把幾何的美戴出去炫耀！來自台灣團隊「單挑概念」的幾何金工——科學開封府系列

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

• 作者／李政憲

對應課程：八年級「勾股定理」、九年級「相似形」、「生活中的立體圖形」
需要材料：A4或B4影印紙

為什麼影印紙要設計成這個長寬比例？

• 你知道生活中常用的影印紙的長寬比例是多少嗎？

請拿起一張影印紙（A4 或 B4 皆可），依照圖 1 和圖 2 的方式摺摺看，就會發現在圖 1 中摺出來的等腰直角三角形的斜邊（圖中虛線），和影印紙的長邊竟然是相等的。

而又由於影印紙的短邊就是等腰直角三角形的一股長，假設短邊長為 1，等腰直角三角形的斜邊長就會是$\sqrt{2}$，又斜邊與長邊等長，因此影印紙的長邊與短邊的長度比就是 $\sqrt{2}$：1 了。

• 至於影印紙為什麼要設計成 $\sqrt{2}$：1 這個比例呢？

其實有個很重要的原因。請不妨再拿一張相同大小的影印紙，對半裁切後將其中一半旋轉 90 度，再與另一張完整影印紙的左上方兩邊對齊，你會發現兩張長方形的對角線恰可連成一直線（如圖 3～4），也就是兩個長方形彼此是相似的（因為兩多邊形相似的條件為：對應角相等，且對應邊成比例）。

若我們假設原紙張的短邊為 1，長邊為 x，則我們可以列出 x：1＝1：$\frac{x}{2}$的算式，故 $x^{2}$＝2，便可得出 x＝$\sqrt{2}$ 的結果。

也就是若我們將影印紙沿長邊中點連線對半裁切（或將大小相等的兩張影印紙以長邊拼合）得到的紙張，將與原影印紙的比例相同。

如此一來，若我們影印時需要縮小圖形，就只需要將原影印紙作長邊對半裁切，則縮小的影印紙與原影印紙的大小比例相同，原作品大小與影印出來的結果也會彼此相似，放大時也是同樣的道理。

而透過影印紙的巧妙比例，我們可以製作出一些十分有趣的作品。讓我們先從一個簡單的四角錐開始做起吧！

用影印紙做出四角錐

首先請拿一張影印紙， 如圖 5、6 分別在長短邊各摺出其中點連線後，再摺出長邊中點與原矩形的四個端點的連線，如圖 7、8。

李老師小聲說：「如果想節省空間與紙張，讀者也可將 A4 尺寸的影印紙，應用其 $\sqrt{2}$：1 的特性，將其裁切為等比例的兩等份或四等份，再進行後續的摺製與組裝。」

接下來如圖 9，將最後摺製的四條連線由谷線改為山線，且左右兩交叉點的連線不摺（圖中實線處），即可依山谷線分佈完成如圖 10 的四角錐。

由於這個作品目前無法定型，建議可以翻至背面，將內縮突起的直角三角形，分別摺製其兩銳角的角平分線（如圖 11、12），即可將圖 10 放於平面時作簡單固定如圖 13，而若要固定得更完整，也可以口紅膠或膠水將中間的鈍角三角形接合面黏貼，就不會有容易移動的情形了。

接下來按照上面方式摺製共六個四角錐，並用膠帶將其對應邊接合如圖 14，即可將六個四角錐翻摺形成一個正立方體如圖 15，且此六個角錐的頂點恰重合於正立方體的中心處。

李老師小聲說：「事實上，圖 14 是其中一種正方體展開圖的組合方式，各位不妨試試與圖 14 不同的其他組合方式，也是很有趣的哦！」

不曉得各位有沒有覺得很神奇呢？我們以幾張生活中隨手可得的影印紙，幾道簡單的摺痕，就可以完成一個正立方體，這也代表每個角錐恰是正方體體積的六分之一！這是為什麼呢？

• 為了討論這個問題，我們不妨看一下圖 16。

若將正方體從中心點與八個頂點連線，可將此正方體切割為六個角錐，假設這個正方體的邊長為 1，則可計算出其底部正方形的對角線為 $\sqrt{2}$，再根據勾股定理，可以算得此正方體最遠的兩頂點間的距離為 $\sqrt{3}$，也就是此四角錐的稜長為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

