跳脫古典數學邏輯！直覺主義的興起——《大話題：邏輯》

本文由 國立臺灣師範大學 委託，泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精，就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢？邏輯思維好的人可能很快就能反應過來，意思是加水是必須的，鹽巴和味精至少要加一個。當然，兩者都加也行，但似乎不太健康。

你可能會說：「煮湯時誰會想那麼多？這太哲學了！」其實，19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上，他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治．布爾（George Boole）。

在工作會議中，清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點，並迅速理解他人的意見；程式設計中，邏輯是核心，透過布林代數和邏輯運算，電腦能根據條件執行不同的任務，在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此，布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數，不僅在學術領域至關重要，更是日常生活中不可或缺的工具。

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非古典邏輯：直覺主義

布勞威爾 （1881 – 1966）是最早脫離所謂「古典邏輯」系統的學者之一。他反對弗雷格和羅素將數學化約為邏輯的構想，認為數學根基於我們對某些基本數學物件（如數字和直線）的「直覺」，因此他的學說便稱為「直覺主義」。

惡魔論證

布勞威爾主要將焦點擺在無限集合和序列上，例如所有正數的集合和無理數（如 π 和）小數點後的數字形成的序列等等。他的論證大致如下：

我邏輯上能證明 666 這個序列一定會出現在任何無理數（如 π）的擴張裡。因為若主張 666 不在裡面，就代表 666 不出現在 π 的小數點後數字的任何地方，但這一點在數學上是無法證明的。就算世界上所有白紙都寫滿π的小數點後數字，還是有無限多的數字沒檢查到。

直覺邏輯的興起

雖然布勞威爾只想證明有些數學證明的方式和邏輯證明不同，但有些人發現他的論證也能用來證明某些數學領域的邏輯和其他數學領域不同，甚至有些人還據以建構出一套邏輯系統，並嘗試證明這套邏輯適用於所有數學領域。這套系統就叫「直覺邏輯」。

直覺主義 v.s. 歸謬法

直覺邏輯有一個關鍵特點，就是不能用萊布尼茲的歸謬法。歸謬法是先假設某個數學陳述的否定為真，然後導出矛盾，進而證明該陳述為真。但要從「某事的否定為假」推導出「某事為真」就得仰賴排中律，因此在某些數學領域裡，歸謬法並不符合數學應該運作的方式，也就是從公理推導出數學語句。

直覺主義的數學熱潮

上述問題在 1930 年代引發了一波新的數學熱潮，不少學者嘗試用直覺邏輯替一些常用的基本數學陳述找到證明，也確實找到了不少。

數學系和哲學系紛紛成立，新的學術領域也隨之誕生。就連希爾伯特的方法明明是直覺邏輯的對手，也被加以改造，只使用得到認可的直覺主義程序。直到這股風潮引起了哥德爾的注意。

儘管後來學者對這場爭辯的興趣削弱了一些，但「唯有構造性證明才能確保一個陳述句為真」的基本看法至今仍然得到不少邏輯學家、數學家、科學家和哲學家支持。

處理未來陳述句的老問題

大約同一時期，波蘭數學家盧卡西維茨（1897 – 1956）1920 年提出的構想勾起了一些學者的興趣。此前十多年，這個構想從來不曾在波蘭以外的地區引起多大反應。盧卡西維茨當時想解決的，是從亞里斯多德到羅素都面對過的老問題。

編按：「如何判斷大笨鐘一千年後會遇上大雪」這句話的真值？

——本文摘自《大話題：邏輯》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

從簡單陳述句轉變為複合句——「連接詞」

大約一百年後，克律西波斯（c.280 – c.206 BC）改變了邏輯的關注焦點，從簡單的主述詞陳述句轉向「蘇格拉底是人，且芝諾也是人」之類的複合句。

這是很大的進展。當時甚至有人說「克律西波斯的邏輯就是神會用的邏輯」。我們稍後會見到，克律西波斯的邏輯也是人類使用的邏輯，只不過我們還得等兩千年才會明白這一點。

複合句使用的連接詞不同，其真假受個別句子影響的方式也不同。

譬如「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用，也只有「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用：

