博雷爾誕辰｜科學史上的今天：1/7

F 編按：本文編譯自 Live Science

想像有一群猴子，各自拿著打字機或電腦鍵盤，隨機敲擊鍵盤上的字符。若猴子數量無窮大、時間也無限長，牠們最終能否打出《哈姆雷特》或《羅密歐與茱麗葉》所有文本？這個乍聽荒謬的問題，正是「無限猴子定理」（Infinite Monkey Theorem）所探討的核心。無限猴子定理誕生於 20 世紀初，至今已被視為一則展示機率和隨機性的幽默譬喻。它強調的是：在「無限」的前提下，哪怕事件本身概率微乎其微，也終有可能實現。但若將「無限」抽離，狀況就大幅改觀。

無限猴子定理的起源：是數學巧思還是玩笑話？

無限猴子定理最早可追溯至法國數學家埃米爾·博雷爾（Émile Borel）在 1913 年的著作。他假設若有無限多隻猴子，分別隨機敲擊打字機上字母的鍵盤，那麼理論上能產生所有已經寫下或尚未誕生的文本——從簡單的「banana」字串到複雜的《哈姆雷特》、《馬克白》等莎劇。此「定理」之所以著名，在於它鮮明地說明了在「無限」長度的時間／試驗數中，任何不可能事件皆可能變得「可能」，甚至機率可達 100%。

然而，博雷爾在提出時，也暗示這只是一個數學論證，用來說明「幾近不可能事件」和「無窮大」的辯證關係。後人紛紛加以演繹，結合機率論與字母組合概念，強調這種理論上的結果不意味實際世界能夠成真；它比較像是一場「思想實驗」，或令人莞爾的理論示範。

實猴子 vs. 理論猴子：有限生命與不可預測行為

「若給一隻猴子足夠時間，牠能打出莎士比亞全集。」這句話聽起來驚世駭俗，但真正挑戰並不在於「敲出哪個字」。關鍵是，如果缺乏「無限時間」，任何一隻猴子在有限壽命裡，幾乎無法輸出任何可讀句子。澳洲悉尼科技大學數學家史蒂芬·伍德科克（Stephen Woodcock）便在相關研究中，做了現實條件下的機率估算：

• 以黑猩猩當模擬對象，因牠們與人類關係相近，體型與智力也更易想像。
• 設定：黑猩猩可用一台打字機，每秒都敲一次鍵。
• 理論上，若要輸出一個八字母詞彙（如 “banana”），黑猩猩在 30 年內碰巧完成的機率僅約 5%。
• 更別提複雜的句子，機率下降至 10-20 以下，幾乎趨近於零。

伍德科克的研究認為，即便地球所有黑猩猩都在不斷敲擊鍵盤，倘若只給定數十億年的宇宙壽命，仍難以看到「完整抄出莎士比亞某部劇作」的奇蹟。只有在真正意義上的「無限猴子、無限時間」裡，才可說這件事「必然」成真。

為何「無限」只是理論

「無限猴子定理」的核心基礎在「無限」。然而，現實宇宙是有限的：從已知的膨脹速度、暗能量演化、最終熱寂（Heat Death）的走向來看，科學家推估宇宙壽命遠遠達不到真正的「無限」。無論如何，宇宙總有盡頭——能供養猴子族群繁衍與敲字的條件更是隨著時間劇烈下降。因此，哪怕猴子數量再龐大，實際上都無法達成理論中的「無限次嘗試」。

在數學上，小概率事件若能重複嘗試足夠多次，便能「接近確定會發生」。不過，現實環境提供的試驗次數並非真正無窮。因此，本理論更像是用來解釋「僅憑隨機過程，最終可產生任何結構」的純粹數學概念，並不是真正能期待在有生之年或宇宙壽命中目睹它發生。

