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不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」

賴昭正_96
・2022/08/26 ・6632字 ・閱讀時間約 13 分鐘

  • 文/賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

你聽過「雙胞胎悖論」嗎?

我有時會問自己,我是如何發展相對論的。我認為其原因是:一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的;但我的智力發育遲緩,因此長大後才開始思考空間和時間。

——愛因斯坦(Albert Einstein)),1921年諾貝爾物理獎得主

1905 年,愛因斯坦在題為「關於運動物體之電動力學」的論文裡,從兩個簡單的假設,得到結論謂如果張三與李四相對運動,則張三會認為李四的手錶跑得比較慢。在證明這一稱為「時間膨脹」(time dilation)的現象後,寫道:

由此產生以下奇怪結果。如果(開始時)A 點和 B 點在(靜止坐標)K 中觀察是同步的(即同一時刻),但 A 處的時鐘以速度 v 沿 AB 線到 B,則在到達 B 時,兩個時鐘將不再是同步:移動到 B 後的 A 時鐘將落後於保持不動的 B 時鐘…。我們得出這樣的結論:如果兩個 A 處同步的時鐘,其中一個以恆定速度沿閉合曲線移動 t 秒後返回 A 處,則保持靜止的時鐘將發現剛返回的時鐘慢了 tv2/(2c2)秒(c 為光速)。

昨天才校正過的手錶,怎麼現在又慢了?難道我是在黑洞附近?或是該換新手表的時候了? 圖/作者提供

或許是怕像筆者這樣智力發育遲緩的讀者難懂,愛因斯坦於 1911 年重申並詳細說明這一現象如下:

如果我們把一個活的有機體放在一個盒子裡……我們可以安排這個有機體在經過任意長時間的飛行後,在幾乎沒有改變的情況下返回到它原來的位置。此時保持在原來位置的相應有機體已經早已讓位於新一代,但對於移動的有機體來說,只要運動以接近光速進行,漫長的旅程只是一瞬間而已。

名物理教科書作者雷斯尼克(Robert Resnick)更清楚地解讀謂:

如果靜止的有機體是一個人,而旅行的是他的雙胞胎,那麼旅行者回到家時會發現他的雙胞胎兄弟比自己老得多。但在相對論中,任何一個雙胞胎都可以將另一個視為旅行者,因此再碰面時將比他自己年輕。這在邏輯上看來是一個矛盾的現象,因此被稱為「雙胞胎悖論」(twin paradox)。

雙胞胎悖論」可以說是相對論中最著名的想像實驗,為許多教科書與通俗科學文章所討論的對象;但筆者卻發現在「泛科學」裡只有一篇書評的文章中提到它!

難道真如諾貝爾獎得主普朗克(Max Planck)所說的:「一個新的科學真理之所以勝利,不是因為說服了它的對手,讓他們看到了光明,而是因為它的對手最終會死去,而熟悉它的新一代會成長起來」?在習以為常的熏陶下,現在的「新一代」已經不再認為「雙胞胎悖論」是值得討論的悖論?

如果你不是這樣的「新一代」,那本文是為你所寫的,相信你在這裡將讀到在其它地方找不到之「雙胞胎悖論」的白話文解讀(不用任何數學)。

同步與同時的「相對性」

普朗克謂:「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論:光速是相對論的絕對核心。」

可是如何測量光速呢?從甲處發一道光到乙處,將甲乙之距離除以光旅行的時間就得到光速。當然,要能精確地測得光速,甲乙兩處的時鐘必須是互相校正過的、同步(synchronized)的。如何校正甲乙的時鐘呢?相信很多人小時候就已經知道了:將兩個時鐘帶到同一處,然後像電影中之突擊隊,在出發前由隊長發命令說:「讓我們校正時間,現在是……」 。

可是愛因斯坦不知道為什麼竟然沒有想到這一點?或許真的是「智力發育遲緩」,他竟然建議在乙處放一面鏡子來反射甲處在零時刻所發的光,如果乙處接到光的時刻正是甲處光來回所需之時間的一半,我們便說甲乙兩處的時鐘同步化了。用這種方法來同步化時鐘,很顯然在邏輯上我們便不可能測單方向的光速是否為定值了,所以愛因斯坦增加了一個假設,即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c

如果我們將同步化的甲乙兩個時鐘分別放在火車月台的兩端,讓它們在同一時刻(零點)往月台中心發射一道激光,則站在月台中心的賴教授應該「同時」收到來自甲乙兩端的激光(圖 a)。

但坐在從乙往甲方向以等速 v 行駛之車廂內的李教授,卻發現甲、乙激光發射後一直在以同一速度 c 逼近賴教授(圖 c);但因賴教授在往乙方向運動,因此如果光同時到達賴教授處(任何人都同意的「事件」,否則賴教授不是說謊就是頭腦有問題),李教授將下結論謂:甲乙兩個時鐘並不同步,甲時鐘顯然先發射,因此比乙時鐘快(甲的零點比乙的零點早)!

所以「同時」將因觀察者之運動而異:賴教授說甲乙兩激光是同時發射的,李教授卻說甲激光先發射的!如果李教授坐的火車是由甲往乙方向行駛呢?他將發現乙激光是先發射的!

