只要有無限的時間，猴子也能打出莎士比亞？什麼是「無限猴子定理」？

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

猴子問題成為機率論裡統計機制的題目，最早是出現在法國數學家埃米爾．博雷爾（Émile Borel）於一九一三年所寫的文章中，題為〈統計機制與不可逆性〉（Mècanique Statistique et Irrèversibilitè）。文中說，如果給定足夠的時間，一隻猴子可以在鍵盤上隨機敲出莎士比亞全集。當然，「足夠的時間」指的可能是無限長。

英國物理學家亞瑟．艾丁頓公爵（Sir Arthur Eddington）對於隨機性的態度則更為開放，他在一九二七年受邀到愛丁堡大學的紀福講座（Gifford Lecture）演講時說：

「如果我把手指放在打字機的按鍵上隨意亂敲，這個行為『可能可以』造出詞意通順的句子。如果一批猴子大軍亂敲著打字機，牠們可能可以寫完大英博物館中所有的藏書。」

讓猴子敲出指定字句的機率有多高？

現在，讓我們把目標簡化一下。先別指望到大英博物館，也不要談論莎士比亞全集，連十四行詩都先擱在一邊，只討論這一句：

Shall I compare thee to a summer’s day?（我怎能將夏日與你比擬）

如果一隻猴子要能依照這樣的字母順序敲出來，我們肯定會認為這是極罕見的巧合。這可能性有多大呢？絕對非常微小！

假設鍵盤上只有二十六個鍵，只能敲出小寫的字母，那麼猴子要敲對「shall」第一個字母的勝率為 25 比 1。而每一次的敲擊與任何一次的敲擊之間都互為獨立，因此，正確打出頭五個字母的機率，只有26×26×26×26×26＝11,881,376 分之一，勝率為 11,881,375 比 1。不過這只是第一次打字就成功的機率，麻煩在於應該不只有一次機會，而有很多很多次。

讓我們算一下第一次嘗試時無法成功打出單字的機率，即是 1–(1 ⁄ 26)⁵，大約為 0.99999991583，幾近必然會發生。試驗 N 次之後，猴子沒敲對的機率為 (1–(1 ⁄ 26)⁵)^N。

N＝8235542 時，牠會有超過一半的機率打對莎士比亞著名的十四行詩的第一個單字。上圖可以說明，在經過約莫五千萬次試驗之後，沒有打出「shall」的機率趨近於零 。[10]

內容越複雜，打對的機率越低

把這方法應用到密碼保護裝置上，可以得知，藉由隨機敲打字母，電腦程式就能夠輕易地破解由五個字母組成單字的密碼。如今，就連相對慢的電腦，中央處理器（CPU）都可以在少於十秒的時間內試驗五千萬次。但如果你把密碼多加上一個字母，試 214124096 次之後，才會有一半的機率能破解密碼。困難度會隨著字母（包括混合使用字母、數字及符號或大小寫）的增加而呈指數增加。請見下圖。

隨機在鍵盤上亂打，敲對 π 前六個位數的機率為 0.000001，也就是百萬分之一的機率。如果一千隻猴子中，每一隻猴子都敲鍵盤一千次，出現敲對 π 的前六個位數的機會便會超過一半。或許，這會使你覺得 π 畢竟不是那麼特殊的數，不過，這當然是因為我們只取前六個位數而已。接著，取 π 的前一百個位數。就算隨機挑選宇宙間每一顆沙粒與星辰直到時間的盡頭，寫出 π 的前一百個位數的機率還是幾近零，難以動搖。

一九一三年，埃米爾．博雷爾要我們想像一百萬隻猴子，每天花十小時隨機敲擊打字機：

Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies et les relieraient en volumes. Et au bout d’un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature et de toutes langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde.

