《美麗境界》A Beautiful Mind／導演：朗．霍華Ron Howard
文／方弦
對很多人來說，數學家可能是遙不可及的存在。他們醉心於那個由各種抽象符號組成的世界，卻離現實很遠。以他們為題材的影視作品少之又少，其中最著名的大概是曾獲奧斯卡最佳影片獎的電影《美麗境界》。
《美麗境界》以諾貝爾經濟學獎獲得者約翰．奈許的經歷為素材，講述了一位患上思覺失調博士與思覺失調症抗爭的過程。那麼，他屬於數學家的一面，又是如何呢？
「這人是個天才。」這就是奈許的碩士導師給他寫的推薦信，只有一句話的推薦信。
約翰．奈許的確是個天才。中學時代，在父母的支援下，他就開始在附近的大學旁聽高等數學的課程了。爾後，他得到了卡耐基技術學院（今卡內基－梅隆大學）的獎學金，攻讀數學。僅僅用了三年時間， 他就完成了碩士學位。在他尋找攻讀博士的學校時，哈佛大學與普林斯頓大學都向他伸出了橄欖枝。
普林斯頓提供的獎學金比較多，奈許認為這表明普林斯頓更看重他的才能。儘管哈佛大學的學術實力也很強，但「士為知己者死」，奈許還是選擇了普林斯頓。
電影中，奈許被刻畫成一個靦腆的天才，但現實中，剛進入普林斯頓的奈許，其實驕傲好勝：他不愛上課不愛看書，相對於跟隨前人的步伐，他更喜歡自己在數學的世界探索；吹著巴赫曲子的口哨，他可以獨自做上一整夜數學，不知疲倦。
但普林斯頓並不是只有他一位數學天才。系主任萊夫謝茨（Solomon Lefschetz），奈許的導師塔克（A. W. Tucker），都是當時各自領域的巨擘。而在與奈許同輩的學生中，也有像蓋爾（David Gale）、沙普利（Lloyd S. Shapley）這樣日後的數學家， 更值得一提的是其中還有當時的本科生米爾諾（John Milnor）， 日後的菲爾茨獎獲得者。
這些天才湊在一起，總愛分個高下，而像國際象棋和圍棋之類的智力對抗遊戲恐怕最對他們的胃口了，有事沒事總有人在公共休息室裡一局一局地下棋。電影中的奈許不擅下棋，但現實中的奈許其實算得上一位下棋高手——事實上，奈許當時研究的博弈論，正是一門以各種博弈為研究對象的應用數學分支。
當時的博弈論仍然處於起步階段， 普林斯頓高等研究所（Institute for Advanced Study）的馮．諾依曼（John von Neumann）是當時該領域的帶頭人，他對「零和賽局」作出了非常深入的研究。所謂零和賽局，即是所有對局者收益的綜合為零，一方獲益必然意味著另一方損失。然而，現實生活中的博弈沒有這麼簡單，雙贏和兩敗俱傷的情況常有發生。就以當時美蘇冷戰為例，如果單純將對方的損失看作己方的收益的話，雙方的最優策略都是先發制人給對方最大的打擊，這當然很不現實。由於這種局限性，儘管對零和賽局的研究非常深入，但其應用價值不算太大。
於是，當奈許在1950年發表對「非合作賽局」的研究時，博弈學界眼前為之一亮。他證明，即使放棄了「所有對局者收益總和為零」的假定（簡稱零和假定），對於每個博弈，仍然存在一個「均衡點」。在均衡點處，對於每位對局者來說，更改自己的策略不會帶來任何好處；也就是說，每位對局者的策略都是當前的最佳策略。這樣的均衡點後來被稱為「奈許均衡」。如果所有對局者都是理性的話，最後博弈的結果一定落在某個均衡點上。這就是均衡點重要性之所在：如果知道一個博弈的均衡點，就相當於知道了博弈的結局。又因為去掉了零和假定，奈許均衡的應用範圍遠比零和博弈廣泛。
