【科學話猴年】什麼都有可能發生？無限猴子定理

F 編按：本文編譯自 Live Science

想像有一群猴子，各自拿著打字機或電腦鍵盤，隨機敲擊鍵盤上的字符。若猴子數量無窮大、時間也無限長，牠們最終能否打出《哈姆雷特》或《羅密歐與茱麗葉》所有文本？這個乍聽荒謬的問題，正是「無限猴子定理」（Infinite Monkey Theorem）所探討的核心。無限猴子定理誕生於 20 世紀初，至今已被視為一則展示機率和隨機性的幽默譬喻。它強調的是：在「無限」的前提下，哪怕事件本身概率微乎其微，也終有可能實現。但若將「無限」抽離，狀況就大幅改觀。

無限猴子定理的起源：是數學巧思還是玩笑話？

無限猴子定理最早可追溯至法國數學家埃米爾·博雷爾（Émile Borel）在 1913 年的著作。他假設若有無限多隻猴子，分別隨機敲擊打字機上字母的鍵盤，那麼理論上能產生所有已經寫下或尚未誕生的文本——從簡單的「banana」字串到複雜的《哈姆雷特》、《馬克白》等莎劇。此「定理」之所以著名，在於它鮮明地說明了在「無限」長度的時間／試驗數中，任何不可能事件皆可能變得「可能」，甚至機率可達 100%。

然而，博雷爾在提出時，也暗示這只是一個數學論證，用來說明「幾近不可能事件」和「無窮大」的辯證關係。後人紛紛加以演繹，結合機率論與字母組合概念，強調這種理論上的結果不意味實際世界能夠成真；它比較像是一場「思想實驗」，或令人莞爾的理論示範。

實猴子 vs. 理論猴子：有限生命與不可預測行為

「若給一隻猴子足夠時間，牠能打出莎士比亞全集。」這句話聽起來驚世駭俗，但真正挑戰並不在於「敲出哪個字」。關鍵是，如果缺乏「無限時間」，任何一隻猴子在有限壽命裡，幾乎無法輸出任何可讀句子。澳洲悉尼科技大學數學家史蒂芬·伍德科克（Stephen Woodcock）便在相關研究中，做了現實條件下的機率估算：

• 以黑猩猩當模擬對象，因牠們與人類關係相近，體型與智力也更易想像。
• 設定：黑猩猩可用一台打字機，每秒都敲一次鍵。
• 理論上，若要輸出一個八字母詞彙（如 “banana”），黑猩猩在 30 年內碰巧完成的機率僅約 5%。
• 更別提複雜的句子，機率下降至 10-20 以下，幾乎趨近於零。

伍德科克的研究認為，即便地球所有黑猩猩都在不斷敲擊鍵盤，倘若只給定數十億年的宇宙壽命，仍難以看到「完整抄出莎士比亞某部劇作」的奇蹟。只有在真正意義上的「無限猴子、無限時間」裡，才可說這件事「必然」成真。

為何「無限」只是理論

「無限猴子定理」的核心基礎在「無限」。然而，現實宇宙是有限的：從已知的膨脹速度、暗能量演化、最終熱寂（Heat Death）的走向來看，科學家推估宇宙壽命遠遠達不到真正的「無限」。無論如何，宇宙總有盡頭——能供養猴子族群繁衍與敲字的條件更是隨著時間劇烈下降。因此，哪怕猴子數量再龐大，實際上都無法達成理論中的「無限次嘗試」。

在數學上，小概率事件若能重複嘗試足夠多次，便能「接近確定會發生」。不過，現實環境提供的試驗次數並非真正無窮。因此，本理論更像是用來解釋「僅憑隨機過程，最終可產生任何結構」的純粹數學概念，並不是真正能期待在有生之年或宇宙壽命中目睹它發生。

