分析機——史上第一部通用型計算機終將誕生？│《電腦簡史》 齒輪時代（二十）

查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），1792 至 1871 年。

1843 年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機

一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26

如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。工業革命是人類歷史上最偉大的事件。它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（Robert Boyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良， 可以做減法和乘法， 但做不了除法。在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》 齒輪時代（十八）

在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022 年 6 月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

• 文／張鎮華｜臺灣大學數學系名譽教授。

Take Home Message

• 今年學測試題為 108 課綱實施的第一次學測。數學考題公布後，各界普遍對本次的試題感到失望。張鎮華認為，本次試題大多符合 108 數學課綱的精神，但試題的份量太重，學測應回歸「初步篩選門檻」的定位。
• 張鎮華表示，數學考題的份量應調整適中，過去考題內容大多偏難，學生學習時遂常以對付考試為方向，以歷年考試題型為依據，背公式以求速解，忽略基礎概念的學習。
• 近年來數學教學及評量已融入計算機使用，但大考仍禁止使用計算機，張鎮華認為，培養數感是計算機融入教學的重要理念之一，未來大考應允許使用計算機。
• 張鎮華建議大考中心除了公布簡答之外，也能出版詳細的文件，闡述出題理念，協助引導教師的教學方向。

111 年學測於今（2022）年元月下旬登場，這是 108 課綱實施之後的第一次學測，各界都引頸觀望大考中心會如何回應 108 課綱，這更是教學現場師生關注的焦點。在數學科有兩個為人重視的方向，其一是回應數學自高二起分流教學，數學 A 和數學 B 如何命題；其二是學測數學科考題近年來在難易間來回擺盪，今年會是如何？

學測宜回歸「初步篩選門檻」的定位

學測始於民國 83 年，其定位是「初步篩選門檻」。但是數學科的考題並沒有對位，一直到民國 100 年之前，試題普遍都較難，滿級分人數占考生的百分比幾乎各年都只比 1％ 略多，民國 85 年的 0.16％ 更是歷年來滿級分比例最低的一次。這樣的難題，引發大部分學生害怕數學，現場老師更無法正常教學。自民國 100 年起，數學科考題逐漸回歸基礎，但卻在難易之間來回擺盪，讓師生每年惴惴不安。

民國 108、109 年的學測數學科試題極為適當，但卻因為滿級分考生的百分比高而獲罪，讓人無法理解；隔年數學科考題轉難，這雖在大家預料之內，但是各界熱切期望其回歸基本。本來期盼分程度測驗的數學 A 和數學 B 能解此困境，但是在今年數學 A 考完當晚，許多國高中老師、大學教授紛紛發表評論，對考題表示失望與不解。

筆者因為要協助高中數學學科中心，拍攝數學 A 和數學 B 的解答影片，先獨自逐題解答了兩份試卷，感覺題目其實都出得很好，大致上回應了 108 數學課綱的精神。但是其份量太重，100 分鐘的考試時間並不是合理的安排，難怪各界覺得太難；就連數學 B 試卷，其對象是低數學需求的學生，筆者也認為份量太重。

我猜想，數學 A 的份量會如此重，可能是想與數學 B 有所區隔。但是兩份試卷內容都太重了，學測還是應該回歸「初步篩選門檻」的定位，以利現場教學。

• 延伸閱讀：學測數學怎麼考？分程度測驗或許是正解——《科學月刊》

數學的教與學宜重視基礎概念，避免依考試題型學習

面對大考，數學的教與學也應該反思。數學的知識密度高，比起其他學科，有更多的邏輯推理，解題更宜細緻緩慢，需要充分的時間。可惜的是，面對「科科等值」的壓力，數學科的考試時間只能和各科一樣。在這樣的限制下，如果數學考題份量適當，也無不可；偏偏各處的考題大多偏難，學生的學習遂常以對付考試為方向，以歷年考試題型為依據，背公式以求速解，忽略基礎概念的學習。

在引導學生的學習應注重基礎概念這件事情，大考中心歷年來極盡努力。以今年數學 A 第 1 題為例，就是在傳達一個理念，排列組合只要重視基礎原理及組合數 Ckn 就夠了。早年有關排列組合的學習內容極多，許多內容都是被「製造」出來的考試難題，不關乎組合學的根本。後來 99 課綱刪除了環狀排列，108 課綱則刪除重複組合，將內容回歸到基礎概念。審視大考中心這些年來有關排列組合的試題，其實都是基本的概念，高中師生應該要理解，重視基礎概念才是王道。

再以今年數學 A 第 4 題為例，涉及的只有等差數列的定義，以及對數的換底公式和常用對數的 3 條對數律。早年有關對數的教學，涉及極多一般底的變形對數律公式，也出現底為函數的偏鋒考題，於對數本質的學習幫忙不大，但學生卻窮於背公式、解難題。其實對數相關的問題，只要以換底公式回歸常用對數，必要時再輔以常用對數的 3 條對數律，均能順利回答。99 及 108 數學課綱均重視此理念，大考中心的試題亦都契合此想法，高中師生當可放心依此教與學。

今年學測數學 A 還有許多值得稱道的題目。例如第 7 題中，絕對值代表數線上兩點間的距離，若能搭配數線上的圖形判斷，並不需要進行去絕對值的耗時計算；第 10 題有關三次函數的性質，不必記憶對稱中心的公式，不淪為費時的三次配方，是相當用心的題目；第 12 題揭示，不必背誦一元二次方程式的公式解；第 6、15 題提醒，不能忘記國中所學的基礎平面幾何知識，凡此種種都很精采。

