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數算日子的智慧:貝氏統計學家的婚姻難題

tml_96
・2019/10/29 ・3154字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

Dear Abby 是 1956 年開始發行、流傳甚廣的美國顧問專欄,起初的作者 Pauline Phillips 已在 2013 年過世,現由她女兒繼續以同名執筆經營。Dear Abby 經常為讀者提供諮商,為他們解決各種疑難雜症。下面這封讀者來函曾被列入統計學教科書裡,我也常用來作為基本統計學的教材。

「Dear Abby:

妳在專欄寫過女人懷胎266天。這是誰說的?我懷我的寶貝懷了 10 個月又 5 天 (310天)。這一點都不容置疑,因為我知道寶貝是哪天開始懷的。我老公在海軍服役,上次我們只見面一個鐘頭,而且之後就一直到生產前一天再見面,因此寶貝一定是在那個時候懷的。我不喝酒也沒亂劈腿,寶貝不可能不是老公的,請務必修正女人懷胎 266 天的說法,否則我的麻煩大了。

聖地牙哥讀者。」

我把這個材料給學生看,然後引用醫學知識,說受孕至生產時間呈常態分配,其平均數為 266 天、標準差為 16 天,要他們計算女人懷胎最少 310 天的機率,他們算出答案為 0.003 時,都發出會心的微笑。

現在我把這題目略改如下:

某貝氏統計學家與老婆婚姻生活一向平靜無波。某年元旦,兩人慶祝新年,決定生產報國,嗣後依然恢復平靜無波的生活。該年 11 月 7 日,老婆產下一女。

老公是一位統計學家,善於數算,老婆生產後,他推算如果此女確為從他所出,則老婆懷孕時間長達 310 天。根據醫學知識,一般婦女懷孕時間呈常態分配,其平均數為 266 天,標準差為 16 天。老公推算懷胎至少 310 天的機率是 0.003。

統計學家看著剛出生的女兒,再推算老婆的孕期,覺得越想越不對勁。圖/mil

統計學家老公算出這個機率後,不禁眉頭一皺。他想:0.003是小機率事件,比統計推論的顯著水平0.05還小很多,怎麼就發生在自己家裡?此機率是由老婆受孕日期在 1 月 1 日的假設推算出來,因機率甚小,依「以否定後件來否定前件」(modus tollens)的命題邏輯,不能接受這個假設,然則難道自己戴綠帽了!當下咬牙切齒,拍桌大罵老婆。

不過老公畢竟有些學問,他再仔細一想:0.003 的機率雖然小,但若樣本夠大,這麼小的機率也會發生在很多人身上。以台灣每年大約有 20 萬新生兒來說,假設大多數為單胞胎自然生產,則每年約有 600 個媽媽懷孕時間會長達 310 天或更久。

大樂透每注中頭獎的機率 0.00000007 比 0.003 要小很多,而經常都有人中獎。相較之下,老婆中到 0.003 機率的大獎,也沒什麼好奇怪的啊。統計學家老公想到這裡,不禁笑開了嘴:這寶貝女兒,說不定還會給自己帶來財運呢。立馬到彩券行買了十張樂透。

難道要當成中到0.003機率的大獎。圖/pixabay

第二天樂透開獎,十張全部槓龜,統計學家老公又懊惱起來了。他想:雖然說經常都有人中樂透,偏偏自己從來沒中過,連每期對幾十張統一發票都難得中到 200 元的小獎,哪有說這 0.003 機率的事件就輪到我?畢竟「個人中獎」和「有人中獎」是不同的事件,不能一概而論。那怎麼辦呢?究竟我該不該相信老婆?還是乾脆去查驗 DNA 算了?

貝氏統計學家老公靈光一閃,發現自己面臨的難題其實並沒有那麼簡單,而應該用貝式定理來推算。他這樣想:0.003 是在老婆未出軌的假設下計算的,因此它是一個條件機率

Pr(產期≥11/7|受孕期=1/1)= 0.003

但對一個貝氏統計學家而言,更該問的問題其實是:既然小孩是在 11 月 7 日出生,那老婆未出軌的機率為何?換句話說,更重要的機率應該是上面那個機率的反機率

Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=?

