數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

• 作者：林澤民、巫俊穎

對於許多上過統計課的學生而言，貝氏定理（Bayes Theorem）是又熟悉又陌生的。熟悉，是因為絕大多數的大學或研究所統計課堂都有教貝式定理；陌生，則是因為許多學生上完統計課之後，對於貝式定理仍然一知半解，甚至視為畏途。

根據我們的觀察，造成此現象的原因有二：首先，一般基本統計學教科書雖然會提到貝氏定理，但絕大多數的教科書仍然只涵蓋以P值檢定為基礎的傳統「次數統計推論」（frequentist statistical inference）。學生即使學了貝氏定理，也只把它當作一個數學公式，不知道它對學習統計學有什麼幫助，更不知道它具備生活實用性。其次，貝式定理的數學表示式難以背誦；即使一時背了，也容易忘記。

以下是教科書上常見的貝式定理定義：假定事件A和事件B發生的機率分別是 Pr(A) 和 Pr(B)，則在事件 B 已經發生的前提之下，事件 A 發生的機率是（其中「¬」在邏輯上為「非」的符號：「¬A」即「非A」）：

如果沒有充分理解機率運算的定義和法則，實在難以理解此公式背後的邏輯。許多學生因此強記上述公式以準備考試，只求能解題而不求理解；公式反而成為學習貝式定理的主要障礙。

本文的主要目的是要破除許多學生對於貝式定理「困難又不實用」的刻板印象。事實上，我們生活之中有許多情況必須要運用貝式定理的邏輯思考，否則便容易產生偏差甚至陷於謬誤。

被撞到的都是好人？讓貝氏定理算給你看看

舉例來說，每逢有人因車禍不幸橫死，當記者報導死者是孝子，我們常唏噓說為何橫死的都是好人？這樣的想法，其實犯了諾貝爾經濟學獎得主、心理學家 Daniel Kahneman 所說的「基率謬誤」（base rate fallacy）。簡單來說，就是沒有把「絕大多數人都是好人」這個「基率」——貝氏定理所謂的先驗機率（prior probability）——納入考量所致。因為絕大多數人都是好人，即使老天爺真的大致上賞善罰惡，橫死的人也會大多是好人，更不用說車禍應該跟善惡無關了。

比如我們假設每100人中只有1人（1%）是十惡不赦的「壞人」，其餘99人（99%）都是「好人」。再假設90%的壞人果然都遭車禍橫死，而只有10%的好人意外橫死。這樣老天算是有眼了，可是如果今天有人意外橫死，請問他是好人的機率多少呢？用貝氏定理可以算出Pr(好人|橫死)=0.92，也就是橫死的人中有92%會是「好人」，只有8%是壞人！這正是因為大部分人都是好人，出事的當然容易是好人，即使老天有眼也是一樣。

貝氏定理的原理就是在先驗機率的基礎上，納入新事件的資訊來更新先驗機率，這樣算出來的機率便叫做後驗機率（posterior probability）。以前述好人橫死的例子來說，先驗機率的分配是 Pr(好人)=0.99及Pr(壞人)=0.01。在無其他資訊的情況下，我們在街上隨機遇到一個人，此人為好人的機率是0.99。

但現在此人被車子撞死了，根據我們對老天有眼的假設（Pr(橫死|好人)=0.1 及 Pr(橫死|壞人)=0.9），好人不容易橫死，而此人橫死了，這新事件的資訊可以讓我們用貝氏定理來計算後驗機率 Pr(好人|橫死)=0.92，也就是此人為好人的機率變小。新事件的資訊改變了我們原來的估計，這就是所謂「貝氏更新」（Bayesian updating）。

如果我們沒有把先驗機率納入計算，我們很可能因為相信老天有眼，橫死的應該大多是壞人，就斷此人很可能是壞人。而若確定此人是好人，我們就唏噓不已，甚至怨罵老天。這兩種反應的人其實都犯了「基率謬誤」。當然，如果車禍跟人的好壞無關，也就是不論好人壞人橫死的機率都一樣，則有人橫死的新事件是不會更新我們對他是好人或壞人的基率的。

