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埃米.諾特──蹣跚而行的仁厚數學家

二十世紀初期,科學界產生劇烈變化。女性的高等教育逐漸開放,科學研究增添許多生力軍;許多領域如數學和物理,也因此受惠,得到不少進展。

在那女性運動尚屬萌芽階段的年代,有位才華洋溢的女性,不願屈就於社會期望,爭取旁聽的機會,突破法令對女性接受高等教育的限制。當政府以性別為由反駁她的大學授課申請後,她用男性數學家的助理名義教課。因為不被科學院接受,她無法自己發表論文,只得透過朋友幫忙發表。儘管她在數學領域貢獻卓著,卻因為猶太人身份,不得不離開德國;德國數學家使用她的數學理論,卻不能提及她的名字,好像她從未存在過。

在逆境下,她堅韌、充滿生命力;在日常生活中,她邋遢、不修邊幅,完全不介意外表,以及任何的女性形象。她愛吃、充滿熱情與愛心、無私又友善。有人形容她「像(剛出爐的)麵包……從她身上散發出寬厚、舒適、生氣勃勃的溫暖。」她不追求自身名利,過著非常簡樸的生活,卻又笑口常開。

她就是埃米.諾特,抽象代數的奠基者;紐約時報則稱「她的定理建立了近代物理學的骨幹。」

埃米.諾特(圖片來源

家學淵源和體制限制

阿馬莉.埃米.諾特(Amalie Emmy Noether),1882年3月23日生於德國愛爾朗根市(Erlangen)。父親麥克斯.諾特(Max Noether)是大學數學教授,在代數幾何領域頗有名氣。因為家境不錯,加上父親的職業之故,埃米成長在溫暖、友善以及充滿數學的環境。

身為四個小孩中的老大,埃米在童年時期是個友善、聰明的普通女孩,外加近視和輕微的大舌頭。當時,德國針對女孩的教育只到國中階段,而且重點放在家管、育兒、宗教與藝術課程,再加點基本算術、對話用法語和英語。雖然各州狀況不同,一般而言,德國大學到1910年才開放女性入學。除此之外,女性不能公開發表演說、加入政黨,或甚至參加政治活動。

那是德國正值快速都市化和工業化的年代,反對女性接受高等教育的言論在巨大社會變遷下仍頑固地存在著;這群反對者自詡傳統文化的守護者,認為大學對女性開放代表了道德的衰敗。1895年的一份調查中,多數德國教授便表示大學教育超過女性心智能力能夠負荷的範圍。即使埃米在家庭薰陶下對數學產生興趣,她也沒有研讀數學的機會。

因為沒辦法接受高等教育,埃米原本希望成為外語老師,並花三年時間參與教師訓練課程。1900年,她通過測驗取得女子學校的任教資格。然而,十八歲的她不遵循預設好的道路,卻打算在愛爾朗根大學旁聽課程。雖然女性無法就讀大學,得到教授允許的話還是能夠旁聽(但也很可能遭到拒絕)。從1900年到1903年,埃米是愛爾朗根大學唯二的女性旁聽生之一。考慮到以後可能會去女子學校教書,她選了外語課,外加個人感興趣的數學。只不過,沒人能想到,埃米的生涯規劃因此徹底翻轉,數學也成了她的終身志業。

從在哥廷根大學旁聽開始

哥廷根大學。source:wikimedia

1903年7月,埃米通過巴伐利亞州的大學入學測驗,卻不以此滿足,反是選擇了更具挑戰性的路途──她決定不入學,離鄉背井到三百公里外的哥廷根大學(哥廷根的喬治·奧古斯都大學 Georg-August-Universität Göttingen,簡稱哥廷根大學)旁聽。哥廷根大學當時在歐洲名聞遐邇,知名科學大師多不勝數,如天文學家史瓦西(Karl Schwarzschild)、數學家閔考斯基(Hermann Minkowski)、克萊因(Felix Klein)和希爾伯特(David Hilbert)等,若要研究數學,沒有比那兒更棒的地方了。

