猴子/打字機/神奇寶貝？

F 編按：本文編譯自 Live Science

想像有一群猴子，各自拿著打字機或電腦鍵盤，隨機敲擊鍵盤上的字符。若猴子數量無窮大、時間也無限長，牠們最終能否打出《哈姆雷特》或《羅密歐與茱麗葉》所有文本？這個乍聽荒謬的問題，正是「無限猴子定理」（Infinite Monkey Theorem）所探討的核心。無限猴子定理誕生於 20 世紀初，至今已被視為一則展示機率和隨機性的幽默譬喻。它強調的是：在「無限」的前提下，哪怕事件本身概率微乎其微，也終有可能實現。但若將「無限」抽離，狀況就大幅改觀。

無限猴子定理的起源：是數學巧思還是玩笑話？

無限猴子定理最早可追溯至法國數學家埃米爾·博雷爾（Émile Borel）在 1913 年的著作。他假設若有無限多隻猴子，分別隨機敲擊打字機上字母的鍵盤，那麼理論上能產生所有已經寫下或尚未誕生的文本——從簡單的「banana」字串到複雜的《哈姆雷特》、《馬克白》等莎劇。此「定理」之所以著名，在於它鮮明地說明了在「無限」長度的時間／試驗數中，任何不可能事件皆可能變得「可能」，甚至機率可達 100%。

然而，博雷爾在提出時，也暗示這只是一個數學論證，用來說明「幾近不可能事件」和「無窮大」的辯證關係。後人紛紛加以演繹，結合機率論與字母組合概念，強調這種理論上的結果不意味實際世界能夠成真；它比較像是一場「思想實驗」，或令人莞爾的理論示範。

實猴子 vs. 理論猴子：有限生命與不可預測行為

「若給一隻猴子足夠時間，牠能打出莎士比亞全集。」這句話聽起來驚世駭俗，但真正挑戰並不在於「敲出哪個字」。關鍵是，如果缺乏「無限時間」，任何一隻猴子在有限壽命裡，幾乎無法輸出任何可讀句子。澳洲悉尼科技大學數學家史蒂芬·伍德科克（Stephen Woodcock）便在相關研究中，做了現實條件下的機率估算：

• 以黑猩猩當模擬對象，因牠們與人類關係相近，體型與智力也更易想像。
• 設定：黑猩猩可用一台打字機，每秒都敲一次鍵。
• 理論上，若要輸出一個八字母詞彙（如 “banana”），黑猩猩在 30 年內碰巧完成的機率僅約 5%。
• 更別提複雜的句子，機率下降至 10-20 以下，幾乎趨近於零。

伍德科克的研究認為，即便地球所有黑猩猩都在不斷敲擊鍵盤，倘若只給定數十億年的宇宙壽命，仍難以看到「完整抄出莎士比亞某部劇作」的奇蹟。只有在真正意義上的「無限猴子、無限時間」裡，才可說這件事「必然」成真。

為何「無限」只是理論

「無限猴子定理」的核心基礎在「無限」。然而，現實宇宙是有限的：從已知的膨脹速度、暗能量演化、最終熱寂（Heat Death）的走向來看，科學家推估宇宙壽命遠遠達不到真正的「無限」。無論如何，宇宙總有盡頭——能供養猴子族群繁衍與敲字的條件更是隨著時間劇烈下降。因此，哪怕猴子數量再龐大，實際上都無法達成理論中的「無限次嘗試」。

在數學上，小概率事件若能重複嘗試足夠多次，便能「接近確定會發生」。不過，現實環境提供的試驗次數並非真正無窮。因此，本理論更像是用來解釋「僅憑隨機過程，最終可產生任何結構」的純粹數學概念，並不是真正能期待在有生之年或宇宙壽命中目睹它發生。

歷史上的「猴子打字機實驗」

為了更生動地理解此定理，英國藝術團隊曾在 2002 年做過一項實地實驗：他們在動物園裡放置一台電腦鍵盤，並讓 6 隻黑冠長尾獼猴（Celebes crested macaques）在上面亂敲四週。結果最終只得到五頁幾乎全是 S 的亂碼。更具諷刺的是，這群獼猴還對鍵盤進行了「實體攻擊」，甚至拉屎在上面。可見理論上的「緩慢敲擊，終能輸出經典」到了現實環境，不僅在機率上趨近於零，更在人性（以及「猴性」）互動、實驗干擾等層面上無法持續執行。

這場實驗的參與者──藝術家 Geoff Cox 等人表示，結果「顯然科學上是失敗的」，但他們本來就不打算證明什麼數學命題，而是做一個行為藝術，藉此反思「動物行為本質」與「機率論」之間的斷層。在這些原本就不安於室的獼猴面前，所謂的「靜靜打字機敲鍵」更像是人類一廂情願的想像。

值得一提的是，無限猴子定理在科學與哲學層面引申出更多思考。例如量子力學背後有一定程度的「隨機」或「機率」原理，一個足夠大的時間尺度裡，看似小概率事件也可能成真；然而，我們目前所在的宇宙實際是有限之地，其法則與條件亦不斷演變。有些科學家於是把此定理視為「多世界詮釋」的類比：即在多重宇宙或平行時空中，也許某個平行宇宙里真的有個「猴子」寫下莎士比亞——但這終究超越當前能檢驗的範疇。

