數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

👉 更多研華Edge AI解決方案
👉 立即申請Server租借

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為$36 \div 42=85.7$%，而不下雨的機率為 6% ，占 $6 \div 42=14.3$ %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為$\frac{1}{7000}$ 。也就是說， 隨機選取一個人，有$\frac{1}{7000}$ 的機率患有這種疾病，有$\frac{6999}{7000}$ 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有$\frac{1}{10000}$ 的可能性被誤診為健康人，健康人也有$\frac{1}{10000}$ 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：$\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000}$ $=\frac{16998}{70000000}$
而患病且檢測出患病的機率為：$\frac{9999}{70000000}$

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：$\frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}$ $=\frac{9999}{16998}$ $\approx 58.8$%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 $\frac{1}{7000}$ ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：$\frac{58.794}{58.794+0.004}$$=99.99$ % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 $P(B_i|A)$

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：$P(B_i)P(A|B_i)$

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
$P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n)$

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

• 作者：林澤民、巫俊穎

對於許多上過統計課的學生而言，貝氏定理（Bayes Theorem）是又熟悉又陌生的。熟悉，是因為絕大多數的大學或研究所統計課堂都有教貝式定理；陌生，則是因為許多學生上完統計課之後，對於貝式定理仍然一知半解，甚至視為畏途。

根據我們的觀察，造成此現象的原因有二：首先，一般基本統計學教科書雖然會提到貝氏定理，但絕大多數的教科書仍然只涵蓋以P值檢定為基礎的傳統「次數統計推論」（frequentist statistical inference）。學生即使學了貝氏定理，也只把它當作一個數學公式，不知道它對學習統計學有什麼幫助，更不知道它具備生活實用性。其次，貝式定理的數學表示式難以背誦；即使一時背了，也容易忘記。

以下是教科書上常見的貝式定理定義：假定事件A和事件B發生的機率分別是 Pr(A) 和 Pr(B)，則在事件 B 已經發生的前提之下，事件 A 發生的機率是（其中「¬」在邏輯上為「非」的符號：「¬A」即「非A」）：

如果沒有充分理解機率運算的定義和法則，實在難以理解此公式背後的邏輯。許多學生因此強記上述公式以準備考試，只求能解題而不求理解；公式反而成為學習貝式定理的主要障礙。

本文的主要目的是要破除許多學生對於貝式定理「困難又不實用」的刻板印象。事實上，我們生活之中有許多情況必須要運用貝式定理的邏輯思考，否則便容易產生偏差甚至陷於謬誤。

被撞到的都是好人？讓貝氏定理算給你看看

舉例來說，每逢有人因車禍不幸橫死，當記者報導死者是孝子，我們常唏噓說為何橫死的都是好人？這樣的想法，其實犯了諾貝爾經濟學獎得主、心理學家 Daniel Kahneman 所說的「基率謬誤」（base rate fallacy）。簡單來說，就是沒有把「絕大多數人都是好人」這個「基率」——貝氏定理所謂的先驗機率（prior probability）——納入考量所致。因為絕大多數人都是好人，即使老天爺真的大致上賞善罰惡，橫死的人也會大多是好人，更不用說車禍應該跟善惡無關了。

比如我們假設每100人中只有1人（1%）是十惡不赦的「壞人」，其餘99人（99%）都是「好人」。再假設90%的壞人果然都遭車禍橫死，而只有10%的好人意外橫死。這樣老天算是有眼了，可是如果今天有人意外橫死，請問他是好人的機率多少呢？用貝氏定理可以算出Pr(好人|橫死)=0.92，也就是橫死的人中有92%會是「好人」，只有8%是壞人！這正是因為大部分人都是好人，出事的當然容易是好人，即使老天有眼也是一樣。

貝氏定理的原理就是在先驗機率的基礎上，納入新事件的資訊來更新先驗機率，這樣算出來的機率便叫做後驗機率（posterior probability）。以前述好人橫死的例子來說，先驗機率的分配是 Pr(好人)=0.99及Pr(壞人)=0.01。在無其他資訊的情況下，我們在街上隨機遇到一個人，此人為好人的機率是0.99。