這就是老婆未出軌的後驗機率。以貝氏統計學家的專長,老公知道要算這個後驗機率需要考慮兩個變數:

  1. 老婆在 1 月 1 日之後,是否有出軌受孕的機會?假設真正的受孕期是 1 月 1 日之後的第X天。X=0 代表老婆沒出軌,受孕期真的是 1 月 1 日;X>0代表老婆在 1 月 1 日後出軌才受孕。
  2. 自己一向對老婆有多少信心?依自己的主觀判斷,老婆未出軌,即 X=0 的機率有多少?假設 X=0 的機率為Y,X>0的機率為 1-Y,則 Y 越接近 1 信心越高,越接近0信心越低。Y是X=0的邊際機率,1-Y是X>0的邊際機率。這邊際機率也就是貝氏定理所謂的先驗機率

另外,如果我們以D來代表懷孕時間,則不論受孕期X是哪天,小孩在11月7日出生時,D都等於310-X。我們以D<310-X代表產期在11月7日之前,D≥310-X代表產期在11月7日這天或這天之後。

統計學家暗忖,只要知道孕期、出生日,就有機會推算出可能受孕日。圖/freestockphotos

D≥310-X 的機率顯然與X有關,我們用p(X)來代表此一條件機率:p(X)=Pr(D≥310-X|X)。因為懷孕時間呈常態分配:D~N(266,162),我們可以導出:

\(p\left ( X \right )= Pr\left ( D\geq 310- X|X \right )= \frac{1}{2}Erf\left ( \frac{44-X}{16 \sqrt{2}} \right )\)

這裡Erf()是誤差函數;當 X=0時,p(0)=0.003。考慮這些變數後,我們可以用下列矩陣來呈現這個貝氏定理問題:

「行」的條件機率老婆 1/1後未出軌:X=0
(受孕期=1/1)
老婆 1/1 後出軌:X>0
(受孕期=1/1 後第X天)
D<310-X(產期<11/7)1-p(0)1-p(X)
D310-X(產期≧11/7)p(0)p(X)
「行」的邊際機率Y1-Y

關於貝氏定理的算法,請參考我寫的《會算「貝氏定理」的人生是彩色的!該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢?》。老公要求的後驗機率是:Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=Pr(X=0| D≥310-X)。

要求這個機率,首先必須把上表中「行」的條件機率轉化成聯合機率。這個只要記得「聯合機率等於條件機率乘以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出如下:

聯合機率老婆 1/1後未出軌:X=0
(受孕期=1/1)
老婆 1/1 後出軌:X>0
(受孕期=1/1 後第X天)
D<310-X(產期<11/7)Y(1-p(0))(1-Y)(1-p(X))
D310-X(產期≧11/7)Y(p(0))(1-Y)(p(X))
「行」的邊際機率Y1-Y

算出聯合機率之後,再用「條件機率等於聯合機率除以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出所要求的「列」的條件機率

Pr(受孕期 =1/1 │產期≧11/7)\(=Pr\left ( X=0 | D\geq 310-X\right )\) \(= \frac{Y p(0)}{Y p(0)+(1-Y)p(X)}\)

把前面算出 p(0) 和 p(X) 套入上式之後,我們可以看到後驗機率 Pr(X=0|D≥310-X) 是X和Y的函數,為了更容易分析這函數,我們先把 Y值固定,再看它如何隨 X值變化。

首先,假設老公對老婆只有Y=0.5的信心,則後驗機率的函數圖形如下:

這個圖顯示如果老公本來就對老婆疑信參半,則當老婆在1月1日之後的一個半月之內有出軌的機會時,老公對老婆的信心會隨著X的增加而急速下降。當出軌的機會X 增加到預產期(1月1日後第 X+266 天)越接近 11 月 7 日時,X>0 顯得越「正常」而 X=0 顯得越「不正常」, 因此老公的信心會越低,疑心越重。特別是當老婆在二月 (X>30) 有出軌的機會時,那意謂著 11 月 7 日正是預產期的一個標準差(16天)之內,老公的信心會降至幾乎為0。

其次,如果老公平常對老婆有極高的信心,例如 Y=0.99,則後驗機率的圖形為

這圖顯示如果老公平常對老婆有充分的信心,則這信心隨著 X 的增加會下降得比較緩慢。即使到二月初才有出軌機會,也就是預產期開始接近 11 月 7 日時,老公對老婆仍然維持著 0.6 以上的信心。甚至當 X=44,即預產期恰恰為 11 月 7 日時,老公的信心仍在 0.37 的水平。

雖然信心不至於完全崩潰,但畢竟也會隨著 X 的增加而減小。老公算出貝氏後驗機率後應該了解,310 天是超乎尋常的懷孕時間,除非本來對老婆就有百分之百的信心,否則信心一定會下降的。雖說這只是「信者恆信,不信者恆不信」的貝氏詮釋,但在這個案例,信者卻必須要完全相信才能恆信,而不信者只要心中有點疑竇,終究會不信。

貝氏統計學者數算到這裡,長嘆了一口氣:「還是去查驗DNA吧!」

本文轉載自作者部落格,原文標題:數算日子的智慧:貝氏統計學家的婚姻難題

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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。


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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題

再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘
  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \(\log\))有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。
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