示 HT-PS150 組有更高比例的人(84.6%)出現了夜間褪黑激素分泌增加,且壓力荷爾蒙(皮質醇)顯著下降,這證明了菌株確實啟動了體內的睡眠調控系統,而不僅僅是心理安慰。

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最值得關注的是,對於那些失眠指數較高(ISI ≧ 8)的族群,這種「生理修復」與「主觀體感」終於達成了一致。這群人在補充 HT-PS150 後,不僅生理標記改善,連原本嚴重困擾的主觀睡眠效率、持續時間,以及焦慮感也出現了顯著的進步。

了解更多PS150助眠益生菌:https://lihi3.me/KQ4zi

重新定義深層睡眠:構建全方位的深夜修復計畫

睡眠從來就不只是單純的休息,而是一場生理功能的全面重整。想要重獲高品質的睡眠,關鍵在於為自己建立一個全方位的修復生態系。

這套系統的基石,始於良好的生活習慣。從減少睡前數位螢幕的干擾、優化室內環境,到作息調整。當我們透過規律作息來穩定神經系統,並輔以現代科學對於 PS150 菌株的調節力發現,身體便能更順暢地啟動睡眠開關,回歸自然的運作節律。

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與其將失眠視為意志力的抗爭,不如將其看作是生理機能與腸道微生態的深度溝通。透過生活作息的調整與科學實證的支持,每個人都能擁有掌控睡眠的主動權。現在就從優化生活型態開始,為自己按下那個久違的、如嬰兒般香甜的關機鍵吧。

與其將失眠視為意志力的抗爭,不如將其看作是生理機能與腸道微生態的深度溝通 / 圖片來源 : envato

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肺部為何會「結疤」?揭開比癌症更致命的「菜瓜布肺」,科學家如何找到破解惡性循環的新契機
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/05/08 ・2041字 ・閱讀時間約 4 分鐘

本文由 肺纖維化(菜瓜布肺)社團衛教 合作,泛科學撰文

在現代醫學的警示清單裡,乳癌、大腸癌這些疾病大家都不陌生;但有一個「隱蔽且致命」的威脅卻常被忽視,那就是「肺纖維化」。其中最常見的類型「特發性肺纖維化」(IPF),其預後往往不太樂觀,確診後的五年存活率甚至比許多常見的癌症還低。

首先,我們得先破解一個迷思:肺纖維化並不是單一疾病,而是許多種間質性肺病的共同表現。當我們聽到「肺纖維化」,腦中常浮現「菜瓜布肺」的形象,患者的肺部外觀充滿一個個空洞與疤痕,像極了乾燥的絲瓜。這精準描繪了肺部組織逐漸硬化、失去彈性的過程。

更重要的是,IPF 這類肺纖維化的威脅在於「不可逆」的特性,一旦形成就很難逆轉。這跟部分 COVID-19 康復者身上、仍有機會復原的肺纖維化,是兩種完全不同的概念。

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IPF 這類肺纖維化的威脅在於「不可逆」的特性,一旦形成就很難逆轉 / 圖示來源:shutterstock

肺部為何會變成「菜瓜布」?

為什麼好端端的肺會變成菜瓜布?這其實是一場身體修復機制失控的結果。

「纖維化」的組織,就是肺部間質組織(interstitium)的疤痕化。間質是圍繞在肺泡周圍,包含血管與支持肺部結構的結締組織。在正常情況下,肺部損傷後會啟動修復機制,並再生健康組織。但在肺纖維化的患者體內,這套修復機制卻「當機」了。

身體會不斷地發出訊號,導致負責修復工作的「纖維母細胞」(fibroblasts)被過度活化,進而失控地沉積膠原蛋白疤痕組織,最終在肺部形成永久性的纖維化。

科學家發現,這個過程之所以棘手,在於它是一個「惡性循環」,肺部同時存在著「發炎反應」與「纖維化」這兩條路徑 ,它們相互加乘,演變成難以阻斷的強大破壞力。

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雖然特發性肺纖維化 (IPF) 的具體成因不明 ,但已知某些特定族群的風險更高。例如抽菸,特定年齡與性別(50歲以上男性)、長期暴露於粉塵環境的工作者(農業、畜牧業、採礦業…)、胃食道逆流者。此外,患有自體免疫疾病(如類風濕性關節炎、乾燥症、硬皮症、皮肌炎/多發性肌炎,)的患者,他們併發肺纖維化的機率遠高於一般人,必須特別警覺。

雖然特發性肺纖維化 (IPF) 的具體成因不明 ,但已知某些特定族群的風險更高。/ 圖示來源:shutterstock

打斷惡性循環的挑戰,為何只對抗「纖維化」還不夠?

