世界盃另一戰場：賭客對莊家

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

本文轉載自食藥好文網

• 文／周怡廷（高雄醫學大學生理學研究所畢業）

這段詩是否說中你的心事？是否你也卡在靈魂與脂肪之間，成了不得已的胖子？

各樣影視作品中，諸多男神女神以規格化的美，行銷了某些身材的樣板，成效極佳。行走人間，很容易就聽見人們在討論胖瘦，瞧見路上哪家診所也開了減重門診，或者被一家又一家健身房的廣告襲擊。

然而，飽餐一頓以後，站上體重計，哀號自己又胖了的時候，是否想過——你真的胖嗎？究竟體重多重才夠資格被稱為「胖子」？

何為「肥胖」

「肥胖」這件事，其實是有官方定義的。世界衛生組織（World Health Organization）以身體質量指數（Body Mass Index，BMI）［體重（公斤）／身高 ²（公尺 ²）］作為體位是否過重或肥胖的基準 ^[2]。衛生福利部公布了以 BMI 值為基準的國人體位定義 ^[3]：18 歲以上成年人的 BMI 值，低於 18.5 為過輕；達到 18.5 以上而小於 24 為正常；達到 24 而小於 27 為過重；達到 27 才稱之為肥胖。

BMI 值可作為判斷是否過重或肥胖，最初階、最簡單的標準。然而，BMI 值落在標準區間，並不代表體位也必然在標準區間。事實上，論到體位、身形，還應留意「身體組成」（body composition）。人體的組成成分從分子層面看，由多至寡包括水分、脂肪、蛋白質及礦物質 ^[4]。其中最引人注目的，便是脂肪。除了因為脂肪是在不同個體間差異最大的組成成分，也因為脂肪量過高與許多疾病的罹病率和死亡率有正相關。腰圍由於能反映腹部脂肪的多寡，亦成為衡量是否肥胖的重要指標。

肥胖的流行病學

依據國健署委託之國民營養健康狀況變遷調查研究 ^[5]，臺灣從 2017 到 2020 年間，19 歲以上，BMI 值達 27 以上，即依體位定義屬於肥胖者，佔了 23.9%；若再將腰圍考量進來，19 歲以上腰圍過大者（男性達 90 公分以上、女性達 80 公分以上）就佔了 50.1%。

肥胖為多種疾病的危險因子

就算不考慮外在的美醜，過重或肥胖也與健康逃不了關係。依據全球疾病負擔（Global Burden of Disease, GBD）的資料，全球與高 BMI 值有相當關聯之疾病（如心血管疾病、糖尿病、惡性腫瘤等）所造成的失能調整後生命年（disability-adjusted life year, DALY）與死亡人數，2017 年已增至 1990 年的兩倍以上 ^[6]。肥胖在全球已是造成包括心血管疾病、非酒精性脂肪肝、糖尿病和部分癌症等慢性疾病負擔的主要成因之一 [7]。而腹部脂肪的堆積與許多肥胖相關之併發症的發生甚至死亡率有關。

減重的方式——控制飲食

因此，為了身體健康，若是 BMI 值或腰圍達到肥胖的標準，還是要尋求合適的方式進行減重。最為眾人所熟知的減重方式，是藉著少吃，減少身體對熱量的攝取。坊間推出了各式各樣的斷食法、林林總總聲稱對減重有幫助的食品，為許多需要減重的朋友提供了各樣的選項。惟提醒民眾，減重宜採取限制熱量且營養均衡的飲食，三餐定時定量，對於六大類食物要適量攝取，避免激進斷食，造成身體的傷害。

運動的重要

體重管理的關鍵，在於人體攝入之能量與消耗之能量間的平衡，儘管節食或斷食有助於減輕體重，體重減輕後，身體的基礎能量消耗也會隨之降低 ^[11]，造就減重瓶頸或復胖的發生。若希望減重效果能長久維持而不復胖，養成運動習慣也非常重要。有許多文獻證實，若每週能進行 200 至 300 分鐘中度到劇烈的運動（這絕非指每週僅運動一次，每次持續 3 至 5 小時，而是每週運動時數的總和），有助於長期穩定的減重 ^[12]。

