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天氣預報到底是不是在騙人?我整個就不爽了!從生活案例看條件機率——《跟著網紅老師玩科學》

時報出版_96
・2019/08/23 ・1984字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 438 ・四年級

許多人說,現在科學這麼發達,為什麼天氣預報總是不準呢?

這裡涉及一個數學問題,稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢?例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨,根據往年資料,下雨的機率有 40% ,不下雨的機率為 60% ,這就稱為「機率」。如果在前一天,天氣預報說 6月15 日下雨,這就稱為「條件」, 在這種條件下, 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

圖/《跟著網紅老師玩科學》提供

你哭著對我說,天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨,由於天氣捉摸不定,即便預報下雨,也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ,即在預報下雨的情況下,有 90% 的機率下雨,有 10% 的機率不下雨;同樣,在預報不下雨的情況下,有 10% 的機率下雨,有 90% 的機率不下雨。

這樣一來, 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能:預報下雨且真的下雨,預報不下雨但是下雨,預報下雨但是不下雨,預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中,並計算相應的機率。

下雨不下雨
預報下雨40% × 90% = 36%60% × 10% = 6%
預報不下雨40% × 10% = 4%60% × 90% = 54%

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ,下雨時預報下雨的機率為 90% ,因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理,我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ,二者之和為 42% ,這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中,真正下雨占 36% 的可能,比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%,而不下雨的機率為 6% ,占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說,假設天氣預報的準確率為 90% ,預報下雨的條件下,真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現:

預報下雨時是否真的下雨,不光與預報的準確度有關,同時也與這個地區平時下雨的機率有關

圖/《跟著網紅老師玩科學》提供

檢查報告說我中獎了,我就真的生病了嗎?

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時,如果醫生發現異常,一般不會直接斷定生病了,而會建議到大醫院再檢查一次,雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢?

假設有一種重大疾病,患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說, 隨機選取一個人,有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病,有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法,誤診率只有萬分之一,也就是說,患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人,健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問:在一次檢查得到患病結果的前提下,這個人真正患病的機率有多大?

患病健康
檢測患病\(\frac{1}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(= \frac{9999}{70000000}\) \(\frac{6999}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(= \frac{6999}{70000000}\)
檢測健康\(\frac{1}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(= \frac{1}{70000000}\) \(\frac{6999}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(= \frac{69983001}{70000000}\)

我們仿照剛才的計算方法,檢測出患病的總機率為:\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
患病且檢測出患病的機率為:\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下,真正患病的機率為:\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見,即便是萬分之一誤診的情況,一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

圖/《跟著網紅老師玩科學》提供

那麼,兩次檢測都是患病的情況又如何呢?

大家要注意,在第一次檢測結果為患病的前提下,此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ,而變為自己的 58.8% ,健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率,所以第二次檢測的表格變為:

患病健康
檢測患病58.8% × \(\frac{9999}{10000}\)= 58.794% 41.2% × \(\frac{1}{10000}\)= 0.004%
檢測健康 58.8% × \(\frac{1}{10000}\)= 0.006% 41.2% × \(\frac{9999}{10000}\)= 41.196%

兩次檢測都是患病的條件下,此人真正患病的機率為:\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯

圖/《跟著網紅老師玩科學》提供

貝葉斯指出:如果 A 和 B 是兩個相關的事件, A 有發生和不發生兩種可能, B 有 B1 、 B2 、……、 Bn 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下, Bi 發生的機率稱為:條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率,首先要計算在 Bi 發生的條件下 ,A 發生的機率,公式為:\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後,需要計算事件A發生的總機率

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘,再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後,用上述兩個機率相除,完整的貝式定理公式就是:

\( P(B_i|A) \) \(=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A|B_n)} \)

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域,都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診,不要完全怪氣象臺和醫院啦!有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》,2019 年 4 月,時報出版

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時報出版_96
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出版品包括文學、人文社科、商業、生活、科普、漫畫、趨勢、心理勵志等,活躍於書市中,累積出版品五千多種,獲得國內外專家讀者、各種獎項的肯定,打造出無數的暢銷傳奇及和重量級作者,在台灣引爆一波波的閱讀議題及風潮。


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揭開人體的基因密碼!——「基因定序」是實現精準醫療的關鍵工具

科技魅癮_96
・2021/11/16 ・1998字 ・閱讀時間約 4 分鐘

為什麼有些人吃不胖,有些人沒抽菸卻得肺癌,有些人只是吃個感冒藥就全身皮膚紅腫發癢?這一切都跟我們的基因有關!無論是想探究生命的起源、物種間的差異,乃至於罹患疾病、用藥的風險,都必須從了解基因密碼著手,而揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。

揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。圖/科技魅癮提供

基因定序對人類生命健康的意義

在歷史上,DNA 解碼從 1953 年的華生(James Watson)與克里克(Francis Crick)兩位科學家確立 DNA 的雙螺旋結構,闡述 DNA 是以 4 個鹼基(A、T、C、G)的配對方式來傳遞遺傳訊息,並逐步發展出許多新的研究工具;1990 年,美國政府推動人類基因體計畫,接著英國、日本、法國、德國、中國、印度等陸續加入,到了 2003 年,人體基因體密碼全數解碼完成,不僅是人類探索生命的重大里程碑,也成為推動醫學、生命科學領域大躍進的關鍵。原本這項計畫預計在 2005 年才能完成,卻因為基因定序技術的突飛猛進,使得科學家得以提前完成這項壯舉。

