恆正的平均餘命，永遠活下去

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

過年期間，我讀了這本《幸運的科學》。「裡面有提到貝氏定理（數學）。」朋友跟我說的時候，我還有點存疑，畢竟這書名怎麼看都有點像是那種、打著科學招牌，講一些科學「目前」還幫不上忙的領域。

讓我決定翻開的原因是作者之一 Barnaby Marsh 曾是哈佛大學、牛津大學的訪問學者，如今正在普林斯頓高等研究院訪問。前兩間是知名的大學，普林斯頓高等研究院更是當年匯集了馮·諾伊曼、愛因斯坦、奧本海默等留名青史學者的研究機構。

能訪問這些赫赫有名大學研究機構的學者所說的話，應該還蠻值得一看的吧？我的偏見這樣告訴我。

說到底，偏見也可以用機率來解釋：
如果今天只是一般人講幸運的科學，我們以為穿鑿附會的機率很高；但如果有像作者這樣的經歷，我們就下意識的認為可信度高一些，這是條件機率教我們的。

沒想到我翻開書讀起來，還真的有貝氏定理！

天助自助者，怎麼讓隨機事件成功機率增加？

格雷茨基在一九八〇年代與一九九〇年代先後四次奪得斯坦利盃 (Stanley Cup) 冠軍，創下至今無人能超越的得分紀錄。當他被問到如何打進這麼多球時，他永遠只有一個答案：「我滑到冰球會到的地方。」

這是一本有趣的書，作者用了兩三百頁的分量來解釋「天助自助者」、「趨吉避凶」這些我們自以為熟知，卻不太清楚該如何徹底落實在生活中的概念。其中有些重點精準的運用了「數學語言」來描述，讓讀者（至少我）更了解他想傳遞的概念。

比方說，成功或多或少都參雜了些機運，因此作者把成功定義為一個「隨機事件」。沒有人能控制隨機事件，無法讓隨機變成確定。

但透過兩件事，能讓成功更容易發生：

一、德蕾莎修女搭頭等艙事件 ── 增加成功機運

「以照顧貧苦病痛之人為己任的修女，竟然也有想要追求享受的一面，是想在旅途中舒服些嗎？」書中提到德雷莎修女搭頭等艙這行為受到一些批評。

你可以想像，這件事如果在台灣鐵定會上報紙頭條，然後被媒體公審。我自己查了網路資料，有一說是德雷莎修女在搭飛機時，常會被航空公司自動升級到頭等艙。但其實德雷莎修女是為了尋求更多的募款機會，精準一點的說，是「尋求更多遇到有錢人的機會」。

沒人能保證一次募款能否成功，但修女利用搭頭等艙來增加遇見富人的機率，進而提升募款次數。用個熟悉的數學例子來說，就是你無法改變丟硬幣出現正面的機率，但你可以多丟幾次。

只是生活中很多情境不像丟銅板那麼簡單，無法輕易的增加嘗試次數。有時候增加嘗試次數需要過高的成本，不一定值得去做，例如買彩券；或者，「嘗試增加次數」本身就是一個隨機事件，就像募款的例子。你沒辦法說「1 個富人沒用，那我就來遇 10 個富人吧！」。只是寫 10 封 E-mail 可能也只是徒勞的嘗試，因為這些信件通常都不會被認真看待，還是得要面對面的交流；搭頭等艙雖然不保證能遇到富人，但至少比起在便利商店遇到要來得機率高。

募款成功的機率不能被改變，但遇到富人的機率可以被改變，而這連帶會影響到募款成功的次數，所以這便是值得去做的一件事。

至於為什麼遇到富人的機率可以被改變，這就牽扯到書中的第二個重點 ── 條件機率。

二、嬰兒該不該和父母同床事件 ── 條件機率

我發現，即使是那些斷言一切都是命中注定、我們不可能改變的人，他們過馬路時仍然會注意兩邊來車。

書裡舉的例子是作者跟他太太在女兒出生時，曾經討論過要不要讓她跟她們一起睡。太太認為不妥，因為跟父母同睡的嬰兒發生意外的機率，是睡在嬰兒床上的 5 倍高，因為同床的嬰兒比較容易被悶住或被大人壓到 ── 但這是一般論的結果。

作者仔細研究後發現，許多意外是發生在父母喝醉、過度肥胖、教育程度不高的情況下（這邊作者沒有解釋清楚，但我想背後是指教育程度不高的父母，有相對高的比例會選擇不準備嬰兒床）；另外，床鋪過軟、沙發、水床、過多的毛毯也都是問題。

