《 You Are The One That I Want 》——2019數感盃／高中組專題報導類銅獎

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類銅獎之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：蕭宇岑、林子揚／中正高中。

到底有沒有所謂的真命天子。圖／publicdomainpictures。

愛情或婚姻，到底有沒有所謂的真命天子？大部分的人應該都希望自己能夠遇到一個完美情人，並和他長相廝守。有些人會特別去算命，算算自己會在什麼時候會遇到自己的真命天子；有些人會因為時間壓力而訂一個期限，要在這期限內找到對象，不然就不結婚；而現代社會，更有些人會為了盡快找到結婚對象，而去相親，不論是自己願意，還是被父母逼的。

愛情這種東西，很多人都會說要「看緣分」，也就是說，大部分的人相信，找到另一半是很難掌握的。為了更容易掌握住自己的愛情，人們就會出現去算命、聯誼，乃至於相親的行為了。但是，在這些方式之中，我們是否能透過數學的觀點，得到一個合理的策略，例如當我們在進行相親時，是否能夠透過機率的方式去計算，產生一個最好的策略去選中最好的那位完美情人呢？

我們假設要和100個對象相親（約會），而且每次約會後都必須做決定，就是選擇和他繼續交往或者不繼續，若選擇不繼續發展，也就表示放棄了這個對象，則可以繼續和下一個人相親(約會)；若選擇了交往，就不能反悔、不可重新選擇和繼續約會。

若這一百個人我們可以排出名次，也就是說他們有大小關係，而且任兩人不並列，那麼如何才能夠使你有最大的可能選中這100個對象中最好的那一位呢？（先決條件為：只有一個最好的，且只要選最好的。）

在這裡我們運用數學的「最佳停止理論」：先在前期設定一個期間（淘汰期），這個期間我們將他設為評判標準，也就是說在這期間之內，不論遇到多好的對象都必須放棄，可是過了這個期間之後你擁有了足夠評判標準，因此只要在此後有遇上比這淘汰期任何人還好的對象，也就是目前為止遇到最好的人，則可以直接選擇他。所以這個期間的長短的取捨，其實就是我們選取的策略。

首先假設最好的對象是在第 p 個的位置，在 100 人中他恰好為最好的對象的機率為  １／１００ （只有一個最好的對象）。再來假設淘汰期為 ｘ 個人，也就是淘汰掉 ｘ 個人。而為了達成我們的最終目的：選中最好的。在遇到 P 之前，從第1位到第 Ｐ−１ 位內最好的人，就必須介在第1到第ｘ間（淘汰期內），被當成選出 p。的標準，也就是說他被淘汰掉。如此一來，就能在ｘ後，準確地選中最好的對象（ p。）。

故以為ｘ, ｐ 為變數， ｐ為最好且選中ｐ之機率函數為：

當固定淘汰 ｘ 人後，考慮ｐ的位置。當 ｐ。在淘汰期（ｘ）內時，我們選中他的機率便為0，故只需要考慮ｐ＝ｘ＋１一直到ｐ＝１００的時候。選中最好的對象的機率為ｆ_１（Ｘ）為：

讓我們思考一下，剛開始隨著ｘ（淘汰期）的增加，我們有更好的標準，故選中最好的機率ｆ_１（Ｘ）的函數圖形是遞增的，但是當ｘ超過某數時，不但會造成標準過高，還會造成選擇變少，故此時選中最好的機率ｆ_１（Ｘ）會變成遞減。故可推估隨著ｘ值的變大，機率會先增加後減少，而我們需要最大的機率（ｆ_１（Ｘ）成最大值），所以考慮ｘ的後項（ｘ＋１）會恰好剛比前項（ｘ）還差的情況（代入函數後相減為負），且為最小值以數學式表示：

ｆ１（ｘ＋１）−ｆ１（Ｘ）＜０且ｘ為最小值  （圖1）

ｆ_１（ｘ＋１）−ｆ_１（Ｘ）且 ｘ 為最小值

經過我們帶入數字計算，發現 ｘ為 37 有最大的機率 37.1042 %，也就是說我們將前 37 個淘汰做為標準，則我們就會有約 37 %的機會選到最好的對象。

但是！37 %⋯⋯顯示出有將近六成的機率會失敗，並且若最好的人剛好被淘汰掉時，就會做出不結婚的決定，則會有 37 %的機率會孤老一生！這個結果顯然不合情理。而為了提高選中最好的對象的機率，並降低孤老終生的狀況發生，現代的社會也慢慢地接受了再婚、第二春。