以此為題材，在導師塔克的指導下，奈許完成了他的博士論文。可是，此時奈許的研究興趣早已轉向更純粹的數學領域。甚至在他完成博士論文之前，他已經開始對代數幾何——一個高度抽象的數學領域——產生了興趣，並作出了一些開拓性的研究。
與博弈論不同，儘管代數幾何在今天已經成為數學主流， 在實際生活中它並沒有太多的應用。在數學家的眼中，通常代數幾何被分類為「純粹數學」，而博弈論則是「應用數學」中的一員。雖然數學在眾多領域中有著重要應用，但可能令局外人驚訝的是，近代的數學家並不特別看重應用，而更關注數學本身的智力美感。英國數學家哈代在他的《一個數學家的辯白》中就曾寫道：「用實踐的標準來衡量，我的數學生涯的價值是零；而在數學之外，我的一生無論如何都是平凡的。」像奈許這樣有才華的數學家，如果像在電影中那樣只關注博弈論的話，實在難以想像。而奈許轉向代數幾何的一個原因，也正是因為擔心關於博弈論的研究可能不會被數學系作為畢業論文接受。
奈許轉向代數幾何的另一個原因可能更容易明白。奈許均衡超越了馮．諾依曼的零和賽局研究，而因為馮．諾依曼當時也在普林斯頓，所以應該會出席奈許的論文答辯。奈許認為這樣的狀態可能對他不利。實際上，奈許曾與馮．諾依曼討論他的奈許均衡理論，但馮．諾依曼並沒有表現出多大的興趣。「不過是另一個不動點定理。」這就是他的評價。所以奈許認為馮．諾依曼並沒有意識到奈許均衡的重要性，很可能為他的論文答辯帶來麻煩。
儘管數學家研究的是最純粹的理論，他們有時也不得不面對那錯綜複雜的現實。
幸而奈許的博士論文答辯仍算順利，從入學開始，僅僅花了一年半的時間，他就獲得了普林斯頓的數學博士學位。這無論在什麼時代都稱得上高速度。也由於他的這篇論文，當時美國冷戰智庫蘭德公司在他畢業後旋即將他招至麾下，因為他們認為奈許對非合作賽局的研究可能會在冷戰中發揮作用。在蘭德公司工作一年後，在1951年，他又回到了學術界，任職於麻省理工學院數學系。這時，他才將在普林斯頓對代數幾何的研究寫成論文《實代數流形》發表。
從1951年到1959年春天，奈許在麻省理工學院任職的這幾年可以說是他在數學研究上最有價值的幾年。他解決了黎曼流形在歐幾里得空間中的等距嵌入問題，這個問題與廣義相對論有著有趣的聯繫，屬於微分幾何——另一個高度抽象的純數學領域——的範疇。這個問題跟很多純數學問題一樣，由於艱深，從未被大眾所瞭解，但在當時算是相當重要的進展。這也是奈許在純數學上最大的貢獻。
1956年，奈許開始研究一個有關偏微分方程的問題。這時， 他那種不愛看論文而獨自研究的個性讓他吃到了一些苦頭。他並不知道，當時比薩大學的德喬治（E. de Giorgi）也在研究這個問題，已經有了一定的進展。實際上，他跟德喬治各自獨立解決了這個問題。雖然奈許的解答更為精彩，然而是德喬治首先解決了這個問題。這種由於自己的無知而被他人捷足先登的經歷，也許給奈許造成了一定的心理創傷。
在麻省理工學院的這段時間，奈許遇到了艾莉西亞，兩人在1957年結婚了。1959年的春天，艾莉西亞懷孕了。這時的奈許三十出頭，在學術界有了一定的地位，還有一個美滿的家庭，一切看起來都是那麼美好。