作者根據自己家裡的情況考量後，發現他們與女兒同床的風險是低於千分之一的。

換句話說，以下兩種機率是相差很多的：

1.  嬰兒跟父母同床發生意外的機率。
2.  給定 king size 床，且夫妻各用一條單人被的條件下，嬰兒跟父母同床發生意外的機率。

再用我們習慣的骰子做例子：丟骰子出現六點的機率是 1/6，但相信很多人小時候（或現在依然是）丟骰子時，會刻意把六點的那一面朝上或朝下，因為我們不知怎麼地，以為這樣比較容易出現六點 ── 這就是試圖以增加條件，把機率變成條件機率，進而趨吉避凶。不過六點這面朝上，這個方法事實上可能沒什麼效就是了。

說說其他例子：以前有一位老師跟我說：「大家都說：『創業成功的機率只有 5%，所以創業很難。』這是錯的。舉個極端一點的例子：可能是有 99% 的人缺乏某些特質，注定失敗，有 1% 的人怎麼創業都成功。重點不在成功的機率，而在於你有沒有具備哪些條件。」

平均的機率或統計有一定的代表意義，但在套到自己身上時都必須根據自身的條件重新去思考。反過來說，我們可以不斷增加各種條件，讓自己想實現的事件，變成機率值越來越高的條件機率。

作者對此有一個很漂亮的說法：有一個打敗機率的方法，就是將它們個人化。

再回到前面過馬路的例子來說，被車撞到是隨機事件，而過馬路前先左右張望，不也就是再增加條件，把它變成條件機率嗎？

要如何更幸運？

這本書有好幾個段落當讓我覺得很有趣：早就學過的機率知識，許多正面思考的書籍中常見的情境與道理，串在一起後卻讓人有種「原來還能從這個角度看啊」的新奇感，就好像看見老朋友不曾見過的那面一樣。

從這樣實用面來介紹條件機率，也比「給定出現的點數是奇數，求出現 3 點的機率是多少？」這樣的題目，更讓人有感、覺得數學好玩有用 …… 說到最後有點離題了。

本書的主旨是講如何更幸運，範圍非常廣泛，從工作、愛情、到育兒都講了。雖然這不是我的專長，但裡面的一些觀點卻讓我覺得有趣，或許也會放在心上，想找機會用用看（像是我個人很喜歡教養那邊，作者認為孩子需要的是「能辨認他們眼前所有可能導致快樂的途徑的能力」），雖然這都只是很個人主觀的看法而已。

不過如果對機率有興趣，想看看專家怎麼把機率與幸運做結合，相信書中前面的幾章，你應該會讀得蠻開心的。

先前介紹完貝氏定理後，有讀者反應講太快，應該先解釋貝氏定律裡最重要的觀念——條件機率。機率量化了一件事情發生的可能性。而條件機率嘛，比如說，你家樓下住了一位每天慢跑10公里的爺爺，傍晚你們在樓梯間遇到

「爺爺明天70歲生日嗎，都看不出來哎~」

爺爺能順利切到70歲蛋糕的機率，鐵定比台灣人平均能活到70歲的機率大上許多，因為健康的他只要再活一天就可以了。

給定某個條件下某個事件發生的可能性，即稱為條件機率。如果還不清楚，請想像這樣的場景：

※

星期五傍晚，珮穎獨自走在夕陽下。她晚上沒行程，只是單純不想加班。她討厭現在的公司文化，老闆總喜歡把員工綁在公司，綁越久越好。

又不是定存，放著也不會生利息。

她想起離開時，主管的視線越過隔板上方盯著她，心裡忍不住埋怨。

從馬路轉入小巷子，單行道兩側停滿車子，前方路口有個攤販在準備營業。一位穿西裝的上班族經過攤販，彎進巷子裡。逆光的夕陽將男子剪成一片瘦高的黑影，走近點，他的臉孔從黑影中浮現，一對修長秀氣的眼睛，以男生來說算白的膚色，給人秀氣的感覺，但不是柔弱，是無論面對甚麼事情，彷彿都能從容不迫處理的氣質。