所以我們將條件增加一個「可以離婚一次」。為了避免重複上方計算過的運算結果，也就是沒有離婚的情況，增加條件後，計算過程內先單純考慮離婚一次再遇到最好的機率。也就是說，在選中最好的對象前，我們可以先選一位跟他交往，之後仍然可以繼續相親，並且有權可以捨棄現在的對象，並和另一位交往，但這僅限一次且之後的條件就和原本一樣，不可反悔、不可回頭重新選擇。這裡我們先單純考慮一定需要離婚的情況，再加上不離婚的情況（上方的結果），即為所求。

首先我們同樣假定最好的人在 100 個對象中的第ｐ位，然後必須在遇到最好的人ｐ之前，先選到第1位到第ｐ位內第二好的人，如此才能在離婚一次的狀態下選到最好的ｐ，我們先稱之為局部第二好。而這個局部第二好，其實也就是前面所說的「第1位到第ｐ−１位內最好的人」。

假設局部第二好是在100個對象中的第ｑ位，而ｑ為ｐ−１中最好的機率為 １／ｐ-１ 。為了達到「離婚一次」的情況發生，ｑ必須介在 ｘ 和 ｐ 之間，且在遇到 ｑ 之前，第1位到第 ｘ 位內最好的人（1到 ｑ 中局部的第二好），就必須介在第1到第 ｘ 間（淘汰期內），被當成選出ｑ的標準，並被我們淘汰掉。如此一來，就能在ｘ後，準確地選中局部第二好的對象（ｑ），並發生離婚一次的情況，然後再選中最好的對象（ｐ）。

故以 ｘ , ｐ, ｑ 為變數， ｐ為最好、ｑ為局部第二好且選中ｐ之機率函數為：

此時有ｐ＞ｑ＞ｘ。

當固定淘汰ｘ人後，且考慮ｑ（局部第二好的人）的位置。當 ｑ 在淘汰期內或 ｐ 之後，發生離婚且再婚選中最好的機率為０（ｑ會被淘汰或沒有發生離婚的情況），故ｑ＝ｘ＋１一直到ｑ＝ｐ−１的時候，選到最好的對象在ｐ的位置上的機率就是：

當固定淘汰ｘ人後，且考慮完ｑ的位置，再考慮ｐ的位置。當ｐ在淘汰期內或ｐ在淘汰期後的第一位，發生離婚且再婚選中最好的機率為０ （會被淘汰或沒有發生離婚的情況），故ｐ＝ｘ＋２一直到ｐ＝１００的時候，選到最好的人機率就是：

此時亦有：

這裡為必離一次婚的機率，故總機率Ｆ（Ｘ）為不離婚與離一次婚的總和，即：Ｆ（ｘ）＝ｆ_１（ｘ）＋ｆ_２（ｘ）

此時欲有： 

此時欲求Ｆ（ｘ）的最大值，即找使得Ｆ（ｘ＋１）−Ｆ（ｘ）＜０且ｘ為最小值：

假設：

最後簡化得算式：

把 Ｋ 代入數字運算，得到ｘ為 24 時，Ｋ為＜２的最大值。有最大的機會在可以離婚的情況下選到最好的對象。

經過我們的計算，發現ｘ為24時，ｆ_１（24）≈0.3463406、ｆ_２≈0.2460007，也就是說有離婚一次的機會，在一樣的（淘汰期）為 24 時，為我們增加了約 24 %的成功率，使我們最大的機率有約 59.243 %的成功率，也就是說我們將前 24 個淘汰做為標準，則我們就會有接近六成的機率選到最好的對象。

至此因為我們利用了數學算出了最佳停止的時刻，而且加了可以接受離婚一次的條件，不但可以縮短淘汰期減少淘汰掉最好對象的可能，也減少了淘汰最好對象的機會（孤老一生的機會降低），所以使得成功率增加了不少，顯然這個結果是更好的。

人生中其實做這種不可後悔的決定是很常見的，除了結婚之外，諸如工作、學業，甚至於今天晚上吃什麼，許多時候總是做著這樣子不可後悔的決定。在做決定的時候我們除了憑自己的第六感之外，其實動筆計算一下，運用我們所學過的數學技巧，可以幫助我們能夠更好的擬定策略。如此看來，除了前六感外，若人生中多了數感做為第七感，似乎就可以做出最好的決定，也避免與完美情人擦身而過！可以過得更加愉快呢！

參考資料

1. 假設情況
2. 「最佳停止理論」

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容，歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網及粉絲頁喔。