愛爾朗根-紐倫堡大學。source:wikimedia

未料,埃米因為身體因素,只在哥廷根待了一學期。1904年,她正式成為愛爾朗根大學(愛爾朗根-紐倫堡大學 Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)學生,而且整個就學期間,只有另外三位女學生,以及兩位女旁聽生。

在愛爾朗根大學攻讀博士學位

埃米的指導教授保羅.哥爾丹。source:wikimedia

埃米的指導教授是保羅.哥爾丹(Paul Gordan),不變量理論(Invariant theory)的大師。在哥爾丹指導下,1907年埃米完成一篇充滿數不清計算的博士論文。雖然埃米日後稱其為垃圾,但是這篇博士論文卻得到不少好評。25歲的她,通過學術研究的頭一個門檻,獲得數學博士學位。

接下來八年,埃米留在愛爾朗根大學,做著沒有薪水和職稱的工作。隨著她父親健康惡化,埃米逐漸分擔了父親的工作。她不但發表多篇現今視為經典的數學論文,還代父親授課、指導博士班學生,也參加國際數學組織、發表演說。

哥廷根之邀和廣義相對論

希爾伯特(右)和克萊因(左)。source:wikimedia

1915年,之前和埃米有數面之緣的希爾伯特和克萊因,邀請埃米加入他們在哥廷根大學的研究團隊。埃米在哥廷根這一待,就是18年。當時,希爾伯特和克萊因正和愛因斯坦合作,以完備廣義相對論中的數學。埃米在家書中曾開玩笑表示,她們正在幫愛因斯坦進行極度困難的計算,而且「沒人知道那是要幹麼的。」

師承哥爾丹的埃米對不變量理論相當精通,對廣義相對論的數學發展起了很大幫助。最後,埃米為廣義相對論的某些概念提供了非常簡潔優雅的公式。她的表現讓研究團隊大為驚豔,希爾伯特和克萊因越來越相信埃米值得被聘為哥廷根大學教授;愛因斯坦甚至寫信向希爾伯特表明:「諾特小姐在計畫中持續給我建議;因為透過她,我才能掌握這個(數學)領域。」

叩關大學講師

當時,要想在德國的大學授課,必須通過一系列程序,以獲得特許任教資格。因為法律禁止女性擔任大學講師,埃米成了哥廷根大學首位嘗試叩關的女性。

光是在校內,爭論就持續了數個月:反對者認為,擔任大學講師這類所有不利女性生育強壯下一代的事,都應該避免;同意最力者如希爾伯特則認為,聘用講師與否應從實際功績做評斷,而非出於政治或社會考量。因為希爾伯特大力支持女性受教權,所以有些人在他五十歲生日時特地開他玩笑,頒給他虛擬的女學生聯合會(Union of Women Students)終身會長榮譽。

總算,哥廷根的數學家們達成共識,大多數教授都同意政府的說法:女性不應成為大學講師。只不過,他們加上一條但書──當該位女性的腦袋富有數學創造力時例外。

然而,即使數學家們同意聘任埃米擔任編外講師[1],其他系所站出來發難了:「女性怎能當編外講師?」、「一旦成為編外講師,她就能成為教授,也能成為大學評議會[2]的成員。女性能被允許進入評議會嗎?」時值第一次世界大戰,更有人問,「當我們的士兵返回大學,發現他們必須在女人底下學習,會做何感想?」對此,希爾伯特回應:「我看不出當事人的性別構成反對聘任她的理由。畢竟,評議會並不是公共澡堂。」

最終,哥廷根大學將案子提到「宗教和教育部」,希望政府網開一面,允許埃米的人事案。部長拒絕了,不過提出妥協辦法:「她不能擔任教職,但是可以用希爾伯特助理的名義授課。」於是接下來三年,課表寫著:「數學物理專題。不變量理論:希爾伯特教授,由埃米.諾特小姐/博士擔任助理,星期一下午四到六點,免費。」埃米甚至沒辦法獲得授課鐘點費。

