p 值的陷阱（上）：p 值是什麼？又不是什麼？

編按：本文係林澤民老師在2016年中進行的相關系列演講之一的逐字稿修訂版，本場次為2016/6/6在政大社科院的演講，題目為《看電影學統計：p 值的陷阱》。原文刊於《社會科學論叢》2016年10月第十卷第二期。

院長、陳老師，各位老師、各位同學，今天很榮幸能夠到政大來，和大家分享一個十分重要的課題。我今年回來，今天是第六個演講，六月中之前還有兩個，一共八個，其中四個是談賽局理論，四個是談 p 值的問題。

賽局理論的部分，題目都不一樣，譬如我在政大公行系講賽局理論在公行方面的應用，而我第一個演講在台大地理系，談賽局理論在電影裏的應用。我在台大總共講了三部電影，一部是《史密斯任務》，講男女關係、夫妻關係；第二部是《少年 pi 的奇幻漂流》，講少年和老虎對峙的重覆性賽局；第三部電影是最新的電影：《刺客聶隱娘》，講國際關係賽局。

今天談的當然是不一樣的題目，雖然它是一個很重要、很嚴肅的題目，但我希望大家可以輕鬆一點，所以也要放兩部電影片段給大家看，一部是《玉蘭花》，另一部則是《班傑明的奇幻旅程》，這兩部電影都有助於我們來瞭解今天要談論的主題：p 值的陷阱。

科學的統計學危機：p 值有什麼問題？

為什麼要談論 p 值的問題？因為在近十多年來，不只是政治學界，而是很多學門，特別是在科學領域，有很多文章討論傳統統計檢定方法、尤其是 p 值統計檢定的問題，甚至有位很有名的統計學者，Andrew Gelman 寫了篇文章，叫作〈科學的統計學危機〉（The Statistical Crisis in Science），說是危機一點都不言過其實。這就是為何我說：今天要討論的其實是很嚴肅的問題。

投影片上這些論點，大部分是說我們在傳統統計檢定的執行上，對 p 值有各種誤解跟誤用。現在很多人談到「p 值的危險」、「p 值的陷阱」、「p 值的誤用」、還有「p 值的誤解」。甚至有些學術期刊，也開始改變他們的編輯政策。像這本叫作 Basic and Applied Social Psychology 的心理學期刊，已經決定以後文章都不能使用 p 值，大家能夠想像嗎？我們作計量研究，都是用 p 值，各位一直用，在學界用了將近一百年，現在卻說不能用。甚至有些文章，說從前根據 p 值檢定做出來的研究成果都是錯的，有人更宣告 p 值已經死了。

所以這是一個很嚴重的問題。在這本期刊做出此決定後，美國統計學會（ASA）有一個回應，表示對於 p 值的問題，其實也沒這麼嚴重，大部分是誤解跟誤用所造成，只要避免誤解與誤用就好。可是在今年，ASA 真的就發表了正式聲明，聲明裡面提出幾點，也是我今天要討論的主要內容，包括 p 值的真正的意義，以及大家如何誤用，換句話說就是：p 值到底是什麼？它又不是什麼？（圖一） 今天除了會深入探討這些議題之外，也請特別注意聲明的第三點提到：科學的結論，還有在商業上、政策上的決策，不應只靠 p 值來決定。大家就應該了解這問題影響有多大、多嚴重！

我舉個例子，在台灣大家都知道我們中研院翁院長涉入了浩鼎案，浩鼎案之所以出問題，就是因為解盲以後，發現實驗的結果不顯著。我今天不想評論浩鼎案，但就我的了解，食藥署、或者美國的 FDA，他們在批准一項新藥時，一定要看實驗的結果，而且實驗結果必須在統計上要顯著。可是 ASA 卻告訴我們說，決策不該只根據統計的顯著性，大家就可想像這影響會有多大。甚至有其他這裡沒有列出來的文章，提到為何我們使用的各種藥物，都是經過這麼嚴格的 p 值檢定出來、具有顯著性，可是在真正臨床上，卻不見得很有用。其實很多對 p 值的質疑，都是從這裡出來的。