提到基因定序技術的發展,早期科學家只能測量 DNA 跟 RNA 的結構單位,但無法排序;直到 1977 年,科學家桑格(Frederick Sanger)發明了第一代的基因定序技術,以生物化學的方式,讓 DNA 形成不同長度的片段,以判讀測量物的基因序列,成為日後定序技術的基礎。為了因應更快速、資料量更大的基因定序需求,出現了次世代定序技術(NGS),將 DNA 打成碎片,並擴增碎片到可偵測的濃度,再透過電腦大量讀取資料並拼裝序列。不僅更快速,且成本更低,讓科學家得以在短時間內讀取數百萬個鹼基對,解碼許多物種的基因序列、追蹤病毒的變化行蹤,也能用於疾病的檢測、預防及個人化醫療等等。

在疾病檢測方面,儘管目前 NGS 並不能找出全部遺傳性疾病的原因,但對於改善個體健康仍有積極的意義,例如:若透過基因檢測,得知將來罹患糖尿病機率比別人高,就可以透過健康諮詢,改變飲食習慣、生活型態等,降低發病機率。又如癌症基因檢測,可分為遺傳性的癌症檢測及癌症組織檢測:前者可偵測是否有單一基因的變異,導致罹癌風險增加;後者則針對是否有藥物易感性的基因變異,做為臨床用藥的參考,也是目前精準醫療的重要應用項目之一。再者,基因檢測後續的生物資訊分析,包含基因序列的註解、變異位點的篩選及人工智慧評估變異點與疾病之間的關聯性等,對臨床醫療工作都有極大的助益。

基因定序有助於精準醫療的實現。圖/科技魅癮提供

建立屬於臺灣華人的基因庫

每個人的基因背景都不同,而不同族群之間更存在著基因差異,使得歐美國家基因庫的資料,幾乎不能直接應用於亞洲人身上,這也是我國自 2012 年發起「臺灣人體生物資料庫」(Taiwan biobank),希望建立臺灣人乃至亞洲人的基因資料庫的主因。而 2018 年起,中央研究院與全臺各大醫院共同發起的「臺灣精準醫療計畫」(TPMI),希望建立臺灣華人專屬的基因數據庫,促進臺灣民眾常見疾病的研究,並開發專屬華人的基因型鑑定晶片,促進我國精準醫療及生醫產業的發展。

目前招募了 20 萬名臺灣人,這些民眾在入組時沒有被診斷為癌症患者,超過 99% 是來自中國不同省分的漢族移民人口,其中少數是臺灣原住民。這是東亞血統個體最大且可公開獲得的遺傳數據庫,其中,漢族的全部遺傳變異中,有 21.2% 的人攜帶遺傳疾病的隱性基因;3.1% 的人有癌症易感基因,比一般人罹癌風險更高;87.3% 的人有藥物過敏的基因標誌。這些訊息對臨床診斷與治療都相當具實用性,例如:若患者具有某些藥物不良反應的特殊基因型,醫生在開藥時就能使用替代藥物,避免病人服藥後產生嚴重的不良反應。

基因時代大挑戰:個資保護與遺傳諮詢

雖然高科技與大數據分析的應用在生醫領域相當熱門,但有醫師對於研究結果能否運用在臨床上,存在著道德倫理的考量,例如:研究用途的資料是否能放在病歷中?個人資料是否受到法規保護?而且技術上各醫院之間的資料如何串流?這些都需要資通訊科技(ICT)產業的協助,而醫師本身相關知識的訓練也需與時俱進。對醫院端而言,建議患者做基因檢測是因為出現症狀,希望找到原因,但是如何解釋以及病歷上如何註解,則是另一項重要議題。

從人性觀點來看,在技術更迭演進的同時,對於受測者及其家人的心理支持及社會資源是否相應產生?回到了解病因的初衷,在知道自己體內可能有遺傳疾病的基因變異時,家庭成員之間的情感衝擊如何解決、是否有對應的治療方式等,都是值得深思的議題,也是目前遺傳諮詢門診中會詳細解說的部分。科技的初衷是為了讓人類的生活變得更好,因此,基因檢測如何搭配專業的遺傳諮詢系統,以及法規如何在科學發展與個資保護之間取得平衡,將是下一個基因時代的挑戰。

更多內容,請見「科技魅癮」:https://charmingscitech.pse.is/3q66cw

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《科技魅癮》的前身為1973年初登場的《科學發展》月刊,每期都精選1個國際關注的科技議題,邀請1位國內資深學者擔任客座編輯,並訪談多位來自相關領域的科研菁英,探討該領域在臺灣及全球的研發現況及未來發展,盼可藉此增進國內研發能量。 擋不住的魅力,戒不了的讀癮,盡在《科技魅癮》