1917年,法蘭克福一所新成立的大學對埃米招手,表示願意提供教職給她;因為不是公立學校,所以應該能夠避免政府禁止女性教師的規定。埃米心動了。聽到消息之後,擔心手中瑰寶出走的哥廷根大學,再次向政府申請聘任埃米。僅僅六天,政府回應了:「你們擔心她去法蘭克福是沒有根據的,因為她不會被允許成為講師,不論在哥廷根、法蘭克福或是其他任何地方。」

戰敗帶來的轉機

1918年對埃米來說意義特別重大。根據之前廣義相對論的研究,她寫下知名的諾特定理(Noether’s Theorem)。諾特定理說的是,每個物理守恆定律,都擁有相應的對稱性。例如,動量守恆對應到平移對稱性(物理定律不會因為參考座標系的平移而發生改變;換言之,兩個不同位置看到的物理定律是一樣的)。

現今,諾特定理被廣泛運用在物理領域,成為近代物理學的基石。諷刺的是,因為當時皇家哥廷根科學院 (Royal Gottingen Academy of Science)拒絕接受埃米,以至於諾特定理的論文是由克萊因代為發表。

同年,德國在第一次世界大戰戰敗,德意志皇帝威廉二世流亡海外,也為埃米帶來轉機。12月,愛因斯坦寫信給哥廷根大學的克萊因:「接獲諾特小姐的嶄新成果後,我再次發現,她無法正式授課是極度不公允的。」愛因斯坦除了表示會盡力幫埃米向政府爭取教職的機會,也希望克萊因幫上一把。

德國新上任的社會民主黨政府,很快賦予了女性投票權,也允許女性在國會擁有議員席次。1919年5月,政府終於通過人事案,埃米正式成為哥廷根大學編外講師。埃米欣喜若狂;在拿到博士學位十一年後,37歲的她終於能夠用自己的名字開課。雖然沒有薪水,當年秋天她就開始了授課。

科學貢獻

1920年代,埃米將代數研究引到全新的方向。有別於以往的數學研究,也與她那充滿計算的博士論文大相逕庭,埃米採取全然不同的研究途徑,建構出抽象代數的基礎。1921年,她發表革命性論文〈環的理想理論[3]〉,從大的抽象架構出發以討論不同的概念,卻沒有任何實際指涉──就像是單純比較建築的高度和尺寸,而不談論建築本身。這篇論文對現代代數產生劃時代的影響,為了表彰她的貢獻,許多由她發展的數學概念現在都以她的名字命名。

埃米的研究路徑,多少跟她對數學的個人偏好與看法有關。某次,她拜訪身為應用數學家的弟弟弗里茨(Fritz Noether),沒想到兩人一言不合,針對數學的用途爭辯一個小時。弗里茨認為,數學應該要拿來描述真實的物理世界;諾特則主張,數學發展應該基於好玩或是智識上的興趣。雖然兩人沒有共識,但埃米怎麼也想不到,她純粹基於興趣所研究出的數學,儘管抽象得不得了,在現代物理學卻有著極大用處。

義工教授

1922年,因為埃米的頂尖學術表現,德國政府破格給予埃米新的頭銜「非正式特聘教授」。雖然名義上是教授,仍是無給職,也沒有退休金。她做著大學教授的工作,待遇卻和義工沒有兩樣。

為了避免埃米對新的教授頭銜產生誤會,科學與藝術部部長特地寫信給她,表明新頭銜並不會改變她的任何法律地位,她和其他教員的關係跟之前編外講師時期沒有差別,也和之前一樣沒有任何薪水。當時,諾特是哥廷根大學的教授中,唯二的女性教授之一(兩人都是非正式特聘教授)。

哥廷根大學從未給過埃米正式教職。她僅有的收入,來自希爾伯特的微薄補貼;一個月250馬克,連生活開支都不夠用。她是哥廷根收入最低的教員,也從未被納入公務員體系裡。戰後的通貨膨脹,加上1921年的父親過世,埃米著實面臨龐大的經濟壓力。儘管如此,她還是慶幸於這首次領到的微薄薪餉。