有關 p 值的討論，其實並非由政治學門，而是從生命科學、例如醫學等領域所產生的。ASA 聲明的第四點說：正確的統計推論，必須要「full reporting and transparency」，這是什麼意思呢？這是說：不但要報告 p 值顯著的研究結果，也要報告 p 值不顯著的研究結果。

但傳統方法最大的問題是：研究結果不顯著，通通都沒有報告。在英文有個詞叫 ，摘櫻桃。什麼叫摘櫻桃？摘水果，水果熟的才摘，把熟的水果送到水果攤上，大家在水果攤上看到的水果，都是漂亮的水果，其實有很多糟糕的水果都不見了。我們在統計上也是，大家看到的都是顯著的結果，不顯著的結果沒有人看到。

可是在過程中，研究者因為結果必須顯著，期刊才會刊登、新藥才會被批准，所以盡量想要擠出顯著的結果，這之中會出現一個很重大的問題：如果我們作了 20 個研究，這 20 個研究裡面，虛無假設都是對的，單獨的研究結果應該是不顯著。可是當我們作了 20 個統計檢定時，最少有一個結果顯著的或然率其實很高。雖然犯第一類型錯誤的或然率都控制在 0.05，可是 20 個裡面最少有一個顯著的，或然率就不是 0.05，大概是 0.64。如果就報告這個顯著結果，這就是 cherry-picking。

ASA 給的建議是：實驗者必須要 full reporting and transparency，就是一個研究假如作了 20 個模型的檢定，最好 20 個模型通通報告，不能只報告顯著的模型。ASA 這個聲明是今天要討論的主要內容。

p 值是什麼?

p 值是什麼？我想在座有很多專家比我都懂，但是也有一些同學在場，所以還是稍微解釋一下。p 值是由 Ronald Fisher 在 1920 年代發展出來的，已將近一百年。p 值檢定最開始，是檢定在一個 model 之下，實驗出來的 data 跟 model 到底吻合不吻合。這個被檢定的 model，我們把它叫做虛無假設（null hypothesis），一般情況下，這個被檢定的 model，是假設實驗並無系統性效應的，即效應是零，或是隨機狀態。在這個虛無假設之下，得到一個統計值，然後要算獲得這麼大（或這麼小）的統計值的機率有多少，這個或機率就是 p 值。

舉一個例子，比如說研究 ESP （超感官知覺）時會用到比例（proportion）這個統計值。我們用大寫的 P 來代表比例，不要跟小寫的「p 值」的 p 混淆。在 p 值的爭論裡，有一篇研究 ESP 的心理學文章被批評得很厲害。文章中提到了一個實驗，讓各種圖片隨機出現在螢幕的左邊或者右邊，然後讓受測者來猜圖片會出現在哪邊。我們知道如果受測者的猜測也是隨機的，也就是沒有 ESP 的效應，則猜對的或然率應該是一半一半，算比例應該是差不多 P = 0.5，這裡比例 P = 0.5 就是我們的虛無假設。但這個實驗，實驗者是一位知名心理學教授，他讓受測者用各種意志集中、力量集中的辦法，仔細地猜會出現在左邊還是右邊。結果發現，對於某種類型的圖片——不是所有圖片，而是對於某些類型的圖片，特別是色情圖片——受測者猜對的比例，高達 53.1 %，而且在統計上是顯著的。所以結論就是：有 ESP，有超感官知覺。

這裡 p 值可以這樣算：就是先做一個比例 P 的 sampling distribution（抽樣分配）。如果虛無假設是對的，平均來講，P = 0.5。0.5 就是 P 的抽樣分配中間這一點，這個比例就是我們的虛無假設。在受測者隨機猜測的情況之下，P 應該大約是 0.5 的。可是假如真正得到的 P 是 0.531，抽樣分配告訴我們：如果虛無假設是對的，亦即如果沒有任何超自然的力量，沒有 ESP 存在，大家只是這樣隨機猜測的話，則猜對的比例大於或者等於 0.531 的機率，可以由抽樣分配右尾的這個面積來算。作單尾檢定，這面積就是所謂的 p 值。如果作雙尾檢定的話，這值還要乘以 2。以上就是我們傳統講的 p 值的概念。