編按：「不是」穆罕默德到山那邊，「就是」山到穆罕默德這邊。

其後一千五百年甚至更久，克律西波斯沒有對邏輯留下多少影響。不僅因為他的作品失傳了，只留下他人的轉述，也因為亞里斯多德成了天主教會的心頭好。

萊布尼茲定律

接下來兩千年，邏輯學家建構出愈來愈多三段論，有些甚至前提不只兩個。這些邏輯學家就像煉金術士，拿著概念拼拼湊湊，想辦法生出有效論證。最後有一個人在這股狂熱當中想出了方法，那人就是萊布尼茲（1646 – 1716）。

萊布尼茲想到的方法是將陳述句看成代數裡的等式。等式使用等號（＝）來表達式子兩邊數值相等。

例如：x2 + y2 = z2

萊布尼茲將等號帶進邏輯裡，用來指稱 a 和 b 等同。

自此之後，這個等同式就叫做「萊布尼茲定律」。萊布尼茲將 a = b 拆成兩個不可分割的述句「a 是 b」和「b 是 a」，意思是「所有 a 都是 b」和「所有 b 都是 a」。

例如：「所有單身漢都是沒結婚的男人，且所有沒結婚的男人都是單身漢。」

若 a 和 b 等同，那麼陳述句裡的 a 就算換成 b，這個陳述句的真假顯然不會隨之改變。例如，「蘇格拉底是沒結婚的男人，沒結婚的男人是單身漢，因此蘇格拉底是單身漢」。

這個定律很重要，因為有了它，我們就能以有限多的步驟來判斷近乎無限多的句子的真值。萊布尼茲使用的步驟數是四個。

1. a = a

例：「蘇格拉底是蘇格拉底。」

2. 若 a 是 b，且 b 是 c，則 a 是 c

例：「所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死。」

說「a 是 b」就等於說「所有 a 都是 b」。

3. a =非（非 a）

例：「如果蘇格拉底會死，則蘇格拉底不是不會死的。」

4. a 是 b = 非 b 是非 a

例：「蘇格拉底是人，意思是如果你不是人，你就不是蘇格拉底。」

利用這四個簡單的法則，萊布尼茲就能證明所有可能出現的三段論。比起亞里斯多德的四角對當，這才是人類史上第一個真正的真理理論，因為它使用事先定下的法則，藉由代換等同的符號（同義詞）來導出結論。

非真即假的歸謬法

萊布尼茲最常用的證明方法是一個極為重要的邏輯工具，深受後世邏輯學家和哲學家喜愛。他稱呼這個方法為歸謬法。

這個工具很簡單，卻好用得驚人，自萊布尼茲發明以來便廣獲使用。我們用一個例子來講最清楚。

使用歸謬法時，我們先假設要檢驗的那個陳述句為真，再看它能導出哪些結論。如果導出的結論互相矛盾，我們就知道那個陳述句是假的，因為矛盾永遠為假。

歸謬法有一大好處，那就是即使我們不知道如何證明，也能判斷一個陳述句的真假；只要證明這個陳述句的否定會導出矛盾，就知道它是真的了。

新工具

「我發明的這個工具完全使用理性，是裁決爭議的判官、解釋概念的權威、衡量可能性的天平、指引我們穿越經驗之海的指南針，是萬物的清單、思想的表格、檢視事物的顯微鏡、預測遙遠事物的望遠鏡、通用的演算法、不使詐的魔術、不空妄的計謀，也是人人都能用自己的語言閱讀，所及之處皆會帶來真宗教的經文。」

萊布尼茲致信漢諾威公爵，1679 年

不難想見，天主教會將萊布尼茲視為異端。但「思想有其必然法則」的想法卻對西方哲學家產生了深遠的影響，包括康德、黑格爾、馬克思和羅素。

——本文摘自《大話題：邏輯》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

• 本文轉載自科技大觀園，原文為《用烏賊與科普的魅力，讓教室爆滿——專訪清華大學生命科學系焦傳金教授》
• 作者 / 科技大觀園特約編輯｜陳亭瑋

實驗進行中，一隻烏賊被放入透明的水族箱，其中一側被隔出了左右兩個小隔間，分別放有一隻與兩隻蝦。水族箱中烏賊看清了兩邊的活蝦後，可以自由選擇游進哪一個隔間，伸出腕足捕捉可口的食物。在烏賊游進其中一個隔間後，另一邊就會被關閉，因此每次都只能選一邊。