理想與現實的交叉

無限猴子定理雖然只是個引人發笑的比喻，卻也提醒我們「大」與「無限」之間的落差有多巨大。

正如著名科學家所言：「無限是個美好的概念，卻永遠跳脫我們的現實。」或許，下次再聽到有人提「無限猴子也能打出天才之作」，不妨微笑回應：在那個純理論的世界裡，莎士比亞的確有再版，但在我們的宇宙之內，能等到的，恐怕只是字母“S”不断刷屏，以及一堆被猴子糞便污損的鍵盤罷了。

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

前言：本文為鑑識系列中，罕見提及統計學的故事。不過，繁複的計算過程全部省略，僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

荷蘭護理人員 Lucia de Berk，長年於海牙茱莉安娜兒童醫院（Juliana Kinderziekenhuis）的 1 個病房，與紅十字醫院（Rode Kruis Ziekenhuis）的 2 個病房工作。2001 年 12 月，她因謀殺罪嫌被捕。^[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因，發現是中毒身亡；後來連帶調查 1997 至 2001 年間，幾家醫院可能的謀殺案件，於是找上了她。^[2]在法庭上，司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念，證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說，就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法，叫做超幾何分佈（又稱「超幾何分配」；hypergeometric distribution）。^[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中，隨機抽取樣本，不再放回的情形。例如：袋子裝有 N 顆球，其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球，不特別挑選的話，紅球碰巧被抓到的機率為 X。^{[3, 4]}以此類推，在此案被調查的時間範圍內，病房總共有 N 個班次，其中 Lucia de Berk 值了 L 班，而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為 X。^[1]（公式介紹。^[4]）

此處實際帶入數據後得到的答案，說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一（X = 1 / 3.42 x 10⁸）的機率，會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此，法庭認定她的頻繁出現（> 1 / 3.42 x 10⁸），絕非巧合。^{[1, 2, 5, 6]}2003 年，Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂，^[2]被判終身監禁。^[5]

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師，以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授，都覺得事有蹊蹺。^[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄，並指出部份醫療事故的類型和事發時間，與判決所用的數據對不起來。因為後者大半仰賴記憶，他們甚至發現有些遭指控的班次，Lucia de Berk 其實不在現場。然而，光是這些校正，還不足以推翻判決。^{[1, 7]}

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學（Universiteit Leiden）統計學榮譽教授 Richard Gill，也伸出援手。^[2]在協助此案的多年後，他的團隊發表了一篇論文，解釋不該使用超幾何分佈的理由，例如：^[1]

1. 護理人員不可互換：所有受訪醫師都說，護理人員可以相互替換；但是護理人員覺得，他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異，他們對病患的影響也不同。^[1]
2. 醫療事故通報機率：既然每個護理人員都有自己的個性，他們判定某事件為醫療事故，並且通報醫師的機率也不一樣。^[1]畢竟醫院的通報規定是一回事；符合標準與否，都由護理人員判斷。比方說，有個病患每次緊張，血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒，再登記第二次測量的正常結果即可。不過，難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報，分明給病房添亂。
3. 班次與季節事故率：夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師；季節性的特定病例增減；以及病患的生理時鐘等，都會影響出事的機率。^[1]
4. 護理排班並不平均：護理人員的班次安排，理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班，接著是幾個小夜班之類的，^[1]比較方便調整作息。此外，護理人員的資歷和個性，通常也會被納入考量。^[1]以免某個班次全是資深人員；但另個班次緊急事故發生時，卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下，如果單看某個時期的班表，每個人所輪到的各類班次總數，應該不會完全相同。
5. 出院政策曾經改變：茱莉安娜兒童醫院在案發期間，曾經針對確定救不活的小病患，是否該在家中或病房離世，做過政策上的調整。帳面上來說，算在病房裡的事故量絕對會有變化。^[1]

總之，太多因素會影響護理排班，或是干擾醫療事故的通報率，因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是，Henk Elffers 在計算過程中，分開處理 3 個病房的機率，然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調，這樣會造成在多處上班的護理人員，比只為一處服務者，看起來有較高的嫌疑。^[1]

帕松分佈

因應這種情境，Richard Gill 教授建議採用帕松分佈（又譯「布阿松分配」；Poisson distribution），^[1]一種描述特定時間內，事件發生率的統計模型。^[8]有別於先前的計算方法，在這裡事故傾向（accident proneness），以及整體排班狀況等變因，都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度；後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等，也適用於 Lucia de Berk 的案子。^[1]（深入瞭解公式和計算（p. 4 – 6）。^{[1, 8]}）

雖然此模型的細節複雜，統計學家得大費周章解釋給法官聽，但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據，這個計算最後的答案是 0.0206161，意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率，會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據，機率更高達 9 分之 1。^{[1, 9]}換句話說，她單純是倒楣出現在那裡，就被當作連續殺人犯。^[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果，顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而，最不合理的，是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說，怎能不忠於病歷或驗屍報告？Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時，表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊，被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。^[2]他們發現原本被視為受害者的病患，根本都喪命於自然死因。^{[2, 6]}

在各方人士的協助下，Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。^[6]她曾於 2008 年，被允許在家等候重審結果。^[1]但直到 2010 年 4 月，司法才還她清白。^[7]Ton Derksen 認為，在荷蘭像這樣誤判的案件，約佔總判決數的 4 至 11%，也就是每年 1,000 人左右。不過，2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡，只有 5 個上訴到最高法院，而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。^[10]

1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
3. 「超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所（Accessed on 03 FEB 2023）
4. 李柏堅（06 FEB 2015）「超幾何分配」CUSTCourses on YouTube.
5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
8. 李伯堅（04 FEB 2015）「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
10. ‘One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.