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數學家奈許: 真實經歷比電影更意味深長——《有一天會成真!》

PanSci_96
・2015/08/05 ・4210字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 572 ・九年級

《美麗境界》A Beautiful Mind導演:朗.霍華Ron Howard

文/方弦

對很多人來說,數學家可能是遙不可及的存在。他們醉心於那個由各種抽象符號組成的世界,卻離現實很遠。以他們為題材的影視作品少之又少,其中最著名的大概是曾獲奧斯卡最佳影片獎的電影《美麗境界》。

《美麗境界》以諾貝爾經濟學獎獲得者約翰.奈許的經歷為素材,講述了一位患上思覺失調博士與思覺失調症抗爭的過程。那麼,他屬於數學家的一面,又是如何呢?

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「這人是個天才。」這就是奈許的碩士導師給他寫的推薦信,只有一句話的推薦信。

BEAUTIFUL MIND
電影《美麗境界》中的數學天才約翰‧奈許其實真有其人。source:IMDB

約翰.奈許的確是個天才。中學時代,在父母的支援下,他就開始在附近的大學旁聽高等數學的課程了。爾後,他得到了卡耐基技術學院(今卡內基-梅隆大學)的獎學金,攻讀數學。僅僅用了三年時間, 他就完成了碩士學位。在他尋找攻讀博士的學校時,哈佛大學與普林斯頓大學都向他伸出了橄欖枝。

普林斯頓提供的獎學金比較多,奈許認為這表明普林斯頓更看重他的才能。儘管哈佛大學的學術實力也很強,但「士為知己者死」,奈許還是選擇了普林斯頓。

電影中,奈許被刻畫成一個靦腆的天才,但現實中,剛進入普林斯頓的奈許,其實驕傲好勝:他不愛上課不愛看書,相對於跟隨前人的步伐,他更喜歡自己在數學的世界探索;吹著巴赫曲子的口哨,他可以獨自做上一整夜數學,不知疲倦。

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但普林斯頓並不是只有他一位數學天才。系主任萊夫謝茨(Solomon Lefschetz),奈許的導師塔克(A. W. Tucker),都是當時各自領域的巨擘。而在與奈許同輩的學生中,也有像蓋爾(David Gale)、沙普利(Lloyd S. Shapley)這樣日後的數學家, 更值得一提的是其中還有當時的本科生米爾諾(John Milnor), 日後的菲爾茨獎獲得者。

這些天才湊在一起,總愛分個高下,而像國際象棋和圍棋之類的智力對抗遊戲恐怕最對他們的胃口了,有事沒事總有人在公共休息室裡一局一局地下棋。電影中的奈許不擅下棋,但現實中的奈許其實算得上一位下棋高手——事實上,奈許當時研究的博弈論,正是一門以各種博弈為研究對象的應用數學分支。

當時的博弈論仍然處於起步階段, 普林斯頓高等研究所(Institute for Advanced Study)的馮.諾依曼(John von Neumann)是當時該領域的帶頭人,他對「零和賽局」作出了非常深入的研究。所謂零和賽局,即是所有對局者收益的綜合為零,一方獲益必然意味著另一方損失。然而,現實生活中的博弈沒有這麼簡單,雙贏和兩敗俱傷的情況常有發生。就以當時美蘇冷戰為例,如果單純將對方的損失看作己方的收益的話,雙方的最優策略都是先發制人給對方最大的打擊,這當然很不現實。由於這種局限性,儘管對零和賽局的研究非常深入,但其應用價值不算太大。

於是,當奈許在1950年發表對「非合作賽局」的研究時,博弈學界眼前為之一亮。他證明,即使放棄了「所有對局者收益總和為零」的假定(簡稱零和假定),對於每個博弈,仍然存在一個「均衡點」。在均衡點處,對於每位對局者來說,更改自己的策略不會帶來任何好處;也就是說,每位對局者的策略都是當前的最佳策略。這樣的均衡點後來被稱為「奈許均衡」。如果所有對局者都是理性的話,最後博弈的結果一定落在某個均衡點上。這就是均衡點重要性之所在:如果知道一個博弈的均衡點,就相當於知道了博弈的結局。又因為去掉了零和假定,奈許均衡的應用範圍遠比零和博弈廣泛。