接下來我們再看圖 17 的四角錐展開圖，根據剛剛摺製的過程，長邊的一半即為正方體的邊長＝1，應用影印紙的比例，我們可以得知短邊長為 $\sqrt{2}$，故其稜長（即長邊中點與四個端點連線段長的一半）為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，也就是說這麼摺製出來的四角錐就和上面從正方體切割出的角錐稜長相等、底面積也相等囉！

李老師小聲說：「亦可考慮以平行線截等比例線段，求得角錐的高度為正方體邊長的一半來說明。」

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》，2019 年 9 月，臉譜出版。

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議。

如果數學是藝術創作的繆思女神？來自全球的數學藝術展覽── Bridges 2018 研討會（上）這篇文章中，我介紹了許多才華洋溢的數學家與藝術家，在Bridges 2018數學藝術展覽的精彩作品。

這回我想談談 Bridges 在什麼因緣之下展開，又是什麼力量成就了 Bridges 這種超跨領域又盛大的會議？這個活動有何獨到之處，讓紐約數學博物館 (MoMath) 館長都親自飛來斯德哥爾摩參加 Bridges 2018？

Bridges 的斜槓創辦人－雷薩．沙爾汗吉

要回答這些問題就必須提到 Bridges 的創辦人──雷薩．沙爾汗吉 (Reza Sarhangi，1952–2016)，一位多才多藝的斜槓。生於伊朗的他從年輕時就醉心於波斯裝飾圖樣，對蘊含其中的數學藝術深感興趣，因而探索了相關領域。這樣的成長方式使得沙爾汗吉不但是數學教授，還是平面設計師、戲劇教師、劇作家、劇場導演、道具設計師¹，我讀資料讀到這邊只覺得實在太厲害了，只想大喊有神快拜！

移民美國後的他在大專院校教書，更是將豐沛的人文與數理素養體現在課程中，大受學生好評。懷著將數學與藝術跨領域學科相互交流與對話的夢想，便在自己任教的學校創立一年一度的 Bridges 研討會。

這樣的理念感染了許多人，使得 Bridges 從只是一個大學裡的小型活動，逐步發展成全球最大的數學藝術活動與社群，主辦地點遍佈北美、歐洲與亞洲（2014年於首爾舉行）。

沙爾汗吉雖然因病去世[註1]，但早期為了方便推動 Bridges 創立了委員會，希望藉由社群的力量延續這樣的跨域精神。也因此 Bridges 的名號愈來愈響亮，每年都聚集數以百計的各路高手，在數學與藝術之中迸裂出更多火花，讓幾百個人聚集在一起，共同創造出數學的樂趣。

接下來就讓前去參展的我，帶回 Bridges 2018 數學藝術活動（詳細議程）的第一手觀察，看看數學如何與電影、戲劇、短片、詩歌、音樂、科技、時尚、舞蹈、教育等眾多領域撞擊出 Bridges 的獨特魅力！

數學聚光燈──數學電影／戲劇／短片競賽

博物館之夜播出了一部由 Bridges 參與者在 2015 年跨國製作，片長 24 分鐘的跨國科學考察電影 La Figure de la Terre。故事劇情主要是十八世紀法國數學家皮埃爾．莫佩爾蒂 (Pierre Louis Moreau de Maupertuis) 與瑞典天文學家安德斯．攝爾修斯 (Anders Celsius)，一起至瑞典拉普蘭 (Swedish Lapland) 量測地球形狀的故事。有沒有覺得 Celsius 這個姓氏很熟悉呢？沒錯，這就是攝氏溫度的攝氏！

除了科學考察電影，Bridges 還有戶外數學劇場零距離演出！數學戲劇 Witches of Agnesi（阿涅西的女巫，也同時是箕舌線）在博物館旁邊的草坪，演出三位不同時代女性數學家穿越時空的神秘下午茶聚會，彼此分享她們的生命與職涯故事。