珮穎注意到他的識別證還掛在身上，正想偷瞥一眼，男子突然加快腳步閃進路旁兩台車的縫隙間，對珮穎招手。

嗯？

還沒反應過來，珮穎聽見身後引擎聲響。回頭一看，一台老舊發財車要通過。男子還在對自己招手，遲疑一會兒，珮穎也縮進兩台車的縫隙間。

「我跟妳換位子吧。」

他高舉包包，與珮穎擦身而過，一陣清新的木香調香水氣味傳來。發財車捲起灰塵離去，男子揮揮手咳了幾聲。珮穎這下看清楚他的識別證了。

那年珮穎25歲，子威29歲。距離台灣男女平均壽命，各自還有57年與47年。

※

星期五傍晚，珮穎在夕陽下踱步，落日的餘溫被玻璃隔絕在外，窗戶這側只剩冰冷的空調，醫療儀器的聲響替時間畫下一道道刻度。珮穎坐回病床旁，病房裡總是充滿消毒水的氣味，但一靠近子威，還是可以聞到那股木香調的香水氣味。

子威伸過手來握住珮穎，兩人相視微笑。只要看見夕陽，珮穎就會想起他們第一次見面的畫面，這點子威比誰都清楚。

「50年了，這一切過得真快。」

這一年，珮穎75歲，距離台灣女性平均壽命還有7年；子威79歲，超過男性平均壽命3年。

※

巷子裡邂逅後，他們陷入熱戀。2年後的婚禮上，子威開頭第一句話是

「我要謝謝一位發財車司機——」

他們擁有標準的平凡的幸福的生活。生兒育女，儘管偶爾免不了吵架，但只要一到傍晚，總有一方會提議去散步，然後在夕陽下言歸於好。幾十年過去，小孩成家。雖然退休了，他們還得幫忙帶孫子。又過了幾年，孩子總算將孫子接回去自己帶。

那年子威72歲，珮穎68歲。

正準備好好享受生活，子威卻突然診斷出罹患癌症。美好的生活像紙糊似的，輕易地被命運撞出一個大洞。

剛知道病情時，子威很消沉，一度想放棄治療。

「李子威，你滿腦子想死就去死好了！我告訴你，台灣男人平均壽命是76歲，你才72歲，最好你打算這麼丟臉，讓你老婆比別人多守4年寡！」

說到最後，珮穎分不清自己是在罵人還是在哭泣。子威坐在客廳沙發，一整晚沒回話。隔天傍晚他們去散步，子威給珮穎看了他今天去醫院的診斷報告。一小時後，他住院接受癌症療程。

