先前介紹完貝氏定理後，有讀者反應講太快，應該先解釋貝氏定律裡最重要的觀念——條件機率。機率量化了一件事情發生的可能性。而條件機率嘛，比如說，你家樓下住了一位每天慢跑10公里的爺爺，傍晚你們在樓梯間遇到
「爺爺明天70歲生日嗎，都看不出來哎~」
爺爺能順利切到70歲蛋糕的機率，鐵定比台灣人平均能活到70歲的機率大上許多，因為健康的他只要再活一天就可以了。
給定某個條件下某個事件發生的可能性，即稱為條件機率。如果還不清楚，請想像這樣的場景：
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星期五傍晚，珮穎獨自走在夕陽下。她晚上沒行程，只是單純不想加班。她討厭現在的公司文化，老闆總喜歡把員工綁在公司，綁越久越好。
又不是定存，放著也不會生利息。
她想起離開時，主管的視線越過隔板上方盯著她，心裡忍不住埋怨。
從馬路轉入小巷子，單行道兩側停滿車子，前方路口有個攤販在準備營業。一位穿西裝的上班族經過攤販，彎進巷子裡。逆光的夕陽將男子剪成一片瘦高的黑影，走近點，他的臉孔從黑影中浮現，一對修長秀氣的眼睛，以男生來說算白的膚色，給人秀氣的感覺，但不是柔弱，是無論面對甚麼事情，彷彿都能從容不迫處理的氣質。
珮穎注意到他的識別證還掛在身上，正想偷瞥一眼，男子突然加快腳步閃進路旁兩台車的縫隙間，對珮穎招手。
嗯？
還沒反應過來，珮穎聽見身後引擎聲響。回頭一看，一台老舊發財車要通過。男子還在對自己招手，遲疑一會兒，珮穎也縮進兩台車的縫隙間。
「我跟妳換位子吧。」
他高舉包包，與珮穎擦身而過，一陣清新的木香調香水氣味傳來。發財車捲起灰塵離去，男子揮揮手咳了幾聲。珮穎這下看清楚他的識別證了。
那年珮穎25歲，子威29歲。距離台灣男女平均壽命，各自還有57年與47年。
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星期五傍晚，珮穎在夕陽下踱步，落日的餘溫被玻璃隔絕在外，窗戶這側只剩冰冷的空調，醫療儀器的聲響替時間畫下一道道刻度。珮穎坐回病床旁，病房裡總是充滿消毒水的氣味，但一靠近子威，還是可以聞到那股木香調的香水氣味。
子威伸過手來握住珮穎，兩人相視微笑。只要看見夕陽，珮穎就會想起他們第一次見面的畫面，這點子威比誰都清楚。
「50年了，這一切過得真快。」
這一年，珮穎75歲，距離台灣女性平均壽命還有7年；子威79歲，超過男性平均壽命3年。
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巷子裡邂逅後，他們陷入熱戀。2年後的婚禮上，子威開頭第一句話是
「我要謝謝一位發財車司機——」
他們擁有標準的平凡的幸福的生活。生兒育女，儘管偶爾免不了吵架，但只要一到傍晚，總有一方會提議去散步，然後在夕陽下言歸於好。幾十年過去，小孩成家。雖然退休了，他們還得幫忙帶孫子。又過了幾年，孩子總算將孫子接回去自己帶。
那年子威72歲，珮穎68歲。
正準備好好享受生活，子威卻突然診斷出罹患癌症。美好的生活像紙糊似的，輕易地被命運撞出一個大洞。
剛知道病情時，子威很消沉，一度想放棄治療。
「李子威，你滿腦子想死就去死好了！我告訴你，台灣男人平均壽命是76歲，你才72歲，最好你打算這麼丟臉，讓你老婆比別人多守4年寡！」
說到最後，珮穎分不清自己是在罵人還是在哭泣。子威坐在客廳沙發，一整晚沒回話。隔天傍晚他們去散步，子威給珮穎看了他今天去醫院的診斷報告。一小時後，他住院接受癌症療程。
當晚，珮穎靠在病床上的子威替他削水果。
「第一次見面時，我不是走到前面幫妳擋灰塵嗎？」
珮穎點點頭。子威繼續說
「其實啊，我一直都沒講，當時我有刻意從妳的左側走過去噢。」
「啊？」
「因為心臟在左側，人通常是右撇子，身子會無意識往左傾斜。走在妳左側，妳會錯以為，怎麼自己一直往我身上靠，是不是喜歡我。」
「聽你亂說。」
珮穎嗤嗤地笑著，子威露出認真的表情
「真的，不然為什麼我們跑步都逆時針呢？就是逆時針跑時，靠左傾斜會自動產生向心力，跑起來比較順。」
珮穎半信半疑，卻看到子威似笑非笑地盯著自己，珮穎這才發現自己左半邊靠在子威身上。
「那麼老了還開這種玩笑。」
珮穎作勢打他，但她心底明白，子威是故作若無其事，想讓她安心。儘管受到影響，但他已經恢復成原本那位替她著想，總是把她擺在比自己更重要地位的男人。
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「這幾年辛苦妳了。」
子威拿下氧氣罩，氣若游絲，距離診斷出癌症的那天到現在過了7年，前天他才剛從加護病房出來。醫生覺得子威能活到現在已經是奇蹟了。
珮穎知道這才不是奇蹟，是子威堅強意志力的展現。
「你才辛苦，已經超過平均壽命3年了，你做的很棒。」
珮穎開玩笑地說。子威搖搖頭，眼神望向床頭櫃上的筆記本，珮穎替他拿過來，裡面滿滿的數學式子
