《轉蛋機背後的秘辛──怎樣抽卡才有利》——2019數感盃/高中組專題報導類佳作

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:李瑞祥、陳泓恩/建國中學。

 

日本首個因掉率不明被集體訴訟的手遊。圖/Flicker

前言

「抽卡」是時下手機遊戲裡最常見的要素之一,透過消耗遊戲內的虛擬幣來從轉蛋機抽取不同稀有度的卡片。在許多玩家眼裡,「運氣」成為能否抽到好卡的唯一依據,甚至有「歐洲人」這樣的流行語出現來借代運氣極好的玩家。抽卡的結果雖然是機率下的產物,但是其實各個遊戲的抽卡機制不盡相同,我們想探討究竟哪些機制是對玩家有利,又有哪些是對遊戲公司有利。

假設

然而實際上,「抽卡」的複雜性遠超乎單純的「機率」,因此為了簡化討論,我們做出幾個前提假設:

(1)遊戲的平衡性非常完整,也就是同一稀有度的不同卡片,強度是一致的,玩家對於取得同一稀有度卡片的慾望也是一樣的。

(2)遊戲公司必須兼顧玩家的遊戲體驗以及收入,好卡的機率不會無限上綱,但也不能刻薄到讓玩家失去信心。

(3)卡片無法透過進化提升稀有度,所以玩家抽卡的目的僅在於取得最高稀有度的卡片。

(4)我們參考各個遊戲,並假設出四種稀有度,以及相應的機率。

(5)我們參考各個遊戲,並假設出轉蛋機的虛擬幣消耗量:每一抽需要 5 虛擬幣,十連抽則消耗 50 虛擬幣。而玩家平均為一次抽卡活動所準備的虛擬幣為 150 單位,我們將利用此數據進行討論。

基於以上假設,我們將針對「 4 星張數期望值」和「最差組合機率」兩項指標來比較幾個常見的抽卡機制。

在開始引入抽卡機制之前,我們必須先介紹兩種指標個別代表的意義。

(1)4 星張數期望值:抽到最高稀有度卡片的期望張數。是玩家對於抽卡機制中最關心的一點,因為抽中 4 星卡是玩家抽卡的最主要目標。

(2)最差組合機率:抽卡結果為當前機制下最差之組合的機率。作為玩家抽卡體驗的負向指標,玩家對遊戲的耐心常常因為最差組合而磨損。

機制

機制一:隨機制度(按照機率直接分配)

總抽數:150 ÷ 5=30 張

4 ★張數期望值:3% × 30 = 0.9 張

最差組合機率:( 70 %)30≒ 0.022 ‰

機制二:保底制度(十連抽必中一張 3★ 以上,即第 10 張的機率變為 3★97% 、 4★3% )

總抽數:150 ÷ 5 = 30 張

4★ 張數期望值: 3% × 30 = 0.9 張

最差組合機率:[( 70% )9( 97% )]3 ≒ 0.059 ‰

機制三:水位制度(若是十連抽沒有抽中 4★ ,下次十連抽的 4★ 機率提升 2% , 1★ 機率降低 2 %;如果抽中 4★ ,則重置機率)

總抽數:150 ÷ 5 = 30 張

4★ 張數期望值(參見附錄一)≒ 1.26 張

最差組合機率(參見附錄二)≒ 0.013 ‰

機制四:特殊轉蛋機制度(十連抽消耗 75 虛擬幣,但不會抽到 1★ ,其他星數依等比例放大,即 2★60 %、 3★30 %、 4★10 %)

總抽數 150 ÷ 75 × 10 = 20 張

4★ 張數期望值: 10% × 20 = 2 張

最差組合機率:( 60% )20≒ 0.036 ‰

結論

觀察以上四種常見的機制在各項指標下的數據,我們得出了以下幾個結論:

(1)隨機制度和保底制度的 4★ 張數期望值皆偏低,玩家甚至在 30 抽之下,都無法預見抽中一張 4★ 。此兩機制對遊戲公司較有利,為了提升 4★ 張數期望值到 1 張,部分玩家選擇儲值。以 1 虛擬幣約為 30 元台幣來計算,花費 450 元(增加 3 抽)後便有非常高的機會在此次轉蛋機抽中 4★ 。

(2)隨機制度的最差組合機率為 0.022 ‰,有多小呢?根據調查,被雷打到的機率約為五十萬分之一,也就是 0.002 ‰, 30 連抽為最差組合的機率也不過是遭到雷擊的 11 倍,基本上每 5 萬次 30 連抽才會發生一次。然而,如果玩家只打算以 10 連抽試試手氣,最差組合機率卻高達 2.8 %,平均每 100 人就會有 3 人遇到呢!

