許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？
這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。
什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。
你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的
天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。
這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。
我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。
| 下雨 | 不下雨 | |
| 預報下雨 | 40% × 90% = 36% | 60% × 10% = 6% |
| 預報不下雨 | 40% × 10% = 4% | 60% × 90% = 54% |
計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。
在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。
也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。
我們會發現：
預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。
檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？
與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？
假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。
有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。
我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？
| 患病 | 健康 | |
| 檢測患病 | \(\frac{1}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(= \frac{9999}{70000000}\) | \(\frac{6999}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(= \frac{6999}{70000000}\) |
| 檢測健康 | \(\frac{1}{7000} \times \frac{1}{10000}\)\(= \frac{1}{70000000}\) | \(\frac{6999}{7000} \times \frac{9999}{10000}\)\(= \frac{69983001}{70000000}\) |
我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)
所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%
顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。
那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？
大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。
此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：
| 患病 | 健康 | |
| 檢測患病 | 58.8% × \(\frac{9999}{10000}\)= 58.794% | 41.2% × \(\frac{1}{10000}\)= 0.004% |
| 檢測健康 | 58.8% × \(\frac{1}{10000}\)= 0.006% | 41.2% × \(\frac{9999}{10000}\)= 41.196% |
在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。
日常生活超有感──貝式定理
對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。
貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B1 、 B2 、……、 Bn 共 n 種可能。
那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)
要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)
然後，需要計算事件A發生的總機率：
方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)
最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：
\( P(B_i|A) \) \(=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A|B_n)} \)
貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。
下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。
——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。
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