但現在此人被車子撞死了，根據我們對老天有眼的假設（Pr(橫死|好人)=0.1 及 Pr(橫死|壞人)=0.9），好人不容易橫死，而此人橫死了，這新事件的資訊可以讓我們用貝氏定理來計算後驗機率 Pr(好人|橫死)=0.92，也就是此人為好人的機率變小。新事件的資訊改變了我們原來的估計，這就是所謂「貝氏更新」（Bayesian updating）。

如果我們沒有把先驗機率納入計算，我們很可能因為相信老天有眼，橫死的應該大多是壞人，就斷此人很可能是壞人。而若確定此人是好人，我們就唏噓不已，甚至怨罵老天。這兩種反應的人其實都犯了「基率謬誤」。當然，如果車禍跟人的好壞無關，也就是不論好人壞人橫死的機率都一樣，則有人橫死的新事件是不會更新我們對他是好人或壞人的基率的。

Kahneman在《快思慢想》一書中舉了一個也是跟車禍有關的「基率謬誤」的例子。某天夜晚城裡發生了一件車禍，肇事的車子逃逸，但有證人指認那是一輛藍色的計程車。城裡只有藍色、綠色兩種計程車；綠色車佔85%，藍色車僅佔15%。法庭檢驗證人在夜晚識別車色的能力，發現他識別正確的機率是80%，而識別錯誤的機率是20%。

當Kahneman做實驗問受測者肇事車輛為藍色的機率多少時，大部分人的答案是80%。這也是犯了「基率謬誤」的答案，也就是城裡「綠色車佔85%，藍色車佔15%」這個基率所包含的資訊被忽略了。如果把基率納入考量，貝氏定理給的答案是Pr(肇事車真為藍色|證人指認為藍色)=0.41，只有一般人想像中的一半！

現實生活中類似的例子很多：身體檢查某項檢驗得到陽性反應、職棒大聯盟球員沒通過藥檢、犯罪現場採得的DNA與調查局資料庫CODIS中某人的DNA相符、甚至統計上Ｐ值檢定得到顯著結果。這些情況中，如果我們不了解貝氏定理，我們很可能就會在機率估計上犯錯。那麼貝氏定理究竟要如何拿來計算正確的後驗機率呢？本文將用淺易的途徑來介紹貝氏定理的計算方法。

聯合機率、邊際機率以及條件機率三種必須認識的機率

欲瞭解貝式定理的邏輯，必須先瞭解三種不同的機率：聯合機率（joint probability）、邊際機率（marginal probability）以及條件機率（conditional probability）。

假設有兩個隨機變數（random variable）X和Y，變數X有1, 2, …, J共J個可能的值，而變數Y有1, 2, …, I共I個值。在此可以將變數的「值」視為前面提及的「事件」（event），舉例來說，X代表大聯盟球員有沒有使用禁藥，X=1代表「沒有使用」，X=2代表「有使用」；Y代表藥檢的結果，Y=1代表「陽性反應」，Y=2代表「陰性反應」。這裡X=1、X=2、Y=1、Y=2都是其發生有一定機率的事件。

如果我們想要檢視X和Y之間的關係，可以繪製出下列交叉表：

我們先從概念開始介紹。表一所陳列的Y跟X聯合起來所有可能的結果可以用 {(1,1), (1,2), …, (i,j), …, (I,J)} 這個集合來表示，這就是Y跟X聯合起來的「樣本空間」，它一共有IxJ個可能結果。每一個結果所對應的機率是Y跟X的聯合機率，也就是屬於Y的事件Y=i和屬於X的事件X=j聯合發生的機率，數學表示為Pr(Y=i,X=j)=π_ij。例如π₁₁就是Y=1和X=1這兩個事件都發生的機率，π₁₂則是Y=1和X=2這兩個事件都發生的機率，以此類推。如果我們把所有可能結果的機率加總，從π₁₁加到π_IJ，總和必須是1。