這似乎是很明顯的結論,為什麼要等愛因斯坦告訴我們、難道牛頓沒想到嗎?牛頓不是沒想到,而是他認為宇宙中有一獨立於任何觀察者的時鐘,稱為「絕對時間」,所以「同時」是絕對,不會因觀察者之相對運動而異。

但事實上這結論與絕對時間無關,而是因愛因斯坦之假設—光的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值—造成的!如果不是這一假設,則光的傳播速率將與發射體運動狀態有關(古典力學),李教授會認為乙激光是以 c-v 逼近、而甲激光則是以 c+v 追趕以 v 速運動的賴教授(圖 b),因此兩道激光當然還是同時到達賴教授處!所以李教授和賴教授都同意時鐘是同步的。

所以很明顯地應是愛因斯坦的「同時相對性」改變了人類根深蒂固的「絕對同時性」觀念。如果我們將「發射激光」改成孿生子(雙胞胎)的「生日慶典」,則賴教授將說他們是同時出生的;但是李教授則會因其運動狀態而說甲孿生子先出生(比較老)或乙孿生子先出生。這不正是「雙胞胎悖論」的一個影本嗎?我們在這裡事實上還看到一個很重要的現象:參考坐標(運動方向)的改變,可能顛倒兩個不同事件的「先後次序」!

雙胞胎悖論

假設雙胞胎張四決定乘坐等速高速太空船去旅行。因他決定一去不回,故在旅行前與張三痛哭擁抱,答應在死前一刻依自己的時鐘將年齡紀錄下來,「寄」回地球。

依照經驗,如果兩人的生理機能完全不受外界的影響,則兩人的壽命應該一樣長;但是依照相對論,張三認為張四是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢【稱為「時間膨脹」現象】,因此活得較長;同樣地,張四認為張三是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢,因此活得較長!誰對呢?智力發育遲緩的筆者認為這是矛盾的,一定有一個人錯,但愛因斯坦說兩人都沒錯,要筆者耐心地等一等……。

坐上高速太空船旅行的張四,與留在地球的張三,誰活的時間比較「長」呢? 圖/envatoelements

歲月如梭,張四的信終於抵達地球了;打開一看,怎麼?他的壽命竟然與張三一樣!筆者一個頭兩個大,顯然是不應該學物理—尤其是相對論!請讀者幫幫忙吧!

假設張四離開10年(他的時間)時突然想家,於是緊急剎車,將太空船轉個方向,緊急加速到原來的速度(為了方便,我們可以假設整個過程是「瞬間」),10 年後終於又回到地球,跟雙胞胎張三重新會合,正要擁抱時卻發現張三已經比他老多了!這正是上面愛因斯坦及雷斯尼克所說的結果。

這看似矛盾的結果事實上是很容易理解的:張四在太空中的「緊急剎車、將太空船轉個方向、緊急加速到原來的速度」破壞了兩人運動的對稱性。我們雖然沒有辦法感受到自己是在靜止狀態或者是在等速運動,但我們卻可以知道自己是在加速。所以張四在太空中的急轉彎,不但破壞了兩人運動的對稱性,也應該是造成他們年齡差異的原因。我們可以從兩方面來看為什麼改變速度(加速)造成年齡差異。

從相對論來看,在去程及回程的等速運動時,張四應該一直認為張三比他年輕。但在前面的火車站實驗中,我們發現李教授的火車行駛方向改變會造成「先後次序」的顛倒,因此張四在太空急(「瞬間」)轉彎的過程中會發現張三(「瞬間」)老了許多(不怕數學讀者,可參見附錄二):多得超過了剛提到之等速運動時的年輕數,因此張四在相會時將發現張三比他老!從張三的角度來看,他從未加速,因此認為在運動的張四一直比他年輕!不止如此,他依相對論所算出來的年齡差距,也正是張四依他自己之坐標(包括等速與改速)所算出來的!

相信某些讀者要問:「老」是生理現象,張四的坐標轉換怎麼會使張三變老呢?火車站實驗中的「先後次序」顛倒,只是李教授的觀點而已,並沒有實質的物理意義,賴教授不是不同意嗎?1905年的相對論沒有回答這個問題,這答案 10 年後才在廣義相對論中出現(詳見愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士):加速可以視為是一種重力現象,時間在重力場中跑得比較慢【稱為「重力時間膨脹」(gravitational time dilation)】。

所以張四在太空中急速的減速及加速將造成強大的重力場,使得其(生理)時鐘變得非常慢,因此在這期間老得也非常慢(在黑洞附近的人—如果不被吸進去的話—幾乎可以長生不老)!

太空中急速的減速與加速,將造成強大的重力場,使時間變得非常慢。 圖/GIPHY

長度收縮

特殊相對論還預測一個稱為「長度收縮」(length contraction)的怪現象,謂:一位快跑健將拿著一根棍子沿著棍子方向以速度v飛跑,旁觀人會認為棍子長度變短。這一個怪現象事實上在月台的實驗上已經看到了:要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;李教授認為甲的零點比乙的零點早,因此必須「稍等」甲一下才能「同時」記錄甲、乙兩點的坐標,但這一「稍等」,因為甲在往乙方向運動,不是使得測得的距離變短嗎

如果讀者不怕數學,讓我們在這裡用點數學來看「長度收縮」這一怪現象,希望能幫助讀者更進一步了解。

圖二是旁觀者的坐標,顯示在 t=a 時,棍子的前端進入原點 x=0,然後沿軌跡 x=v(t-a) 繼續前進;棍子的後端則在 t=b 時進入原點,然後沿軌跡 x=v(t-b) 繼續前進。

圖二中的 bc 是棍子後端剛進入原點時,旁觀者的「同時」線,即線上每一點的時間都是 t=b(同步化)。測量棍子的長度必須「同時」觀察其前端及後端的位置,因此他測量得到的棍子長度為 be(他不知道那個時刻棍子前端事實上已經到達 d 點了)!bd 是快跑健將的同時線,其 x 坐標 (xd-xb) 則是 他測量的棍子長度,比 be 長;所以旁觀者說「棍子變短了」。

如果快跑健將的速度不快,則前、後端軌跡將趨近於成垂直,不同運動狀態的「同時」便趨近於相同,我們便又回到我們所熟知的牛頓世界了!