當晚，珮穎靠在病床上的子威替他削水果。

「第一次見面時，我不是走到前面幫妳擋灰塵嗎？」

珮穎點點頭。子威繼續說

「其實啊，我一直都沒講，當時我有刻意從妳的左側走過去噢。」

「啊？」

「因為心臟在左側，人通常是右撇子，身子會無意識往左傾斜。走在妳左側，妳會錯以為，怎麼自己一直往我身上靠，是不是喜歡我。」

「聽你亂說。」

珮穎嗤嗤地笑著，子威露出認真的表情

「真的，不然為什麼我們跑步都逆時針呢？就是逆時針跑時，靠左傾斜會自動產生向心力，跑起來比較順。」

珮穎半信半疑，卻看到子威似笑非笑地盯著自己，珮穎這才發現自己左半邊靠在子威身上。

「那麼老了還開這種玩笑。」

珮穎作勢打他，但她心底明白，子威是故作若無其事，想讓她安心。儘管受到影響，但他已經恢復成原本那位替她著想，總是把她擺在比自己更重要地位的男人。

※

「這幾年辛苦妳了。」

子威拿下氧氣罩，氣若游絲，距離診斷出癌症的那天到現在過了7年，前天他才剛從加護病房出來。醫生覺得子威能活到現在已經是奇蹟了。

珮穎知道這才不是奇蹟，是子威堅強意志力的展現。

「你才辛苦，已經超過平均壽命3年了，你做的很棒。」

珮穎開玩笑地說。子威搖搖頭，眼神望向床頭櫃上的筆記本，珮穎替他拿過來，裡面滿滿的數學式子

「還沒，我還沒贏過我這年紀的預期平均壽命。」

「你這年紀的平均壽命？」

子威休息了一下，一個字一個字慢慢說

「我後來才知道，平常說的是平均壽命是指『剛出生時所預期的平均壽命』，是最短的預期平均壽命。隨著年紀，我們預期能夠活的平均壽命就會慢慢變長。」

「為什麼？」

珮穎不懂，平均壽命就是平均壽命，怎麼會隨著年齡改變呢？

「舉個例子來說，4個同時出生的人，各自活到4歲、10歲、60歲、70歲。這樣平均壽命是幾歲？」

「36歲。」

「5歲時，剩下3個人，這3人的平均壽命是46.7歲。」

子威停下來喘口氣，現在他的光說話就得費上很大的力氣。

「換句話說，給定活到5歲時，平均壽命從剛出生的36歲，提升到46.7歲。增加了10.7年。」

「聽起來有點像條件機率？」

珮穎回答，他們夫妻的數學都不錯。

「年紀越大，樣本空間裡年輕早逝的人被排除在外，我們預期他們能夠活的平均壽命就會越來越長。假設y是表示壽命的隨機變數，則x歲時的壽命期望值為，」

筆記本上寫著

「其中，P(y|x)是指給定x歲的人，壽命為y歲的條件機率。只要活到40歲，能活到70歲的機率就會比20歲時能活到70歲的機率更大。用數學式子表示是P(y=70|x=40) > P(y=70|x=20)。」

子威接過筆記本，翻頁又是一大堆算式。

「我們再來定義一個『x歲的平均餘命』，意思是x歲的人平均還能再活幾年。它的數學式子是，」

他指著第二個加總符號說

「取k’=k+1，可以得到結果為，」

「換句話說，x歲的平均餘命，就是把『給定x歲後，還會活k年的機率』，從k=1到k=∞累加起來。」

子威笑了，那笑容像在草地裏撿到彈珠的小男孩，跑回來跟朋友炫耀的表情。

「我查過了台灣官方的國民生命表。在我這年紀的男性……竟然平均餘命還有8.3年。照你的標準來要求…我還有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。」

子威突然一陣咳嗽，笑容還沒褪去，痛苦的表情湧上混雜在一起。珮穎眼前一陣模糊，她知道子威又在安慰她了。她吸了吸鼻子，試圖讓聲音平穩

「那就辛苦你了，請再為了我多活幾年。」

當晚半夜，子威緊急被送回加護病房。凌晨，珮穎簽下放棄急救同意書。

※

星期五傍晚，珮穎站在夕陽下。紙蓮花被包覆在更大的、火焰形成的蓮花中。已經過了好幾次夕陽，她卻還沒跟子威說到話。這次的冷戰好久。

應該不可能習慣身邊沒有子威吧。不，不是不可能習慣，是我不希望習慣。

「奶奶妳還好嗎？」

孫女打斷了珮穎的思緒。

「爺爺還在的。只是我們看不到而已。」

孫女安慰她。珮穎想起她們相遇時，她正是孫女這個年紀吧。

「奶奶妳搬過來跟我們住好了，這樣爺爺也不用跑太多地方，可以更常回來。」

孫女試探性地問。珮穎知道孫女擔心獨居的自己觸景生情。有很多案例，感情深厚的夫妻一個先離開，另一個走不出來，也很快離開了。

「妳放心，奶奶很堅強，可以照顧好自己，還能活很多年的。妳爺爺教過我一套觀念……」

珮穎向孫女解釋起應用到條件機率的平均餘命。

「照你爺爺的說法，我還有11年好活。太早去鐵定會挨妳爺爺罵的。」

一旁還在念高中的小孫子插嘴說道

「可是奶奶，這觀念有點奇怪，因為機率恆正，不管到幾歲，平均餘命永遠是正的，表示當下的預期平均壽命永遠會大於當下的年紀，那不就是說，人類可以永遠活下去——」

「你閉嘴啦！」

孫女出言制止她那搞不清楚狀況的弟弟。

的確，這聽起來有點像芝諾悖論：烏龜跟阿基里斯賽跑，每當阿基里斯快要追上烏龜，烏龜都會趁著阿基里斯追趕所花的時間，再往前移動一點，阿基里斯又得再追趕。不論靠多近，烏龜永遠有一小段時間可以再前進，阿基里斯永遠追不上烏龜。

小孫子沒說錯，給定現在的年齡，只要沒破人瑞紀錄，永遠有人活得更久。平均餘命永遠大於零，永遠可以活下去。

但跟芝諾悖論不一樣，芝諾悖論有數學上的問題；餘命的觀念儘管看起來不合理，但在數學上完全正確，沒有漏洞。餘命永遠恆正，但那終究只是期望值，還是會有很多人在沒活到那年紀之前就先離開。