邊際機率則是屬於Y或X的單一事件發生的機率。表一中，Y的樣本空間是 {1, 2, …, i, …, I}；屬於Y的事件發生的邊際機率用Pr(Y=i)=π_i.表示。X的樣本空間是 {1, 2, …, j, …, J}；屬於X的事件發生的邊際機率用Pr(X=j)=π_.j表示。例如π１．就是Y=1這個事件發生的機率，π_.2則是X=2這個事件發生的機率，以此類推。Y或X所有邊際機率的總和也必須是1。在表一裡，我們以行或列的總和來計算邊際機率。邊際機率其實就是單一變數的機率分配，之所以稱為邊際機率指是因為我們從表一的雙變數聯合機率分配的脈絡出發，導出單一變數分配的緣故。

最後，條件機率是在屬於X的事件已經發生的前提之下，屬於Y的事件發生的機率，或是在屬於Y的事件已經發生的前提之下，屬於X的事件發生的機率。例如Pr(Y=i|X=j)是在X=j這個事件已經發生的前提下，Y=i這個事件發生的機率；而Pr(X=j|Y=i)是在Y=i這個事件已經發生的前提下，X=j這個事件發生的機率。

條件機率的樣本空間只是聯合機率樣本空間的一部份。在表一中，Y跟X聯合起來的樣本空間一共有IxJ個可能結果。但當我們以X=j這個事件已經發生為前提時，Y這個變數的樣本空間就被侷限在 {(1,j), (2,j), …, (i,j), …, (I,j)} 這I個結果的範圍裡。同樣的，當我們以Y= i這個事件已經發生為前提時，X這個變數的樣本空間就被侷限在 {(i,1), (i,2), …, (i,j), … (i,J)} 這J個結果的範圍裡。因為樣本空間改變，機率也會有所不同。其計算如下：

這也就是說，條件機率等於聯合機率除以條件變數的邊際機率。反過來講，聯合機率等於條件機率乘以條件變數的邊際機率，如下式所示：

此公式稱為機率的乘法法則（Multiplication Rule），這個法則對於理解貝式定理至關重要。

前述提及條件機率有兩種，分別為Pr(Y=i|X=j)以及Pr(X=j|Y=i)，差別僅在於是以X變數的特定事件為給定前提，還是以Y變數的特定事件為給定前提。表一中，因為X是「行」（column，台灣稱「行」，中國大陸稱「列」）的變數，我們把以X變數特定事件為給定前提的條件機率稱之為「行的條件機率」（column conditional probability）；如果是以Y變數特定事件為給定前提的條件機率，因為Y是「列」（row，台灣稱「列」，中國大陸稱「行」）的變數，我們稱之為「列的條件機率」（row conditional probability）。

Pr(Y=i|X=j)以及Pr(X=j|Y=i)這兩個機率，我們可以說它們互為「反機率」（inverse probability）。我們以X和Y分別只有兩個值為例，以表二和表三加以說明：

貝式定理算什麼？怎麼算？

接下來要進入本文的主題了，究竟貝式定理是什麼，怎麼算？

說穿了，貝式定理就是將行的條件機率轉變成列的條件機率，或是將列的條件機率轉變成行的條件機率。貝式定理公式看似複雜，背後邏輯其實相當簡單，它就是一個將「給定 X 事件已發生的前提下，Y 事件發生的條件機率」轉變成「給定 Y 事件已發生的前提下，X 事件發生的條件機率」的過程而已。換句話說，貝氏定理就是在算反機率。

我們先用一個簡單但實用的例子來說明這個觀念。這個例子出自「看電影學統計： p值的陷阱」一文：

美國職棒大聯盟（Major League Baseball）抽查球員是否使用禁藥 PED（performance enhancing drugs），結果某明星球員藥檢測出有陽性反應。——我們要問的是：這位明星球員其實是清白的機率是多少？

要算這個機率, 我們必須要有球員是否使用 PED 的先驗機率，也就是在還未對球員實施藥檢之前，我們必須先對他是否使用 PED 的機率有一個初步估計。這個估計可能相當主觀，但也未嘗不能用客觀的數據加以估計，比如之前抽檢的結果。另外，我們還必須知道藥檢的準確率，也就是球員真有使用 PED 時藥檢結果呈現陽性的機率，和球員沒有使用 PED 時藥檢結果呈現陰性的機率。