旁觀者測得的棍子長度因快跑健將的速度不同而異(原始長度則是快跑健將所測量道的長度,與其速度無關)。 圖/envatoelements

結論

愛因斯坦1905年的相對論中之「光傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值」假設徹底地毀滅了物理學中「同時」的觀念,因之產生了一些與日常經驗不符的奇怪現象,如「長度收縮」及著名的「雙胞胎悖論」。

希望本文的解釋不但能讓讀者見怪不怪,甚至發現其實不怪;了解相對論裡所有「矛盾」現象都是因為不同觀察者在「自說自話」造成的:例如在棍子的例子裡,靜止觀察者談論的是他(靜止觀察者)在某個時刻測量得到的長度,而移動觀察者談論的則是他自己(移動觀察者)在另一個瞬間測量的長度。

時間及空間是人類製造出來便利溝通的語言,如果李教授不認為甲地先發射,他沒辦法解釋為什麼賴教授同時看到甲乙兩地發射出來的光(實際經驗到的物理現象);所以「自說自話」原來是為了保持物理定律的不變性(物理定律是用來解釋我們實際經驗到的物理現象)。這些「自說自話」事實上也不是隨便說的,而是靠「洛倫茲轉換」(Lorentz transformation)連接在一起的。

附錄一:「後見之明」輕鬆地推導「洛倫茲(坐標)轉換」公式

K’ 坐標以 + v 速度相對於 K 坐標運動。如果坐標在 t=0 時重合,加上時、空的均勻性(變數沒有二次方):

…………………………………………………………(1)

β 為待解的常數。如果在 t=0 時發射一道光,則光的軌跡為 x=ct;代入上式,得

…………………………………………………………(2)

因為 K’ 坐標及 K 坐標的對稱性:

…………………………………………………………(3)

將 (3) 代入 (2) 解得

…………………………………………………………(4)

從 x = β ( x’ + vt’ ) 解 x’ ,然後代入(1),化簡可得到

…………………………………………………………(5)

公式(1) 、(5), 及(4)就是「洛倫茲(坐標)轉換」公式。長度收縮中之快跑健將棍子的同時線方程式為公式(5) :

附錄二:雙胞胎悖論的數學

假設雙胞胎甲留在地球,雙胞胎乙決定以 v 速度往太空地球 S 旅遊,則甲(x , t)、乙( x’ , t’)兩人的坐標轉換為(為了方便,將光速定為 1,所以 v 應該小於 1 ):

圖三為甲的坐標圖:太空地球 S 的位置為( xs , ts)。依照上面公式轉換,對乙來說,其坐標為( x’s , t’s )。去程時,乙在 S 時的同時線(該線上每一點的時鐘都「同步」) t1s 為:

在到達 S 時,乙瞬間改變方向,其同時線瞬間變為 t2s :

這兩個方程式的時間零點分別為 t0t3 ,因此不能直接用它們來算去程及回程的同時點 t1 及 t2 ;但因為對稱的關係,我們可以將 t1s 延長到 x=2xs 處,用  t’s=β ( t-vx ) 解得:

所以乙的回程坐標轉換一下子讓甲老了

t2 – t1 = v2xs

……舉個實際的例子:如果 v=0.6, xs=6,則 β=1.25,所以對甲來說,乙需要 10(=6/0.6) 年才能到達 S ,也需要 10 年才能回來,因此乙回來時,甲應該已經 20 歲了(為了說明方便,假設他們一出生,乙就到太空旅行)。甲的 S 坐標為(6 , 10),透過坐標轉換,乙的 S 坐標為(0 , 8);所以甲認為乙的時鐘比較慢,只要花 8 年(乙時鐘)的時間就可以到達 S,同樣地也只要花 8 年時間回來,所以乙回來時應該只有 16 歲!

透過乙在 S 時的同時線,可以解得當 x=0 時,t1=6.4。所以對乙來說,他已經 8 歲了,但甲才 6.4 歲,顯然比他年輕(老得慢)!同樣地,在回程時,乙也應該認為他老了 8 歲,但甲才老了 6.4 歲,所以乙回到老家時,乙應該已經 16 歲,但甲才 12.8 歲,比他年輕!

但前面不是說過甲應該已經 20 歲了嗎?矛盾?不!我們忘了乙坐標轉換時的「時差」 :7.2 年!將這「時差」加進去,乙也計算出甲的年齡應該是 20 歲(=6.4+7.2+6.4)!

甲、乙兩個人的結論相同,沒有矛盾!愛因斯坦沒有騙我們!

註:

要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;同樣地,要決定兩個事件發生的時差(時間),我們必須在「同點」測兩個事件發生的時刻。相對論不但毀滅了物理學中「同時」的觀念,事實上也摧殘了「同點」的觀念:沒有絕對的空間,「同點」因運動者而異。所以我們也應該可以在類似月台的簡單實驗上尋找到「時間膨脹」的現象(請讀者幫幫忙吧)。

延伸閱讀

愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士(科學月刊,2021 年 5 月號)。

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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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思考的極限:宇宙創造出「空間」與「時間」? ——宇宙觀的發展史(下篇)|20 世紀後
賴昭正_96
・2023/05/17 ・6928字 ・閱讀時間約 14 分鐘

  • 文/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

空間與時間都根本不存在:它們只是分別用來說明物體間之相對位置與事件間之前後秩序的「語言」而已。沒有物體就沒有空間的必要;沒有事件就沒有時間的必要。
——賴昭正(不可能得到諾貝爾獎的科普作者)

宇宙在十六世紀以前一直被認為是宗教與哲學的範圍。圖/Envato Elements

宇宙的起源、歷史、與結構,在十六世紀以前,一直以人及地球為中心,被認為是屬於宗教與哲學的範圍。1543 年,哥白尼(Nicolaus Copernicus)粉粹了地球為宇宙中心的幻想;約百年後,伽利略(Galileo Galilei)改進了望遠鏡,並將其鏡頭轉向天空,開啟了觀測天文(observational astronomy)之門,並大力支持哥白尼之地球繞日的理論。