這是體貼的子威留給她最後的禮物，一道用完美數學構成的甜言蜜語。

他的意思是，他將永遠陪在她身邊。就像第一次見面一樣，他告訴她車來了，體貼地閃到前方幫她擋灰塵。

「奶奶自己住沒關係，」

珮穎打斷了孫女與孫子的爭執

「這樣爺爺如果回家了，才有人幫他開門啊。」

她朝左望去，夕陽在腳下拉出一道長長的影子，她閉上眼睛，彷彿聞到了子威身上那股淡淡的木香調香水氣味。

註: 更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。

• 文/Ryan Tang
  出生香港的80後，在東京大學成為核子物理博士。現在於日本理化學研究所工作。經常要向親朋好友解釋核子物理不是關於核電廠而煩惱。

y編按：你聽過「動物溝通師」嗎？他們也被稱為「傳心師」，可以透過照片等遠距離的方式跟在地球各處的動物溝通，有些溝通師會解釋其原理與物質不滅、腦電波隔空傳送、甚或是量子力學等等有關。但他們真的能傳心嗎？

香港《有線電視》的節目《新聞刺針》做了一個「動物傳心」的測試，他們用了一隻假的塑膠龜的照片說是記者走失的烏龜「布歐」，並詢問五位溝通師們布歐為何會「離家出走」。溝通師們的答案五花八門，有的說牠是一隻有理想有抱負想去大自然的龜龜，有的說牠一直躲在黑暗和潮濕的地方。

當然知道布歐是塑膠龜之後溝通師們各有不同的反應有的溝通師說他是和其他隻同名的烏龜有連結），先不論有沒有可能利用「量子糾纏」來「傳心」，先讓我們用機率來看這件事情有沒有可能呢？

之前有《新聞刺針》用塑膠龜測試「動物傳心」的真偽，發現 5 位動物溝通師都未能「感知」布歐是隻塑膠烏龜，《新聞刺針》便因此以「動物傳心為假」作結。但動物溝通師仍聲稱這是基於量子力學，由於量子力學是不能作出確定性（deterministic）的預測，只能給出機率；那麼，我猜「溝通師能傳心」也應該是由機率決定吧！

所以 5 次測試都未能給出正確答案就否定動物傳心，以統計的角度好像太武斷。在此不論膠龜有沒有思想，也不探究傳心和量子力學的關係，純粹由統計角度看問題。

箱子裡的球球是什麼顏色？先驗機率與條件機率

假設有一個箱，箱子裏有很多球。抽一次得到了紅球，就可以說箱子裏所有的球都是紅球嗎？顯然是不可以的。再抽五次，得五個紅球，那麼可以說箱子裏全都是紅球嗎？假如箱子有五個紅球跟五個非紅球，也有機會連續抽到五個紅球啊。如果抽了 100 次，每一次都是紅球，感覺紅球應該佔很大比例，也就是說其機率很高。在這些例子中，如何用數學理解這個「直覺」呢？

一般學校教的機率，是假定事件的先驗機率（prior probability），然後去計相關的機率。例如，已知箱子裏有 5 個紅球，5 個綠球，求抽到 2 個紅球跟 3 個綠球的機率。又例如假定雨天的機率是 30%，求未來 3 天會下雨的機率。但現實是先驗機率是很抽象的，所有機率都應該是實驗得來。想知道箱子有什麼球，就要把所有球檢查一次。想知錢幣是否公正，理論上我們要擲無限次，然後看看公和字出現的頻率是否相同，我們才能得出一個近似的先驗機率。

但現實上，我們只能擲的次數是有限的。而如果是說下雨的機率，難道天文台能把明天「重覆」幾次，然後得出先驗的下雨機率嗎？天文台可以模擬明天幾遍，而得出一個模擬機率，但這機率跟真實的「先驗」機率性質還是不同。所以先驗機率其實同假設沒兩樣。

基於先驗機率的不可知，數學家想出機率應該只能跟據手上的資訊來決定。當有新的資料，這個機率就會更新。情況就像，過去下雨的機率是 30%，當今天過去而沒有下雨，那麼明天下雨機率就會下降。 這個不斷更新的機率，比較容易定義，也容易操作，而且反映出觀察者對事件的「信心」。

那麼現在說明如何操作了。假設抽 n 次出 r 個紅球。跟據二項分佈（Binomial distribution），其機率是

P (n, r｜x) = C _rⁿ x^r (1-x)^n-r

這裏用了條件機率（conditional probability），意即是如果抽紅球的機率是 x ，那麼抽 n 次出 r 個紅球的機率是這麼多。這個機率也可以想像成似然函數（Likelihood），即是如果抽 n 次出 r 個紅球，那麼「紅球的機率」是 x 的機會是多少。似然函數跟機率的關係是這樣

L (x｜n, r) = P (n, r｜x)