(3)水位制度對運氣不好的玩家來說,無疑是縮短與歐洲人之間「貧富差距」的好制度。不只 4★ 張數期望值大幅提升,最差組合機率也是四個機制中最低的。更重要的是,這個制度所顯現出的「公平正義」。有五成四的人在前 20 連抽是沒有 4★ 的,但他們因此得到了機率提升的機會,在第 30 連抽, 4★ 機率已提高至 7% 。就算真的十分不走運,第 40 連抽也能以 9% 的 4★ 機率來抽卡,已經等於原先的 3★ 機率了!

(4)特殊轉蛋機制度帶給玩家更高的 4★ 機率,最差組合機率也不太高,對於吸引玩家抽卡有很大幫助。然而因為設立了 75 虛擬幣的門檻,使得部分休閒玩家可能難以享受到這項福利。另外,對遊戲公司來說,這樣的高機率勢必會讓玩家的 4★ 張數大幅增加,遑論玩家把握機會儲值,一次獲取多張好卡。雖然會刺激消費,但也有可能造成 4★ 氾濫,價值下降。故通常特殊轉蛋機須搭配每人限制次數來管制。若是認為特殊轉蛋機制度在同樣 150 虛擬幣的花費下,卻只能取得原先三分之二的卡片張數十分得不償失,那就大錯特錯了呢!

結語

綜合上述,四種機制各有優缺點,也分別適合不同類型的玩家。關鍵在於,遊戲公司希望吸引哪些類型的玩家,進而決定採用何種抽卡制度,而玩家在遊玩時,也該在謹慎評估過後,再決定是否儲值。

「抽卡」畢竟只是遊戲的一部份,無論運氣好壞,遊戲內肯定還有很多亮眼的地方值得玩家去一一體驗。

附錄

附錄一

討論[1]第一次十連抽中 4★ 且第二次十連抽中 4★

3 %× 30 = 0.9 張

討論[2]第一次十連抽中 4★ 且第二次十連抽沒中 4★

3% × 10 + 3% × 10 + 5% × 10 = 1.1 張

討論[3]第一次十連抽沒中 4★ 且第二次十連抽中 4★

3% × 10 + 5% × 10 + 3% × 10 = 1.1 張

討論[4]第一次十連抽沒中 4★ 且第二次十連抽沒中 4★

3% × 10 + 5% × 10 + 7% × 10 = 1.5 張

4★張數期望值= (1-(97%)10)2  × 0.9 + (1-(97%)10)  (97%)10 × 1.1 + (97%)10  (1-(95%)10) × 1.1 + (97%)10  (95%)10 × 1.5 ≒ 1.26 張

附錄二

討論[1]第一次十連抽中 4★ 且第二次十連抽中 4★

(70%)30 ≒ 0.022 ‰

討論[2]第一次十連抽中 4★ 且第二次十連抽沒中 4★

(70%)10 × (70%)10 × (68%)10 ≒ 0.016 ‰

討論[3]第一次十連抽沒中 4★ 且第二次十連抽中 4★

(70%)10 × (68%)10 × (70%)10 ≒ 0.016 ‰

討論[4]第一次十連抽沒中 4★ 且第二次十連抽沒中 4★

(70%)10 × (68%)10 × (66%)10 ≒ 0.009 ‰

最差組合機率= (1-(97%)10)2  × (0.022‰) + (1-(97%)10)  (97%)10 × (0.016‰) + (97%)10  (1-(95%)10) × (0.016‰) + (97%)10  (95%)10 × (0.009‰) ≒ 0.013 ‰

參考資料

1.機率分配及抽卡制度參考自以下遊戲:BanG Dream少女樂團派對、魔法使與黑貓維茲、死亡愛麗絲、Crash Fever、Sdorica萬象物語⋯⋯等。

2.抽卡制度參考自:銀狐Silver Fox 的碎碎唸

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