慢慢地,科學家不再須要依靠信仰來解決、而是利用科學儀器去「看」宇宙像什麼樣子及如何演化。又再約百年後,牛頓(Isaac Newton)用萬有引力及距離平方反比定律,解釋了一系列以前不相關的天上人間現象,並且可以計算出行星繞太陽的週期,使得天文學正如其它科學訓練一樣,不再是信仰的爭論,而是證據與理論的問題。

當天文學家了解到了人不可能是宇宙的中心時,科學家再沒有任何理由認為我們所處在的地方在宇宙中佔了一個很獨特的地位;同樣地,也沒理由認為我們所處在的時刻是個很特殊的時刻——稱為「宇宙學原理(Cosmology principle)」。顯然地,宇宙應該永遠就是那樣地存在,它沒有開始,也不會有終結。

膨脹的宇宙

如果星星可以自由移動,那麼宇宙還是不是靜態?圖/Envato Elaments

牛頓的力學統領了三百多年的物理學及天文學發展,直到 1905-1915 年間,愛因斯坦(Albert Einstein, 1897-1955)相繼地發表了狹義相對論及廣義相對論後才被修正。

愛因斯坦發表了他的重力場方程式後,當然也在思考著宇宙的問題;但卻發現他場方程式的解不可能是一個靜態的宇宙!為了符合當時的宇宙觀,二十世紀近代物理學革命先鋒的愛因斯坦竟然屈服於「共識」,修改其方程式來取得靜態解。

事實上早在 1718 年,英國天文學家哈雷(Edmond Halley,1656-1742)就發現了三顆明亮的恆星不再處於古代觀測所確定的位置,嚴重地質疑恆星固定位置的假設。而如果星星可以像正常的物理物體一樣地自由移動,那麼宇宙是不是靜態呢?

1922 年至 1924 年間,俄國數學家佛里曼(Alexander Friedmann,1888-1925)假設宇宙中物體的分佈是均勻(宇宙學原理),解廣義相對論場方程式,發現這些物質在空間的分佈只有三種可能:
從開始的一點,空間隨著時間增大而

  1. 慢慢趨近到一個定值;
  2. 永遠繼續膨脹增大;
  3. 膨脹一段時間後開始收縮。
圖/作者提供

1927 年,比利時魯汶天主教大學(Catholic University of Louvain)教授勒梅特(Georges Lemaître,1894-1966,麻省理工學院物理博士)神父也獨立地發現了佛里曼解;但因他對其物理意義比較感興趣,從中預測了真實的星系宇宙膨脹,得出距離我們越遠的星群後退速率應越快、但沒有人在意的革命性結論——愛因斯坦接受了他的數學,但拒絕了他的物理解釋。

1929 年,美國天文學家哈柏(Edwin Hubble,1889-1953)分析了一些從遙遠星群傳來之光譜的測量結果,發現其頻率很有系統地往頻率較低之紅色位移(red shift),其位移值隨星球離我們之距離的增加而加大。顯然地,遙遠星群是依一定的規則在遠離我們:距離我們越遠,後退速率越快——稱為「哈柏—勒梅特定律」(Hubble-Lemaître law)。

這無可避免的結論是:宇宙正處於一膨脹狀態!此一完全出乎意外的發現,改變了宇宙論這一研究的整個面貌!可惜在哈柏去世前,天文學顯然還是被認為是屬於宗教與哲學的範圍,因此他從未得到諾貝爾獎。

宇宙的開始

一個膨脹的宇宙是一個在改變的宇宙,因此應該具有生命的歷史。1931 年,勒梅特開始追溯宇宙的足跡,得出了他所謂的「原始原子假說」(primeval atom),在《自然》雜誌上發表了一篇 457 字的短文謂:

「如果我們回到過去,我們必須找到越來越少的量子,直到我們發現宇宙的所有能量都包含在幾個——甚或是一個獨特的——量子中。……,如果世界始於一個單一的量子,那麼空間和時間的概念在開始時完全沒有任何意義。……,我們可以以一個獨特原子的形式設想宇宙的開始,其原子量是宇宙的總質量。」

無神論宇宙學家霍伊爾(Fred Hoyle,1915-2001)因為不相信「原始原子假說」,在 1949 年諷刺地稱它為「大霹靂」(big bang),沒想到這一名詞竟然廣為科學家所接受的,稱勒梅特的宇宙觀為「大霹靂宇宙論」。

1979 年 12 月,麻省理工學院古士(Alan Guth,1947-)教授突然心血來潮,懷疑他的研究——超冷(supercooled)的希格斯場(Higgs field)——或許也適用於宇宙論。

美國理論物理學、宇宙學家 Alan Harvey Guth 亦是暴脹模型的創立者。圖/維基百科

古士的研究顯示,如果當初宇宙充滿了稱為急脹子(inflaton)的希格斯場,則在慢慢膨脹而冷卻下來時,這急脹子可能被困在一能量不為零的非常不穩定之超冷狀態。此狀態的急脹子因具負內壓,可以提供非常強大的排斥力,促成瞬間非常巨大的膨脹(「大霹靂」的原因)。

但因此一狀態非常不穩定,因此急脹只維持了大約 10-35 秒之久;但在這期間宇宙膨脹率隨著時間而急速加快的!在此之後,宇宙的膨脹率才因重力的關係又恢復到其越來越小的正常狀態!