歷史上的「猴子打字機實驗」

為了更生動地理解此定理，英國藝術團隊曾在 2002 年做過一項實地實驗：他們在動物園裡放置一台電腦鍵盤，並讓 6 隻黑冠長尾獼猴（Celebes crested macaques）在上面亂敲四週。結果最終只得到五頁幾乎全是 S 的亂碼。更具諷刺的是，這群獼猴還對鍵盤進行了「實體攻擊」，甚至拉屎在上面。可見理論上的「緩慢敲擊，終能輸出經典」到了現實環境，不僅在機率上趨近於零，更在人性（以及「猴性」）互動、實驗干擾等層面上無法持續執行。

這場實驗的參與者──藝術家 Geoff Cox 等人表示，結果「顯然科學上是失敗的」，但他們本來就不打算證明什麼數學命題，而是做一個行為藝術，藉此反思「動物行為本質」與「機率論」之間的斷層。在這些原本就不安於室的獼猴面前，所謂的「靜靜打字機敲鍵」更像是人類一廂情願的想像。

值得一提的是，無限猴子定理在科學與哲學層面引申出更多思考。例如量子力學背後有一定程度的「隨機」或「機率」原理，一個足夠大的時間尺度裡，看似小概率事件也可能成真；然而，我們目前所在的宇宙實際是有限之地，其法則與條件亦不斷演變。有些科學家於是把此定理視為「多世界詮釋」的類比：即在多重宇宙或平行時空中，也許某個平行宇宙里真的有個「猴子」寫下莎士比亞——但這終究超越當前能檢驗的範疇。

理想與現實的交叉

無限猴子定理雖然只是個引人發笑的比喻，卻也提醒我們「大」與「無限」之間的落差有多巨大。

正如著名科學家所言：「無限是個美好的概念，卻永遠跳脫我們的現實。」或許，下次再聽到有人提「無限猴子也能打出天才之作」，不妨微笑回應：在那個純理論的世界裡，莎士比亞的確有再版，但在我們的宇宙之內，能等到的，恐怕只是字母“S”不断刷屏，以及一堆被猴子糞便污損的鍵盤罷了。

法國數學家埃米爾・博雷爾在機率、拓樸學、博弈理論等領域都有許多貢獻，許多專有名詞還以他為名。不過他最膾炙人口的作品卻是他在 1913 年的文章中提出的譬喻：

「想像有一百萬隻猴子每天打字十個小時，也幾乎不可能打出全世界藏書最豐富的圖書館裡所有的書。不過相較之下，違反統計學法則──那怕只有一下子──比這更不可能。」

這個比喻後來由英國物理學家艾丁頓爵士（Sir Arthur Stanley Eddington）在 1928 年重新詮釋：「一整個軍隊的猴子在打字機上亂敲是有可能寫出大英博物館裡所有的書，這件事比一個瓶子中的所有氣體分子同時跑到瓶子另一邊還有可能發生。」變得廣為人知。

經過不斷引述後，目前較常見的版本將字句改成「無限多隻猴子」或是「一隻猴子無限期地一直打字」，「圖書館裡的書」也變成「莎士比亞的作品」，總之，這個源自博雷爾的譬喻現在就叫「無限猴子定理」（Infinite monkey theorem）。

博雷爾的原意是要強調有些物理事件雖然就統計上來說，發生的機率並非等於零。但當它小到微乎其微，在足夠長的時間尺度內都還沒機會實現，我們就可以當它不可能發生。就像艾丁頓所指出的，瓶子裡的空氣分子不可能全部跑到同一邊。

不過，當無限猴子定理廣為流傳之後，就變成「一個定理，各自表述」，已不再拘泥於原創者的本意。有人反而用來指稱任何事都可能發生，有人則從中找到各種諷刺意味，因此它也常在許多文章與小說中出現，例如科幻經典《銀河便車指南》。還有人從中獲得靈感，設計相關實驗，2014 年就有人設計了由數以萬計的網路玩家模擬猴子隨機按鍵的闖關遊戲。

博雷爾的思想實驗中，猴子難以隨機打出有意義的字句，不過他的思想實驗本身倒是衍生出各種出乎他意料的不同意義來了。

原文轉自【科學史上的今天】01/07—博雷爾誕辰（Émile Borel, 1871－1956）

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。