二十世紀初期，科學界產生劇烈變化。女性的高等教育逐漸開放，科學研究增添許多生力軍；許多領域如數學和物理，也因此受惠，得到不少進展。
在那女性運動尚屬萌芽階段的年代，有位才華洋溢的女性，不願屈就於社會期望，爭取旁聽的機會，突破法令對女性接受高等教育的限制。當政府以性別為由反駁她的大學授課申請後，她用男性數學家的助理名義教課。因為不被科學院接受，她無法自己發表論文，只得透過朋友幫忙發表。儘管她在數學領域貢獻卓著，卻因為猶太人身份，不得不離開德國；德國數學家使用她的數學理論，卻不能提及她的名字，好像她從未存在過。
在逆境下，她堅韌、充滿生命力；在日常生活中，她邋遢、不修邊幅，完全不介意外表，以及任何的女性形象。她愛吃、充滿熱情與愛心、無私又友善。有人形容她「像（剛出爐的）麵包……從她身上散發出寬厚、舒適、生氣勃勃的溫暖。」她不追求自身名利，過著非常簡樸的生活，卻又笑口常開。
她就是埃米．諾特，抽象代數的奠基者；紐約時報則稱「她的定理建立了近代物理學的骨幹。」
家學淵源和體制限制
阿馬莉．埃米．諾特（Amalie Emmy Noether），1882年3月23日生於德國愛爾朗根市（Erlangen）。父親麥克斯．諾特（Max Noether）是大學數學教授，在代數幾何領域頗有名氣。因為家境不錯，加上父親的職業之故，埃米成長在溫暖、友善以及充滿數學的環境。
身為四個小孩中的老大，埃米在童年時期是個友善、聰明的普通女孩，外加近視和輕微的大舌頭。當時，德國針對女孩的教育只到國中階段，而且重點放在家管、育兒、宗教與藝術課程，再加點基本算術、對話用法語和英語。雖然各州狀況不同，一般而言，德國大學到1910年才開放女性入學。除此之外，女性不能公開發表演說、加入政黨，或甚至參加政治活動。
那是德國正值快速都市化和工業化的年代，反對女性接受高等教育的言論在巨大社會變遷下仍頑固地存在著；這群反對者自詡傳統文化的守護者，認為大學對女性開放代表了道德的衰敗。1895年的一份調查中，多數德國教授便表示大學教育超過女性心智能力能夠負荷的範圍。即使埃米在家庭薰陶下對數學產生興趣，她也沒有研讀數學的機會。
因為沒辦法接受高等教育，埃米原本希望成為外語老師，並花三年時間參與教師訓練課程。1900年，她通過測驗取得女子學校的任教資格。然而，十八歲的她不遵循預設好的道路，卻打算在愛爾朗根大學旁聽課程。雖然女性無法就讀大學，得到教授允許的話還是能夠旁聽（但也很可能遭到拒絕）。從1900年到1903年，埃米是愛爾朗根大學唯二的女性旁聽生之一。考慮到以後可能會去女子學校教書，她選了外語課，外加個人感興趣的數學。只不過，沒人能想到，埃米的生涯規劃因此徹底翻轉，數學也成了她的終身志業。
從在哥廷根大學旁聽開始
1903年7月，埃米通過巴伐利亞州的大學入學測驗，卻不以此滿足，反是選擇了更具挑戰性的路途──她決定不入學，離鄉背井到三百公里外的哥廷根大學（哥廷根的喬治·奧古斯都大學 Georg-August-Universität Göttingen，簡稱哥廷根大學）旁聽。哥廷根大學當時在歐洲名聞遐邇，知名科學大師多不勝數，如天文學家史瓦西（Karl Schwarzschild）、數學家閔考斯基（Hermann Minkowski）、克萊因（Felix Klein）和希爾伯特（David Hilbert）等，若要研究數學，沒有比那兒更棒的地方了。
