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誰都別想輕易地拉開交疊的電話簿,誰都別想!

吳京
・2015/09/23 ・1679字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 543 ・八年級

過去,家家戶戶都備有一本的「電話簿」,它曾是地表上最厚的印刷品之一,香港皇家警察會用它來審問犯人(請參見電影逃學威龍2),地方媽媽則靠它查詢電話號碼。而今皇家警察不復在,地方媽媽要查詢的電話號碼多半Google一下就有,造成電話簿的存在感越來越低、越印越薄,被淘汰似乎只是早晚的問題。

雖然查詢電話的功能可能被取代,但電話簿身為「物理學教具」的地位,卻不會輕易地動搖。把兩本相對的電話簿一頁一頁地交疊在一起,再向兩側拉,怎麼拉也拉不開,這是許多人認識「摩擦力」的第一課。

電話簿的摩擦力
Photo credit: Danny Nicholson

Discovery頻道熱門節目「流言終結者」,有一集就在探究這個現象。他們以夾具固定兩電話簿的書脊以方便施力,嘗試了兩人互拉、數人拔河及兩輛轎車互拉等方式,都無法拉開交疊的電話簿。最終,節目大手筆地請來兩台坦克車,施加到8000磅力的拉力時,兩本電話簿終於分開了,但比較像是因電話簿結構崩裂而分離,而非克服摩擦力拉開。

隨手拿起兩本書,就可以對這個現象做實驗。我們發現兩書交疊10頁時,不費吹灰之力就可以拉開;交疊100頁時,幾乎就拉不開了。另外,當兩本書交疊面越深時,也會越難拉開。

複習一下物理公式,「摩擦力=摩擦係數 × 正向力」。摩擦係數僅與接觸面的材質有關,這代表頁數增加會產生更多正向力,讓兩本書難以拉開。可是紙又不重,哪來那麼多正向力?此外,公式告訴我們摩擦力與接觸面積無關,所以當兩本書交疊地越深時,雖然接觸面積增加,應該不會影響到摩擦力吧?!

到底是情愛的糾葛、命運的糾纏、金錢的誘惑還是利益的衝突?這樣一個簡單的交疊,卻讓兩個電話簿墜入巨大的摩擦。究~竟~事情的真相隱藏著什麼不為人知的秘密呢?讓我們看下去。

法國的物理學家Hector Alarcon等人對這個問題認真了。他們推導出描述交疊電話簿之摩擦力的數學公式,並以實驗數據驗證公式的正確性,研究成果於2015年8月預先發表在arXive網站上。

事情的真相其實很簡單,當兩書交疊時,其中間部位要比兩端的書脊處來得厚,每張書頁從書脊延伸至交疊處時,會產生一個傾角。施力往外拉時,書頁繃緊造成傾角變小,產生向內壓的正向力,進而增加摩擦力。因此拉力越大,摩擦力也越大,交疊電話簿儼然是個遇弱則弱,遇強則強的狠角色!另一方面,當原始傾角越大時,內壓產生的正向力也會越明顯。增加交疊頁數或加深交疊間距都會讓傾角變大,因此讓摩擦力增加。實驗指出,當交疊頁數增加10倍時,兩書可承擔拉力會提升10,000倍,比指數增長(Exponential growth)還劇烈。

(a)交疊的電話簿可以提起一輛轎車。(b)實驗機構。(c)交疊電話簿之力學分析示意圖 圖片來源:arXive (圖片源自該論文)
(a)交疊的電話簿可以提起一輛轎車。(b)實驗機構。(c)交疊電話簿之力學分析示意圖。圖片來源:arXive (圖片源自該論文

其實,在此之前已有許多人提出相同的解釋,包含一些科學網站上的討論串。然而,這些解釋多半只是約略的論述,並參雜其他似是而非的假設(比如說大氣壓力或交疊重量等因素)。直到Hector Alarcon等人的研究,才讓這個舉世聞名的未解之謎,有了嚴謹的論證。

有了科學論證,以後向孩子們說明團結的重要時,別用筷子啦,要是孩子太強壯,輕易把三根筷子折斷不就糗了嗎?改用電話簿吧!相信再怎麼強壯的孩子,也是沒法把交疊的電話簿拉開滴。

參考資料:

Alarcon, Hector, et al. “The enigma of the two interleaved phonebooks.” arXiv preprint arXiv:1508.03290 (2015).