三位故事主角分別是曾經上過 Google Doodle 的瑪利亞．阿涅西 (Maria Gaetana Agnesi)、北歐第一個女性教授的索菲婭．柯瓦列夫斯卡婭 (Sofya Kovalevskaya)、被愛因斯坦譽為數學史上最重要的埃米．諾特（Emmy Noether，延伸閱讀：埃米．諾特──蹣跚而行的仁厚數學家）。

編劇蘇珊．格羅夫斯基 (Susan Gerofsky) 與導演史蒂夫．亞伯特 (Steve Abbott) 只帶著劇本就來到 Bridges 會議現場徵演員、歌者、音樂家、技術人員，最後演出長達 50 分鐘，每位主角還有自己的主題曲與樂隊伴奏。整齣戲劇具有科學與性別意識不落俗套，非常佩服 Bridges 社群的力量，可以在短時間內聚集一群充滿創造力與行動力的數學藝術同好，完成這齣戲劇。不只電影與戲劇，Bridges 還有數學短片徵件競賽，可以在線上觀看充滿創意的數學短片。

為數學朗讀──數學詩之美

Bridges 的一大主軸是文化，而詩凝鍊了文化的精華。Bridges 的詩歌朗讀從 2011 年開始，每年都會讓愛好者一起分享與朗讀詩，今年主辦方也將歷年的作品集結成冊。在我看來這件事頗具意義，即使詩的群眾相對少數，但只要敢在 Bridges 發聲，一切都有可能發生，我想這也是為什麼 Bridges 跨越的領域可以如此之廣。

一首數學歌的誕生──數學也能這麼好聽

以科學創意 MV 聞名的 OK Go 樂團的主唱達米安．庫拉什 (Damian Kulash) 曾受邀至 Bridges 2017 演講；最近 OK Go 與 Google 合作發展了OK Go Sandbox 計劃，此計畫主要是提取 OK Go 的 MV 中的數學／科學素材，提供教育工作者協助學生探索 STEAM (Science, Technology, Engineering, Art, and Mathematics)。OK Go Sandbox 計劃也在 Bridges 2018 開設工作坊，讓大家自由探索生活中各種物品搭配之後的聲音特性，以及製造出屬於自己的音樂。

正式音樂之夜 (formal music night) 有兩場表演[註2]，第一場是混合遊戲、音樂、科技與數學的互動表演──Mathrix。四位玩家在下棋的時候會因為棋子移動的位置與方向，使得合成器產生不同的電子音樂，運用策略贏得遊戲同時也要考量音樂的悅耳程度，還真是一款高難度的遊戲啊！

話說回來，Bridges 2019 將在克卜勒大學 (Johannes Kepler University) 與林茲電子藝術中心 (Ars Electronica Center) 舉辦，相信會有更多數學、科技與音樂的碰撞。

如果說正式音樂之夜是主辦國家精心準備的表演，那麼非正式音樂之夜 (informal music night) 就是屬於 Bridges 社群的盛會，只要想表演的人都可以登記上台，全場不可預期又充滿創意！

到了之夜的尾聲，出現這首有才的改編歌曲 “Don’t Worry, Be Bridges”，頓時覺得非常幸運和感動能夠來到 Bridges，可以和愛好數學藝術的夥伴齊聚一堂，更多的改編歌歌詞可見此連結。

數學潮流──數學藝術時尚秀

在非正式音樂之夜，Bridges 今年新增了一場非常特別的表演──數學藝術時尚秀 (Math + Art Fashion Show)。在這場動態秀，金工（或珠寶）、服飾、配件等設計透過充滿自信模特兒的身體與走秀，散發出屬於幾何藝術的時尚美感。

在這裡，每一場表演、每一場講座，分享者的眼神都是亮的，說到數學藝術就有止不住的興奮感；對我來說參加 Bridges 就像是回家那樣親切，感到彼此不分種族與國界。

舞動數學──跳出你心中的數學

幾何金工時尚還能和舞蹈跨界合作！瑞典設計師莉娜．畢爾戈思朵特 (Lena Birgitsdotter) 與舞者伊娃．英格瑪森 (Eva Ingemarsson) 製作了一段優雅且富有詩意的舞作──Aerial Cube／Concrete，藉由可動的頂點設計，立方體便可產生無限的幾何形態：