這時候根據 x 的不同會得出似然函數。下圖畫出一些例子。

可見如果抽 10 次只有 1 個紅球（藍線），那麼似然函數會隨 x 而有所變化。而最似然函數最大時相應的機率是 0.1 ，即「紅球的機率」最有可能是 0.1。這結果完全是附合傳統的機率理論，抽 10 次只有 1 個紅球，那「紅球的機率」就是 0.1 啊！但是，我們看到藍線在 0.1 附近是有個寛度，而這寛度代表不確定性。如果抽 10 次有 5 個紅球（橙線），紅球的機率最有可能就是 0.5。 當抽 500 次有 250 次紅球（紅線），紅球的機率最可能也是 0.5。但是分布變窄了，也就是說 0.5 的「誤差」會隨著抽越多次而變得越小！

要注意，似然函數是觀察者因資訊而得出。似然函數最大值時相應的機率，跟先驗機率（或真正的機率）還可能有差別。例如就算真正的機率為 0.2，抽 10 次只有 1 個紅球的機率為 27 %，也是相當有可能的。所以在上圖中藍線在 x=0.2 那裏還有一定機率。但基於實驗結果最有可能的機率是 0.1。

5位動物溝通師都「槓龜」以後，動物溝通仍然不是夢？

好。那麼 5 位動物溝通師都沒有正確。那麼傳心最有可能的機率是 0；但不能因為這樣而完全否定傳心的可能。看看下圖當 n =5，r = 0 的情況。

會發現在 x 不等於 0 的情況下其實還是有不少機率的：例如在x 等於 0.2，還有大約 30% 的機率，即「傳心有可能是20%的機率」還有0.3。由於似然函數的峰值在0，所以顯然還是有誤差的，因此習慣上會用半峰全寬（Full width at half maximum）所對應的x來定義其誤差；由上圖中所見誤差為13%， 所以傳心有可能為真的機率上限還有 13 %。我們也可以想像，當測試的數量不是5次，而是50次，那半峰全寛就會很窄，而傳心可能為真的機率上限就會很接近零。

利用似然函數，我們不但得出跟一般機率理論一樣的結果（5次失敗，成功率是零），更可以得出誤差（雖成功率是零，但還有是13%誤差）。而誤差是多少，往往反映出數字的可靠性。誤差越大，數字本身的意義就越少。而誤差越小、數字就越精確，也更具參考價值。例如在運動場上，選手們會打好幾場賽事來分出高下，因為那樣得出的結果誤差會變小，這比較可以反映選手的真正實力。最後，以似然函數來看世界，統計數字的背後往往還是有誤差。所以少數幾次失敗也不要放棄，失敗為成功之母啊！抓住那誤差外的87 %吧，布歐！

先前介紹完貝氏定理後，有讀者反應講太快，應該先解釋貝氏定律裡最重要的觀念——條件機率。機率量化了一件事情發生的可能性。而條件機率嘛，比如說，你家樓下住了一位每天慢跑10公里的爺爺，傍晚你們在樓梯間遇到

「爺爺明天70歲生日嗎，都看不出來哎~」

爺爺能順利切到70歲蛋糕的機率，鐵定比台灣人平均能活到70歲的機率大上許多，因為健康的他只要再活一天就可以了。

給定某個條件下某個事件發生的可能性，即稱為條件機率。如果還不清楚，請想像這樣的場景：

※

星期五傍晚，珮穎獨自走在夕陽下。她晚上沒行程，只是單純不想加班。她討厭現在的公司文化，老闆總喜歡把員工綁在公司，綁越久越好。

又不是定存，放著也不會生利息。

她想起離開時，主管的視線越過隔板上方盯著她，心裡忍不住埋怨。

從馬路轉入小巷子，單行道兩側停滿車子，前方路口有個攤販在準備營業。一位穿西裝的上班族經過攤販，彎進巷子裡。逆光的夕陽將男子剪成一片瘦高的黑影，走近點，他的臉孔從黑影中浮現，一對修長秀氣的眼睛，以男生來說算白的膚色，給人秀氣的感覺，但不是柔弱，是無論面對甚麼事情，彷彿都能從容不迫處理的氣質。

珮穎注意到他的識別證還掛在身上，正想偷瞥一眼，男子突然加快腳步閃進路旁兩台車的縫隙間，對珮穎招手。

嗯？

還沒反應過來，珮穎聽見身後引擎聲響。回頭一看，一台老舊發財車要通過。男子還在對自己招手，遲疑一會兒，珮穎也縮進兩台車的縫隙間。

「我跟妳換位子吧。」

他高舉包包，與珮穎擦身而過，一陣清新的木香調香水氣味傳來。發財車捲起灰塵離去，男子揮揮手咳了幾聲。珮穎這下看清楚他的識別證了。

那年珮穎25歲，子威29歲。距離台灣男女平均壽命，各自還有57年與47年。

※

星期五傍晚，珮穎在夕陽下踱步，落日的餘溫被玻璃隔絕在外，窗戶這側只剩冰冷的空調，醫療儀器的聲響替時間畫下一道道刻度。珮穎坐回病床旁，病房裡總是充滿消毒水的氣味，但一靠近子威，還是可以聞到那股木香調的香水氣味。