問題來啦，一隻蝦 v.s. 兩隻蝦，換做你是烏賊，會如何做決定呢？

這是清華大學生命科學系特聘教授焦傳金在去 (2020) 年所發表的研究成果，證實了烏賊具有「相對價值感」的概念。做為海產店、夜市小吃的盤中常客（而且還很好吃），烏賊也懂得數數，擁有「數感」，能夠分辨得出 2 比 1 來得多，一般情況下當然是選兩隻蝦啦。但經過特別訓練的烏賊，能夠「記得」一隻蝦可以代表不只一隻蝦，因此在後續實驗中，產生了烏賊覓食偏好一隻蝦，勝過了兩隻蝦的結果。

解密烏賊的決策邏輯

「實驗室的每個人，都有 T 恤上面是有墨汁的。」

談起飼養繁瑣，需要海水又每天都需要活餌，還三不五時受驚噴墨，養殖難度可說鑲金邊等級的烏賊，舉手投足間標準學者氣質，一派溫文儒雅的焦傳金，迸發出強大的熱切。他分享自己的觀察，大眾對於烏賊、章魚這類頭族類動物往往充滿好奇，也常常被用在塑造外星人、異形的形象。除此之外，在冰冷理性的實驗室，學生焦慮煩悶時也常去到「花枝房」，觀看水族箱中優游、表皮花紋瞬間變換的烏賊，療癒抒解心情。

烏賊又名花枝、墨魚，屬於頭足類軟體動物。多數人最熟悉的頭足類動物，除了餐桌上好吃的海鮮，最有名的大約就是德國奧伯豪森（Oberhausen）水族館的「章魚保羅」了。2010 年的世界盃足球賽，章魚保羅連續「成功預測」了賽事的勝利隊伍，引起了許多注目風靡。而焦傳金開始烏賊研究的起點，其實就是源自於大家的這個好奇：無脊椎動物到底能有多聰明？牠們的「聰明」擁有跟人類做決定一樣的邏輯特色嗎？

焦傳金在 2016 年的研究發表就揭露了烏賊具有「數感」，覓食找東西吃的時候，明顯看得出來烏賊會選擇數量較大的那一邊。而更有趣的是在後續實驗中，團隊讓烏賊從兩隻小蝦與一隻大蝦裡做選擇。最後實驗發現，烏賊的選擇，會跟當下的飢餓程度有很強的關聯。烏賊如果處於比較飢餓的狀態，就會鋌而走險選擇一隻大蝦，以獲得高風險高報酬；沒那麼餓的時候，則會選擇兩隻小蝦，穩健獲利。可以說，這樣的選擇邏輯，即使是人類，也無法做得更好了。

而在相對價值感的實驗中，團隊先以 0 對 1 訓練烏賊，在烏賊選擇 1 隻蝦那格的時候，當場會再額外多提供一隻活蝦，經過六次訓練，再以 1 對 2 測試烏賊會如何選擇。沒有經過訓練的烏賊主要偏好數量較多──也就是兩隻蝦那格；但曾經受訓記得「1 隻蝦不只是 1 隻」的烏賊，則對於一隻蝦那格展現了明顯的偏好，而這樣的覓食習慣改變，在經過一個小時後進行的實驗中顯示，仍然保留了下來。

什麼是「相對價值感」？焦傳金舉例：「一瓶礦泉水，如果是在沙漠中走了三天了，第一次遇到一罐礦泉水，那價值就會非常的高。」同樣的物質，在不同情境中的價值會改變，這樣的相對價值感在人類的決策中，佔有很重要的比例。而焦傳金的研究更證實了，在動物──甚至是無脊椎動物的行為中，也存在著相對價值的概念。

神經科學的聖杯：大腦

像這樣的研究，其實也是科學家認識神經系統、大腦運作的起點。

談及神經科學研究最終的「聖杯」人類的大腦，焦傳金眼神發亮。焦傳金做為神經科學家，研究主題無論是烏賊的價值判斷、軟絲的視覺溝通密碼，抑或視神經科學的研究，都圍繞著神經科學的核心探索：大腦是如何運作的？