本文轉載自吳京的量子咖啡館

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吳京
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正職是二個娃兒的奶爸,副業為部落格《吳京的量子咖啡館》之館主。為人雜學而無術、滑稽而多辯,喜讀科學文章,再用自認有趣的方式轉述,企圖塑造博學又詼諧的假象。被吐嘈時會辯稱:「不是我冷,是你們不懂我的幽默。」


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什麼是「造父變星」?標準燭光如何幫助人類量測天體距離?——天文學中的距離(四)

CASE PRESS_96
・2021/10/22 ・3033字 ・閱讀時間約 6 分鐘
  • 撰文|許世穎

「造父」是周穆王的專屬司機,也是現在「趙」姓的始祖。以它為名的「造父變星」則是標準燭光的一種,讓我們可以量測外星系的距離。這幫助哈柏發現了宇宙膨脹,大大開拓了人們對宇宙的視野。然而發現這件事情的天文學家勒梅特卻沒有獲得她該有的榮譽。

宇宙中的距離指引:標準燭光

經過了三篇文章的鋪陳以後,我們終於要離開銀河系,開始量測銀河系以外的星系距離。在前作<天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」>中,介紹了距離和亮度的關係。想像一支燃燒中、正在發光的蠟燭。距離愈遠,發出來的光照射到的範圍就愈大,看起來就會愈暗。

我們把「所有發射出來的光」稱為「光度」,而用「亮度」來描述實際上看到的亮暗程度,而它們之間的關係就是平方反比。一旦我們知道一支蠟燭的光度,再搭配我們看到的亮度,很自然地就可以推算出這支蠟燭所在區域的距離。

舉例來說,我們可以在台北望遠鏡觀測金門上的某支路燈亮度。如果能夠找到到那支路燈的規格書,得知這支路燈的光度,就可以用亮度、光度來得到這支路燈的距離。如果英國倫敦也安裝了這支路燈,那我們也可以用一樣的方法來得知倫敦離我們有多遠。

我們把「知道光度的天體」稱為「標準燭光(Standard Candle)」。可是下一個問題馬上就來了:我們哪知道誰是標準燭光啊?經過許多的研究、推論、歸納、計算等方法,我們還是可以去「猜」出一些標準燭光的候選。接下來,我們就來實際認識一個最著名的標準燭光吧!

「造父」與「造父變星」

「造父」是中國的星官之一。傳說中,「造父」原本是五帝之一「顓頊」的後代。根據《史記‧本紀‧秦本紀》記載:造父很會駕車,因此當了西周天子周穆王的專屬司機。後來徐偃王叛亂,造父駕車載周穆王火速回城平亂。平亂後,周穆王把「趙城」(現在的中國山西省洪洞縣一帶)封給造父,而後造父就把他的姓氏就從本來地「嬴」改成了「趙」。因此,造父可是趙姓的始祖呢!(《史記‧本紀‧秦本紀》:造父以善御幸於周繆王……徐偃王作亂,造父為繆王御,長驅歸周,一日千里以救亂。繆王以趙城封造父,造父族由此為趙氏。)

圖一:危宿敦煌星圖。造父在最上方。圖片來源/參考資料 2

回到星官「造父」上。造父是「北方七宿」中「危宿」的一員(圖一),位於西洋星座中的「仙王座(Cepheus)」。一共有五顆恆星(造父一到造父五),清代的星表《儀象考成》又加了另外五顆(造父增一到造父增五)。[3]

英籍荷蘭裔天文學家約翰‧古德利克(John Goodricke,1764-1786)幼年因為發燒而失聰,也無法說話。1784 年古德利克(John Goodricke,1764-1786)發現「造父一」的光度會變化,代表它是一顆「變星(Variable)」。2 年後,年僅 22 歲的他就當選了英國皇家學會的會員。卻在 2 週後就就不幸因病去世。[4]

造父一這顆變星的星等在 3.48 至 4.73 間週期性地變化,變化週期大約是 5.36 天(圖二)。經由後人持續的觀測,發現了更多不同的變星。其中一群變星的性質(週期、光譜類型、質量……等)與造父一接近,因此將這一類變星統稱為「造父變星(Cepheid Variable)」。[5]

圖二:造父一的亮度變化圖。橫軸可以看成時間,縱軸可以看成亮度。圖片來源:ThomasK Vbg [5]