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以此為題材,在導師塔克的指導下,奈許完成了他的博士論文。可是,此時奈許的研究興趣早已轉向更純粹的數學領域。甚至在他完成博士論文之前,他已經開始對代數幾何——一個高度抽象的數學領域——產生了興趣,並作出了一些開拓性的研究。

與博弈論不同,儘管代數幾何在今天已經成為數學主流, 在實際生活中它並沒有太多的應用。在數學家的眼中,通常代數幾何被分類為「純粹數學」,而博弈論則是「應用數學」中的一員。雖然數學在眾多領域中有著重要應用,但可能令局外人驚訝的是,近代的數學家並不特別看重應用,而更關注數學本身的智力美感。英國數學家哈代在他的《一個數學家的辯白》中就曾寫道:「用實踐的標準來衡量,我的數學生涯的價值是零;而在數學之外,我的一生無論如何都是平凡的。」像奈許這樣有才華的數學家,如果像在電影中那樣只關注博弈論的話,實在難以想像。而奈許轉向代數幾何的一個原因,也正是因為擔心關於博弈論的研究可能不會被數學系作為畢業論文接受。

奈許轉向代數幾何的另一個原因可能更容易明白。奈許均衡超越了馮.諾依曼的零和賽局研究,而因為馮.諾依曼當時也在普林斯頓,所以應該會出席奈許的論文答辯。奈許認為這樣的狀態可能對他不利。實際上,奈許曾與馮.諾依曼討論他的奈許均衡理論,但馮.諾依曼並沒有表現出多大的興趣。「不過是另一個不動點定理。」這就是他的評價。所以奈許認為馮.諾依曼並沒有意識到奈許均衡的重要性,很可能為他的論文答辯帶來麻煩。

儘管數學家研究的是最純粹的理論,他們有時也不得不面對那錯綜複雜的現實。

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幸而奈許的博士論文答辯仍算順利,從入學開始,僅僅花了一年半的時間,他就獲得了普林斯頓的數學博士學位。這無論在什麼時代都稱得上高速度。也由於他的這篇論文,當時美國冷戰智庫蘭德公司在他畢業後旋即將他招至麾下,因為他們認為奈許對非合作賽局的研究可能會在冷戰中發揮作用。在蘭德公司工作一年後,在1951年,他又回到了學術界,任職於麻省理工學院數學系。這時,他才將在普林斯頓對代數幾何的研究寫成論文《實代數流形》發表。

從1951年到1959年春天,奈許在麻省理工學院任職的這幾年可以說是他在數學研究上最有價值的幾年。他解決了黎曼流形在歐幾里得空間中的等距嵌入問題,這個問題與廣義相對論有著有趣的聯繫,屬於微分幾何——另一個高度抽象的純數學領域——的範疇。這個問題跟很多純數學問題一樣,由於艱深,從未被大眾所瞭解,但在當時算是相當重要的進展。這也是奈許在純數學上最大的貢獻。

1956年,奈許開始研究一個有關偏微分方程的問題。這時, 他那種不愛看論文而獨自研究的個性讓他吃到了一些苦頭。他並不知道,當時比薩大學的德喬治(E. de Giorgi)也在研究這個問題,已經有了一定的進展。實際上,他跟德喬治各自獨立解決了這個問題。雖然奈許的解答更為精彩,然而是德喬治首先解決了這個問題。這種由於自己的無知而被他人捷足先登的經歷,也許給奈許造成了一定的心理創傷。

在麻省理工學院的這段時間,奈許遇到了艾莉西亞,兩人在1957年結婚了。1959年的春天,艾莉西亞懷孕了。這時的奈許三十出頭,在學術界有了一定的地位,還有一個美滿的家庭,一切看起來都是那麼美好。

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誰又想到僅僅幾個月後,奈許便墮入思覺失調症的深淵呢?