「所有東西以物質論來說，都是一樣的，但為什麼生物、動物會這麼不一樣？」焦傳金一句話道出了生命世界最大的謎團，也是最引人入勝之處。

討論到以章魚做實驗的可能性，焦傳金興致勃勃，表示如果有機會，會希望探索神經系統發達的章魚是否真的具有「意識」。他也說明，相較於底棲性、身體內有硬質骨板的烏賊，章魚的活動範圍更加廣泛，實驗錄影紀錄較為困難，而且章魚僅有口器「牙齒」的部分有硬質結構，全身皆為肌肉，逃脫能力極為高強。

像章魚、烏賊這類頭足類動物，為什麼會發展出如此複雜的神經系統？一般認為，動物會演化出複雜的神經系統，可能與社會行為有關，無論是爾虞我詐的社會關係、各種合縱連橫、選擇策略獲得優勢，都需要複雜的決策能力。但除了軟絲有社會性，會藉由改變表皮花紋顏色彼此溝通；同樣屬於頭足類的烏賊與章魚都屬於獨居的動物，只有在繁殖期會與同族有交流。

較常見的推測認為，相較於其他有殼的軟體動物，頭足類沒有外殼保護，身體充滿蛋白質非常「好吃」，生存演化出現的生存之道，就是發展出複雜的行為策略，包括偽裝、噴墨、噴射推進，以避免被捕食，而複雜的神經系統，也是由此而來。焦傳金也特別說明，這個問題在科學上很難驗證，很可能最終都不會出現標準答案。

但焦傳金認為，科學的趣味與意義，就隱藏在這個試圖解答疑問的過程中。

對於大自然與科學的探索，多數的基礎研究起初獲得解答的時候，也都不具應用性，更像是一種心靈層面的滿足感：「做基礎科學，是一種探索真理的過程。你有一個問題，這個問題可以做實驗來回答，那晚上就可以安心睡覺。」

如何將科學帶給一般大眾

對焦傳金而言，這樣的滿足感，不應該侷限於科學家、研究者，更應該有機會讓所有的人都有機會一睹為快。焦傳金表示，當然不需要每個人都很懂科學，但提升國民素養，科普就是最好的方式。此外，科學家如果只專注自己的領域中，就只能影響同領域的同行。但科普將資訊分享給一般的社會大眾，成功的話可以影響的範圍就會很大，是很愉快的事情。

清華大學的「當代認知神經科學：腦與心智」，焦傳金透過淺顯易懂的比喻與連結，成為清大最受歡迎的通識課程。焦傳金分享，從事科普最大難處在於，要做到淺顯易懂卻又引人入勝。而其中最需要的，就是需要豐富的想像力，找到適合的語言，將艱深的科學發現轉換成大家可以聽得懂的比喻，使用日常生活的連結、慣用的用字用詞，讓聽眾接收並且理解。科普成功與否的關鍵之一，在於需要「有趣好玩」，因為通常科學內容並非對於大眾直接「有用」的，所以需要加入可以引發大家的興趣的元素。而最大的難處還在於，知識含量「含金度」高的時候，通常就不容易理解、也不容易產生趣味。該如何讓知識含量不減，又增加趣味，箇中取捨就像場拔河。

此外，「熱情」也是進行科普活動需要加入的元素。焦傳金解釋，透過鏡像神經元的作用，情緒會互相感染，如果講者選擇自己喜歡的題目講得很嗨，就可以吸引別人的注意力。一定要說服自己，是真的喜歡才去講，懷著溫度，就可以影響他人。

多接觸海洋，就是關懷海洋議題的起點

說到以科普影響他人，近年來海洋議題越來越受到關注，焦傳金也在課程中讓學生實際計算「海洋酸化」（Ocean acidification）的案例，探討海洋議題。

他說明，近年來大家越來越重視溫室氣體排放造成的全球暖化議題，也開始瞭解到升溫攝氏 1 到 2 度對於世界的影響極為巨大，但另一個同步發生卻容易遭忽視的主題，則是二氧化碳溶入造成的海洋酸化。在過去 200 年間，海洋的 pH 值降低了 0.1 到 0.2，數字上看來變化不大，但實際上，pH 值代表著氫離子濃度的對數關係，實際上如果 pH 值由 8.1 降到 8，在氫離子濃度上就有了超過 25%的改變，勢必會影響許多海洋生物像是珊瑚、貝類的鈣化作用，現在已經出現生物外殼骨架脆化與變薄的情況，對許多生物的生存造成很大的影響。