歷史上的「猴子打字機實驗」

為了更生動地理解此定理，英國藝術團隊曾在 2002 年做過一項實地實驗：他們在動物園裡放置一台電腦鍵盤，並讓 6 隻黑冠長尾獼猴（Celebes crested macaques）在上面亂敲四週。結果最終只得到五頁幾乎全是 S 的亂碼。更具諷刺的是，這群獼猴還對鍵盤進行了「實體攻擊」，甚至拉屎在上面。可見理論上的「緩慢敲擊，終能輸出經典」到了現實環境，不僅在機率上趨近於零，更在人性（以及「猴性」）互動、實驗干擾等層面上無法持續執行。

這場實驗的參與者──藝術家 Geoff Cox 等人表示，結果「顯然科學上是失敗的」，但他們本來就不打算證明什麼數學命題，而是做一個行為藝術，藉此反思「動物行為本質」與「機率論」之間的斷層。在這些原本就不安於室的獼猴面前，所謂的「靜靜打字機敲鍵」更像是人類一廂情願的想像。

值得一提的是，無限猴子定理在科學與哲學層面引申出更多思考。例如量子力學背後有一定程度的「隨機」或「機率」原理，一個足夠大的時間尺度裡，看似小概率事件也可能成真；然而，我們目前所在的宇宙實際是有限之地，其法則與條件亦不斷演變。有些科學家於是把此定理視為「多世界詮釋」的類比：即在多重宇宙或平行時空中，也許某個平行宇宙里真的有個「猴子」寫下莎士比亞——但這終究超越當前能檢驗的範疇。

理想與現實的交叉

無限猴子定理雖然只是個引人發笑的比喻，卻也提醒我們「大」與「無限」之間的落差有多巨大。

正如著名科學家所言：「無限是個美好的概念，卻永遠跳脫我們的現實。」或許，下次再聽到有人提「無限猴子也能打出天才之作」，不妨微笑回應：在那個純理論的世界裡，莎士比亞的確有再版，但在我們的宇宙之內，能等到的，恐怕只是字母“S”不断刷屏，以及一堆被猴子糞便污損的鍵盤罷了。

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

本文由 德州儀器 委託，泛科學企劃執行。

從 IC 之父 Jack Kilby 在德州儀器發明世上第一顆積體電路，到現在已過了 65 年，而這項科技已經成為我們的日常，並且還在不斷進步。德州儀器不僅是積體電路的先驅者，更長期投資氮化鎵 (GaN) 的電源應用，例如資料中心伺服器電源、再生能源、或是小體積的電源供應器等，開發許多獨創的電路結構。在已到來的次世代半導體浪潮中，德州儀器早已站穩了腳步，成為高壓半導體領域的領導者。

氮化鎵作為新材料的崛起，已成為充電領域的新寵，甚至打敗了傳統的矽 (Si) 基充電頭。然而，要充分發揮氮化鎵的潛力，需要量身定制相對應的策略和戰術。

何謂電路拓樸？電路設計要考量什麼？

拓樸電路是氮化鎵最好的後勤部隊，能讓它發揮 100% 的力量。但這個拓樸電路又是什麼呢？

先來談一下比較陌生的名詞「拓樸」。拓樸是幾何學中重要的概念，主要在研究物體在連續變化下時的不變性質。舉個數學家最愛的例子，就是研究如何把一個帶手把的馬克杯變成甜甜圈。這是什麼鬼題目？這就像問炭治郎什麼時候要開 5 檔，八竿子打不著吧？但對數學家來說，這個題目是可能的，因為帶手把的馬克杯和甜甜圈有個共通特徵，就是有一個洞！只要有這個共同特徵，我們確實就可以透過一系列的數學運算，將馬克杯變成甜甜圈。

舉例來說，漫威電影中班納博士變身成浩克，如果希望浩克的身上能看得出班納博士的影子，就必須用拓樸學先將班納博士的五官這些「特徵」定位好，製作成大家常看到有如網格的 3D 建模，變身成浩克時才不會整個走鐘（台語），臉部比例亂成一團。沒錯，拓樸解決的，是在兩種形狀間切換時，這些特徵與圖案的比例不會隨便亂跑，成為四不像的東西。