我們得到 p 值以後，要作統計檢定。我們相約成俗地設定一個顯著水準，叫做 α，α 通常都是 0.05，有時候大家會嚴格一點用 0.01，比較不嚴格則用 0.10。如果我們的 α = 0.05，則若 p < 0.05，我們就可以拒絕虛無假設，並宣稱這個檢定在統計上是顯著的，否則檢定就不顯著，這是傳統的 p 值檢定方法。如果統計上顯著的話，我們就認為得到實驗結果的機會很小，所以就不接受虛無假設。

為什麼說 p 值很小，就不接受虛無假設？我個人的猜想，這是依據命題邏輯中，以否定後件來否定前件的推論，拉丁文稱作 modus tollens，意思是以否定來否定的方法，也就是從「若 P 則 Q」和「非 Q」導出「非 P」的推論，這相信大家都知道。p 值檢定的邏輯是一種有或然性的 modus tollens，是 probabilistic modus tollens。「若 H₀ 為真，則 p 值檢定顯著的機率很小，只有 0.05」，現在 p 值檢定顯著了，所以我們否定 H₀。但是命題邏輯的 modus tollens，「若 P 則 Q」是沒有或然性、沒有任何誤差的餘地的。「若 H₀ 為真，則 p 值檢定不可能顯著」，這樣 p 值檢定顯著時，你可以否定 H₀，大家對此都不會有爭議。

問題是假如容許或然性，這樣的推論方法還是對的嗎？舉一個例子：「若大樂透的開獎機制是完全隨機的，則每注中頭獎的機率很小，只有 1 / 13,980,000」，現在你中獎了，你能推論說大樂透開獎的機制不是隨機的嗎？p 值的問題，便是在於我們能不能夠因為 p 值很小，小到可能性很低，我們就用否定後件的方法來否定前件。我們用命題邏輯來作統計推論，但其實我們的推論方法跟命題邏輯卻不完全一樣，因為我們的 α 絕對不可能是零，如果 α 是零的話，就不是統計了。

再來就是看電影時間，電影很有趣，可以幫助我們了解什麼是 p 值，也可以再接著討論為什麼用 p 值來作統計推論會有錯。這部電影叫做「玉蘭花」，是 1999 年的電影，已經很舊了，可能在座年輕的朋友就沒看過。網路上在 Youtube有這一段，請大家觀賞。

相信大家應該都看得懂這短片的用意。玉蘭花這部電影，雖然裡面有講一些髒話，但是其實是一部傳教的影片。它的推論方式，其實就是我剛剛講的 p 值的推論方式，它有一個虛無假設，就是說事情發生沒有什麼超自然的力量在作用，都是隨機發生的，是 by chance，不是 by design，可是它發生了，竟然有這麼巧合的事情。大家可以想一下，如果事情的發生都是 by chance，都是隨機的，那麼像這種事件發生的機率有多少？很小很小，0.0…01，幾乎不可能發生。所以假如是隨機發生的，就幾乎不可能發生，可是它發生了，我們就以否定後件來否定前件，推論虛無假設－by chance 的這個假設－是不對的。

既然不是 by chance，它是什麼？就是 by design，是設計出來的。這是基督教的一種論證上帝創造世界的方法。在美國，有些學區還在爭論，生物是創造的還是進化的？創造論的主張者都會用這樣的論證，說你看我們人體，它是這麼複雜的一個系統，這種系統可能是隨機發生的嗎？若是隨機發生，機率有多少？是 0.0…01，所以它不可能是隨機發生，因此是創造的。這個理論叫做 intelligent design（智慧的設計）即我們這個世界都是上帝創造、是上帝很有智慧地依照藍圖設計出來的。我今天也不想爭辯這種推論對不對，我只是舉例來說明這種推論的邏輯。

p 值不是什麼？

我本來放這部電影都是為了在教學上解釋 p 值的概念，可是後來當我注意到對於 p 值的爭議之後，覺得其實這一部電影也可以用來幫我們了解為什麼用 p 值來做統計推論有可能是錯的。