不典型也不女性化

埃米是同儕中唯一的女性;雖然她打破性別藩籬成為名義上的教授,眾人也尊敬她的能力與創造力,她的外貌、穿著、體重等等,無一不受到旁人的品頭論足。一方面,大學女教師極為稀有;二方面,埃米一點都不女性化的外顯行為也很難不讓人注意。

她明顯過重,卻不以為意:「如果不吃東西,我就無法做數學了。」而數學對她才是最重要的。正值三、四十多歲的她,穿著黑色長大衣,幾乎垂到腳踝;斜揹肩包、削短的頭髮,加上男人的帽子。在那個對女性穿著打扮、言行舉止無比講究的年代,埃米顯然是不合時宜的。然而,對於成天專注在數學的埃米來說,舒服、方便和價錢比瞬息萬變的時尚來得更重要。

埃米面對生活,就像處理數學,刪除一切非必要的事物。有人稱讚她的仁慈、好心腸和一切從簡,卻也有人嫌棄她的大音量和不溫柔優雅,穿得像洗衣女工。但反過頭想,如果她是男性,這些所謂惹人厭的特徵,都會成為某種刻板印象中的聰明數學家形象。

提攜學生與後進

埃米對學生相當照顧,就像母雞帶小雞。她極力避免學生遭遇到任何不公平對待,還把自己的小公寓借給左翼學生團體聚會。在研究上,她常跟年輕人分享自己的主意,讓他們去鑽研,並在後面推一把;也因此,在許多別人的論文背後,她都助了一臂之力。她的研究夥伴兼數學家馮德瓦爾登(Bartel Leendert van der Waerden)回憶:「她總是幫我們寫好論文前言,並將最主要的概念公式化──我們作為新手,永遠不可能像她那樣清晰掌握與斷定那些概念。」馮德瓦爾登寫的代數教科書,有很大一部份就是來自埃米的貢獻;這套教科書後來經過翻譯、改寫,傳遍全世界,成為經典,也改變了數學教育。

因為收入微薄,有一部分還要拿來資助最小的弟弟和姪兒,埃米早先住在供膳的學生宿舍,直到學生們拒絕和「支持馬克思主義的猶太人[4]」一起吃飯為止;在那之後,她才搬到位於閣樓的公寓。不論天氣如何,她和一位數學家朋友的太太,每天都到河畔的公共泳池游泳──儘管那是男性限定。一個星期中有六天,她總在同樣時間、於同一家廉價餐廳的同個座位,吃著同樣的晚餐。到了週日,她會為自己的學生下廚,並製作點心。只可惜,這樣做並沒辦法討好所有學生,因為好些人早已習慣那些薪資優渥教授的家,不但有全職主婦打理一切,還有許多傭人──這在在都讓埃米的生活方式,成為許多人茶餘飯後的笑柄。

埃米的課堂總是充滿活力和熱情。她不講發展成熟的理論,只講自己的研究,讓學生同自己一起在課堂上思考;講得飛快、寫得飛快、擦得也飛快,只有最俐落能幹的學生有辦法存活下來。當講到激動處,埃米身上的罩衫很容易因為手勢動作而鬆開;女學生雖然會試著幫她整理衣服,但總是徒勞無功──因為埃米一直忙著說話。

埃米一生共收了七位博士班學生,和十三個非正式學生,其中大多數都成為數學家。她的同事、兼知名數學物理學家外爾(Hermann Weyl)日後回憶:「考量到她科學研究計畫的生產力,和對諸多學生的影響力,她無疑是那裡(指哥廷根)數學活動的強力核心。」

納粹德國

1932年,埃米成為第一位、也是當時唯一一位受邀在數學國際會議(International Congress of Mathematics)發表演說的女性,並得到滿堂彩。即使她已經是國際知名的大數學家了,家鄉德國還是不認同她的成就,選擇性忽略她。埃米的數學家朋友們深感不平:「若非她的種族、性別、和自由主義的政治立場(儘管這點相對輕微),她早就在德國得到第一流的教職。」