Kahneman在《快思慢想》一書中舉了一個也是跟車禍有關的「基率謬誤」的例子。某天夜晚城裡發生了一件車禍，肇事的車子逃逸，但有證人指認那是一輛藍色的計程車。城裡只有藍色、綠色兩種計程車；綠色車佔85%，藍色車僅佔15%。法庭檢驗證人在夜晚識別車色的能力，發現他識別正確的機率是80%，而識別錯誤的機率是20%。

當Kahneman做實驗問受測者肇事車輛為藍色的機率多少時，大部分人的答案是80%。這也是犯了「基率謬誤」的答案，也就是城裡「綠色車佔85%，藍色車佔15%」這個基率所包含的資訊被忽略了。如果把基率納入考量，貝氏定理給的答案是Pr(肇事車真為藍色|證人指認為藍色)=0.41，只有一般人想像中的一半！

現實生活中類似的例子很多：身體檢查某項檢驗得到陽性反應、職棒大聯盟球員沒通過藥檢、犯罪現場採得的DNA與調查局資料庫CODIS中某人的DNA相符、甚至統計上Ｐ值檢定得到顯著結果。這些情況中，如果我們不了解貝氏定理，我們很可能就會在機率估計上犯錯。那麼貝氏定理究竟要如何拿來計算正確的後驗機率呢？本文將用淺易的途徑來介紹貝氏定理的計算方法。

聯合機率、邊際機率以及條件機率三種必須認識的機率

欲瞭解貝式定理的邏輯，必須先瞭解三種不同的機率：聯合機率（joint probability）、邊際機率（marginal probability）以及條件機率（conditional probability）。

假設有兩個隨機變數（random variable）X和Y，變數X有1, 2, …, J共J個可能的值，而變數Y有1, 2, …, I共I個值。在此可以將變數的「值」視為前面提及的「事件」（event），舉例來說，X代表大聯盟球員有沒有使用禁藥，X=1代表「沒有使用」，X=2代表「有使用」；Y代表藥檢的結果，Y=1代表「陽性反應」，Y=2代表「陰性反應」。這裡X=1、X=2、Y=1、Y=2都是其發生有一定機率的事件。

如果我們想要檢視X和Y之間的關係，可以繪製出下列交叉表：

我們先從概念開始介紹。表一所陳列的Y跟X聯合起來所有可能的結果可以用 {(1,1), (1,2), …, (i,j), …, (I,J)} 這個集合來表示，這就是Y跟X聯合起來的「樣本空間」，它一共有IxJ個可能結果。每一個結果所對應的機率是Y跟X的聯合機率，也就是屬於Y的事件Y=i和屬於X的事件X=j聯合發生的機率，數學表示為Pr(Y=i,X=j)=π_ij。例如π₁₁就是Y=1和X=1這兩個事件都發生的機率，π₁₂則是Y=1和X=2這兩個事件都發生的機率，以此類推。如果我們把所有可能結果的機率加總，從π₁₁加到π_IJ，總和必須是1。

邊際機率則是屬於Y或X的單一事件發生的機率。表一中，Y的樣本空間是 {1, 2, …, i, …, I}；屬於Y的事件發生的邊際機率用Pr(Y=i)=π_i.表示。X的樣本空間是 {1, 2, …, j, …, J}；屬於X的事件發生的邊際機率用Pr(X=j)=π_.j表示。例如π１．就是Y=1這個事件發生的機率，π_.2則是X=2這個事件發生的機率，以此類推。Y或X所有邊際機率的總和也必須是1。在表一裡，我們以行或列的總和來計算邊際機率。邊際機率其實就是單一變數的機率分配，之所以稱為邊際機率指是因為我們從表一的雙變數聯合機率分配的脈絡出發，導出單一變數分配的緣故。