下面這個表是大家都熟悉的。（圖二） 我們可以用這個表來呈現有關虛無假設是對或者不對，是被拒絕或者被接受的四種可能性，其中兩種是作出錯誤統計推論的情況。第一個情況，虛無假設是對的，但統計檢定是顯著的，因此虛無假設被推翻了。這種情況叫做 Type I error，我們保留了 α = 0.05 的機率容許它存在。第二個情況，如果虛無假設是錯誤的，但統計檢定不顯著，所以它沒有被推翻，這個情況叫做 Type II error。Type II error 剛學統計的同學可能不太了解，因為我們通常都不會很清楚地去計算它的機率——所謂 β。這個 β 跟 α 不一樣，不是你可以用相約成俗的方法來訂定，而是會受到若干因素的影響。

我們可以開始討論：傳統用 p 值來作統計檢定方式，為什麼有問題？剛剛 ASA 的聲明說：p 值 do not measure the probability that the studied hypothesis is true。p 值告訴你：如果虛無假設是對的，你「觀察到資料」的機率有多少，但它並沒有告訴你「虛無假設是對的」的機率有多少，或「研究假設是對的」的機率有多少。這是很不一樣的：前者是 data 的機率，後者是 model 的機率。進一步說明，p 值是在虛無假設為真的條件之下，你觀察到和你所觀察到的統計值一般大小（或更大／更小）的機率。但我們作檢定的時候，我們是看 p 值是不是小於你的統計水準 α，如果 p < α，我們就說統計是顯著的。

換句話說，如果虛無假設為真，那麼你的檢定是顯著的機率是 α = 0.05。但這其實不是我們作研究最想回答的問題；這個機率只告訴我們，如果你的虛無假設為真，有百分之五的機率，data 會跟它不合，但它沒有告訴我們虛無假設這個 model 為真的機率有多少，而這才是我們應該問的問題。所以我們應該反過來問，如果你統計檢定是顯著的，在此條件之下，「虛無假設是對的」的機率有多少？如果我們把關於 data 這個偽陽性的機率記作 α = Pr（Test=+|H₀），大家可以看出這個關於 model 的機率其實是它倒反過來的：Pr（H₀| Test=+），所以我把它稱作「偽陽性的反機率」。這兩個機率原則上不會相等；只有在 α = 0 的時候，兩者才都是零而相等。

譬如今天你去健康檢查，醫生給你做很多篩檢，如果篩檢結果是陽性，其實先不要怕，因為你應該要問，如果篩檢出來是陽性，那麼你真正並沒有病的機率是多少？也就是偽陽性的反機率有多少？大家可能會很驚訝，偽陽性的反機率通常都很高，但是這個機率，p 值並沒有告訴你。所以必須要去算在檢定是陽性的條件下，結果是一種偽陽性的反機率；這就必須要用「貝式定理」來算。

雖然在座有很多可能比我更高明的貝氏統計學家，但我還是要說明一下貝式定理。先舉一個我終身難忘的例子，剛剛陳老師說我是台大電機系畢業的，我在電機系的時候修過機率這一門課。我記得當時的期中考，老師出了一個題目，說我口袋裡面有三個銅板，其中有一個銅板是有偏差的銅板，偏差的銅板它得到正面的機率是 1/3 ——不是 1/2——而得到反面的機率是 2/3。考題問：現在我隨機從口袋裡面掏出一個銅板，這個銅板是那個偏差銅板的機率是多少？很簡單大家不要想太多，1/3 嘛。可是我現在拿銅板丟了一下，出現的是正面，我再問你這個銅板是那個偏差銅板的機率是多少？我不期望大家立刻回答，因為要用貝式定理來算，當你獲得新的資訊的時候，新的資訊會更新原來的機率。這裡我也沒有時間詳細告訴大家怎麼算，但是可以告訴大家，結果是 1/4。