未料，埃米因為身體因素，只在哥廷根待了一學期。1904年，她正式成為愛爾朗根大學（愛爾朗根-紐倫堡大學 Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg）學生，而且整個就學期間，只有另外三位女學生，以及兩位女旁聽生。
在愛爾朗根大學攻讀博士學位
埃米的指導教授是保羅．哥爾丹（Paul Gordan），不變量理論（Invariant theory）的大師。在哥爾丹指導下，1907年埃米完成一篇充滿數不清計算的博士論文。雖然埃米日後稱其為垃圾，但是這篇博士論文卻得到不少好評。25歲的她，通過學術研究的頭一個門檻，獲得數學博士學位。
接下來八年，埃米留在愛爾朗根大學，做著沒有薪水和職稱的工作。隨著她父親健康惡化，埃米逐漸分擔了父親的工作。她不但發表多篇現今視為經典的數學論文，還代父親授課、指導博士班學生，也參加國際數學組織、發表演說。
哥廷根之邀和廣義相對論
1915年，之前和埃米有數面之緣的希爾伯特和克萊因，邀請埃米加入他們在哥廷根大學的研究團隊。埃米在哥廷根這一待，就是18年。當時，希爾伯特和克萊因正和愛因斯坦合作，以完備廣義相對論中的數學。埃米在家書中曾開玩笑表示，她們正在幫愛因斯坦進行極度困難的計算，而且「沒人知道那是要幹麼的。」
師承哥爾丹的埃米對不變量理論相當精通，對廣義相對論的數學發展起了很大幫助。最後，埃米為廣義相對論的某些概念提供了非常簡潔優雅的公式。她的表現讓研究團隊大為驚豔，希爾伯特和克萊因越來越相信埃米值得被聘為哥廷根大學教授；愛因斯坦甚至寫信向希爾伯特表明：「諾特小姐在計畫中持續給我建議；因為透過她，我才能掌握這個（數學）領域。」
叩關大學講師
當時，要想在德國的大學授課，必須通過一系列程序，以獲得特許任教資格。因為法律禁止女性擔任大學講師，埃米成了哥廷根大學首位嘗試叩關的女性。
光是在校內，爭論就持續了數個月：反對者認為，擔任大學講師這類所有不利女性生育強壯下一代的事，都應該避免；同意最力者如希爾伯特則認為，聘用講師與否應從實際功績做評斷，而非出於政治或社會考量。因為希爾伯特大力支持女性受教權，所以有些人在他五十歲生日時特地開他玩笑，頒給他虛擬的女學生聯合會（Union of Women Students）終身會長榮譽。
總算，哥廷根的數學家們達成共識，大多數教授都同意政府的說法：女性不應成為大學講師。只不過，他們加上一條但書──當該位女性的腦袋富有數學創造力時例外。
然而，即使數學家們同意聘任埃米擔任編外講師[1]，其他系所站出來發難了：「女性怎能當編外講師？」、「一旦成為編外講師，她就能成為教授，也能成為大學評議會[2]的成員。女性能被允許進入評議會嗎？」時值第一次世界大戰，更有人問，「當我們的士兵返回大學，發現他們必須在女人底下學習，會做何感想？」對此，希爾伯特回應：「我看不出當事人的性別構成反對聘任她的理由。畢竟，評議會並不是公共澡堂。」
最終，哥廷根大學將案子提到「宗教和教育部」，希望政府網開一面，允許埃米的人事案。部長拒絕了，不過提出妥協辦法：「她不能擔任教職，但是可以用希爾伯特助理的名義授課。」於是接下來三年，課表寫著：「數學物理專題。不變量理論：希爾伯特教授，由埃米．諾特小姐／博士擔任助理，星期一下午四到六點，免費。」埃米甚至沒辦法獲得授課鐘點費。