奈許與妻子艾莉西亞。
奈許與妻子艾莉西亞 source:New York Times

據奈許所言,他在艾莉西亞懷孕的頭幾個月開始出現妄想的思維,並不像電影描述的那樣是在進入普林斯頓伊始就出現了幻視。最初發現這點的可能是他的數學系同事。當時奈許聲稱有了一個新想法,有希望解決黎曼猜想。黎曼猜想是解析數論的一個非常重要的核心問題,無論誰解決了這個問題,都會得到數學界無上的榮耀。然而,當他的同事與他討論這個新想法時,卻發現他的想法過於瘋狂經不起推敲。爾後,奈許作了一個關於他的新想法的報告,但這個報告已經失去了思維的光澤。他的同事開始覺得,其中必定出了什麼問題。

更多的妄想症狀陸續出現。奈許開始認為他是某個重要政治人物,有一個祕密團體在追殺他,這是典型的被害妄想症狀。情況不斷惡化,最後在 1959 年 4 月,艾莉西亞不得不將奈許送進精神病院。

為什麼當時事業有成家庭幸福的奈許會突然患上思覺失調症呢?是不是沒有做好妻子懷孕的心理準備導致的?「數學是年輕人的遊戲」,是不是因為害怕自己的數學才能隨著年齡增長而逐漸枯竭?是不是與德喬治競爭的經歷給他帶來了壓力?還是父母的遺傳所致?我們難以給出一個準確的回答,因為我們對思覺失調症仍然所知甚少。但有一點可以確信的是,在精神疾病面前, 即使是那些擁有最理性的心靈、研究最抽象的理論的數學家,也與普通人一樣脆弱。

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奈許被困在自己的妄想之中。他開始出現幻聽(但沒有過像電影中的幻視)。入院治療,出院後辭職逃往歐洲,被遣返美國治療,離婚,胰島素休克療法,更多的藥物治療,出院。在1970 年後他再也沒有入院治療過,寄居在前妻家中。這十年間,他出現過幾個月的短暫清醒時期。在這段時期,奈許做出了一些有意義的研究。但很快,他又陷入了妄想之中,而他的名字,也逐漸被數學界所遺忘。

但他的理論沒有被遺忘。在他與思覺失調症纏鬥之時,來自經濟學界、博弈學界的學者們,在奈許均衡的基礎上,發展出各自的理論,並將其應用到實踐中,從股票市場到拍賣交易。他的理論以另一種方式記錄著他的存在。

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晚年的奈許 source:wikimedia

經過漫長的歲月後,奇跡發生了。奈許的思覺失調症像冰雪消融那樣,一點一滴地緩解了。他開始理性地拒絕那些妄想,不再出現幻聽,逐漸開始正常的生活和研究,甚至還學會如何使用電腦。在 20 世紀 80 年代後期,他開始利用電子郵件與別的數學家交流,這些數學家認出了奈許,而且發現他的數學思維恢復, 又開始進行有意義的數學研究了。正是這些數學家讓大家知道, 奈許從思覺失調症的深淵回來了。

部分由於這些數學家的努力,奈許開始重新被學術界承認。遲來的榮譽接踵而至,其中分量最重的莫過於1994年的諾貝爾經濟學獎,獲獎原因正是奈許均衡。有了這個諾貝爾獎,他又能以學者的身份重新拾起科學研究。儘管不再年輕,他仍希望能像過去那樣,獲得有價值的成果。他與艾莉西亞也在2001年再婚。

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儘管失去了數十年的寶貴歲月,對於現在的奈許來說,能平靜地生活和研究,也許就是最大的幸福。

不得不說,有時候現實比電影更意味深長。《美麗境界》只是奈許生平中一個不真實的寫照,奈許本人的經歷卻更為動人。

 

編註:約翰‧奈許和妻子艾莉西亞於今年〈2015〉五月不幸因為車禍離世,享年86歲,但他們的故事和貢獻就會一直流傳下去。R.I.P.

getImage (3)