此一巨大迅速加速膨脹不但能解釋為何現今的宇宙是如此地均勻;它甚至還告訴了我們現今我們所觀測到的宇宙,事實上只是整個宇宙中非常小的一部份!這正又說明了為什麼我們現今觀測到的宇宙是平的——正如大球表面上的一個小面積看起來是平的一樣。此一偶然發現,一下子解決了宇宙大霹靂論的三大謎題(詳見愛因斯坦的最大錯誤——宇宙論常數)!在大約 10-35 秒後,此一大霹靂才停止,急脹子才放出其多餘的超冷能量,產生我們現今所看到的一般物質與能量。

科學家稱此一改良的大霹靂宇宙論為「急脹宇宙論」(inflationary cosmology),原來之大霹靂宇宙論為「標準大霹靂宇宙論」(standard cosmological Big Bang model)。

宇宙沒有邊緣

一個以獨特原子「大霹靂」出來的時空當然應該是有界限的,有界限的時空當然應該是有邊緣的。可是如果有邊緣,那應該有很獨特的中心點,這不違反了「宇宙學原理」嗎?還有,邊緣的外面是什麼?如果是空間,那應該是「大霹靂」造出來的,應該是宇宙的一部分,所以宇宙應該是沒有邊緣的。

沒有邊緣的宇宙不一定必須是無限大的:愛因斯坦 1917 年提出的宇宙就是一個沒有邊界的有限宇宙:生活在二度球面上的怪人,它們生活的球面是有限的,但卻沒有邊界。球面不平,故可以彎回形成一個封閉的無邊緣空間;但如果宇宙的幾何是平的,不能彎回來,那麼宇宙便應該是無限大的,沒有邊緣的;儘管如此,宇宙的膨脹還是在繼續製造空間的,所以空間隨著時間變成「更無限大」。

圖/作者提供

時空的膨脹

我們對「膨脹」的了解都是置身事外、隔岸觀火的:像看正在膨脹的氣球,只見其體積越來越大。但是宇宙只有一個,我們不可能置身事外;而如果宇宙是無限大的,則不管我們在哪裡,都會覺得我們正處於膨脹中心點,正像球面上的任何一點,發現其它各點離我們之速率與其距離成正比(這正是哈柏的發現)。

還有,隔岸觀火讓我們可以看到氣球外的膨脹空間,我們可以量得在膨脹時氣球上任何一點對地球的「運動」速度;但如果我們置身正在膨脹的宇宙中,當然看不到宇宙外的膨脹空間。

不,等一等,宇宙是無限的,它怎麼還有「外面」讓它膨脹呢?當然沒有!所以現在的物理學家認為空間像氣球的表面一樣,是膨脹——不是運動——「製造」出來的!兩個物體的空間距離因膨脹——不是相對運動——而加大。

萊布尼茲(Gottfried Leibniz,1646-1716)終於戰勝了牛頓:沒有物質的地方就沒有空間,空間根本不存在,空間只是用說明物體之間的相對位置的「語言」而已。所以哈柏所測到的遙遠星群有系統地離開我們,並不是因為星群「運動」的結果——星群並沒有在牛頓之「絕對空間」中運動。

如果空間是被製造出來的想法很難接受,相信時間就容易瞭解多了!想一想:「現在」根本沒有「明天」,「明天」是在明天的「現在」才出現的,所以「明天」是製造出來的;「時間」是在膨脹,往現在不存在之「明天」膨脹;「現在」與「明天」之間沒有界限,所以時間應該沒有邊緣;沒有邊緣就沒有邊緣外是啥的問題!

而沒有邊緣、又是「我的青春小鳥一去不回來」(註一)的時間不應是無限大嗎……,所以宇宙的膨脹事實上不止製造了空間,同時也製造了時間!

西漢(公元前 202 年-公元 8 年)《淮南子》的首篇《原道訓》謂上下四方為之「宇」,古往今來為之「宙」;這句話闡明了「宇」就是空間,「宙」就是時間;宇宙就是時空,宇宙歷史就是製造時空的歷史!

宇宙歷史就是製造時空的歷史!圖/Envato Elements

宇宙年齡與黑暗夜空

如果時間是因為大霹靂而製造出來的,那現在的宇宙到底都老了?精確測量的「遙遠星系的速度及其距離比」(稱為「哈柏常數」)估計現在的宇宙年齡為 138 ± 10 億年。

2013 年,歐洲航天局的普朗克太空望遠鏡繪製了一張詳細的宇宙微波背景溫度之波動圖,估計宇宙的年齡為 138.2 ± 0.5 億年。去年 3 月 30 日,由約翰霍普金斯大學韋爾奇(Brian Welch)博士領導的一群天文學家宣布發現了有史以來最遠和最早的恆星:一個在 129 億年前(大霹靂之後 9 億年時)發出的光點。

哈柏對星系系統性紅外移的發現終於讓我們解決了牛頓之無限宇宙論與宗教之有限宇宙論間的衝突。

起初人們認為僅紅移效應就足以解釋為什麼夜晚的天空是黑暗的:來自遙遠星系中恆星的光會被紅移到可見光範圍之外的長波長。然而,現在共識是,宇宙的有限年齡是一個更重要的影響。即使宇宙在空間上是無限的,但由於光速及重力傳播速有限,來自遙遠星系的光子或重力根本還沒有足夠時間抵達到地球。

如果現在宇宙的年齡是 138 億年,那麼我們將感覺不到距離地球 138 億光年外的光或重力,而認為宇宙是有限的。我們稱這個半徑 138 億光年的球面內宇宙為「可觀測宇宙」(observable universe)。在這個宇宙視界內的星數大約 2 萬億個,太少了,無法使夜空明亮或將地球撕裂。

還有,如果牛頓當時知道宇宙是在膨脹,他根本不需要一種「無限而永恆」的神力來防止星雲被拉到一起。

獵戶座大星雲揭示了恆星與行星系統的形成過程。圖/維基百科

思想的貧乏

如果時空是大霹靂製造出來的,那在這之前根本沒有時空!沒有時空?那這大霹靂在什麼「地方」發生的?又為了解釋如果爆炸有中心點,那便違反了「宇宙學原理」,有些理論天文學家甚至提出大霹靂是「到處」同時發生的!可是「到處」不是空間嗎?……這不正是「先有雞還是先有蛋」的矛盾問題嗎?