如果我丟擲銅板，它得到了正面，它是偏差銅板的機率變成只有 1/4。這是因為偏差銅板出現正面的機率，比正常銅板要小，所以出現正面的話，它相對來講就比較不太可能是偏差的銅板，所以機率會比原來的 1/3 小些，只有 1/4。（大家可以想像如果偏差銅板出現正面的機率是 0，而丟擲得到正面，則此銅板是偏差銅板的機率當然是 0。）原來所知的「1/3 的機率是偏差銅板、2/3 的機率是正常銅板」這個機率分配在貝氏定理中叫做先驗機率（prior probability）。大家要建立這個概念，即是還沒觀察到數據之前，對於模型的機率有一些估計，這些估計就叫做先驗機率。至於觀察到數據之後所更新的模型機率，1/4 和 3/4，這個機率分配叫做後驗機率（posterior probability），也就是前面所說的反機率（inverse probability）。

我們再來看另外一個跟統計檢定問題非常接近的例子。可以用剛剛身體檢查的例子，但我這裡用美國職棒大聯盟對球員的藥物檢查為例，也許比較有趣。這裡假設大約有 6 % 的美國 MLB 的球員使用 PED（performance enhancing drugs），這是一種可以增強體能表現的藥物，是類固醇之類的藥物。這個估計數字可能是真的，是我從網頁上抓下來的。這邊的 6 % 即為我前面說的先驗機率：隨機選出一個球員，則他有使用 PED 的機率是 0.06，沒有使用 PED 的機率是 0.94。現在大聯盟的球員都要經過藥檢；舉大家熟知的火箭人 Roger Clemens 為例。他也是我心目中的棒球英雄，他被檢定有陽性的反應。

為了方便起見，假設藥檢的準確度是 95 %。所謂準確度 95 %的定義是：如果一個球員有使用藥物，他被檢定出來呈陽性反應的機率是 0.95；如果一個球員沒有使用藥物，他被檢定出來呈陰性反應的機率也是 0.95。也就是我假設兩種誤差類型的機率 α 跟 β 都是 0.05。在這假設之下，使用貝式定理來計算，當球員被篩檢得到的結果是陽性，但他並不是 PED 使用者的後驗機率或反機率，其實高達 0.45。大家可以從圖三看到貝氏定理如何可以算出這個機率。（圖三）

使用貝式定理算出來的結果大家應該會覺得很詫異，因為我們藥物篩檢的工具應該是很準確的，0.95 在我們想像中應該是很準確的，我們認為說我們錯誤的可能性只有 5 %，其實不然。檢定是陽性，但其實偽陽性的反機率可以高達45 %！所以雖然我不是醫學專家，不過大家健康檢查，如果醫生說，你的檢查結果呈現陽性反應，大家先不要慌張，你要先問一下醫生檢驗的準確度大概有多少，如果一個真正有這種病的人來檢定，呈現偽陽性的機率有多少？如果一個沒有病的人來檢定，呈現偽陰性的機率有多少，然後再問他先驗機率大概有多少？然後自己用貝氏定理去算一下偽陽性的反機率。醫學上很多疾病，在所有人口裡面，得病的比例通常很小的。也就是說，得病的先驗機率通常都很小，所以偽陽性的反機率會很大。

現在換成了統計檢定，看下圖的表格。（圖四）這表格跟圖三的表格很像，只是把內容改成了圖二的內容：虛無假設是真的、或是假的，然後統計檢定是顯著、或是不顯著的。然後再加上一行先驗機率，就是「虛無假設是對的」的先驗機率有多少、「虛無假設是錯的」的先驗機率有多少，都用符號來代替數目。我們可以用貝式理得到一個公式，顯示偽陽性的反機率是統計水準 α、檢定強度（power = 1 – β）、和研究假設之先驗機率（P（H_A））的函數。α 跟檢定強度都沒問題，但公式裡頭用到先驗機率。你會問：在統計檢定裡面，先驗機率是什麼？

在此我必須要稍微說明一下，先驗機率，以淺白的話來講，跟你的理論有關係，怎麼說呢？如同剛剛提到 ESP 的實驗，好像只要就這樣用力去猜，你猜對的可能性就會比較高。發表這樣子的實驗報告，我們有沒有辦法告訴讀者，當受測者這樣皺著眉頭去想的時候，到底是什麼樣的一個因果機制，能夠去猜到圖片是出現在左邊還是右邊。