假設我們擁有的這兩項資訊如下：

1. 根據以前的藥檢結果，我們合理估計大約有 6% 大聯盟球員有使用 PED。
2. 藥檢的準確率為 0.95：如果球員真的使用了 PED，藥檢結果呈現陽性的機率是 0.95；而如果球員沒有使用 PED，藥檢結果呈現陰性的機率也是 0.95。(這兩個機率不必一樣。)

第一項資訊提供了貝氏定理所需要的先驗機率，也就是在明星球員還沒實施藥檢前，我們對他是否使用 PED 最好的猜測只能是 0.06的機率有使用，0.94 的機率沒使用。第二項資訊告訴我們大聯盟的藥檢的「偽陽性」（false positive）機率──球員並未使用 PED但藥檢結果呈陽性反應的機率──是 0.05，「偽陰性」（false negative）機率—球員有使用 PED 但藥檢結果呈陰性反應的機率──也是0.05。

如果我們的明星球員藥檢呈陽性反應，我們可能會認為藥檢結果錯誤的機率只有 0.05。但這是沒有考慮先驗機率的想法，我們這樣想就是犯了「基率謬誤」。要考量先驗機率，必須要使用貝氏定理來算後驗機率，也就是要算出「偽陽性的反機率」。

我們用 Y 來代表「藥檢結果是陽性還是陰性」的隨機變數；Y=1 代表藥檢結果呈陽性反應，Y=2 代表藥檢結果呈陰性反應。我們再用X來代表「球員有沒有使用PED」的隨機變數；X=1代表沒有使用，X=2代表有使用。這樣定義之後，我們可以看出：先驗機率是X的邊際機率Pr(X=1)=0.94，Pr(X=2)=0.06。藥檢的準確率和偽陽性、偽陰性機率都是行的條件機率：Pr(Y=1|X=1)=0.05，Pr(Y=2|X=1)=0.95，Pr(Y=1|X=2)=0.95，Pr(Y=2|X=2)=0.05。我們將這些數據放到表二之中可以得到下列表四：

前面說過貝式定理就是將行的條件機率轉變成列的條件機率，或是將列的條件機率轉變成行的條件機率。現在我們已經有行的條件機率了，那麼怎麼求列的條件機率呢？首先我們必須先要算出Y跟X的聯合機率和Y的邊際機率。算聯合機率必須使用機率的乘法法則

也就是把行的條件機率跟X的邊際機率相乘。就是在這裡，我們必須要用到X的先驗機率！聯合機率算出來之後，把各列的聯合機率加總就得到Y的邊際機率：

有了聯合機率跟Y的邊際機率，我們就可以輕易計算列的條件機率了：

事實上，如果我們只是要算「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」，我們只要算左上角 Pr(X=1|Y=1) 這個機率就夠了：

所以答案是「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」不是0.05而是0.452。這個機率相當高！當然，在此例子之中用的藥檢準確率只是假設的數值，然而這結果也顯示即使藥檢準確率看似不低，實際上會冤枉好人的機率超乎我們的想像。其實，即使藥檢的準確率高達 99%，「藥檢結果是陽性而實際上球員是清白的機率」仍然高達0.137；偽陽性的反機率比偽陽性的機率仍然高很多。讀者可以嘗試用這裡介紹的步驟算出這個數值。

以下我們提供第二個例子：用貝氏定理來求解有名的「蒙提霍爾」電視遊戲問題。

蒙提霍爾問題：三扇門選一，贏得汽車大獎

這是美國電視台一個相當有名的電視遊戲，相信不少讀者都已聽過，我們在此簡單介紹一下。這個遊戲一開始，主持人（Monty Hall）給妳看三道門。他告訴妳：

三道門中，有一道門後面有一輛汽車，另外兩道門後面各有一隻山羊。

Monty 要妳挑選一道門，但先不要打開。妳挑定了一道門之後，Monty 打開另外兩道門之一，顯示門後有一隻山羊。這時 Monty 問妳要維持本來選定的門，還是要換選那一道沒開的門。如果妳選到藏有汽車的那道門，便可贏得汽車，否則便贏到山羊。（如果想看更詳細的遊戲說明，可參考維基百科的蒙提霍爾問題條目）。