面對這個不可逆的疾病,醫學界長年束手無策,直到 2014 年才迎來一道曙光。美國 FDA 批准了兩種機制不同的新藥:Nintedanib 和 Pirfenidone。這兩種藥物的出現是治療史上的分水嶺,首度被證實能夠「延緩」IPF 患者肺功能的惡化速度。

然而,這場戰役尚未結束。現有的治療雖然帶來了希望,卻也凸顯了「未被滿足的醫療需求」。從機制上來看,這些藥物主要抑制的是「纖維化路徑」。

這讓科學界開始思考這個未被滿足的棘手問題:既然疾病的本質是「發炎」與「纖維化」的雙重打擊,那麼,我們是否能找到「同時抑制」這兩條路徑的全新策略,從而更有效地打斷這個惡性循環?

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找到同時調控「發炎」與「纖維化」的新靶點

為了解決難題,科學家將目光鎖定在一個細胞內的酵素:磷酸二酯酶 4B(PDE4B)

為什麼鎖定它?讓我們看看它的「雙重作用」機制:

  1. 關鍵位置: PDE4B 同時存在於免疫細胞(與發炎有關)與纖維母細胞(與纖維化有關)當中。
  2. 作用機制: PDE4B 的主要工作是降解細胞內一種叫 cAMP(環磷酸腺苷) 的訊號分子。cAMP 可以被視為細胞內的「穩定信號」。
  3. 雙重抑制: 當我們使用藥物抑制了 PDE4B 的活性,細胞內的 cAMP 就不會被分解,濃度會隨之升高。高濃度的 cAMP 能穩定免疫細胞和纖維母細胞,同時產生抗發炎抗纖維化的雙重效應。

簡單來說,鎖定並抑制 PDE4B,就像是同時抑制了免疫風暴與纖維化的工程,有望從雙從抑制打擊這個惡性循環。

全球臨床試驗帶來的新希望

近十年來,全球在肺纖維化領域投入了大量的臨床試驗,我們相信,在科學家逐步破解肺纖維化惡性循環的複雜難題後,期盼未來能為無數患者爭取到更安全、健康的生活與未來。

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最後,我們必須再次提醒,特發性肺纖維化(IPF)與漸進性肺纖維化(PPF)是極具破壞性、且不可逆的疾病。面對這個比癌症更致命的對手,雖然現有的治療手段能延緩惡化,但無法逆轉已經形成的肺部疤痕組織,因此「早期診斷、早期治療」仍是對抗肺纖維化最重要的黃金時刻。

必須再次提醒,特發性肺纖維化(IPF)與漸進性肺纖維化(PPF)是極具破壞性、且不可逆的疾病。/ 圖示來源:


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【2011 諾貝爾化學獎】與確立的知識奮戰:黃金比例的晶體——準晶體
諾貝爾化學獎譯文_96
・2022/07/03 ・5569字 ・閱讀時間約 11 分鐘

本文轉載自諾貝爾化學獎專題系列,原文為《【2011諾貝爾化學獎】具有黃金比例的晶體 — 準晶

  • 譯者/蔡蘊明|台大化學系名譽教授
  • 圖/曹一允|美國德州農工大學 Karen Wooley 教授指導下取得博士,現於日本萊雅公司進行研究。

十重對稱的黃金比例

當丹尼.謝西曼(Daniel Shechtman)將這個讓他得到 2011 年諾貝爾化學獎的發現登記於實驗記錄簿上時,在後面寫下了三個問號,因為從那些在他眼前的晶體裡面的原子,產生了一個不可能的對稱性,那就好像一個足球——一個球面 ——不可能只由正六邊形組成。從此之後,有趣的馬賽克圖案(Mosaic)、數學裡面的黃金比例以及藝術,幫科學家們解釋了謝西曼那令人困惑的觀察。

「Eyn chaya kazoo」,丹尼.謝西曼用希伯來語告訴自己「不可能有這種東西」。時值 1982 年 4 月 8 號的早晨,他正在研究的物質,是一個由鋁和錳組成的混合物,看起來很奇怪,因此他用電子顯微鏡,企圖從原子的層次來觀察,但是透過電子顯微鏡得到的圖像,卻違反了所有的邏輯:他看到一些同心圓,每一個都是由十個相互等距的亮點所組成(圖 1)。

謝西曼迅速地將灼熱的熔化金屬冷卻下來。這種溫度的突然改變應該會讓原子的排列混亂,但是他所觀察到的圖案,卻說出了一個完全不同的故事:那些原子以一種違反自然定律的方式而排列。謝西曼一再重複地數著那些點,四個或六個點是可能的,但十個是絕不可能。他在實驗記錄簿上寫下:十重對稱???