子威伸過手來握住珮穎，兩人相視微笑。只要看見夕陽，珮穎就會想起他們第一次見面的畫面，這點子威比誰都清楚。

「50年了，這一切過得真快。」

這一年，珮穎75歲，距離台灣女性平均壽命還有7年；子威79歲，超過男性平均壽命3年。

※

巷子裡邂逅後，他們陷入熱戀。2年後的婚禮上，子威開頭第一句話是

「我要謝謝一位發財車司機——」

他們擁有標準的平凡的幸福的生活。生兒育女，儘管偶爾免不了吵架，但只要一到傍晚，總有一方會提議去散步，然後在夕陽下言歸於好。幾十年過去，小孩成家。雖然退休了，他們還得幫忙帶孫子。又過了幾年，孩子總算將孫子接回去自己帶。

那年子威72歲，珮穎68歲。

正準備好好享受生活，子威卻突然診斷出罹患癌症。美好的生活像紙糊似的，輕易地被命運撞出一個大洞。

剛知道病情時，子威很消沉，一度想放棄治療。

「李子威，你滿腦子想死就去死好了！我告訴你，台灣男人平均壽命是76歲，你才72歲，最好你打算這麼丟臉，讓你老婆比別人多守4年寡！」

說到最後，珮穎分不清自己是在罵人還是在哭泣。子威坐在客廳沙發，一整晚沒回話。隔天傍晚他們去散步，子威給珮穎看了他今天去醫院的診斷報告。一小時後，他住院接受癌症療程。

當晚，珮穎靠在病床上的子威替他削水果。

「第一次見面時，我不是走到前面幫妳擋灰塵嗎？」

珮穎點點頭。子威繼續說

「其實啊，我一直都沒講，當時我有刻意從妳的左側走過去噢。」

「啊？」

「因為心臟在左側，人通常是右撇子，身子會無意識往左傾斜。走在妳左側，妳會錯以為，怎麼自己一直往我身上靠，是不是喜歡我。」

「聽你亂說。」

珮穎嗤嗤地笑著，子威露出認真的表情

「真的，不然為什麼我們跑步都逆時針呢？就是逆時針跑時，靠左傾斜會自動產生向心力，跑起來比較順。」

珮穎半信半疑，卻看到子威似笑非笑地盯著自己，珮穎這才發現自己左半邊靠在子威身上。

「那麼老了還開這種玩笑。」

珮穎作勢打他，但她心底明白，子威是故作若無其事，想讓她安心。儘管受到影響，但他已經恢復成原本那位替她著想，總是把她擺在比自己更重要地位的男人。

※

「這幾年辛苦妳了。」

子威拿下氧氣罩，氣若游絲，距離診斷出癌症的那天到現在過了7年，前天他才剛從加護病房出來。醫生覺得子威能活到現在已經是奇蹟了。

珮穎知道這才不是奇蹟，是子威堅強意志力的展現。

「你才辛苦，已經超過平均壽命3年了，你做的很棒。」

珮穎開玩笑地說。子威搖搖頭，眼神望向床頭櫃上的筆記本，珮穎替他拿過來，裡面滿滿的數學式子

「還沒，我還沒贏過我這年紀的預期平均壽命。」

「你這年紀的平均壽命？」

子威休息了一下，一個字一個字慢慢說

「我後來才知道，平常說的是平均壽命是指『剛出生時所預期的平均壽命』，是最短的預期平均壽命。隨著年紀，我們預期能夠活的平均壽命就會慢慢變長。」

「為什麼？」

珮穎不懂，平均壽命就是平均壽命，怎麼會隨著年齡改變呢？

「舉個例子來說，4個同時出生的人，各自活到4歲、10歲、60歲、70歲。這樣平均壽命是幾歲？」

「36歲。」

「5歲時，剩下3個人，這3人的平均壽命是46.7歲。」

子威停下來喘口氣，現在他的光說話就得費上很大的力氣。

「換句話說，給定活到5歲時，平均壽命從剛出生的36歲，提升到46.7歲。增加了10.7年。」

「聽起來有點像條件機率？」

珮穎回答，他們夫妻的數學都不錯。

「年紀越大，樣本空間裡年輕早逝的人被排除在外，我們預期他們能夠活的平均壽命就會越來越長。假設y是表示壽命的隨機變數，則x歲時的壽命期望值為，」

筆記本上寫著

「其中，P(y|x)是指給定x歲的人，壽命為y歲的條件機率。只要活到40歲，能活到70歲的機率就會比20歲時能活到70歲的機率更大。用數學式子表示是P(y=70|x=40) > P(y=70|x=20)。」