1917年，法蘭克福一所新成立的大學對埃米招手，表示願意提供教職給她；因為不是公立學校，所以應該能夠避免政府禁止女性教師的規定。埃米心動了。聽到消息之後，擔心手中瑰寶出走的哥廷根大學，再次向政府申請聘任埃米。僅僅六天，政府回應了：「你們擔心她去法蘭克福是沒有根據的，因為她不會被允許成為講師，不論在哥廷根、法蘭克福或是其他任何地方。」
戰敗帶來的轉機
1918年對埃米來說意義特別重大。根據之前廣義相對論的研究，她寫下知名的諾特定理（Noether’s Theorem）。諾特定理說的是，每個物理守恆定律，都擁有相應的對稱性。例如，動量守恆對應到平移對稱性（物理定律不會因為參考座標系的平移而發生改變；換言之，兩個不同位置看到的物理定律是一樣的）。
現今，諾特定理被廣泛運用在物理領域，成為近代物理學的基石。諷刺的是，因為當時皇家哥廷根科學院 （Royal Gottingen Academy of Science）拒絕接受埃米，以至於諾特定理的論文是由克萊因代為發表。
同年，德國在第一次世界大戰戰敗，德意志皇帝威廉二世流亡海外，也為埃米帶來轉機。12月，愛因斯坦寫信給哥廷根大學的克萊因：「接獲諾特小姐的嶄新成果後，我再次發現，她無法正式授課是極度不公允的。」愛因斯坦除了表示會盡力幫埃米向政府爭取教職的機會，也希望克萊因幫上一把。
德國新上任的社會民主黨政府，很快賦予了女性投票權，也允許女性在國會擁有議員席次。1919年5月，政府終於通過人事案，埃米正式成為哥廷根大學編外講師。埃米欣喜若狂；在拿到博士學位十一年後，37歲的她終於能夠用自己的名字開課。雖然沒有薪水，當年秋天她就開始了授課。
科學貢獻
1920年代，埃米將代數研究引到全新的方向。有別於以往的數學研究，也與她那充滿計算的博士論文大相逕庭，埃米採取全然不同的研究途徑，建構出抽象代數的基礎。1921年，她發表革命性論文〈環的理想理論[3]〉，從大的抽象架構出發以討論不同的概念，卻沒有任何實際指涉──就像是單純比較建築的高度和尺寸，而不談論建築本身。這篇論文對現代代數產生劃時代的影響，為了表彰她的貢獻，許多由她發展的數學概念現在都以她的名字命名。
埃米的研究路徑，多少跟她對數學的個人偏好與看法有關。某次，她拜訪身為應用數學家的弟弟弗里茨（Fritz Noether），沒想到兩人一言不合，針對數學的用途爭辯一個小時。弗里茨認為，數學應該要拿來描述真實的物理世界；諾特則主張，數學發展應該基於好玩或是智識上的興趣。雖然兩人沒有共識，但埃米怎麼也想不到，她純粹基於興趣所研究出的數學，儘管抽象得不得了，在現代物理學卻有著極大用處。
義工教授
1922年，因為埃米的頂尖學術表現，德國政府破格給予埃米新的頭銜「非正式特聘教授」。雖然名義上是教授，仍是無給職，也沒有退休金。她做著大學教授的工作，待遇卻和義工沒有兩樣。
為了避免埃米對新的教授頭銜產生誤會，科學與藝術部部長特地寫信給她，表明新頭銜並不會改變她的任何法律地位，她和其他教員的關係跟之前編外講師時期沒有差別，也和之前一樣沒有任何薪水。當時，諾特是哥廷根大學的教授中，唯二的女性教授之一（兩人都是非正式特聘教授）。
哥廷根大學從未給過埃米正式教職。她僅有的收入，來自希爾伯特的微薄補貼；一個月250馬克，連生活開支都不夠用。她是哥廷根收入最低的教員，也從未被納入公務員體系裡。戰後的通貨膨脹，加上1921年的父親過世，埃米著實面臨龐大的經濟壓力。儘管如此，她還是慶幸於這首次領到的微薄薪餉。
不典型也不女性化