健康生活習慣是關鍵

生活習慣也與減重能否成功有密不可分的關係。人體的晝夜節律系統和代謝系統間有著緊密的相互作用 ^[13]。因此，當晝夜節律失調（比如經常要於不同地區的不同時差間來往，或由於工作型態，需輪流值夜班者，皆容易有晝夜節律失調的問題），身體的代謝能力便會受損，因而導致肥胖或第二型糖尿病等問題。是以，若能養成固定的作息與規律的進食習慣，亦可預防肥胖與協助減重。

有研究指出，無論 BMI 值是高是低，養成健康的生活型態（包括每日攝取至少 5 種蔬菜或水果、每月規律運動 12 次以上、適度飲酒［女性每日飲用 1 杯、男性每日飲用 2 杯］，以及不吸菸）皆有助於降低罹病與死亡的比例 ^[14]。若能維持健康的每日作息與生活習慣，無論體重是否降到你心目中理想的範圍，都能裨益於整體健康，也會使你更有活力。

利用手術或藥品減重可能面臨的風險

無論透過節食、運動或改變生活習慣來執行減重，都需要有強大的意志力，因此，一些總「卡在靈魂與脂肪之間」的朋友們，便試圖求助於手術或藥品。透過手術來協助減重的方式包括胃繞道、胃縮小、胃束帶、胃內水球手術等 ^[15]，皆是藉由改造胃腸道，來減少熱量的攝取。如有接受減重手術之需求，應就個體整體健康狀況與可能面臨的風險，與醫師審慎討論後再作決定。

也有藉由抽脂手術去除腹部脂肪的減肥方式，但近年也有愈來愈多接受抽脂手術後內臟穿孔的案例 ^[17]，要接受此類手術，務必慎選醫療院所。此外，研究也顯示，抽脂手術雖可去除腹部的皮下脂肪，但無法顯著改善包括胰島素阻抗（insulin resistance）等與肥胖有關的代謝異常 ^[18]。若是想透過減重來改善健康狀態，老老實實地調控飲食、改善生活作息、規律運動，效果還是較長遠。

人體本身有許多由腸胃道、肝臟、胰臟或脂肪組織所分泌，調節食慾或飽足感的激素，其作用於大腦，促使我們想要吃東西或因感到飽足而決定毋需進食。許多減重藥品便模擬這些激素的分子機制開發出來。然而，服用這些藥品也可能引發心血管不良反應、自殺風險增加，或導致藥品依賴或濫用等副作用 ^[19]。

想利用藥品來減重者，應留意切勿使用來路不明之減肥藥品，也別自行上網購買處方藥品。國內的藥害救濟申請條件為「遵照醫師處方或藥師指示下，使用合法藥品，卻發生嚴重的藥物不良反應」方可申請。若是未經醫師診斷而擅自購買及服用處方藥品，除了極可能因著對其正確之用量、用途、禁忌及副作用缺乏瞭解而造成對身體的傷害，倘發生嚴重不良反應，亦無法申請藥害救濟。如有任何用藥問題，還是要諮詢專業醫療人員，千萬別使用來路不明之藥品，以免沒有達到效果外，又傷身。