這讓我想到台灣單挑概念工作室的PRISM01幾何金工創作與舞者趙敦毅的舞立方表演。在她們的分享會後，我前去介紹台灣的金工設計與幾何舞蹈，發現瑞典與台灣作品的相異與相同；可以確知的是，即使遠在地球的兩端，人類追求數學幾何之美的心靈是相通的。

相對於 Aerial Cube／Concrete 的獨舞，Dance your PhD （跳出你的博士論文） 2017 年獲勝者南西．薛利奇 (Nancy Scherich) 編了一齣以辮群為主題的當代舞作－Representations of the Braid Group。

在舞作中，薛利奇運用了三大原則吸引觀眾的目光：將計算過程中使用到的矩陣加以視覺化 (look for visuals in your computations)，注重舞台整體效果的他們製造出一些抽象的場景 (create abstract landscapes)，並且在舞者或週遭環境標上一些明顯的線索與標籤 (use visual clues and labels)，讓觀眾更容易進入狀況。

在 Bridges 2018 的講座「Turning Math into Dance」中，薛利奇分享了創作緣由與概念。數學家認為，不可能把數學的美傳播出去；對一般人來說，數學是可怕駭人的，兩者之間有極大的鴻溝。

薛利奇希望藉由舞蹈翻轉一般民眾對於數學的印象，對她個人而言，跳舞和研究數學都是生命中不可或缺的熱情，因此她決定以舞蹈跳出她的博士研究（延伸閱讀：Dance Your Ph.D.：看不懂科學研究？那就用舞蹈跳給你看！），也因此登上了《科學－Science》期刊，我在講座現場完全可以感受到她對這件事的專業與熱情！

數學捕手──玩轉生活中的數學教育

Bridges 的家庭日 (Family Day) 為一般民眾準備了許多工作坊（點我連結），包括摺紙、手作、桌遊、益智玩具、環境聲音感測、科學秀、體感幾何、自造小旅行、VR 幾何體驗等活動，也開放數學藝術展覽、數學劇場、數學詩朗讀、短片欣賞供民眾參與，根本無一處不是數學的守備範圍，我在現場只覺得目不暇給非常精彩，十分羨慕瑞典的大人與孩童可以一次體驗到來自全球的數學藝術活動。

一起成為數學與藝術的 Bridges 吧！

Bridges 建立了許多橋梁，讓數學與其他領域有著趣味與深刻的鍵結；每位參與的人都是一座橋，回去各自的國家以後成了一座又一座的橋，把數學的美感與樂趣推廣到世界各地。

透過這幾天的觀察，我發現台灣的數學藝術其實不輸外國，也不禁尋思台灣未來是否有可能舉辦 Bridges 研討會？或許未來哪一年，台灣也能夠辦這樣的大型活動。因為結合數學與藝術的超能力，就來自人類無垠的想像力！

註解

• 註1：2018 年也有具紀念意義的攤位，介紹剛去世的知名數學藝術家 Koos Verhoeff 與他在世界各地的作品（如海德堡購物中心 Mathematikon 的大型雕塑），讓人深深感覺到 Bridges 是個相當溫暖的社群。資料來源：沙爾汗吉紀念網頁
• 註2：正式音樂之夜 (formal music night) 的第二場表演則是請到瑞典音樂團體 Varité Velociped，他們的音樂表演雖然和數學關聯較小，但擁有高超的音樂技巧、嗨翻全場的幽默感（像是用睡褲進行演奏）與文化感染力，以 ABBA 經典歌曲與美國民謠大合唱獲得高度共鳴與歡樂。

1. Shrestha, S., Mathematics Art Music Architecture Education Culture. Nexus Network Journal, 2018. 20(2): p. 497-507.

延伸資料-Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程
6. 家庭日活動

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。