最後，條件機率是在屬於X的事件已經發生的前提之下，屬於Y的事件發生的機率，或是在屬於Y的事件已經發生的前提之下，屬於X的事件發生的機率。例如Pr(Y=i|X=j)是在X=j這個事件已經發生的前提下，Y=i這個事件發生的機率；而Pr(X=j|Y=i)是在Y=i這個事件已經發生的前提下，X=j這個事件發生的機率。

條件機率的樣本空間只是聯合機率樣本空間的一部份。在表一中，Y跟X聯合起來的樣本空間一共有IxJ個可能結果。但當我們以X=j這個事件已經發生為前提時，Y這個變數的樣本空間就被侷限在 {(1,j), (2,j), …, (i,j), …, (I,j)} 這I個結果的範圍裡。同樣的，當我們以Y= i這個事件已經發生為前提時，X這個變數的樣本空間就被侷限在 {(i,1), (i,2), …, (i,j), … (i,J)} 這J個結果的範圍裡。因為樣本空間改變，機率也會有所不同。其計算如下：

這也就是說，條件機率等於聯合機率除以條件變數的邊際機率。反過來講，聯合機率等於條件機率乘以條件變數的邊際機率，如下式所示：

此公式稱為機率的乘法法則（Multiplication Rule），這個法則對於理解貝式定理至關重要。

前述提及條件機率有兩種，分別為Pr(Y=i|X=j)以及Pr(X=j|Y=i)，差別僅在於是以X變數的特定事件為給定前提，還是以Y變數的特定事件為給定前提。表一中，因為X是「行」（column，台灣稱「行」，中國大陸稱「列」）的變數，我們把以X變數特定事件為給定前提的條件機率稱之為「行的條件機率」（column conditional probability）；如果是以Y變數特定事件為給定前提的條件機率，因為Y是「列」（row，台灣稱「列」，中國大陸稱「行」）的變數，我們稱之為「列的條件機率」（row conditional probability）。

Pr(Y=i|X=j)以及Pr(X=j|Y=i)這兩個機率，我們可以說它們互為「反機率」（inverse probability）。我們以X和Y分別只有兩個值為例，以表二和表三加以說明：

貝式定理算什麼？怎麼算？

接下來要進入本文的主題了，究竟貝式定理是什麼，怎麼算？

說穿了，貝式定理就是將行的條件機率轉變成列的條件機率，或是將列的條件機率轉變成行的條件機率。貝式定理公式看似複雜，背後邏輯其實相當簡單，它就是一個將「給定 X 事件已發生的前提下，Y 事件發生的條件機率」轉變成「給定 Y 事件已發生的前提下，X 事件發生的條件機率」的過程而已。換句話說，貝氏定理就是在算反機率。

我們先用一個簡單但實用的例子來說明這個觀念。這個例子出自「看電影學統計： p值的陷阱」一文：

美國職棒大聯盟（Major League Baseball）抽查球員是否使用禁藥 PED（performance enhancing drugs），結果某明星球員藥檢測出有陽性反應。——我們要問的是：這位明星球員其實是清白的機率是多少？

要算這個機率, 我們必須要有球員是否使用 PED 的先驗機率，也就是在還未對球員實施藥檢之前，我們必須先對他是否使用 PED 的機率有一個初步估計。這個估計可能相當主觀，但也未嘗不能用客觀的數據加以估計，比如之前抽檢的結果。另外，我們還必須知道藥檢的準確率，也就是球員真有使用 PED 時藥檢結果呈現陽性的機率，和球員沒有使用 PED 時藥檢結果呈現陰性的機率。

假設我們擁有的這兩項資訊如下：

1. 根據以前的藥檢結果，我們合理估計大約有 6% 大聯盟球員有使用 PED。
2. 藥檢的準確率為 0.95：如果球員真的使用了 PED，藥檢結果呈現陽性的機率是 0.95；而如果球員沒有使用 PED，藥檢結果呈現陰性的機率也是 0.95。(這兩個機率不必一樣。)