本文摘自《有一天會成真!科學松鼠的電影科技教室》,華滋出版。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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「倘若那天……」平行時空的你過得怎麼樣?——《超次元.聖戰.多重宇宙》
一起來
・2024/02/10 ・1920字 ・閱讀時間約 4 分鐘

從無法逆轉的抉擇,到平行時空

但人總喜愛想像,現實世界中無法「重頭來過」,但小說和電影的虛擬世界當然可以。在好萊塢電影《今天暫時停止》(Groundhog Day, 1993;港譯:《偷天情緣》)之中,男主角最先猶如惡夢般不斷在同一天的清晨醒來,後來卻利用這個機會不斷改善他的追求技倆(不但 take two,更take three、take four……),最後贏得美人歸。

電影為觀眾帶來了美滿的結局。但筆者最早領略「如果」作為小說創作中的奇思妙想,卻令我傷感不已。話說筆者自初中已經愛上科幻小說。大概是中三、四那年,我在公共圖書館借了一本英文的短篇科幻小說集,其中一個以「如果」為題的故事(名稱早已忘記)令我畢生難忘。

故事中,一對恩愛的小夫妻駕車外出,丈夫有點兒不適所以改由太太開車。不幸途中遇上車禍,坐在司機位的太太重傷身亡。丈夫悲痛不已終日借酒澆愁,揮之不去的自責是「如果我那天沒有跟她對調位置……」。

一天,他在拾理太太的遺物時,竟然發現她的日記簿中有新的記事!讀將下來,原來在另一時空裡,兩人當天的確沒有對調位置,所以因車禍去世的是他而不是愛妻!

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這兩個「平行時空」原本不會重疊,卻不知怎的透過這本日記簿接通了。結果,「陰陽相隔」的倆人藉著日記互訴衷情。

圖/envato

這本已是十分淒美的情節,但後來日記中的字樣變得愈來愈模糊,最後完全消失,表示兩個「平行宇宙」最終分離而回到互不相通的狀態。筆者當年雖然只有十五、六歲,被觸動的哀愁卻是久久不能平復……。

年少的我已經深深感受到,人生中充滿了無數偶然的變數,而一個簡單的決定,足以改變一生。

多年後,我看到另一部電影《雙面情人》(Sliding Doors, 1998;港譯:《緣分兩面睇》),發覺也是用上了同一意念:女主角每天搭地鐵上班,但某天因事遲了一點而趕不上平日搭的那班車。電影基於「趕得及」和「趕不及」兩種情況,描述了女主角往後出現的兩種截然不同的人生。(我後來才知道,這乃改編自一部一九八一年的波蘭電影。)

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歷年來,運用這類意念創作的小說和電影可謂不少,近年流行的好萊塢「超級英雄」電影中,《奇異博士》(Doctor Strange, 2016)和它的續集《奇異博士 2:失控多重宇宙 》(Doctor Strange in the Multiverse of Madness, 2022;港譯:《奇異博士 2:失控多元宇宙》)更將「平行時空」的意念延伸為「多重宇宙」(Multiverse)。陣容更為龐大的《復仇者聯盟 3:無限之戰》(Avengers 3: theInfinity War, 2018)和《復仇者聯盟 4:終局之戰》(Avengers 4: Endgame, 2019)皆以同樣的意念作為故事主軸。當然,這些電影都由漫畫改編,亦即這些意念的出現時間比電影還要早得多。

《媽的多重宇宙》將平行時空的意念發揮得淋漓盡致。圖/giphy

但將這個意念發揮至極的,毫無疑問是二○二三年橫掃奧斯卡最佳電影、最佳導演、最佳編劇多項大獎的「怪雞」1 電影《媽的多重宇宙》(Everything, Everywhere All At Once,縮寫是 EEAAO;港譯:《神奇女俠玩救宇宙》)。華裔演員楊紫瓊(1962-)更因此而封后(最佳女演員);同樣是華裔的關繼威(1971-)以及潔美.李.寇蒂斯(Jamie Lee Curtis, 1958-)則分別獲得最佳男、女配角的殊榮。電影由兩位導演掌舵,雖然兩個都叫 Daniel,但一個是香港人關家永(Daniel M. Kwan, 1988-),一個是美國人丹尼爾.舒奈特(Daniel Scheinert, 1987-)。2 囊括了這麼多大獎,電影的風頭可謂一時無兩。由於有這麼多華人參與其間,全球絕大部分華人皆感到與有榮焉。