（不識字的領班會把髒掉的紙收集起來疊成冊。某一個歲末之際，這些書冊會恰好與世界上藏書最豐富的圖書館中，所有語言與種類書籍的冊數相同。）

而英國物理學家及數學家詹姆士．金斯爵士（Sir James Jeans）則在其著作《神祕的宇宙》（The Mysterious Universe）中這麼寫：

有人說，我想是赫胥黎吧，把六隻猴子放在打字機前胡亂敲打，數十兆年後的某個時點，會恰好打出所有大英博物館中的藏書。

如果我們檢查某隻特定猴子所打的最後一頁內容，發現在亂打的情況下剛好打出莎士比亞的十四行詩，我們想必馬上就會認定這是一起驚人的意外事件，但如果我們看遍了數百萬頁猴子在難以計量的時間內所打的內容，我們滿篤定會從中找到胡亂敲打的產物──莎士比亞的十四行詩。

同樣地，數十兆顆恆星在太空中隨意地遊蕩數十兆年，必將碰上各種意外，也必將在一定時間內製造出有限數量的行星系統。然而，若與天空中的星星數相比，行星系統的數目肯定非常小。

用電腦模擬的猴子，打出了前十九個字母

用電腦虛擬的猴子來模擬執行猴子問題。二○○四年八月四日，電腦虛擬的猴子在經過 42162500000 乘以十的十八次方個猴年之後，打出了以下內容「VALENTINE. Cease toIdor:eFLP0FRjWK78aXzVOw- m)-’ ; 8t …… 」驚奇的是，這胡亂敲打出的前十九個字母，正是莎士比亞的劇作《維洛那二紳士》（The Two Gentlemen of Verona）的第一行──VALENTINE: Cease to persuade, my loving Proteus。

在想到大寫鎖定鍵可能「碰巧」暫時遭到鎖定之前，我在思索的是那九個大寫字母。當然啦，四十二百京（編按：quintillion，即十的十八次方）是個相當龐大的數目，但平均得花上這麼久的時間才能等到這十九個字母以此特定的次序排列，並不代表這狀況不會在相較之下短得多的時間內發生。

也得承認，要想第一次亂敲就試出這樣的結果，機率實在小到難以想像，但並非不可能。意料之外的情事可能發生，也確實發生。以 DNA 配對為例，世界上是否會有兩個毫無瓜葛的人身上的 DNA 完全吻合？可能性微乎其微，但並非不可能。事實上，這機率僅僅只有十億分之一。

本文摘自《是湊巧還是機率？》，臉譜出版。

法國數學家埃米爾・博雷爾在機率、拓樸學、博弈理論等領域都有許多貢獻，許多專有名詞還以他為名。不過他最膾炙人口的作品卻是他在 1913 年的文章中提出的譬喻：

「想像有一百萬隻猴子每天打字十個小時，也幾乎不可能打出全世界藏書最豐富的圖書館裡所有的書。不過相較之下，違反統計學法則──那怕只有一下子──比這更不可能。」

這個比喻後來由英國物理學家艾丁頓爵士（Sir Arthur Stanley Eddington）在 1928 年重新詮釋：「一整個軍隊的猴子在打字機上亂敲是有可能寫出大英博物館裡所有的書，這件事比一個瓶子中的所有氣體分子同時跑到瓶子另一邊還有可能發生。」變得廣為人知。

經過不斷引述後，目前較常見的版本將字句改成「無限多隻猴子」或是「一隻猴子無限期地一直打字」，「圖書館裡的書」也變成「莎士比亞的作品」，總之，這個源自博雷爾的譬喻現在就叫「無限猴子定理」（Infinite monkey theorem）。

博雷爾的原意是要強調有些物理事件雖然就統計上來說，發生的機率並非等於零。但當它小到微乎其微，在足夠長的時間尺度內都還沒機會實現，我們就可以當它不可能發生。就像艾丁頓所指出的，瓶子裡的空氣分子不可能全部跑到同一邊。

不過，當無限猴子定理廣為流傳之後，就變成「一個定理，各自表述」，已不再拘泥於原創者的本意。有人反而用來指稱任何事都可能發生，有人則從中找到各種諷刺意味，因此它也常在許多文章與小說中出現，例如科幻經典《銀河便車指南》。還有人從中獲得靈感，設計相關實驗，2014 年就有人設計了由數以萬計的網路玩家模擬猴子隨機按鍵的闖關遊戲。

博雷爾的思想實驗中，猴子難以隨機打出有意義的字句，不過他的思想實驗本身倒是衍生出各種出乎他意料的不同意義來了。

原文轉自【科學史上的今天】01/07—博雷爾誕辰（Émile Borel, 1871－1956）