參考資料

1. 鯨向海（2018）。每天都在膨脹。台灣：大塊文化。
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3. 衛生福利部國民健康署，關於過重與肥胖（2021 年 7 月 12 日）。檢自https://www.hpa.gov.tw/Pages/List.aspx?nodeid=1757 （Feb 16, 2023）
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5. 潘文涵（2022）。國民營養健康狀況變遷調查（106-109 年）成果報告。檢自https://www.hpa.gov.tw/Pages/List.aspx?nodeid=3998 （Feb 16, 2023）
6. Dai H, Alsalhe TA, Chalghaf N, et al. (2020). The global burden of disease attributable to high body mass index in 195 countries and territories, 1990-2017: An analysis of the Global Burden of Disease Study. PLoS Med, 17(7):e1003198. doi: 10.1371/journal.pmed.1003198.
7. Goossens GH. (2017). The Metabolic Phenotype in Obesity: Fat Mass, Body Fat Distribution, and Adipose Tissue Function. Obes Facts, 10(3):207-215. doi: 10.1159/000471488.
8. Gu L, Fu R, Hong J, et al. (2022). Effects of Intermittent Fasting in Human Compared to a Non-intervention Diet and Caloric Restriction: A Meta-Analysis of Randomized Controlled Trials. Front Nutr, 9:871682. doi: 10.3389/fnut.2022.871682.
9. Tsitsou S, Zacharodimos N, Poulia KA, et al. (2022). Effects of Time-Restricted Feeding and Ramadan Fasting on Body Weight, Body Composition, Glucose Responses, and Insulin Resistance: A Systematic Review of Randomized Controlled Trials. Nutrients, 14(22):4778. doi: 10.3390/nu14224778.
10. Wilkinson MJ, Manoogian ENC, Zadourian A, et al. (2020). Ten-Hour Time-Restricted Eating Reduces Weight, Blood Pressure, and Atherogenic Lipids in Patients with Metabolic Syndrome. Cell Metab, 31(1):92-104.e5. doi: 10.1016/j.cmet.2019.11.004.
11. Hall KD, & Kahan S. (2018). Maintenance of Lost Weight and Long-Term Management of Obesity. Med Clin North Am, 102(1):183-197. doi: 10.1016/j.mcna.2017.08.012.
12. Aronne LJ, Hall KD, M Jakicic J, et al. (2021). Describing the Weight-Reduced State: Physiology, Behavior, and Interventions. Obesity (Silver Spring), 29 Suppl 1(Suppl 1):S9-S24. doi: 10.1002/oby.23086.
13. Laermans J, & Depoortere I. (2016). Chronobesity: role of the circadian system in the obesity epidemic. Obes Rev, 17(2):108-25. doi: 10.1111/obr.12351.
14. Matheson EM, King DE, Everett CJ. (2012). Healthy lifestyle habits and mortality in overweight and obese individuals. J Am Board Fam Med, 25(1):9-15. doi: 10.3122/jabfm.2012.01.110164.
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16. De Simone B, Chouillard E, Ramos AC, et al. (2022). Operative management of acute abdomen after bariatric surgery in the emergency setting: the OBA guidelines. World J Emerg Surg, 17(1):51. doi: 10.1186/s13017-022-00452-w.
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19. Müller TD, Blüher M, Tschöp MH, et al. (2022) Anti-obesity drug discovery: advances and challenges. Nat Rev Drug Discov, 21(3):201-223. doi: 10.1038/s41573-021-00337-8.

孩子該花多少時間運動？

人們常常以為經濟學就是研究金錢，其實不然，經濟學是在研究稀有資源。如同社會需要了解如何最佳運用水、肉及潔淨空氣等稀有資源，人們必須決定如何消費他們有限的時間、金錢和精力。當我們在思考孩子應該花費多少時間投入運動時，就會遇到一個經濟學的問題。

青春是你能擁有資源裡最珍貴的，要有效率地運用這段歲月，就需要一邊為接下來的人生做準備，一邊玩得過癮，免得之後懊悔地回首這段時光。如果不能在任何一方取得平衡，就可能會造成長遠的後果：有些人在高中時期蹺課吸毒，或許當下很快樂，卻很可能在之後的人生付出代價；有些人為了努力就讀大學先修微積分，總是回絕派對邀請，卻可能在成年後懊悔蹉跎青春。

有鑑於此，青少年體育總是超乎想像的昂貴。足球、曲棍球棒、場上時間、接送比賽的油錢等成本加總起來，絕對是一筆可觀的數目，但是和沒有把時間花費在從事其他事情的「機會成本」相比，看起來就微不足道了。

孩子花費在練習足球的每個下午，就是沒有讀書的下午。讀書是更能直接獲得報酬的活動，可以直接反映在進入好學校、成年時賺更多錢、能購買更大的房子，以及負擔未來子女的教育。另一方面，將下午的時間用來念書，他就會放棄踢足球的機會―可以讓他玩得開心、發展生活技能，又可以強健體能的活動。

就算把這個問題縮減到只剩這兩種選擇，仍舊忽略其他的選項：他可以學鋼琴、獲得寶貴的睡眠幫助成長並維持健康，也可以只是開心地玩樂高 （Lego） 或看《海綿寶寶》（SpongeBob）卡通。因此，青少年體育就像其他兒時的休閒活動，以「機會成本」來說非常昂貴―孩子在擁有珍貴又短暫的幾年中，可能可以擁有另一種體驗，同時享受童年與投資未來。