第一項資訊提供了貝氏定理所需要的先驗機率，也就是在明星球員還沒實施藥檢前，我們對他是否使用 PED 最好的猜測只能是 0.06的機率有使用，0.94 的機率沒使用。第二項資訊告訴我們大聯盟的藥檢的「偽陽性」（false positive）機率──球員並未使用 PED但藥檢結果呈陽性反應的機率──是 0.05，「偽陰性」（false negative）機率—球員有使用 PED 但藥檢結果呈陰性反應的機率──也是0.05。

如果我們的明星球員藥檢呈陽性反應，我們可能會認為藥檢結果錯誤的機率只有 0.05。但這是沒有考慮先驗機率的想法，我們這樣想就是犯了「基率謬誤」。要考量先驗機率，必須要使用貝氏定理來算後驗機率，也就是要算出「偽陽性的反機率」。

我們用 Y 來代表「藥檢結果是陽性還是陰性」的隨機變數；Y=1 代表藥檢結果呈陽性反應，Y=2 代表藥檢結果呈陰性反應。我們再用X來代表「球員有沒有使用PED」的隨機變數；X=1代表沒有使用，X=2代表有使用。這樣定義之後，我們可以看出：先驗機率是X的邊際機率Pr(X=1)=0.94，Pr(X=2)=0.06。藥檢的準確率和偽陽性、偽陰性機率都是行的條件機率：Pr(Y=1|X=1)=0.05，Pr(Y=2|X=1)=0.95，Pr(Y=1|X=2)=0.95，Pr(Y=2|X=2)=0.05。我們將這些數據放到表二之中可以得到下列表四：

前面說過貝式定理就是將行的條件機率轉變成列的條件機率，或是將列的條件機率轉變成行的條件機率。現在我們已經有行的條件機率了，那麼怎麼求列的條件機率呢？首先我們必須先要算出Y跟X的聯合機率和Y的邊際機率。算聯合機率必須使用機率的乘法法則

也就是把行的條件機率跟X的邊際機率相乘。就是在這裡，我們必須要用到X的先驗機率！聯合機率算出來之後，把各列的聯合機率加總就得到Y的邊際機率：

有了聯合機率跟Y的邊際機率，我們就可以輕易計算列的條件機率了：

事實上，如果我們只是要算「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」，我們只要算左上角 Pr(X=1|Y=1) 這個機率就夠了：

所以答案是「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」不是0.05而是0.452。這個機率相當高！當然，在此例子之中用的藥檢準確率只是假設的數值，然而這結果也顯示即使藥檢準確率看似不低，實際上會冤枉好人的機率超乎我們的想像。其實，即使藥檢的準確率高達 99%，「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」仍然高達0.137；偽陽性的反機率比偽陽性的機率仍然高很多。讀者可以嘗試用這裡介紹的步驟算出這個數值。

以下我們提供第二個例子：用貝氏定理來求解有名的「蒙提霍爾」電視遊戲問題。

蒙提霍爾問題：三扇門選一，贏得汽車大獎

這是美國電視台一個相當有名的電視遊戲，相信不少讀者都已聽過，我們在此簡單介紹一下。這個遊戲一開始，主持人（Monty Hall）給妳看三道門。他告訴妳：

三道門中，有一道門後面有一輛汽車，另外兩道門後面各有一隻山羊。

Monty 要妳挑選一道門，但先不要打開。妳挑定了一道門之後，Monty 打開另外兩道門之一，顯示門後有一隻山羊。這時 Monty 問妳要維持本來選定的門，還是要換選那一道沒開的門。如果妳選到藏有汽車的那道門，便可贏得汽車，否則便贏到山羊。（如果想看更詳細的遊戲說明，可參考維基百科的蒙提霍爾問題條目）。

這個遊戲的答案是要換，理由很簡單，並不需要用貝氏定理來算。因為參賽者原來隨機選擇的門可以猜中汽車的機率是 1/3，那麼汽車在另兩個門其中之一後面的機率就是 2/3，然而現在 Monty 開了兩個門其中之一，其後並無汽車，那麼這 2/3 的機率便完全屬於另一道門了！參賽者如果換門，抽中汽車的機率將加倍！