一個未知的發現

為了瞭解謝西曼的實驗結果,以及為何他會如此驚訝,讓我們想像下面的一個課堂實驗:一位物理老師讓光通過一個鑿有縫隙的金屬板,一個被稱為繞射光柵的物體(圖 2),當光波通過這個光柵時,它會產生折射,就好像海浪的波紋通過一個防波堤的開口一般。

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在光柵的另一邊,波紋以一個半圓方式散開,並與其它的波紋相交,波峰與波谷相互地加強或減弱。在繞射光柵後面的螢幕上,一種具有明暗的紋路出現,稱為繞射圖紋。

這就是謝西曼在 1982 年 4 月早晨所得到的那種繞射圖紋(圖 1),只不過他的實驗是不同的:他不是用光,而是用電子(註:電子具有波的性質),而他的光柵就是那個快速冷卻了的金屬原子之間的縫隙。

此外,他的實驗是三度空間的,而非平面的。

圖 1:丹尼.謝西曼的繞射圖紋具有十重對稱:將此圖轉動十分之一的圓周角度時(36 度)可得到相同的圖案。圖/諾貝爾獎官網
圖 2:光通過一個繞射光柵產生散射,產生的波相互干涉得到繞射圖案。圖/諾貝爾獎官網

那個繞射圖紋顯示,在那金屬之內的原子是排列成一個整齊有序的晶體。這當然不意外,幾乎所有的固體物質,不論是冰塊或金子,都具有整齊的晶體。雖然謝西曼使用電子顯微鏡非常有經驗,然而,一個由十個亮點排列成的圓形,卻是過去他從未看到過的。

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更有甚者,這樣的晶體並沒有被列在國際晶體規格表之內,那是一個結晶學的主要參考指引。在當時的科學,明訂了一個由十個亮點排列成的圓形圖紋是不可能的,而其證明是非常簡單而明顯的。

違反所有邏輯的圖紋

在一個晶體中,原子是以固定而重複的方式排列的。決定於化學的組成,它們會具有不同的對稱性。在圖 3a 中,我們可以看到每一個原子是由三個原子圍繞著,而形成不斷重複的排列圖案,產生一個三重對稱;將此圖案轉動 120 度,又會得到相同的圖案。

同樣的原理發生在四重對稱(圖 3b)以及六重對稱(圖 3c),圖案不斷重複。當你個別地轉動 90 度或 60 度,相同的圖案會重複出現。

圖 3:晶體中不同的對稱性。具有五重對稱的晶體結構單元無法重複。圖/諾貝爾獎官網

然而,五重對稱(圖 3d)是不可能的,某些原子之間的距離會小於其它原子之間的距離,也就是說,相同的圖案不會重複。科學家認為這足以證明五重對稱不可能存在於晶體中。同樣的原因存在於七重對稱或更高重的對稱。

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謝西曼卻發現,他的圖案轉動一個圓的十分之一的角度(36 度)時,又可得到相同的圖案。他的確看到了一個被認為不可能的十重對稱,因此,不意外地,他在實驗記錄簿上寫下了三個問號。

基本假設出錯了

在美國國家標準局(NIST),謝西曼從他的辦公室向外探頭,望了望走廊,希望能看到某一個可以與他分享發現的人,但是走廊空無一人,所以他回到電子顯微鏡前,對那個晶體繼續進一步的實驗。其中他重複地確認所得到的不是巒晶(twin crystal):兩種共生的晶體享有相同的晶面,而導致了奇怪的繞射圖紋;但是他無法找到任何的跡象顯示那是巒晶。

除此之外,他將電子顯微鏡下的晶體轉動,看看到底要轉多少度可以讓這個十重對稱的繞射圖紋重複出現。實驗顯示晶體的對稱性與圖紋的十重對稱不同,但仍然是一個不可能的五重對稱。謝西曼的結論是:科學界的基本假設是錯誤的

當謝西曼告訴科學家們他的發現時,他面對了完全的否定,一些同事們甚至認為這根本是無稽之談,許多人宣稱他所得到的是巒晶。實驗室的主管丟給了他一本結晶學教科書,建議他讀讀。謝西曼當然知道教科書裡面說了什麼,但是他更相信自己的實驗。

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根據謝西曼的回憶,所有的騷動終於導致他的老闆要求他離開那個研究小組,狀況變得非常難堪。