另一方面,德國政治情勢愈演愈烈,納粹獲得許多年輕學生的歡迎。埃米某位碩士班學生起頭抵制另一位猶太教授蘭道(Edmund Landau),以至於沒人去上蘭道的課;「亞利安學生要的是亞利安數學,而非猶太數學。」他們這麼宣稱。

埃米在數學會議演講後沒幾個月,希特勒成為德國總理。大權在握的他,開始對猶太教授動刀。1933年5月初,科學部公佈具猶太血統的教授名單,埃米赫然列榜。沒出幾天,埃米和哥廷根其他一些猶太教授就被開除,也禁止在德國任何大學授課。納粹此舉,將哥廷根大學的物理和數學研究環境破壞怠盡──畢竟,在這兩個領域,許多響噹噹的教授都是猶太人。

失去了工作和發揮的舞台,埃米不改其志,在自己的公寓偷偷(違法)教授課程。即使有納粹學生跑到她家上課,她也坦然視之。只不過,隨著猶太科學家紛紛逃離德國,埃米也必須思索自己的出路。最後,她接受美國知名女數學家惠勒(Anna Pell Wheeler)的邀請,來到美國費城近郊的女子學院布林莫爾(Bryn Mawr College)──雖然仍是暫時的職缺,薪水倒還算差強人意。

1933年,埃米站在哥廷根火車站準備前往美國(圖片來源

美國生活

1933年秋天,埃米抵達費城,她和惠勒兩人很快成為好友。惠勒曾在哥廷根大學就讀數學,不但會講德語,對德國文化也熟悉;她幫埃米的美國生活解決很多難題。

埃米在美國的學術活動還算順利。每週,她會搭火車前往普林斯頓高等研究院講學,並和愛因斯坦閒話家常。惠勒安排了三個學生和埃米一起工作,並叮囑他們要好好善待埃米。與德國的情況不同,布林莫爾的學生只當埃米的打扮是實用取向,不覺得有什麼大不了的;上她的課也感到深具啟發。除此之外,埃米的社交生活也很愜意,她會和惠勒一起喝下午茶,或是坐在庭院思考數學、到附近的鄉間健行,甚至站在馬路中央跟焦急請她過馬路的學生解釋數學。

即使薪水並不算多,埃米已經感到滿意了。她不但把一半薪水存起來留給姪兒,甚至會自掏腰包援助貧困的學生。就跟她的數學風格一樣,埃米生活從簡、情緒也從簡。她從不讓負面的情緒影響自己,沒有對身為女性在德國受到的不公平待遇,顯露過一絲痛苦或嫉妒;當埃米的德國同事轉任普林斯頓高等研究院,享受豐厚的待遇,她亦平常心視之。

根落美國

1934年夏天,埃米回到德國,收拾細軟、將公寓打點好,並和弟弟弗里茨一家道別。弗里茨也準備離開德國,到西伯利亞工作。

即使在美國展開新生活,埃米的前景依舊不樂觀。她已經五十多歲,在遙遠的地方獨自打拼,也沒有正式工作。逃難的猶太科學家太多,能夠聘請這些人的單位卻太少。埃米不希望教大學部學生,布林莫爾卻是個強調教學的學校,跟她的調性不合。除此之外,埃米還有健康上的困擾。

埃米早先在德國,曾接受過子宮肌瘤切除術,現在卻又發現新的腫瘤。1935年4月,她排定進行手術。雖然埃米認為自己很強壯,手術應該不會有問題,但在朋友的勸說下,她還是預立遺囑。她向朋友表示,過去一年半是她生命中最快樂的日子,在布林莫爾和普林斯頓都受到讚賞──這是她在自己國家從未感受過的。