儘管哲學家盧梭(Jean-Jacques Rousseau, 1712-1778)認為:「現實的世界是有止境的,幻想的世界則是無垠的」,但在寫這一節時,筆者還是一個頭兩個大!

紐約州立大學石溪分校的天體物理學家舒特兒(Paul Sutter)在去年 2 月 25 號的宇宙之外有什麼東西嗎?一篇文章結尾說:「如果這一切聽起來複雜而令人困惑,請不要擔心。……,這就是現代宇宙學的力量之一:它(數學)使我們能夠研究難以想像的事物。」

恐怕我們所能做的就是接受這些悖論並努力去適應它,就像前面提到之萬有引力,當初不是被認為是「魔法、神秘、非科學」嗎?但現在已經沒有人懷疑這種力之存在了。同樣地,近代的物理(相對論、量子力學)裡不也是充滿了很多違反我們日常生活邏輯的奇怪觀點嗎?

宇宙又再次加速膨脹

1998 年加州大學伯克萊分校(University of California, Berkeley)的波米特兒(Saul Perlmutter)及澳洲國立大學(Australia National University)的思密特(Brian Schmidt)相繼宣佈超級新星 la 型的數據顯示,在大霹靂後的 70 億年,宇宙的膨脹率又再次加速了!約翰霍普斯金大學(Johns Hopkins University)的雷斯(Adam Riess)於 2006 年再次肯定了這些觀查結果。

此一發現再次重寫了人類對宇宙演化的看法,因此諾貝爾獎委員會將 2011 年的物理獎發給這三位科學家。

真是一波剛平,一波又起!好不容易物理學家總算了解了大霹靂的原因,在它之後宇宙的膨脹因為萬有引力的關係應該逐漸慢下來,怎麼現在它的膨脹又加速了?牛頓重力只有相吸的作用,因此要解釋此一加速膨脹,看來只有求助於愛因斯坦那修改方程式內之「宇宙論常數」(cosmological constant)了。

不錯,波米特兒及思密特思考著:在大霹靂(急脹)後,宇宙靠大霹靂時的衝力(物理學上稱為慣性)而繼續膨脹,但因萬有引力的關係,膨脹速率將越來越慢;可是如果真有愛因斯坦的宇宙論常數,則因其排斥強度不會隨宇宙膨脹而降低(萬有引力則會因宇宙膨脹而降低),它總有一天它會強過萬有引力,使宇宙的膨脹率由減速再次變成加速!這一天顯然就發生在他們所發現之大霹靂後約 70 億年時!

可是愛因斯坦的宇宙論常數是啥東西呢?沒有人知道,但一定不是普通的物質,否則早就應該被發現了——因此科學家稱它為「暗能量」(dark energy)。物理學家及天文學家正努力地在尋找此一充滿了宇宙、及必須具有負內壓的怪物。

宇宙膨脹的藝術構想圖。 圖/維基百科

結論

今日大部分的天文學家都認為宇宙是平的(佛里曼解 1),是在膨脹、沒有界限、無限大的。黑洞及重力波的相繼發現鞏固了廣義相對論在現今宇宙研究的理論地位。我們現在所看到的宇宙只是整個宇宙之一小部分而已;138 億年前離我們最遠那些星群因為宇宙加速膨脹的關係,事實上現在都已經離我們 460 億光年了(因為不是運動造成的,它們可以以大於光速的速度遠離我們)。

很難想像一個沒有邊緣、無限大的空間是什麼樣子?在那裡又如何能不停地製造出空間來?……,這些無法理解的「矛盾」邏輯或許正是羅素(Bertrand Russel,1872-1970)所說的「認為事物必須有一個開始(邊緣、大小、結束、……)的想法,實際上是由於我們思想的貧乏」?或普朗克(Max Planck,1858-1947)所說的:「科學無法解開自然界的終極奧秘,因為歸根結底,我們自己是我們試圖解開的謎團的一部分」?

這使筆者想到:人工智慧是人類製造出來的,它能像我們一樣創造出牛頓力學、相對論、量子力學嗎[註2]?甚或超越人類創造出一個沒有「矛盾」的宇宙觀嗎?

筆者在「日常生活範式的轉變:從紙筆到 AI」一文裡最後提到:或許筆者下篇文章已經不是自己寫的了。讀者認為本文是人工智慧代寫的嗎?為什麼?

註解

  1. 黃駱賓:《青春舞曲》
  2. 筆者覺得不可能,因為筆者認為創造是屬於靈感和直覺的非理性活動,無法表達的;愛因斯坦曾謂:「我很少用語言思考。(雖然)一個想法出現了,我可能會嘗試用文字來表達它」。當我們無意識地思考時,邏輯及演繹推理就被拋在腦後;愛因斯坦曾謂:「我從來沒有通過理性思考的過程做出任何發現」。
    人工智慧有能夠有靈感、直覺、或無意識的思考嗎?還有,科學上不少大發現都是意外的,例如注意到胰臟被割除之狗,小便過的地板上蒼蠅特別多而發現了胰島素,忘了收拾細菌培養皿就去度假而發現了盤尼西林,錯誤的假設發現了量子統計力學等等。人工智慧如何「學習」或碰到這種運氣呢?