與已知奮戰

謝西曼是在以色列科技大學(Technion-Israel Institute of Technology)修得博士學位的。在 1983 年,他引發了在他母校任職的伊蘭.布雷契(Ilan Blech)對這個研究的興趣,他們合力企圖解釋此一繞射圖紋,並轉譯成為原子在晶體內的排列模式。

於 1984 年夏,他們送了一份論文稿到應用物理期刊(Journal of Applied Physics),但是該稿似乎在收到當日,就即刻被編輯退回。

接著,謝西曼向約翰.康(John Cahn)提出要求。康是一位著名的物理學家,也是當初邀聘謝西曼到 NIST 的人。謝西曼希望康能看看他的數據。這位通常很忙的學者終於答應,接著,康與一位法國的結晶學家丹尼斯.格拉提亞斯(Denis Gratias)諮詢,看看謝西曼是否忽略了什麼,但是根據格拉提亞斯的檢驗,謝西曼的實驗是可以信賴的,格拉提亞斯如果親自做那些實驗,也會使用同樣的方法。

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在 1984 年的十一月,偕同了康、布雷契與格拉提亞斯,謝西曼等人終於在 Physical Review Letters 這份期刊中,共同發表了他的數據。這篇論文像顆炸彈一般,投在結晶學者之間。它質疑了他們的科學學門中的最基本教條:所有的晶體具有重複的週期性結構模式。

揭開知識的迷障

現在這項發現觸及了更多的讀者,而謝西曼成為了更多批評的目標。不過,在此同時,全世界的結晶學者們都產生了一種似曾相識的感覺,許多人在分析一些其它的物質時,也曾經得到過類似的繞射圖紋,但是當初,他們都將之視為巒晶的證據。現在,他們開始翻箱倒櫃,找出以前的實驗記錄簿,很快發現有些其它的晶體也會產生這種看似不可能的圖紋,譬如八重和十二重的對稱。

在謝西曼發表了他的發現之後,他仍然不知道那個奇怪的晶體內部結構到底如何。顯然地,它的對稱性是五重的,那是何種堆疊方式呢?這個答案卻從另一個未曾料到的領域而得:數學中的馬賽克遊戲。

用以解謎的馬賽克

數學家們喜歡用迷團和邏輯問題來挑戰自我。於 1960 年代,他們開始思索是否可以用有限數目的圖案塊,舖出不會重複的馬賽克圖案,創造一種所謂的「非週期馬賽克」。

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頭一個成功的嘗試是在 1966 年,由一位美國的數學家所發表,但是他需要超過兩萬種圖案塊來做到,這很難讓著迷於精簡的數學家滿足。當更多的數學家投入這項挑戰,需要的不同圖案塊數目穩定下修。

終於,在 1970 年代中期,一位英國數學教授羅傑.潘洛斯(Roger Penrose)對此問題提出了一個最漂亮的解答。他用僅僅兩種圖案塊創造出非週期馬賽克,例如一胖一瘦的菱形(圖 4-1)。

潘洛斯的馬賽克在好幾個不同方面啟發了學界,其中之一是他的發現被用來分析中世紀伊斯蘭綺理(Girih)圖案。我們也發現阿拉伯藝術家早在 13 世紀就創造出了非週期馬賽克,這種馬賽克裝飾著非凡的西班牙阿罕布拉宮,還有伊朗 Darb-i Imam 寺廟的入口和穹頂。

結晶學者艾倫.馬凱(Alan Mackay)運用潘洛斯的馬賽克於另一個方面,他想探究構成物質的原子是否也能如同非週期馬賽克的圖案般排列。他做了一個實驗,用代表原子的圓圈放置在潘洛斯的馬賽克圖案的交點位置(圖 4-2),然後用這樣的圖案作成繞射光柵,來看會得到何種繞射圖案,結果得到一個十重對稱——十個光點圍成一圈。

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馬凱的模型與謝西曼的繞射圖紋之間的關聯性,接著被物理學家保羅.史坦哈特(Paul Steinhardt)與多夫.李凡(Dov Levine)所發現。謝西曼的論文在 Physical Review Letters 這份期刊上發表之前,編輯將該文稿交由其他的科學家審核,在這個過程中,史坦哈特有機會看到這份文章,他早就對馬凱的模型熟悉,因此體認到馬凱的理論模型,存在現實世界中,亦存在於謝西曼在 NIST 的實驗室裡。