回到我們的氮化鎵電路，難道我們要利用拓樸學，把電路板的形狀變成一個甜甜圈或是浩克嗎?當然不是，這邊指的是用更少的元件、更低的延遲與漏電的設計，把相同功能的電路重新改寫配置。

簡單來說，電路拓樸就像是電路板上的藍圖，告訴我們如何把各種電子元件，比如電阻、電容、電感、電晶體等組織在一起，來完成我們想要的任務。

每種電路拓樸都有它的優點和適用的場合。例如，Buck轉換器可以將輸入的電壓降低，適合用在需要較低電壓的應用上。Boost轉換器則可以提升電壓，適合用在需要較高電壓的應用上。LLC轉換器具有高效率和寬輸入電壓範圍的特性，適合用在需要高效率和靈活性的應用上。PFC（Power Factor Correction）則是一種用來提高電源效率的技術，它可以使輸入電流與電壓同步，減少能量損失等等。

然而，這些都是以矽為主的拓樸電路，為了充分發揮氮化鎵百分之百的潛力，我們不能僅僅依賴傳統的電路設計方法和拓樸，而是要重新塑造！

GaN＋電路拓樸=最強？

那麼，我們要如何重新塑造才能全部發揮 GaN 的實力呢？讓我們以一種常見的電路拓樸—功率因數校正 PFC 為例。

PFC，是電路中的交通指揮，負責將電路中電流與電壓同步，以達到最佳的效率。在電訊號經過漫長電路之後，常常導致輸出的電流與電壓波形出現時間差，不再同步。我們知道功率等於電壓乘以電流，因此兩者好好配合，才能發揮最大效益，如果兩者沒有同步，就會降低整體電路的有效功率。

PFC 功率因數修正電路，現在看到在做的事情，就是讓它們好好同步，降低無謂的能量浪費。目前世界各地許多法規都直接要求在電路中加入 PFC，提升用電效率。

那麼問題來了，同樣是 PFC 電路拓樸，現在我們有兩種設計，下方的圖 1－雙升壓 PFC，跟下方圖 2－圖騰柱 PFC。

依照我們希望體積盡可能小的需求，直覺來說你要選哪一個呢？

當然是圖 2，因為他看起來比較簡單嘛。可惜的是，市面上大多矽基半導體的 PFC，都是選擇圖 1 方案。因為圖 2 方案的簡約設計，前提是關鍵的二極體必須具備低的「反向恢復時間」。

所謂反向恢復時間，指的是電晶體在電源切斷的瞬間，電晶體內仍有殘留電荷，會反向放電，造成電路阻塞。而矽基半導體過長的反向恢復時間，會導致電源損耗上升。反之，氮化鎵因為反向恢復時間為零，可以完全適應高效的圖騰柱 PFC。

這邊提到的 PFC 只是氮化鎵的其中一種運用，別忘了，除了零反向恢復時間外，它還有著能承受高電壓與高溫的特性，再加上低漏電率的關鍵被動技能，在目前的半導體戰場上，可說是最強的挑戰者。未來在各種電源供應器上，應該很快都能看見它的身影。

當然，講到這邊，都僅止在題本作答。在實際的晶片設計中，各元件間的距離與電路安排，都需要經過多次的試驗和調整，才能找到最適合的電路拓樸和元件配置，而這也正是德州儀器所擅長的領域。

德州儀器設計出的電源供應器，已經遍佈全世界的重要設備中。除了提供高效的能源供應，節省下的能源，也直接減少了許多碳排。根據估計，對一個 100 MW 的資料中心來說，換上 GaN FET 之後，就算只有提升 0.8% 的效率增益，在 10 年內就能節省多達 700 萬美元的能源成本。尤其在 AI、量子電腦等科技發展蓬勃的現在，在「節流」這一塊的投資，真的非常重要！

看到這鋰，如果你也想訓練這個「黑科技」氮化鎵，打造更強的電路、為世界的節能貢獻一份心力。或甚至像 IC 之父 Jack Kilby 那樣，發展全新的電路架構，做出足以改變世界的創舉，德州儀器歡迎所有熱血人才加入，一起來改變世界吧！