手術一切順利,醫生移除埃米體內,跟哈密瓜一樣大的卵巢囊腫。為了避免手術時間過長,留下兩個不礙事的小腫瘤。恢復期原本看似正常,怎知到了第四天,埃米突然失去意識,高燒接近攝氏43度。醫生並不確定埃米發生了什麼事,可能是術後感染,也可能是因高血壓導致的中風。

巨星隕落

1935年4月14日,正處於創造力巔峰的埃米,在遠離家鄉和家族的國度驟逝,享年53歲。這對全球數學界是莫大的傷痛,德國數學期刊「數學年鑑」甚至刊登了埃米的訃告──雖然埃米曾擔任它好幾年的編輯,但數學年鑑從未把埃米的名字放到刊頭。1935年5月4日,紐約時報刊登了愛因斯坦的投書,文中表明「自女性開始接受高等教育以來,諾特小姐是最重要、最富有創造力的數學天才。[5]

埃米過世後兩年,她的弟弟弗里茨在西伯利亞被捕,之後以德國間諜罪名處死;不過數學家外爾和愛因斯坦成功將其兩子營救到美國。直到1989年,蘇聯總理戈巴契夫才宣稱弗里茨受到不公平對待。而埃米的骨灰,則由布林莫爾學院保存;在1982年,埃米.諾特百年誕辰,數學女性協會將她的骨灰埋在圖書館迴廊的磚牆下。

綜觀埃米.諾特一生,她不但是抽象代數的先驅,還建構了近代物理學的基本原則。獨具慧眼的她,能看出不同事物之間的連結,並用統合的方式描述兩種被認為相異的概念。近代物理學在建構模型時,常常會從對稱性出發,並討論當中的守恆量──這個概念便來自於她的諾特定理。她在群論、群表示論、環論和數論都有不可磨滅的貢獻,對物理學界和數學界產生深遠影響。

同時,埃米也是早期女性科學家的標竿。在她的年代,幾乎所有人都認為女性不適合大學教職,但她仍義無反顧、堅持自己的理想。在祖國德國,她得不到欣賞;在美國,已經年過五十的她還來不及發揮就撒手人寰。她一輩子可說都沒有得到過任何正式的工作,但在數學和物理上的成就卻如此重要。埃米.諾特為人寬厚、待人友善,對數學的熱情更無人能出其右,研究之路卻滿是艱險,可謂蹣跚而行的仁厚數學家。

google doodle 於2015年3月23日紀念埃米諾特133歲冥誕

參考資料

  • Rachel Swaby (2015), Headstrong: 52 Women Who Changed Science-and the World, Broadway Books.
  • Sharon Bertsch McGrayne (2001), Nobel Prize Women in Science: Their Lives, Struggles, and Momentous Discoveries, Joseph Henry Press.
  • Edited by Nina Byers and Gary Williams (2006), Out of the Shadows: Contributions of Twentieth-Century Women to Physics, Cambridge University Press.
  • DICK (1981), Emmy Noether 1882–1935, Birkhäuser Basel.
  • Dwight E. Neuenschwander (2010), Emmy Noether’s Wonderful Theorem, Johns Hopkins University Press.

註釋

  • [1] 編外講師(女性為Privatdozentin,男性為Privatdozent),又譯私講師,指的是德語系國家裡,通過認證可以就特定領域在大學授課、指導學生者。
  • [2] 評議會是學校的政策決定會議。
  • [3] 原文名Idealtheorie in Ringbereichen。理想為數學專有名詞,與日常生活意義無關。
  • [4] 在1920和1930年代,蘇聯的無產階級革命和反法西斯主義,對許多西方自由派人士是很有吸引力的。
  • [5] 另有一說該文是數學家外爾寫的,只不過編輯認為由名氣更大的愛因斯坦掛名更好,所以該文改以愛因斯坦名義投稿。

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關於作者

科學大抖宅

在此先聲明,這是本名。小時動漫宅,長大科學宅,故稱大抖宅。物理系博士後研究員。人文社會議題鍵盤鄉民。人生格言:「我要成為阿宅王!」