在 1984 年的聖誕夜,就在謝西曼的論文出刊後的四週,史坦哈特與李凡發表了一篇論文,其中描述了準晶體(quasicrystal)以及它的非週期馬賽克排列。在這篇論文中,準晶體得到了它的名字。

關鍵的黃金比例

準晶體與非週期馬賽克具有一項共同的迷人特質,那是一個在數學與藝術中不斷出現的黃金比例,亦即數學常數 tau。例如:在潘洛斯的馬賽克中,胖的和瘦的菱形數目的比例是 tau;類似地,準晶體中原子間的不同距離的比例,總是與 tau 相關。

13 世紀的義大利數學家費布那西(Fibonacci),從一個有關兔子繁殖的假設性實驗中找到的一系列數字中,描述了這個數學常數 tau。在這個著名的數列中,每一個數字是前兩個數字之和:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 等等。如果將一個費氏數列中較大的數字除以前一個數字,例如 144/89,你就會得到一個接近黃金比例的數字。

當科學家想要用一個繞射圖紋來描述準晶體中的原子排列時,費氏數列與黃金比例對他們是很重要的。費氏數列也可以解釋 2011 年的諾貝爾化學獎所表彰的發現,為何改變了化學家對晶體結構的規律性之看法。

費氏數列解釋了為何準晶體改變了化學家對晶體結構規律性的看法。 圖/seventyfourimages

不會重複的規律

先前,化學家解釋晶體的規律性在於一個週期性不斷重複的模式。費氏數列雖然不會重複,卻也是規律的,因為它遵守一個數學的規則。

在準晶體中,原子間的距離與費氏數列相關,原子以規律的方式排列,化學家可以預測一個準晶體中的結構是何樣,不過這種規律性與具有周期性結構的晶體是不同的。

在 1992 年,這個認知導致了國際結晶學會改變了他們對晶體的定義。先前對晶體的定義是「一個物質,其中組成的原子、分子或離子以一個整齊而且重複的方式堆疊成立體的型態」,現在新的定義是「任何固體,基本上具有可區別的繞射圖紋」,這個定義比較寬廣,而且允許未來可能發現的其它種晶體。

準晶體也存在於…

從他們 1982 年的發現之後,數以百計的準晶體在全球許多實驗室中被合成,但一直到了 2009 年的夏天,科學家才第一次報導了天然的準晶體。他們發現了一種採自東俄的哈吐卡(Khatyrka)河的樣本中之礦石。這種礦石是由鋁、銅和鐵組成,具有一個十重對稱的繞射圖紋。它被稱為二十面石(icosahedrite),此名源自於二十面體(icosahedron),那是一種具有 20 個正三角形面的幾何固體,黃金比例存在於其幾何結構中。

準晶體也被發現存在於一種世界上最耐用的鐵當中。在嘗試不同組合的金屬時,一家瑞典的公司成功的製備出一種鐵,具有許多令人驚訝的良好特質。分析它的原子排列結構時,顯示它具有兩種相:硬鐵的準晶體嵌在一種較軟的鐵中,此一準晶體具有一種盔甲的功能。現在它被用於刮鬍刀片,以及眼睛手術的細針等產品中。

準晶體現在也被用在刮鬍刀中。 圖/Pressmaster

除了特別堅硬外,準晶體能像玻璃般輕易的碎裂。

由於其特殊原子排列結構,它們也是很差的熱與電的導體,以及含有不具黏性的表面。其低熱傳導的性質可以讓它們成為有用的熱電材料,能將熱轉為電,發展這種材料的目的在解決熱能的再利用,例如用在汽車與卡車上。現在科學家們正在實驗將準晶體用做像是煎鍋,以及節能的發光二極體(LED)之表面塗料,或是作為引擎的隔熱等等。

保持開放的心

謝西曼的故事並非唯一。

在科學的歷史中,一再地有研究工作者被迫與已經建立的「真理」作戰。事後看來,那些真理不過是一些假設。謝西曼和他的準晶體所面對過的最嚴厲批評,來自於鮑林(Linus Pauling),他曾得過兩次諾貝爾獎。這很清楚地顯示,即使是我們最偉大的科學家,也無法免疫於被陷在舊教條當中。

保持一個開放的心態,勇於質疑已經建立的知識,實際上可能是科學家們最重要的性格特質。

參考資料

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諾貝爾化學獎譯文_96
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「諾貝爾化學獎專題」系列文章,為臺大化學系名譽教授蔡蘊明等譯者,依諾貝爾化學獎委員會的新聞稿編譯而成。泛科學獲得蔡蘊明老師授權,將多年來的編譯文章收錄於此。 原文請參見:諾貝爾化學獎專題系列