子威接過筆記本，翻頁又是一大堆算式。

「我們再來定義一個『x歲的平均餘命』，意思是x歲的人平均還能再活幾年。它的數學式子是，」

他指著第二個加總符號說

「取k’=k+1，可以得到結果為，」

「換句話說，x歲的平均餘命，就是把『給定x歲後，還會活k年的機率』，從k=1到k=∞累加起來。」

子威笑了，那笑容像在草地裏撿到彈珠的小男孩，跑回來跟朋友炫耀的表情。

「我查過了台灣官方的國民生命表。在我這年紀的男性……竟然平均餘命還有8.3年。照你的標準來要求…我還有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。」

子威突然一陣咳嗽，笑容還沒褪去，痛苦的表情湧上混雜在一起。珮穎眼前一陣模糊，她知道子威又在安慰她了。她吸了吸鼻子，試圖讓聲音平穩

「那就辛苦你了，請再為了我多活幾年。」

當晚半夜，子威緊急被送回加護病房。凌晨，珮穎簽下放棄急救同意書。

※

星期五傍晚，珮穎站在夕陽下。紙蓮花被包覆在更大的、火焰形成的蓮花中。已經過了好幾次夕陽，她卻還沒跟子威說到話。這次的冷戰好久。

應該不可能習慣身邊沒有子威吧。不，不是不可能習慣，是我不希望習慣。

「奶奶妳還好嗎？」

孫女打斷了珮穎的思緒。

「爺爺還在的。只是我們看不到而已。」

孫女安慰她。珮穎想起她們相遇時，她正是孫女這個年紀吧。

「奶奶妳搬過來跟我們住好了，這樣爺爺也不用跑太多地方，可以更常回來。」

孫女試探性地問。珮穎知道孫女擔心獨居的自己觸景生情。有很多案例，感情深厚的夫妻一個先離開，另一個走不出來，也很快離開了。

「妳放心，奶奶很堅強，可以照顧好自己，還能活很多年的。妳爺爺教過我一套觀念……」

珮穎向孫女解釋起應用到條件機率的平均餘命。

「照你爺爺的說法，我還有11年好活。太早去鐵定會挨妳爺爺罵的。」

一旁還在念高中的小孫子插嘴說道

「可是奶奶，這觀念有點奇怪，因為機率恆正，不管到幾歲，平均餘命永遠是正的，表示當下的預期平均壽命永遠會大於當下的年紀，那不就是說，人類可以永遠活下去——」

「你閉嘴啦！」

孫女出言制止她那搞不清楚狀況的弟弟。

的確，這聽起來有點像芝諾悖論：烏龜跟阿基里斯賽跑，每當阿基里斯快要追上烏龜，烏龜都會趁著阿基里斯追趕所花的時間，再往前移動一點，阿基里斯又得再追趕。不論靠多近，烏龜永遠有一小段時間可以再前進，阿基里斯永遠追不上烏龜。

小孫子沒說錯，給定現在的年齡，只要沒破人瑞紀錄，永遠有人活得更久。平均餘命永遠大於零，永遠可以活下去。

但跟芝諾悖論不一樣，芝諾悖論有數學上的問題；餘命的觀念儘管看起來不合理，但在數學上完全正確，沒有漏洞。餘命永遠恆正，但那終究只是期望值，還是會有很多人在沒活到那年紀之前就先離開。

這是體貼的子威留給她最後的禮物，一道用完美數學構成的甜言蜜語。

他的意思是，他將永遠陪在她身邊。就像第一次見面一樣，他告訴她車來了，體貼地閃到前方幫她擋灰塵。

「奶奶自己住沒關係，」

珮穎打斷了孫女與孫子的爭執

「這樣爺爺如果回家了，才有人幫他開門啊。」

她朝左望去，夕陽在腳下拉出一道長長的影子，她閉上眼睛，彷彿聞到了子威身上那股淡淡的木香調香水氣味。

註: 更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。