「還沒，我還沒贏過我這年紀的預期平均壽命。」
「你這年紀的平均壽命？」
子威休息了一下，一個字一個字慢慢說
「我後來才知道，平常說的是平均壽命是指『剛出生時所預期的平均壽命』，是最短的預期平均壽命。隨著年紀，我們預期能夠活的平均壽命就會慢慢變長。」
「為什麼？」
珮穎不懂，平均壽命就是平均壽命，怎麼會隨著年齡改變呢？
「舉個例子來說，4個同時出生的人，各自活到4歲、10歲、60歲、70歲。這樣平均壽命是幾歲？」
「36歲。」
「5歲時，剩下3個人，這3人的平均壽命是46.7歲。」
子威停下來喘口氣，現在他的光說話就得費上很大的力氣。
「換句話說，給定活到5歲時，平均壽命從剛出生的36歲，提升到46.7歲。增加了10.7年。」
「聽起來有點像條件機率？」
珮穎回答，他們夫妻的數學都不錯。
「年紀越大，樣本空間裡年輕早逝的人被排除在外，我們預期他們能夠活的平均壽命就會越來越長。假設y是表示壽命的隨機變數，則x歲時的壽命期望值為，」
筆記本上寫著
「其中，P(y|x)是指給定x歲的人，壽命為y歲的條件機率。只要活到40歲，能活到70歲的機率就會比20歲時能活到70歲的機率更大。用數學式子表示是P(y=70|x=40) > P(y=70|x=20)。」
子威接過筆記本，翻頁又是一大堆算式。
「我們再來定義一個『x歲的平均餘命』，意思是x歲的人平均還能再活幾年。它的數學式子是，」
他指著第二個加總符號說
「取k’=k+1，可以得到結果為，」
「換句話說，x歲的平均餘命，就是把『給定x歲後，還會活k年的機率』，從k=1到k=∞累加起來。」
子威笑了，那笑容像在草地裏撿到彈珠的小男孩，跑回來跟朋友炫耀的表情。
「我查過了台灣官方的國民生命表。在我這年紀的男性……竟然平均餘命還有8.3年。照你的標準來要求…我還有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。」
子威突然一陣咳嗽，笑容還沒褪去，痛苦的表情湧上混雜在一起。珮穎眼前一陣模糊，她知道子威又在安慰她了。她吸了吸鼻子，試圖讓聲音平穩
「那就辛苦你了，請再為了我多活幾年。」
當晚半夜，子威緊急被送回加護病房。凌晨，珮穎簽下放棄急救同意書。
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星期五傍晚，珮穎站在夕陽下。紙蓮花被包覆在更大的、火焰形成的蓮花中。已經過了好幾次夕陽，她卻還沒跟子威說到話。這次的冷戰好久。
應該不可能習慣身邊沒有子威吧。不，不是不可能習慣，是我不希望習慣。
「奶奶妳還好嗎？」
孫女打斷了珮穎的思緒。
「爺爺還在的。只是我們看不到而已。」
孫女安慰她。珮穎想起她們相遇時，她正是孫女這個年紀吧。
「奶奶妳搬過來跟我們住好了，這樣爺爺也不用跑太多地方，可以更常回來。」
孫女試探性地問。珮穎知道孫女擔心獨居的自己觸景生情。有很多案例，感情深厚的夫妻一個先離開，另一個走不出來，也很快離開了。
「妳放心，奶奶很堅強，可以照顧好自己，還能活很多年的。妳爺爺教過我一套觀念……」
珮穎向孫女解釋起應用到條件機率的平均餘命。
「照你爺爺的說法，我還有11年好活。太早去鐵定會挨妳爺爺罵的。」
一旁還在念高中的小孫子插嘴說道
「可是奶奶，這觀念有點奇怪，因為機率恆正，不管到幾歲，平均餘命永遠是正的，表示當下的預期平均壽命永遠會大於當下的年紀，那不就是說，人類可以永遠活下去——」
「你閉嘴啦！」
孫女出言制止她那搞不清楚狀況的弟弟。
的確，這聽起來有點像芝諾悖論：烏龜跟阿基里斯賽跑，每當阿基里斯快要追上烏龜，烏龜都會趁著阿基里斯追趕所花的時間，再往前移動一點，阿基里斯又得再追趕。不論靠多近，烏龜永遠有一小段時間可以再前進，阿基里斯永遠追不上烏龜。
小孫子沒說錯，給定現在的年齡，只要沒破人瑞紀錄，永遠有人活得更久。平均餘命永遠大於零，永遠可以活下去。
但跟芝諾悖論不一樣，芝諾悖論有數學上的問題；餘命的觀念儘管看起來不合理，但在數學上完全正確，沒有漏洞。餘命永遠恆正，但那終究只是期望值，還是會有很多人在沒活到那年紀之前就先離開。
這是體貼的子威留給她最後的禮物，一道用完美數學構成的甜言蜜語。
他的意思是，他將永遠陪在她身邊。就像第一次見面一樣，他告訴她車來了，體貼地閃到前方幫她擋灰塵。
「奶奶自己住沒關係，」
珮穎打斷了孫女與孫子的爭執
「這樣爺爺如果回家了，才有人幫他開門啊。」
她朝左望去，夕陽在腳下拉出一道長長的影子，她閉上眼睛，彷彿聞到了子威身上那股淡淡的木香調香水氣味。
註: 更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》
註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。
——本文摘自《