埃米是同儕中唯一的女性；雖然她打破性別藩籬成為名義上的教授，眾人也尊敬她的能力與創造力，她的外貌、穿著、體重等等，無一不受到旁人的品頭論足。一方面，大學女教師極為稀有；二方面，埃米一點都不女性化的外顯行為也很難不讓人注意。
她明顯過重，卻不以為意：「如果不吃東西，我就無法做數學了。」而數學對她才是最重要的。正值三、四十多歲的她，穿著黑色長大衣，幾乎垂到腳踝；斜揹肩包、削短的頭髮，加上男人的帽子。在那個對女性穿著打扮、言行舉止無比講究的年代，埃米顯然是不合時宜的。然而，對於成天專注在數學的埃米來說，舒服、方便和價錢比瞬息萬變的時尚來得更重要。
埃米面對生活，就像處理數學，刪除一切非必要的事物。有人稱讚她的仁慈、好心腸和一切從簡，卻也有人嫌棄她的大音量和不溫柔優雅，穿得像洗衣女工。但反過頭想，如果她是男性，這些所謂惹人厭的特徵，都會成為某種刻板印象中的聰明數學家形象。
提攜學生與後進
埃米對學生相當照顧，就像母雞帶小雞。她極力避免學生遭遇到任何不公平對待，還把自己的小公寓借給左翼學生團體聚會。在研究上，她常跟年輕人分享自己的主意，讓他們去鑽研，並在後面推一把；也因此，在許多別人的論文背後，她都助了一臂之力。她的研究夥伴兼數學家馮德瓦爾登（Bartel Leendert van der Waerden）回憶：「她總是幫我們寫好論文前言，並將最主要的概念公式化──我們作為新手，永遠不可能像她那樣清晰掌握與斷定那些概念。」馮德瓦爾登寫的代數教科書，有很大一部份就是來自埃米的貢獻；這套教科書後來經過翻譯、改寫，傳遍全世界，成為經典，也改變了數學教育。
因為收入微薄，有一部分還要拿來資助最小的弟弟和姪兒，埃米早先住在供膳的學生宿舍，直到學生們拒絕和「支持馬克思主義的猶太人[4]」一起吃飯為止；在那之後，她才搬到位於閣樓的公寓。不論天氣如何，她和一位數學家朋友的太太，每天都到河畔的公共泳池游泳──儘管那是男性限定。一個星期中有六天，她總在同樣時間、於同一家廉價餐廳的同個座位，吃著同樣的晚餐。到了週日，她會為自己的學生下廚，並製作點心。只可惜，這樣做並沒辦法討好所有學生，因為好些人早已習慣那些薪資優渥教授的家，不但有全職主婦打理一切，還有許多傭人──這在在都讓埃米的生活方式，成為許多人茶餘飯後的笑柄。
埃米的課堂總是充滿活力和熱情。她不講發展成熟的理論，只講自己的研究，讓學生同自己一起在課堂上思考；講得飛快、寫得飛快、擦得也飛快，只有最俐落能幹的學生有辦法存活下來。當講到激動處，埃米身上的罩衫很容易因為手勢動作而鬆開；女學生雖然會試著幫她整理衣服，但總是徒勞無功──因為埃米一直忙著說話。
埃米一生共收了七位博士班學生，和十三個非正式學生，其中大多數都成為數學家。她的同事、兼知名數學物理學家外爾（Hermann Weyl）日後回憶：「考量到她科學研究計畫的生產力，和對諸多學生的影響力，她無疑是那裡（指哥廷根）數學活動的強力核心。」
納粹德國
1932年，埃米成為第一位、也是當時唯一一位受邀在數學國際會議（International Congress of Mathematics）發表演說的女性，並得到滿堂彩。即使她已經是國際知名的大數學家了，家鄉德國還是不認同她的成就，選擇性忽略她。埃米的數學家朋友們深感不平：「若非她的種族、性別、和自由主義的政治立場（儘管這點相對輕微），她早就在德國得到第一流的教職。」