外國的評論幾乎一面倒地對這部電影讚譽有加,包括其中所包含的深刻人生哲理、愛情與理想之間的抉擇、亞裔移民在美國所遇到的生活困難、世代之間的價值矛盾、同性戀(非主流性取向)的社會認同問題,以及貫穿電影的、最重要的母、女之情。不少網友更留言說看至結局時感動流涕。反倒在華人世界,包括不少筆者所認識的朋友,皆對電影甚有保留,認為它寫情的部分毫無新意,而「科幻」的主題和情節則過於胡鬧不知云。(一些更認為電影被大肆吹捧,是近年席捲西方的「政治正確主義」的結果。他們更為另一位最佳女主角競逐者凱特.布蘭琪(Cate Blanchett, 1969-)不值。但那是另一篇文章的主題,暫且按下不表。)

註解

  1. 粵語,意指奇怪、荒謬。
  2. 因二人名字皆為「Daniel」,而被合稱為「Daniels」。

——本文摘自《超次元.聖戰.多重宇宙》,2023 年 11 月,二○四六出版,未經同意請勿轉載。

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《奧本海默》中被遺忘的火星人數學家馮紐曼和波利亞——《科學月刊》
科學月刊_96
・2023/11/03 ・5466字 ・閱讀時間約 11 分鐘

  • 作者/劉柏宏
    • 勤益科技大學基礎通識教育中心教授
  • Take Home Message
    • 電影《奧本海默》中,對於幾位匈牙利數學家如馮紐曼、波利亞等人的描述篇幅較少,但他們其實對科學界影響深遠。
    • 馮紐曼在曼哈頓計畫中建議以內爆透鏡設計原子彈,不僅所需的裂變材料較少,又可以防止原子彈過早引爆,達成更對稱與高效的爆炸。
    • 波利亞提出以「捷思法」等強調歸納實驗的方式思考數學問題,例如觀察找出數學公式的形成,此法也掀起了數學教育革命。

遊艇緩緩流動在分隔布達區(Buda)與佩斯區(Pest)的多瑙河上,絲絨般的水波、柔棉沁涼的河風,兼容哥德式與文藝復興建築風格的匈牙利國會大廈(Hungarian Parliament Building)圓頂,在夕陽的烘托之下宛如紅寶石般璀璨,流瀉出昔日奧匈帝國的風華。

筆者來到此地,終於可以想像為何 100 年前這條河的兩岸能夠孕育出一批改變科學面貌,甚至改變人類歷史的數學家與科學家。趁著今(2023)年暑假到布達佩斯開會之便,筆者也試著踏尋這些科學家的足跡。

回臺灣之後恰逢電影《奧本海默》(Oppenheimer)上映,儘管許多人聚焦在主角奧本海默(Julius Oppenheimer)的內心世界,不過筆者更關心的是幾位被火星人遺留在地球上的匈牙利數學家。

地球上的火星遺民

20 世紀初歐美科學圈流傳著一個神祕的傳說,記錄下這傳說的是匈牙利物理學家馬克思(György Marx),但傳說起源卻得從義大利物理學家費米(Enrico Fermi)說起。

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1950 年某個夏日午後,費米在美國原子彈曼哈頓計畫(Manhattan Project)的基地——洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory),和幾位科學家聊到當時有關幽浮的報導時,提出了一個問題:

「宇宙如此浩瀚,包含無數恆星,許多恆星和太陽沒什麼差別,也有行星圍繞著它們旋轉。一部分的行星地表也會有水和空氣,而來自恆星的能量將促使有機化合物合成。

這些化學物質將相互結合產生一個自我複製系統。最簡單的生物會通過自然選擇繁殖、進化並變得更加複雜,直到最終出現活躍的、會思考的生物,文明、科學和科技隨之而來。

由於對美麗新世界的渴求,他們會旅行到附近行星,然後到另一個恆星的行星。他們最終應該遍布整個銀河系。這些非凡和傑出的人很難忽視像地球這樣美麗的地方。

所以,如果真是如此,他們必定來過這裡。那麼,他們到底在哪裡?」

關於這個「費米問題」,匈牙利物理學家西拉德(Leo Szilard)的回應是:「他們就在我們身邊啊!只是他們自稱匈牙利人!」(They are among us, but they call themselves Hungarians.)。

西拉德的高級幽默,點燃匈牙利人是火星遺民的想像,各種附和的說法紛紛出籠。有一種說法是 19 世紀末至 20 世紀初,一艘來自火星的太空船降落在地球,由於發現匈牙利的女子美麗又性感因而定居下來,繼而繁衍後代。

後來太空船要返回火星時超重,不得不將一些人留下,這些人包括建議當時美國總統羅斯福(Franklin Roosevelt)發展原子彈的信函主要起草人西拉德、協助潤稿的泰勒(Edward Teller)和諾貝爾物理學獎得主維格納(Eugene Wigner),還有化學獎得主歐拉(George Olah)與波拉尼(John Polanyi)、經濟獎得主哈薩尼(John Harsanyi);以及數學家艾迪胥(Paul Erds)、波利亞(George Pólya)、馮紐曼(John von Neumann)、哈爾默斯(Paul Halmos)、拉克斯(Peter Lax)等人。

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這幾位科學界的火星遺民有許多共同點:他們都出生於匈牙利。

除了喜歡雲遊四海的艾迪胥外,他們後來都移居並任教於美國的大學;他們思考問題時都喜歡來回踱步;另有一個最不可思議的共同點——他們都是猶太人。

至於為何火星人特別鍾情猶太人?這可能又是另一個「費米問題」。

《奧本海默》的最大遺珠——馮紐曼

筆者本次開會的地點在羅蘭大學(Eötvös Loránd University),該校在過去不同時期曾名為布達佩斯大學(University of Budapest)、帕茲馬尼-彼得大學(Pázmány Péter Catholic University)。

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該校培育出不少數學家與科學家,而馮紐曼是箇中翹楚。

馮紐曼出身於布達佩斯的富裕猶太家庭,父親是位對他有很深期待的銀行家,希望兒子能往化學工程發展,但馮紐曼卻對數學情有獨鍾。有許多關於他的數學傳奇事蹟,例如 6 歲能心算八位數除法,8 歲熟悉微積分,15 歲開始學高等微積分,19 歲已經發表兩篇數學論文。

最後馮紐曼不違父願也無逆己志,不僅在蘇黎世理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH)讀化工,同時也在帕茲馬尼-彼得大學研修數學博士。

有鑑於在 19 世紀末和 20 世紀初,德國數學家康托爾(Georg Cantor)的集合論導致某些推論會產生矛盾難題,即使在當時產生的矛盾並非集合論的核心,但在嚴格檢驗非核心的部分時,邏輯上還是會發現一些瑕疵,因此馮紐曼選定了與集合論基礎有關的內容深入研究。

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他的博士論題目為〈一般集合論的公理化構造〉(Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése),並於 1926 年同時取得兩所大學的博士學位。

而後在洛克菲勒基金會(Rockefeller Foundation)的資助下,他前往德國哥廷根大學(University of Göttingen),師從德國數學家希爾伯特(David Hilbert)。

1933 年為逃避納粹對猶太人的迫害,馮紐曼應聘前往美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study),在那裡開始專研計算機科學,同時也結識了奧本海默。

馮紐曼(右)和奧本海默(左)。圖/科學月刊

建議原子彈採用「內爆式」設計的馮紐曼

由於馮紐曼的博學與優異數學計算能力,奧本海默聘請他作為曼哈頓計畫的顧問,主要負責兩項任務:一是研究內爆透鏡的概念和設計,二是負責預估炸彈爆炸的規模、死亡人數,以及炸彈爆炸的離地距離以達到最大效果。