勒維特定律:週光關係

時間接著來到 1893 年,年僅 25 歲的亨麗埃塔‧勒維特(Henrietta Leavitt,1868-1921)她在哈佛大學天文台的工作。當時的哈佛天文台台長愛德華‧皮克林(Edward Pickering,1846-1919)為了減少人事開銷,將負責計算的男性職員換成了女性(當時的薪資只有男性的一半)。[6]

這些「哈佛計算員(Harvard computers)」(圖三)的工作就是將已經拍攝好的感光板拿來分析、計算、紀錄等。這些計算員們在狹小的空間中分析龐大的天文數據,然而薪資卻比當時一般文書工作來的低。以勒維特來說,她的薪資是時薪 0.3 美元。順帶一提,這相當於現在時薪 9 美元左右,約略是台灣最低時薪的 1.5 倍。[6][7][8]

圖三:哈佛計算員。左三為勒維特。圖片來源:參考資料 9

勒維特接到的目標是「變星」,工作就是量測、記錄那些感光板上變星的亮度 。她在麥哲倫星雲中標示了上千個變星,包含了 47 顆造父變星。從這些造父變星的數據中她注意到:這些造父變星的亮度變化週期與它們的平均亮度有關!愈亮的造父變星,變化的週期就愈久。麥哲倫星雲離地球的距離並不遠,可以利用視差法量測出距離。用距離把亮度還原成光度以後,就能得到一個「光度與週期」的關係(圖四),稱為「週光關係(Period-luminosity relation)」,又稱為「勒維特定律(Leavitt’s Law)」。藉由週光關係,搭配觀測到的造父變星變化週期,就能得知它的平均光度,能把它當作一支標準燭光![6][8][10]

圖四:造父變星的週光關係。縱軸為平均光度,橫軸是週期。光度愈大,週期就愈久。圖片來源:NASA [11]

從「造父變星」與「宇宙膨脹」

發現造父變星的週光關係的數年後,埃德溫‧哈柏(Edwin Hubble,1889-1953)就在 M31 仙女座大星系中也發現了造父變星(圖五)。數個世紀以來,人們普遍認為 M31 只是銀河系中的一個天體。但在哈柏觀測造父變星之後才發現, M31 的距離遠遠遠遠超出銀河系的大小,最終確認了 M31 是一個獨立於銀河系之外的星系,也更進一步開拓了人類對宇宙尺度的想像。後來哈柏利用造父變星,得到了愈來愈多、愈來愈遠的星系距離。發現距離我們愈遠的星系,就以愈快的速度遠離我們。從中得到了「宇宙膨脹」的結論。[10]

圖五:M31 仙女座大星系裡的造父變星亮度隨時間改變。圖片來源:NASA/ESA/STSci/AURA/Hubble Heritage Team [1]

造父變星作為量測銀河系外星系距離的重要工具,然而勒維特卻沒有獲得該有的榮耀與待遇。當時的週光關係甚至是時任天文台的台長自己掛名發表的,而勒維特只作為一個「負責準備工作」的角色出現在該論文的第一句話。哈柏自己曾數度表示勒維特應受頒諾貝爾獎。1925 年,諾貝爾獎的評選委員之一打算將她列入提名,才得知勒維特已經因為癌症逝世了三年,由於諾貝爾獎原則上不會頒給逝世的學者,勒維特再也無法獲得這個該屬於她的殊榮。[12]

本系列其它文章:

天有多大?宇宙中的距離(1)—從地球到太陽
天有多大?宇宙中的距離(2)—從太陽到鄰近恆星
天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」
天有多大?宇宙中的距離(4)—造父變星

參考資料:

[1] Astronomy / Meet Henrietta Leavitt, the woman who gave us a universal ruler
[2] wiki / 危宿敦煌星圖
[3] wiki / 造父 (星官)
[4] wiki / John Goodricke
[5] wiki / Classical Cepheid variable
[6] wiki / Henrietta Swan Leavitt
[7] Inflation Calculator
[8] aavso / Henrietta Leavitt – Celebrating the Forgotten Astronomer
[9] wiki / Harvard Computers
[10] wiki / Period-luminosity relation
[11] Universe Today / What are Cepheid Variables?
[12] Mile Markers to the Galaxies

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CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。
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