裝滿的穀倉壓力有多大?靜摩擦力與楊森效應

新聞畫面中倒塌的玉米筒倉(WKEF/WRGT)

總重一萬噸的玉米,灑落在美國俄亥俄洲的 571號公路。沒有人傷亡,不過被壓斷的電纜造成該地區斷電斷網,571號公路也被關閉了好幾天。這個意外發生在 2018 年一月,起因是一個倒塌的筒倉。

在美國和歐陸等溫帶地區,常見圓形的筒倉可以用來儲存各種穀物。在玉米與小麥的進出口業發達的國家,筒倉內的穀物噸數動輒上萬,一旦坍塌,造成的破壞十分可觀。(沒錯就是會造成道路封閉、斷電斷網的等級)因此,負責設計的工程師必須清楚知道,筒倉的側壁與底部能夠扛住多少壓力。

許多地區常見使用筒倉儲存玉米小麥等穀物。圖/piqsels

當穀倉裝滿,底部的壓力卻……

為此,德國的工程師楊森(H.A. Janssen) 特別設計了一個底部可活動的筒倉,並將底部連結至天平與砝碼(圖1)。

圖1 當年楊森的筒倉設計圖

利用如此簡單暴力的實驗裝置,楊森得到了出乎意料的結果:隨著他在筒倉中慢慢放入更多的穀物,底部的壓力成長卻逐漸趨緩,到最後幾乎變成平線(圖2)。當他放入的穀物總重來到 180 公斤,筒倉底部卻只承擔了 23 公斤的壓力!

圖 2 放入穀物重量對底部壓力的關係圖。隨著重量增加,底部壓力卻逐漸飽和,不再成長。

消失的重量究竟去了哪裡呢?我們預期底部壓力等於內容物重量,其實是因為,我們直覺地把細小的穀物當作滑順的流體。如果筒倉裡裝的是水,那麼底部壓力當然會等於水的重量。

不過像是穀物或沙子這類的細小顆粒,儘管集體行為與液體很類似,個別顆粒之間卻有著可觀的摩擦力。像是沙漏中落下的沙子,會在下方堆成一個小沙丘,而不是像液體一樣形成水平面,就是因為其受制於顆粒間的摩擦力,無法像水分子一樣自由流動。

摩擦力如何影響底部壓力?

如果要想像穀倉中的摩擦力如何作用有點困難,我們可以先想像一個極端的例子:兩顆體積跟摩擦力都很大的瑜珈球(圖3)。在畫面中原本就已經有一個藍球,而當靠近邊緣的瑜珈球(白球)落下,會被「嵌入」牆壁與藍球的間隔。

從白球的角度來看,白球會有兩個摩擦力的來源:與藍球接觸面的摩擦力與與牆壁的摩擦力。靜摩擦力的方向會「抵抗」移動的趨勢,所以當白球向下擠,牆壁與球之間便留下了一個向上的靜摩擦力。這股向上的力量分擔了白球的重量,於是筒子底部承擔的重量就少了一些。

圖 3 一個筒倉內原本裝了一顆藍色瑜珈球。後來放入的白球嵌入空隙中,受到兩個向上摩擦力(紅色的箭頭)。要注意球與球之間的摩擦力只會將重量轉嫁給藍球,只有牆壁提供的摩擦力有助於減少底部所受的總壓力。

同樣的,當我們在筒倉中添加穀物,倉壁內側的摩擦力會撐起一部分的重量。隨著筒倉內穀物越來越多,接觸到的倉壁面積增加,摩擦力能分擔的重量也越多。因此當筒倉內的穀物多到一個程度,新加入的穀物重量幾乎不會對底部造成負擔。

因此楊森的實驗中,最後才會達到飽和,底部壓力幾乎不再增加。這個現象後來被稱為「楊森效應(Janssen Effect))」

從穀物到雪崩,「顆粒物理」防守範圍超廣

我們剛剛看到的斑駁的設計圖和天秤的使用透漏了它的年紀,楊森的這份研究其實發表於兩世紀前的 1895 年。

雖然年代感有點重,不過這篇研究可是越陳越香,在 1977 年之前,它只被引用了 40 次。在最近三十年間,卻突然暴增了兩百多次引用。用簡單的實驗和理論,楊森開啟了新的領域,也就是近年蓬勃發展的顆粒物理。顆粒物理的防守範圍不只包含穀物和粉末等工業應用,也能分析沙丘與雪崩這類的地質現象。

就在今年三月,一份新的研究發表在物理評論快報 (Physical Review Letters)。該篇研究的作者發現在某些情況下,筒倉底部的重量竟然會大於內容物重量,被稱為「反楊森效應」!

新的實驗使用較大的顆粒,比起筒倉中的穀物,比較像是兒童球池。先前有提到,新加入的球會帶來向上的摩擦力;不過有另一種情況,會造成向下的摩擦力,導致底部的壓力不減反增(圖4)。在圖4 中,白色球落下時,將藍色球向外擠,間接將最左側的黃色球沿著牆壁向上推,造成向下的摩擦力。

圖 4 反楊森效應示意圖。

你可能有想到:這時候白色的球不是會受到向上的摩擦力嗎?的確如此。而底部受到的總壓力,便是數百顆球互相磨來磨去的效應總和。這時便慶幸我們手上有楊森所沒有的工具:電腦模擬。

圖 5 電腦模擬結果。有接觸牆壁的球依據所受磨擦力方向上色;向上為紅色,向下為藍色。 (M. P. Ciamarra/Nanyang Technological Univ.)

利用電腦模擬筒倉中填入圓球的情況可以發現,當填充到特定深度時,被牆壁向下壓的球(藍色)明顯多於被牆壁撐住的球(紅色)。這時筒倉底部便會承受大於預期的壓力,造成崩塌的風險。

不過這個現象一般只會出現在顆粒較大的系統。也就是說,如果你家附近有裝滿穀物的筒倉,應該不需要太擔心;不過如果裡面裝的是西瓜,那就不好說了。

參考資料

    1. Sperl, Matthias. (2005). Experiments on Corn Pressure in Silo Cells — Translation and Comment of Janssen’s Paper from 1895. Granular Matter. 8. 10.1007/s10035-005-0224-z.
    2. Mahajan S, Tennenbaum M, Pathak SN, et al. Reverse Janssen Effect in Narrow Granular Columns. Phys Rev Lett. 2020;124(12):128002. doi:10.1103/PhysRevLett.124.128002
    3. Seattle Times: Silo collapse spills 10,000 tons of corn onto Ohio road

關於作者

林祉均

清大理工男。不喜歡算數學。喜歡電影、龐克、和翻譯小說。不知道該把科普當興趣還是專長,但總之先做再說。

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