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什麼是內爆透鏡?當時曼哈頓計畫考慮的核分裂方式有兩種,一種是「槍式核分裂」(gun-type fission)設計,另一種則是「內爆透鏡」(implosion lens)的設計。

槍式核分裂設計是仿造子彈的射擊方式,利用常規炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質,使可裂變物質達到臨界質量(圖一)。

圖一、槍式核分裂設計的原子彈。原理是利用炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質(鈾),使可裂變物質達到臨界質量,投擲於廣島的「小男孩」就是採用此設計。圖/科學月刊

槍式核分裂使用鈾(uranium, U)作為裂變材料,二戰時投擲於日本廣島的「小男孩」(Little Boy)就是採用槍式設計。但由於當時鈾的存量並不足夠,因此必須發展另一種形式的原子彈,也就是內爆透鏡設計。

內爆透鏡設計以鈽(plutonium, Pu)作為裂變材料,在空心的球狀空間內放置鈽,並在球形鈽彈周圍放置炸藥。這些炸藥爆炸同時產生的強大內推壓力將會擠壓球形鈽彈,引發連鎖反應造成核爆(圖二)。

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圖二、內爆透鏡設計的原子彈。它以鈽為裂變材料,空心的球狀空間內含鈽,並在鈽彈周圍放置炸藥,炸藥爆炸時產生的強大內推壓力會擠壓鈽彈,引發連鎖反應造成核爆,這也是投放到長崎的「胖子」設計原理。圖/科學月刊

馮紐曼評估之後,認為「內爆式」設計優於「槍式」設計,且內爆型原子彈所需的裂變材料較少,又可以防止過早引爆以達成更為對稱與高效的爆炸,因此建議奧本海默改發展內爆式核彈,這就是二戰時被投放到日本長崎的原子彈——「胖子」(Fat Man)。馮紐曼在曼哈頓計畫中的角色如此關鍵卻被電影所忽略,確實令許多人不平。

馮紐曼從小嶄露他的優異天賦且記憶力驚人,除數學領域之外在諸多科學分支也有所涉獵且精通。他的聰慧早已獲得同儕的認同與讚譽,常被稱為數學界最後一位通才。有一個流傳甚廣的傳說是某次宴會中女主人問馮紐曼一個問題:

「兩列相距 200 英里的火車正在相向行駛,每輛火車的行駛速度均為每小時 50 英里。一隻蒼蠅從其中一列火車的前面出發,以每小時 75 英里的速度在火車之間來回飛行,直到火車相撞並將蒼蠅壓死為止。蒼蠅在這段期間總共飛行了多少距離?」

一般人解這一題可能是先算第一段時間蒼蠅飛行的距離,再算第二段時間蒼蠅飛行的距離,由於蒼蠅來回飛行無限多次,距離愈來愈短,可以用無窮等比級數求和的方法得出解,但這樣的計算相當繁複。有一個更快捷的技巧是直接算出兩輛火車將於兩小時後相撞,因此得知蒼蠅總共飛行 150 英里。

馮紐曼聽完問題不一會兒就答出 150 英里,女主人對於馮紐曼沒有陷入計算無窮等比級數的陷阱感到失望,但馮紐曼竟回答:「我是用求和的啊!」若此傳說當真,顯見他驚人的計算能力。

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1963 年諾貝爾物理學獎得主維格納表示,他認識當代許多頂尖科學家,包含德國理論物理學家普朗克(Max Planck)、英國理論物理學家狄拉克(Paul Dirac)、西拉德、泰勒、愛因斯坦,但沒有一個人像馮紐曼般才思敏捷。曾有人問維格納為什麼匈牙利出現這麼多天才,維格納的回答是:「真正的天才只有馮紐曼一人。」

引發數學教育革命的波利亞

本文要介紹的第二位匈牙利數學家是波利亞。1912 年,他於布達佩斯大學取得數學博士學位後,便前往德國哥廷根大學從事博士後研究。他在哥廷根大學結識許多當代最傑出的數學家,例如希爾伯特和克萊因(Felix Klein),之後便到蘇黎世理工學院任教。相較於一般嚴謹木訥的數學家,波利亞相當擅長說故事,包含數學家的軼事和「說數學」的功力。