另一方面，德國政治情勢愈演愈烈，納粹獲得許多年輕學生的歡迎。埃米某位碩士班學生起頭抵制另一位猶太教授蘭道（Edmund Landau），以至於沒人去上蘭道的課；「亞利安學生要的是亞利安數學，而非猶太數學。」他們這麼宣稱。
埃米在數學會議演講後沒幾個月，希特勒成為德國總理。大權在握的他，開始對猶太教授動刀。1933年5月初，科學部公佈具猶太血統的教授名單，埃米赫然列榜。沒出幾天，埃米和哥廷根其他一些猶太教授就被開除，也禁止在德國任何大學授課。納粹此舉，將哥廷根大學的物理和數學研究環境破壞怠盡──畢竟，在這兩個領域，許多響噹噹的教授都是猶太人。
失去了工作和發揮的舞台，埃米不改其志，在自己的公寓偷偷（違法）教授課程。即使有納粹學生跑到她家上課，她也坦然視之。只不過，隨著猶太科學家紛紛逃離德國，埃米也必須思索自己的出路。最後，她接受美國知名女數學家惠勒（Anna Pell Wheeler）的邀請，來到美國費城近郊的女子學院布林莫爾（Bryn Mawr College）──雖然仍是暫時的職缺，薪水倒還算差強人意。
美國生活
1933年秋天，埃米抵達費城，她和惠勒兩人很快成為好友。惠勒曾在哥廷根大學就讀數學，不但會講德語，對德國文化也熟悉；她幫埃米的美國生活解決很多難題。
埃米在美國的學術活動還算順利。每週，她會搭火車前往普林斯頓高等研究院講學，並和愛因斯坦閒話家常。惠勒安排了三個學生和埃米一起工作，並叮囑他們要好好善待埃米。與德國的情況不同，布林莫爾的學生只當埃米的打扮是實用取向，不覺得有什麼大不了的；上她的課也感到深具啟發。除此之外，埃米的社交生活也很愜意，她會和惠勒一起喝下午茶，或是坐在庭院思考數學、到附近的鄉間健行，甚至站在馬路中央跟焦急請她過馬路的學生解釋數學。
即使薪水並不算多，埃米已經感到滿意了。她不但把一半薪水存起來留給姪兒，甚至會自掏腰包援助貧困的學生。就跟她的數學風格一樣，埃米生活從簡、情緒也從簡。她從不讓負面的情緒影響自己，沒有對身為女性在德國受到的不公平待遇，顯露過一絲痛苦或嫉妒；當埃米的德國同事轉任普林斯頓高等研究院，享受豐厚的待遇，她亦平常心視之。
根落美國
1934年夏天，埃米回到德國，收拾細軟、將公寓打點好，並和弟弟弗里茨一家道別。弗里茨也準備離開德國，到西伯利亞工作。
即使在美國展開新生活，埃米的前景依舊不樂觀。她已經五十多歲，在遙遠的地方獨自打拼，也沒有正式工作。逃難的猶太科學家太多，能夠聘請這些人的單位卻太少。埃米不希望教大學部學生，布林莫爾卻是個強調教學的學校，跟她的調性不合。除此之外，埃米還有健康上的困擾。
埃米早先在德國，曾接受過子宮肌瘤切除術，現在卻又發現新的腫瘤。1935年4月，她排定進行手術。雖然埃米認為自己很強壯，手術應該不會有問題，但在朋友的勸說下，她還是預立遺囑。她向朋友表示，過去一年半是她生命中最快樂的日子，在布林莫爾和普林斯頓都受到讚賞──這是她在自己國家從未感受過的。
手術一切順利，醫生移除埃米體內，跟哈密瓜一樣大的卵巢囊腫。為了避免手術時間過長，留下兩個不礙事的小腫瘤。恢復期原本看似正常，怎知到了第四天，埃米突然失去意識，高燒接近攝氏43度。醫生並不確定埃米發生了什麼事，可能是術後感染，也可能是因高血壓導致的中風。
巨星隕落
1935年4月14日，正處於創造力巔峰的埃米，在遠離家鄉和家族的國度驟逝，享年53歲。這對全球數學界是莫大的傷痛，德國數學期刊「數學年鑑」甚至刊登了埃米的訃告──雖然埃米曾擔任它好幾年的編輯，但數學年鑑從未把埃米的名字放到刊頭。1935年5月4日，紐約時報刊登了愛因斯坦的投書，文中表明「自女性開始接受高等教育以來，諾特小姐是最重要、最富有創造力的數學天才。[5]」