雖然如此，當號稱全世界 IQ 最高的專欄作家 Marilyn vos Savant 這樣解釋時，很多讀者不相信。包括數學教授在內的眾多讀者都批評她，說她錯了。這些讀者認為還未開的兩道門可以猜中汽車的機率應該一樣，換門並沒有用。

因為這個問題相當有趣，而且比上例要複雜些，這裡我們用它來幫助我們學習貝氏定理。在此例子之中有兩個變數：汽車的位置和主持人開啟的門，兩個變數各自有三種可能結果：1號、2號以及3號門，交叉相乘可以有九種可能的事件組合。

我們假設參賽者一開始猜選的門為 1號門（在下表中用【1】表示），接著主持人要開啟 2號或 3號門之中後面藏有山羊的那一道門。此時我們必須要知道：

1. 按照規則，在參賽者選了 1號門之後，主持人就不能開啟 1號門，不論 1號門後面是山羊或汽車都是如此；
2. 哪一號門會被主持人開啟？這事件的機率皆為條件機率，因為主持人是在已知汽車是在哪一道門後面的前提下做出的選擇；
3. 主持人理所當然不會開啟後面有汽車的那道門。我們以M代表主持人做出的選擇。

如果汽車就在 1號門後面，那 2號和 3號門後面皆為山羊，因此在參賽者猜了 1號門的情況下，主持人可從 2號及 3號門之中隨機選一道門開啟，因此 Pr(M=2|C=1) 與 Pr(M=3|C=1) 條件機率皆為 1/2。如果汽車在 2號門後面而參賽者猜了 1號門，主持人在不能開啟 1號門和 2號門的情況下只能開啟3號門，因此 Pr(M=3|C=2)=1，此規則也適用在汽車在 3號門後面的情況。當然，參賽者只能看到主持人開了什麼門，根本不知道主持人葫蘆裡賣什麼藥。

據此，我們可以填出表七的先驗機率及條件機率並以之求得表八的聯合機率：

接下來就是直接求列的條件機率了：

這個表第二列的詮釋如下：假設主持人開啟了 2號門，則門後是汽車的機率為 0（按照規則），而參賽者維持 1號門和改變主意改選 3號門這兩種策略抽中汽車的機率分別是 1/3和 2/3。這兩個機率是「在已知主持人開啟2號門的給定前提之下，汽車在 1號或 3號門後面」的列的條件機率，在已知所有聯合機率的情況下，我們可以用條件機率的定義輕易算得：

這就是為何參賽者更改選擇至 3號門抽中汽車的機率（2/3）會比維持原初1號門猜測而抽中汽車的機率（1/3）還要高的由來。有興趣的讀者不妨試算「在主持人開啟 3號門的前提下」的條件機率，會發現結果仍是一致的：更換選擇抽中汽車的機率仍是 2/3，不更換抽中汽車的機率仍是 1/3。

正是因為一開始參賽者猜對的機率是 1/3、猜錯的機率是 2/3，致使主持人開啟一道後面是山羊的門的時候，如果參賽者換選僅剩的那道門會有 2/3 的機率猜對。貝式定理以數學方式釐清了這一點。

貝式定理，就在你的生活中

貝式定理在統計學的應用越見廣泛，也讓許多學生以為貝式定理只有跟「貝式統計推論」（Bayesian statistical inference）相關，沒用到貝式統計分析就不需要學會。其實貝式定理在生活之中是很有用的，本文以淺顯的方式介紹貝式定理的邏輯和計算方法，不僅期望讀者在學貝氏定理時確實理解那些複雜公式的由來，也希望讀者將貝式定理的邏輯思維運用到日常生活之中。要學會貝氏定理才能避免「基率謬誤」，正確地用新事件的資訊來更新我們原所信仰的先驗機率。

• 本文轉載自作者部落格，原文為《貝氏定理在生活中很有用，可是它到底怎麼算？》