這個遊戲的答案是要換，理由很簡單，並不需要用貝氏定理來算。因為參賽者原來隨機選擇的門可以猜中汽車的機率是 1/3，那麼汽車在另兩個門其中之一後面的機率就是 2/3，然而現在 Monty 開了兩個門其中之一，其後並無汽車，那麼這 2/3 的機率便完全屬於另一道門了！參賽者如果換門，抽中汽車的機率將加倍！

雖然如此，當號稱全世界 IQ 最高的專欄作家 Marilyn vos Savant 這樣解釋時，很多讀者不相信。包括數學教授在內的眾多讀者都批評她，說她錯了。這些讀者認為還未開的兩道門可以猜中汽車的機率應該一樣，換門並沒有用。

因為這個問題相當有趣，而且比上例要複雜些，這裡我們用它來幫助我們學習貝氏定理。在此例子之中有兩個變數：汽車的位置和主持人開啟的門，兩個變數各自有三種可能結果：1號、2號以及3號門，交叉相乘可以有九種可能的事件組合。

我們假設參賽者一開始猜選的門為 1號門（在下表中用【1】表示），接著主持人要開啟 2號或 3號門之中後面藏有山羊的那一道門。此時我們必須要知道：

1. 按照規則，在參賽者選了 1號門之後，主持人就不能開啟 1號門，不論 1號門後面是山羊或汽車都是如此；
2. 哪一號門會被主持人開啟？這事件的機率皆為條件機率，因為主持人是在已知汽車是在哪一道門後面的前提下做出的選擇；
3. 主持人理所當然不會開啟後面有汽車的那道門。我們以M代表主持人做出的選擇。

如果汽車就在 1號門後面，那 2號和 3號門後面皆為山羊，因此在參賽者猜了 1號門的情況下，主持人可從 2號及 3號門之中隨機選一道門開啟，因此 Pr(M=2|C=1) 與 Pr(M=3|C=1) 條件機率皆為 1/2。如果汽車在 2號門後面而參賽者猜了 1號門，主持人在不能開啟 1號門和 2號門的情況下只能開啟3號門，因此 Pr(M=3|C=2)=1，此規則也適用在汽車在 3號門後面的情況。當然，參賽者只能看到主持人開了什麼門，根本不知道主持人葫蘆裡賣什麼藥。

據此，我們可以填出表七的先驗機率及條件機率並以之求得表八的聯合機率：

接下來就是直接求列的條件機率了：

這個表第二列的詮釋如下：假設主持人開啟了 2號門，則門後是汽車的機率為 0（按照規則），而參賽者維持 1號門和改變主意改選 3號門這兩種策略抽中汽車的機率分別是 1/3和 2/3。這兩個機率是「在已知主持人開啟2號門的給定前提之下，汽車在 1號或 3號門後面」的列的條件機率，在已知所有聯合機率的情況下，我們可以用條件機率的定義輕易算得：

這就是為何參賽者更改選擇至 3號門抽中汽車的機率（2/3）會比維持原初1號門猜測而抽中汽車的機率（1/3）還要高的由來。有興趣的讀者不妨試算「在主持人開啟 3號門的前提下」的條件機率，會發現結果仍是一致的：更換選擇抽中汽車的機率仍是 2/3，不更換抽中汽車的機率仍是 1/3。

正是因為一開始參賽者猜對的機率是 1/3、猜錯的機率是 2/3，致使主持人開啟一道後面是山羊的門的時候，如果參賽者換選僅剩的那道門會有 2/3 的機率猜對。貝式定理以數學方式釐清了這一點。

貝式定理，就在你的生活中

貝式定理在統計學的應用越見廣泛，也讓許多學生以為貝式定理只有跟「貝式統計推論」（Bayesian statistical inference）相關，沒用到貝式統計分析就不需要學會。其實貝式定理在生活之中是很有用的，本文以淺顯的方式介紹貝式定理的邏輯和計算方法，不僅期望讀者在學貝氏定理時確實理解那些複雜公式的由來，也希望讀者將貝式定理的邏輯思維運用到日常生活之中。要學會貝氏定理才能避免「基率謬誤」，正確地用新事件的資訊來更新我們原所信仰的先驗機率。

• 本文轉載自作者部落格，原文為《貝氏定理在生活中很有用，可是它到底怎麼算？》