埃米過世後兩年，她的弟弟弗里茨在西伯利亞被捕，之後以德國間諜罪名處死；不過數學家外爾和愛因斯坦成功將其兩子營救到美國。直到1989年，蘇聯總理戈巴契夫才宣稱弗里茨受到不公平對待。而埃米的骨灰，則由布林莫爾學院保存；在1982年，埃米．諾特百年誕辰，數學女性協會將她的骨灰埋在圖書館迴廊的磚牆下。
綜觀埃米．諾特一生，她不但是抽象代數的先驅，還建構了近代物理學的基本原則。獨具慧眼的她，能看出不同事物之間的連結，並用統合的方式描述兩種被認為相異的概念。近代物理學在建構模型時，常常會從對稱性出發，並討論當中的守恆量──這個概念便來自於她的諾特定理。她在群論、群表示論、環論和數論都有不可磨滅的貢獻，對物理學界和數學界產生深遠影響。
同時，埃米也是早期女性科學家的標竿。在她的年代，幾乎所有人都認為女性不適合大學教職，但她仍義無反顧、堅持自己的理想。在祖國德國，她得不到欣賞；在美國，已經年過五十的她還來不及發揮就撒手人寰。她一輩子可說都沒有得到過任何正式的工作，但在數學和物理上的成就卻如此重要。埃米．諾特為人寬厚、待人友善，對數學的熱情更無人能出其右，研究之路卻滿是艱險，可謂蹣跚而行的仁厚數學家。
參考資料
- Rachel Swaby (2015), Headstrong: 52 Women Who Changed Science-and the World, Broadway Books.
- Sharon Bertsch McGrayne (2001), Nobel Prize Women in Science: Their Lives, Struggles, and Momentous Discoveries, Joseph Henry Press.
- Edited by Nina Byers and Gary Williams (2006), Out of the Shadows: Contributions of Twentieth-Century Women to Physics, Cambridge University Press.
- DICK (1981), Emmy Noether 1882–1935, Birkhäuser Basel.
- Dwight E. Neuenschwander (2010), Emmy Noether’s Wonderful Theorem, Johns Hopkins University Press.
註釋
- [1] 編外講師（女性為Privatdozentin，男性為Privatdozent），又譯私講師，指的是德語系國家裡，通過認證可以就特定領域在大學授課、指導學生者。
- [2] 評議會是學校的政策決定會議。
- [3] 原文名Idealtheorie in Ringbereichen。理想為數學專有名詞，與日常生活意義無關。
- [4] 在1920和1930年代，蘇聯的無產階級革命和反法西斯主義，對許多西方自由派人士是很有吸引力的。
- [5] 另有一說該文是數學家外爾寫的，只不過編輯認為由名氣更大的愛因斯坦掛名更好，所以該文改以愛因斯坦名義投稿。
，所以得到 13＋23＋33＋43＋⋯＋n3＝
這個「合理的」公式，接著就可以證明此結果的正確性。