你可能認為經濟學家可以進行一些精明的研究，看看孩童時期從事運動(組織性運動或其他體育活動)，是否會導向未來在勞動市場上的成功，但是其實這樣的研究並不容易。要決定青少年體育是否會在勞動市場上獲得報酬，最理想的方式是隨機指定兩組孩子，讓其中一組孩子從事運動，並禁止另一組孩子做運動。然後當這些孩子長大時，看看哪一組賺較多錢。

如果研究顯示，在童年從事體育活動的成年人賺較多錢，每個人都可以信心滿滿地說：「投資青少年體育可以帶來財務報酬。」不過雖然隨機實驗在社會科學上越來越普及，但是在青少年體育中，沒有人做過採用隨機實驗的研究，我也認為不會有人這麼做。經濟學家可以做結論性研究，例如獲得越多教育的影響、在富裕社區裡長大的影響，以及其他因子的影響，卻尚未找到任何可靠的「自然實驗」來研究青少年的運動參與。

童年參加團體運動，平均薪資會多六 ％？

話雖如此，經濟學家還是運用手上的數據，盡了最大的努力。幾項研究顯示，童年從事較多運動的人，長大後會賺較多錢。一項研究以二十幾歲的美國人作為樣本，在其他因素不變的情況下，在高中時期參與組織性運動的人，平均薪資多六 ％。

最近一項關於德國青少年的研究同樣顯示，從事青少年體育的人有較好的工資與勞動市場成果。不過即使這些結果耐人尋味，我們仍須謹記統計學概論的箴言：相關不等於因果。儘管從事這些研究的經濟學家做了所有努力來控制其他變因，卻仍舊不能清楚地將因果關係與相關性分開。同時也有另一個似乎合理的解釋認為，在孩童時期從事運動不會有助於之後的職涯。

例如，我們從大衛的全壘打勝利中得到的快感，並不僅限於小聯盟的比賽；大衛和我都是好勝的人，大概不管做任何事，我們都會統計獲勝與失敗的數字來衡量成功。在客廳觀看美國益智節目《危險邊緣》 （Jeopardy！）是我和大衛熱衷的活動，我們會仔細記錄分數，還充斥著好幾次「我先說出答案的！」的叫喊。

我們都從事許多青少年體育項目，但是組織性運動並未讓我們變成好勝的人，因為我們本來就是如此。或許是如此好勝的天性帶來勞動市場的成功，也或許是這樣的天性讓我們對青少年體育感興趣，但是在經濟學家的分析中無法衡量這個因素，研究人員沒辦法指出好勝心是否為這些結果的原因。

這些研究的結論是，在孩童時期從事運動可能會為接下來的人生帶來好處。每一項研究都發現青少年體育與薪資的相關性，青少年體育活動增加，薪資越高。但是如果說有影響的話，其實影響很小。

其中一項近期研究是關於美國青少年體育活動參與度的數據，與先前的研究一致，該研究發現從事運動的孩童會獲得更多教育，在接下來的人生得到更高薪資，而且身體更健康。不過經濟學家的結論也表示，這些關係幾乎是因為參與運動的孩童和不參與運動的孩童不同，而且無論從事運動與否，孩童運動員都比較成功也比較健康。如果在乎的只是在勞動市場上的成功，更妥善運用時間的方式可能是念書，而不是長時間的運動訓練。

對家長而言，這樣的解釋很直接明瞭。對大多數的孩子來說，從事體育活動可能對未來只有些許助益或一無所獲。以投資而言，從事體育活動也很難證明什麼，如果你的孩子不愛運動，不要強迫他們。但是對許多孩子來說，青少年體育提供許多簡單的「消費價值」（consumption value）。孩子真的很喜歡運動，又因為童年無法倒帶，所以有很好的理由讓他們為所欲為。

經濟學家的重點建議很簡單：讓你的小孩當一個小孩，想運動就運動。

——本文摘自《運動場上學到的 9 堂經濟學》，2022 年 7 月，商周出版，未經同意請勿轉載。