誰又想到僅僅幾個月後，奈許便墮入思覺失調症的深淵呢？
據奈許所言，他在艾莉西亞懷孕的頭幾個月開始出現妄想的思維，並不像電影描述的那樣是在進入普林斯頓伊始就出現了幻視。最初發現這點的可能是他的數學系同事。當時奈許聲稱有了一個新想法，有希望解決黎曼猜想。黎曼猜想是解析數論的一個非常重要的核心問題，無論誰解決了這個問題，都會得到數學界無上的榮耀。然而，當他的同事與他討論這個新想法時，卻發現他的想法過於瘋狂經不起推敲。爾後，奈許作了一個關於他的新想法的報告，但這個報告已經失去了思維的光澤。他的同事開始覺得，其中必定出了什麼問題。
更多的妄想症狀陸續出現。奈許開始認為他是某個重要政治人物，有一個祕密團體在追殺他，這是典型的被害妄想症狀。情況不斷惡化，最後在 1959 年 4 月，艾莉西亞不得不將奈許送進精神病院。
為什麼當時事業有成家庭幸福的奈許會突然患上思覺失調症呢？是不是沒有做好妻子懷孕的心理準備導致的？「數學是年輕人的遊戲」，是不是因為害怕自己的數學才能隨著年齡增長而逐漸枯竭？是不是與德喬治競爭的經歷給他帶來了壓力？還是父母的遺傳所致？我們難以給出一個準確的回答，因為我們對思覺失調症仍然所知甚少。但有一點可以確信的是，在精神疾病面前， 即使是那些擁有最理性的心靈、研究最抽象的理論的數學家，也與普通人一樣脆弱。
奈許被困在自己的妄想之中。他開始出現幻聽（但沒有過像電影中的幻視）。入院治療，出院後辭職逃往歐洲，被遣返美國治療，離婚，胰島素休克療法，更多的藥物治療，出院。在1970 年後他再也沒有入院治療過，寄居在前妻家中。這十年間，他出現過幾個月的短暫清醒時期。在這段時期，奈許做出了一些有意義的研究。但很快，他又陷入了妄想之中，而他的名字，也逐漸被數學界所遺忘。
但他的理論沒有被遺忘。在他與思覺失調症纏鬥之時，來自經濟學界、博弈學界的學者們，在奈許均衡的基礎上，發展出各自的理論，並將其應用到實踐中，從股票市場到拍賣交易。他的理論以另一種方式記錄著他的存在。
經過漫長的歲月後，奇跡發生了。奈許的思覺失調症像冰雪消融那樣，一點一滴地緩解了。他開始理性地拒絕那些妄想，不再出現幻聽，逐漸開始正常的生活和研究，甚至還學會如何使用電腦。在 20 世紀 80 年代後期，他開始利用電子郵件與別的數學家交流，這些數學家認出了奈許，而且發現他的數學思維恢復， 又開始進行有意義的數學研究了。正是這些數學家讓大家知道， 奈許從思覺失調症的深淵回來了。
部分由於這些數學家的努力，奈許開始重新被學術界承認。遲來的榮譽接踵而至，其中分量最重的莫過於1994年的諾貝爾經濟學獎，獲獎原因正是奈許均衡。有了這個諾貝爾獎，他又能以學者的身份重新拾起科學研究。儘管不再年輕，他仍希望能像過去那樣，獲得有價值的成果。他與艾莉西亞也在2001年再婚。
儘管失去了數十年的寶貴歲月，對於現在的奈許來說，能平靜地生活和研究，也許就是最大的幸福。
不得不說，有時候現實比電影更意味深長。《美麗境界》只是奈許生平中一個不真實的寫照，奈許本人的經歷卻更為動人。
編註：約翰‧奈許和妻子艾莉西亞於今年〈2015〉五月不幸因為車禍離世，享年86歲，但他們的故事和貢獻就會一直流傳下去。R.I.P.
本文摘自《有一天會成真！科學松鼠的電影科技教室》，華滋出版。