延伸閱讀

  1. 賴昭正:《我愛科學》(華騰文化有限公司,2017 年 12 月出版):「量子統計的先鋒——波思」(科學月刊,1971 年 4 月號),「牛頓的水桶」(科學月刊,2011 年 8 月號),「愛因斯坦的最大錯誤——宇宙論常數」(科學月刊,2011 年 12 月號) ,「暗物體與暗能量」(科學月刊,2014 年 6 月號),「愛因斯坦其實沒那麼神?」(泛科學,2016/03/16)。
  2. 50年的追尋-宇宙之演化(科學月刊,2019 年 8 月號)。
  3. 宇宙是靜態還是在膨脹?又是誰先發現宇宙微波背景輻射?(泛科學,2022/04/22) 。
  4. 從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、和不確定性(泛科學,2019/06/03)。
  5. 賴昭正譯(P.C.W. Davies 原著):《近代宇宙觀中的空間與時間》(新竹國興出版社,1981 年 8 月出版)。
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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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如果整個地球由質子構成,月球由電子構成,那會怎樣?——《如果這樣,會怎樣?2》
天下文化_96
・2023/04/26 ・2141字 ・閱讀時間約 4 分鐘

如果整個地球都由質子構成,而整個月球都由電子構成,那會怎樣?
——諾亞.威廉斯(Noah Williams)

質子地球,電子月球

這可能是我寫過最具破壞性的假設情境。

你可能會想像電子月球繞著質子地球運行,有點像是巨大的氫原子。某方面來說,這還有點道理;畢竟,電子繞著質子運行,而衛星繞著行星運行。事實上,原子的行星模型曾流行一時(不過,拿來解釋原子竟然不太管用)。

如果你把兩個電子放在一起,它們會想要分開。電子帶負電,而來自電荷的排斥力比將它們拉在一起的重力強了大約 20 個數量級。

如果你把 1052 個電子放在一起(構成月球),它們會劇烈的互相排斥,以致每個電子會被大到不可思議的能量推開。

事實證明,對諾亞假設的「質子地球和電子月球」情境來說,行星模型更是大錯特錯。月球不會繞著地球運行,因為它們根本沒有機會影響彼此;使兩者各自分別炸開的力量,會遠大於兩者之間的任何吸引力。

如果暫時忽略廣義相對論(等一下會回來談),我們可以算出,來自這些電子相互排斥的能量,足以使它們向外加速到接近光速。將粒子加速到那樣的速率並不少見;桌上型粒子加速器(例如映像管螢幕)可以將電子加速到光速的相當比例。

但是,諾亞月球的電子所攜帶的能量,會遠遠大於普通加速器中的電子所攜帶的能量。它們的能量會超過普朗克能量的數量級,普朗克能量本身則是比最大的加速器中,所能達到的能量又大了很多數量級。換句話說,諾亞的問題遠遠超出普通物理學的程度,帶我們進入到量子重力與弦理論之類的高等理論領域。

所以我聯繫了尼爾斯.波耳研究所(Niels Bohr Institute)的弦理論科學家基勒博士(Dr. Cindy Keeler),請教她關於諾亞的假設情境。

基勒博士同意,我們不應該信賴任何涉及「在每個電子中放這麼多能量」的計算,因為這遠遠超出加速器測試的能力範圍。「我不相信粒子能量超過普朗克尺度的任何事情,」她說。「我們實際觀測到的最大能量存在於宇宙射線中;我認為比大型強子對撞機大了差不多 106,但還是離普朗克能量很遠。身為弦理論科學家,我很想說會發生什麼關於弦理論的事情——但說老實話,我們也不知道。」

幸好,故事還沒結束。還記得我們先前決定忽略廣義相對論嗎?嗯,這是「帶入廣義相對論反而使問題更容易解決」的罕見情況之一。

在這種情境下,存在巨大的位能——使所有這些電子遠離彼此的能量。這樣的能量會扭曲空間和時間,和質量一樣。結果證明,電子月球中的能量大約等於整個可見宇宙的質量與能量總和。

相當於整個宇宙的質能集中在(相對較小的)月球的空間裡,會使時空強烈扭曲,甚至會比那 1052 個電子的排斥力還要強。

基勒博士斷言:「沒錯,黑洞。」但這可不是普通的黑洞,而是帶有大量電荷的黑洞。為此,你需要一組不同的方程式——不是標準的史瓦西(Schwarzschild)方程式,而是萊斯納—諾德斯特洛姆(Reissner-Nordström)方程式。

萊斯納—諾德斯特洛姆方程式比較了向外的電荷作用力和向內的重力之間的平衡。如果來自電荷的向外推力夠大,黑洞周圍的事件視界可能會完全消失。那樣會留下密度無限大的物體,光可以從中逸出——這就是所謂的裸奇點(naked singularity)。

一旦有了裸奇點,物理學就會開始分崩離析。

量子力學和廣義相對論給出荒謬的答案,甚至是不同的荒謬答案。有人認為,物理定律根本不容許出現這種情況。正如基勒博士所言,「沒有人喜歡裸奇點。」

以電子月球的例子來說,來自所有這些電子互相排斥的能量會非常大,以致重力會獲勝,而奇點會形成正常的黑洞。至少,某方面來說是「正常的」;它會是和可觀測宇宙一樣大的黑洞。這個黑洞會導致宇宙塌縮嗎?很難說。答案取決於暗能量是怎麼回事,沒有人知道暗能量是怎麼回事。

但就目前而言,至少附近的星系是安全的。由於黑洞的重力影響只能以光速向外擴展,因此我們周圍的大部分宇宙仍會天下太平,對我們荒謬的電子實驗毫不知情。

——本文摘自《如果這樣,會怎樣?2:千奇百怪的問題 嚴肅精確的回答》,2023 年 3 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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薛丁格的貓是死是活?再不懂點量子就落伍了!——《我們的生活比你想的還物理》
商周出版_96
・2022/12/06 ・2327字 ・閱讀時間約 4 分鐘