除此之外，塑膠微粒也是較受忽視的海洋議題。隨著大眾開始關注海洋廢棄物，近年來有越來越多研究顯示，塑膠材料進到海洋中後，經沖刷撞擊成為微粒，會由海洋循環進入大氣、進到循環中再被帶到陸地。如美國的國家公園自然野地中，已經有許多地方，可以找到這些塑膠微粒，塑膠微粒勢必將由冷門的海洋議題，逐漸進到我們的視野中。

談及海洋議題，當然也不能不聊聊，近期在臺灣引發諸多論戰的大潭藻礁保護與天然氣第三接受站的爭議。焦傳金畢業自中山大學海洋生物科技暨資源學系，由海洋研究的相關背景，他表示自己自然比較傾向讓藻礁能受保護，但也主張世事並無絕對，保育也不應只能與臺灣的用電需求、經濟發展硬碰硬二者不相容。臺灣該如何由其中走出平衡之路，將有賴於全體齊心協力的智慧。

對於藻礁議題讓台灣輿論充滿紛擾，焦傳金態度樂觀：「大家總算知道什麼是藻礁了，從海洋教育的角度來講，如果因此而更認識海洋環境、關心海洋環境，引發大家對這件事情的關注，還是有正面意義的。」台灣四面環海，但受限於過去的管制因素，大家對於海洋是較為陌生的。他也期待，有越來越多人投入海洋的活動，增加與海洋的接觸，發揮台灣作為海洋國家的優勢。

非古典邏輯：直覺主義

布勞威爾 （1881 – 1966）是最早脫離所謂「古典邏輯」系統的學者之一。他反對弗雷格和羅素將數學化約為邏輯的構想，認為數學根基於我們對某些基本數學物件（如數字和直線）的「直覺」，因此他的學說便稱為「直覺主義」。

惡魔論證

布勞威爾主要將焦點擺在無限集合和序列上，例如所有正數的集合和無理數（如 π 和）小數點後的數字形成的序列等等。他的論證大致如下：

我邏輯上能證明 666 這個序列一定會出現在任何無理數（如 π）的擴張裡。因為若主張 666 不在裡面，就代表 666 不出現在 π 的小數點後數字的任何地方，但這一點在數學上是無法證明的。就算世界上所有白紙都寫滿π的小數點後數字，還是有無限多的數字沒檢查到。

直覺邏輯的興起

雖然布勞威爾只想證明有些數學證明的方式和邏輯證明不同，但有些人發現他的論證也能用來證明某些數學領域的邏輯和其他數學領域不同，甚至有些人還據以建構出一套邏輯系統，並嘗試證明這套邏輯適用於所有數學領域。這套系統就叫「直覺邏輯」。

直覺主義 v.s. 歸謬法

直覺邏輯有一個關鍵特點，就是不能用萊布尼茲的歸謬法。歸謬法是先假設某個數學陳述的否定為真，然後導出矛盾，進而證明該陳述為真。但要從「某事的否定為假」推導出「某事為真」就得仰賴排中律，因此在某些數學領域裡，歸謬法並不符合數學應該運作的方式，也就是從公理推導出數學語句。

直覺主義的數學熱潮

上述問題在 1930 年代引發了一波新的數學熱潮，不少學者嘗試用直覺邏輯替一些常用的基本數學陳述找到證明，也確實找到了不少。

數學系和哲學系紛紛成立，新的學術領域也隨之誕生。就連希爾伯特的方法明明是直覺邏輯的對手，也被加以改造，只使用得到認可的直覺主義程序。直到這股風潮引起了哥德爾的注意。

儘管後來學者對這場爭辯的興趣削弱了一些，但「唯有構造性證明才能確保一個陳述句為真」的基本看法至今仍然得到不少邏輯學家、數學家、科學家和哲學家支持。

處理未來陳述句的老問題

大約同一時期，波蘭數學家盧卡西維茨（1897 – 1956）1920 年提出的構想勾起了一些學者的興趣。此前十多年，這個構想從來不曾在波蘭以外的地區引起多大反應。盧卡西維茨當時想解決的，是從亞里斯多德到羅素都面對過的老問題。

編按：「如何判斷大笨鐘一千年後會遇上大雪」這句話的真值？

——本文摘自《大話題：邏輯》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。