一般來說這種 ESP 的實驗，是沒有這種理論的，是在完全沒有理論的條件之下來做實驗。在此情況之下，我們可以說，此研究假設的先驗機率很小很小。當然我們作政治學的研究就不一樣，我們可能引用很多前人的著作，都有一個文獻回顧，我們也引用很多理論，然後我們說：我們的研究假設是很有可能展的。假如你有很好的理論，你的研究假設的先驗機率就會比較高，在這種情況之下，問題會比較小。但是還有一個問題，就是如果從文獻裡面來建立理論，來判定你的研究假設的先驗機率有多少，問題出在於：通常文獻回顧是從學術期刊裡面得來，而現在所有的學術期刊，發表的都是顯著的結果，不顯著的結果通通都沒有發表，從學術期刊上來判斷研究假設的先驗機率有多少，這樣的判斷是有偏差的。這是我今天要講的第二個問題，現在先繼續討論偽陽性反機率的問題。

現在要詳細討論影響偽陽性反機率的因素，就是影響到「統計檢定是顯著的條件之下，虛無假設為真」這一個機率的因素。這裡再重覆一下，我們一般了解的統計推論，奠基於虛無假設為真時，p 值顯著的機率，也就是偽陽性的機率被控制在 α 之內：Pr（Test=+|H₀）= Pr（p<α|H₀） = α。但我們現在要反過來問的是：統計檢定是顯著的情況下，H₀ 為真的機率，也就是偽陽性的反機率：Pr（H₀| Test=+）= Pr（H₀| p<α），這好比篩檢結果為陽性、但其實球員並未使用 PED、患者其實無病的機率。如果 α 等於零，可以很清楚的發現，這兩個機率是一樣的，都是零；但 α 不等於零的時候，它們就不一樣。由下圖來看，偽陽性的反機率跟先驗機率－研究假設的先驗機率－以及檢驗的強度有關。（圖五、六）看圖可以得知，power 越大，還有先驗機率越大的話，偽陽性的反機率就越小。可是當 power 越小的時候，還有先驗機率越小的時候，偽陽性的反機率就越大。

我做了一個表，列出研究假設的先驗機率，從最小排列到最大，可以看到在不同檢定強度之下，偽陽性的反機率是多少。（圖七）它可以高到近乎 1.00。換句話說，研究假設的先驗機率如果很小很小，則即使 p 值檢定顯著，但虛無假設仍然為真的機率其實還是很大很大的。如果研究假設的先驗機率是 0.5 ——你事先也許不知道哪一個是對的，你假設是 0.5，就像丟銅板一樣，此時，偽陽性的反機率才是 0.05，才跟 α 一樣。也就是說，研究假設的先驗機率必須要高於 0.5，偽陽性的反機率才會小於 0.05。可是假如你的研究假設，譬如剛剛提到的 ESP 研究，這種實驗沒有什麼理論、沒有什麼因果關係，然後你就去做了一個統計分析。換句話說這個研究假設的先驗機率可能很低，此時偽陽性的反機率其實是很高的。圖七第一欄是假設 power 為 0.95，如果 power 低一點到 0.75 呢？如果是 0.50 呢？我們可以看到其實結果差不多。當然 power 越低，問題會越嚴重，但其實差不多，當你的先驗機率是 0.5 的時候，原來是 0.05，現在是 0.09，所以差別不是特別大。原則上，power 對於偽陽性反機率的作用不是那麼強，作用強的是 prior，即是研究假設的先驗機率。

小結：當檢定強度或研究假設的先驗機率甚低的時候，α = 0.05 可能嚴重低估了偽陽性之反機率，也就是在 p 值檢定顯著的情況下，虛無假設 H₀ 仍然極有可能為真，而其為真的條件機率可能甚大於 α。此時如果我們拒絕虛無假設，便作出了錯誤的統計推論。

請繼續閱讀下篇：《p 值的陷阱（下）：「摘櫻桃」問題》

本文《看電影學統計：p 值的陷阱》轉載自 Tse-min Lin 的部落格。