奧地利的物理學家薛丁格最初閱讀愛因斯坦和德布羅意的論文後,也注意到物質波的概念,並進而闡釋發展成波動力學,促成量子力學誕生。薛丁格的波動力學是後來量子力學的具體論述之一, 薛丁格波動方程式更是量子力學最重要的方程式之一,也是現代人研究發展量子電腦的重要思維。

繼續討論薛丁格的想法前,容我「插播」兩種說法,一種是「哥本哈根詮釋」,一種是「愛因斯坦悖論」。

萬物受機率支配?愛因斯坦可不這麼認為

前面提到電子的雙狹縫干涉實驗,說明在微觀世界的電子具有波動性。在電子的雙狹縫干涉實驗中,為何被觀測到的電子只有在屏幕的一點留下痕跡呢?照理說,在屏幕的任意地方都能發現電子的蹤跡。然而,當我們「觀測」到屏幕的一「質點」的電子的瞬間,電子的波函數立即「塌縮」。

物理學家解釋這是因為電子的波函數與發現機率有關,亦即觀測電子時,電子波會縮小分布範圍, 呈現電子的粒子形式。活躍於哥本哈根的波耳等人認同這種融合「波函數塌縮」和「機率詮釋」的想法,因此成為「哥本哈根詮釋」。至於「電子波為何會塌縮?」是一個未解之謎。

自然界真的受到機率的支配嗎?真的大哉問啊!

愛因斯坦儘管預言光子存在,提出光量子論,但他強烈反駁「機率論」的觀點。對於哥本哈根學派的「機率詮釋」和「波的塌縮」,愛因斯坦以「上帝不玩擲骰子的遊戲」批判哥本哈根詮釋, 完全不能接受哥本哈根學派主張「決定一切事物的上帝竟然會依照擲出骰子出現的點數決定電子的位置」。

「上帝不玩擲骰子的遊戲」批判哥本哈根詮釋。圖/GIPHY

愛因斯坦也指摘「幽靈般的超距作用」。他認為未來已經確定,反駁「自然界曖昧不明」的不確定性,進一步指出「自然界並非曖昧不明,而是量子論還不完備,無法正確闡述自然界的緣故」。以上所提,是量子力學發展歷程的觀點論戰的故事,包含 1935 年,愛因斯坦和共同研究者波多斯基(Boris Podolsky)、羅森(Nathan Rosen)聯合發表觸及量子論矛盾的「EPR 悖論」(Einstein-Podolsky-Rosen paradox)。

迄今,我們已經知道微觀世界,電子等粒子會自己旋轉,具有「自旋」的物理量,或直接用專業術語「自旋角動量」,自旋的方向依據量子論會以多個狀態同時存在,並存或疊合。

愛因斯坦等人認為,對於相距非常遙遠的電子,不可能無時間限制,瞬時互相影響;根據狹義相對論的說法,沒有任何物體的飛行速度比光速還快。觀測相距遙遠的兩粒子之一,竟然會在瞬間同時決定兩者的狀態,這樣特殊奇妙的現象,愛因斯坦稱之為「幽靈鬼魅般的超距作用」。

沒錯!又要提那隻貓了

薛丁格曾以「量子糾纏」解釋愛因斯坦論文中的悖論現象,指出互相遠離的粒子的性質,並非各自獨立,而是成組決定,無法個別決定,這個現象是 2022 年諾貝爾物理學獎得獎主題的「量子糾纏」。如果能這樣思考,那麼就不會認為粒子是瞬間傳送並影響到遠方粒子,有如「幽靈般的超距作用」。

貓同時是活和死的「疊加」。圖/維基百科

談到量子力學,「薛丁格的貓」此知名想像實驗必定會浮現在讀者的腦海中吧?此實驗探討一隻貓的狀態究竟是活或死的,而實驗結果是:貓同時是活和死的「疊加」。如果以古典物理學來思考,會顯得極其荒謬;但若以微觀世界視之,這項理論其實符合電子波粒二象性的機率概念。

根據 1927 年量子力學學派的詮釋,觀察一個量子物體時,會干擾其狀態,造成其立即從量子本質轉變成傳統物理現實。原子及次原子粒子的性質,在量測之前並非固定不變,而是許多互斥性質的「疊加」。此觀念的知名例子就是「薛丁格的貓」實驗。

在這個想像的實驗中,一隻貓被鎖在一個箱子中,並有一個毒氣瓶,在量子粒子處於某狀態下毒氣瓶會破裂,但若該粒子處於另一狀態,則毒氣瓶會完好無損。如果將箱子封閉,此粒子的量子狀態是兩種狀態「共存」的情況,也就是說,毒氣既是已從瓶中放出,又被封存在瓶中,也因此,箱中的貓同時既是活的也是死的。當箱子打開時,由於此量子疊加狀態瓦解了,因此在那瞬間,這隻貓或許被毒死,或許得以保命。

當箱子打開的瞬間,這隻貓或許被毒死,或許得以保命。圖/《我們的生活比你想的還物理

物理小教室

  • 索爾維會議

量子力學是近代物理學的重要基石,與相對論被認為是近代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學,如原子物理學、固態物理學、核物理學和粒子物理學,都以其為基礎。物理學界往往會在物理重要會議激盪出重要的論述,例如 1927 年第 5 次索爾維會議,此次會議主題為「電子和光子」,當時世上最重要的物理學家,都聚集在一起討論新的量子理論。

1927 年第 5 次索爾維會議,此次會議主題為「電子和光子」。

——本文摘自《我們的生活比你想的還物理》,2022 年 11 月,商周出版,未經同意請勿轉載。

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