馮紐曼在蘇黎世理工學院修讀博士時,也曾上過波利亞的書報討論課。有次波利亞提到一個尚未解決的數學問題,他認為要證明這問題很困難,沒想到五分鐘之後馮紐曼舉手,然後在黑板上寫下證明,從此之後馮紐曼變成他最敬畏的學生。

另外,波利亞也曾談論有關希爾伯特的故事。在德國盛傳一個傳說,深受德國人敬愛的皇帝腓特烈一世(Friedrich I)沒有死亡、只是沉睡,等到德國需要他時他就會挺身而出。因此便有人問希爾伯特:「你若在死後 500 年復活,你會做什麼事?」希爾伯特說:「我會問是否有人證明了黎曼猜想(Riemann hypothesis)?」

黎曼猜想與質數分布具有密切的關係,是希爾伯特於 1900 年提出的 23 個最重要數學問題之一。有些數學家將證明黎曼猜想形容為「數學界的聖杯」,因此它的重要性可見一斑。2018 年 9 月 24 日,英國數學家阿蒂亞(Michael Francis Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想,此事件也曾轟動一時。

但阿蒂亞的證明還來不及得到同儕認證,便不幸於 2019 年 1 月 11 離世,截至目前為止數學界仍對阿蒂亞的證明有所質疑。所以如果希爾伯特現在真的死而復活,那他恐怕要失望了。

波利亞於 1945 年出版《怎樣解題》(How To Solve It)一書,展現他「說數學」的功力。他常強調數學有兩面,數學結果的呈現方式有如歐幾里得(Euclid)幾何學般的演繹論證形式,但數學知識發展過程卻更像是一門實驗歸納的科學。書中提倡以捷思法(heuristic)思考數學問題,例如高中時老師通常教學生如何證明 13+23+33+43+⋯+n3=,但卻很少說明究竟如何得到此公式。

波利亞則要學生先做探索觀察。例如從圖三可以發現前五個自然數的立方恰好都等於另一個自然數的平方,這樣的特殊性可以推廣為「前 n 個自然數的立方和等於某個自然數的平方嗎?」若可以推廣,某個自然數到底是哪個數?我們進一步觀察可以得到:1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,將這觀察和圖三結合就得到圖四中令人驚訝的結果。

圖三、前五個自然數的立方和。圖/科學月刊
圖四、前五個自然數的立方和等於前五個自然數和的平方。圖/科學月刊

這麼美麗的結果應該不會只是巧合,所以一個合理的臆測也因此誕生:「前n個自然數的立方和等於前n個自然數和的平方」,也就是 13+23+33+43+⋯+n3=(1+2+3+4+⋯+n)2。由於 1+2+3+4+⋯+n=,所以得到 13+23+33+43+⋯+n3這個「合理的」公式,接著就可以證明此結果的正確性。

由此我們看到捷思法可以展現一個數學公式形成的過程,如同在《奧本海默》電影中丹麥物理學家波耳(Niels Bohr)建議奧本海默改到哥廷根大學跟從玻恩(Max Born)學習理論物理。

波耳問奧本海默數學程度如何,並提醒他:「代數就像一本樂譜,重點不是你能否讀懂音樂,而是能否聽懂音樂。」(Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.),波利亞的捷思法就是教我們如何聽懂音樂而不光是讀懂音樂。

在 1960 年代,美國由於憂慮太空競賽落後蘇聯,因而發起所謂「新數學」的中學數學課程改革,強調數學的抽象性,試圖讓學生早一點熟悉數學邏輯的演繹過程,但這種罔顧知識發展脈絡的改革註定以失敗告終。

1980 年代,波利亞強調歸納實驗思考過程的捷思法逐漸受到重視,掀起一波「數學問題解決」(mathematical problem-solving)的浪潮,而這股浪潮的影響也猶如核分裂的連鎖反應,持續至今。

  • 〈本文選自《科學月刊》2023 年 11 月號〉
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科學月刊_96
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