更多有關今年數學 A 考題的分析，可參考延伸閱讀的《高中數學學科中心電子報》文章。

計算機融入教學與評量

108 數學課綱除了從高二起分三軌教學以外，還有一個重點，就是計算機融入教學與評量。108 數學課綱高中範圍的 84 條學習內容中，有 24 條使用計算機作為參考教具。實施要點各處亦闡明，教材要設計計算機相關內容，教學應重視學生使用計算機的方法與態度，教學資源應包括計算機，學習評量宜容許學生使用計算機。

如今，6 家出版社的高中數學教科書，均依照課綱的精神將計算機教學融入，學校老師們也開始教導學生正確使用計算機的方法與態度，許多回應都指出，計算機融入教學收到不錯的成效，過去一些害怕數學的學生，因為有了工具，逐漸開始喜歡數學。只是令人不解的是，大考中心並不允許學生在學測考試時使用計算機，理由之一是害怕學生利用計算機作弊；這是一個不可思議的藉口，請看世界極多國家的考試都已經允許學生使用計算機，並沒發生什麼不良事件。

審視今年學測數學科考題可以發現，為了害怕被批評不能使用計算機，一些需要使用真實數據的應用題目都不見了，因此考題中缺少高二的一些重要學習內容，例如指數、對數、三角函數的應用問題。取而代之的竟然是設計了第 2 題那種虛假情境的問題，如下：「某品牌計算機在計算對數 log_ab 時需按 log（a，b）……。」這種考題在以前的題目鋪陳上，是以題目抄錯順序為情境，這次刻意以計算機的操作布題，實為假情境。市售計算機的對數計算皆以 10 或自然對數 e 為底，並沒任意底數操作的方式，與現實矛盾的情境，無法回應 108 數學課綱的理念，倒不如讓學生在考試時使用計算機，才能讓他們更有感。

另外，數學 B 第 15 題的答案：機率為 14/15，以及第 16 題的答案：機率為 31/45，都不如 0.93、0.69 能讓人感受機率的大小。讀者可試想，你會跟朋友說買了一間 2022 坪的房子嗎？當然要說 44.97 坪才讓人有感。培養「數感」是計算機融入教學的一個重要理念。另外，第 19 題需要學生動手計算 2.3/48、2.3/19、4/57 來作答，也不是高中數學學習的重點，應該允許他們用計算機算。

另外有些小瑕疵的題目，例如數學 A 第 14 題的高斯消去法宜慎重出題。

• 延伸閱讀：數學不會就是不會？——先別怕！培養「數感」可解答生活中的大小事

大考中心宜出版學測參考答案，闡述出題理念以引導現場教學

整題來說，今年學測的數學科考題大方向可圈可點。回顧大考中心成立的歷史，民國 80 年 10 月 14 日，教育部長毛高文在臺灣省教育行政會議中頒發的書面致詞說：「如果將來的入學方式能多元化，學生的學習方式就不能固定一個模式，要用最基本的道理來應付各種的需求和挑戰，導向正常教學。」

反應在教育部於 1992 年提出的《我國大學入學制度改革建議書－大學多元入學方案》，其第五項理念是：

（五）考試方法應輔助教育，而非教育去適應考試方法。

而「良好的大學入學制度」的 14 項評判規準中，被認為「第一重要」的規準是：

3. 能引導高中正常教學。

由前述文件觀之，大考中心應平衡兩個服務面向，一面是為大學選才服務，另一面是為高中學習成效檢定服務，不該過度傾向於某一面的需求而犧牲另一面。目前仍顯得太傾向為大學服務，數學相對表現令多數高中教師失望。

本文最後不禁要再多提出一個請求。除了因為時間有限，宜減輕數學試題的份量以外，建議大考中心能出版學測參考答案，闡述出題理念以協助現場教學。雖然有許多人都已經釋出參考答案，但他們到底不是出題者，有些地方並不一定能精確了解出題的用心，如果中心能在公布簡答之外，出版詳細的文件、闡述出題理念、引導教學方向，對現場教學將有極大助益。

延伸閱讀

1. 張鎮華，〈學測數學怎麼考？分程度測驗或許是正解〉，《科學月刊》，第 615 期，2021 年。
2. 歐志昌，〈從 111 年學測數學 A 試題省思 108 數學課綱之教學與學生學習〉，《高中數學學科中心電子報》，第 168 期，2022 年。
3. 大學入學考試中心，《我國大學入學制度改革建議書－大學多元入學方案》， 1992 年。

• 〈本文選自《科學月刊》2022 年 3 月號〉
• 科學月刊／在一個資訊不值錢的時代中，試圖緊握那知識餘溫外，也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。

• 作者／江才健

在某種社會意念中，科學研究似乎是神創之事，不但來自無可名狀的靈感創造，也賦予了神聖和至高無上的崇敬，這在科學事物以某種整體卻含混的印象，帶來社會生活與應用技能巨大改變的社會背景下，得到更進一步的強化。類同於人類文明裡的其他文化創造，譬如藝術與文學，這些無名的想像力，帶給人類未可逆料的驚喜，使得沉悶的尋常生活出現深遠的意義，而不同於其他創造的才分，科學創造因為直接衝擊著人類的生活實質內涵，也就益發的受到欣羨與崇仰。

在二十世紀的科學歷史中，獲稱為偉大物理學家的愛因斯坦，最是典型的代表，許多人傳誦他所提出的相對論，其實大多對之不知其詳，甚或根本不知何其所謂，但是人們只是附和讚嘆他無可名狀的天才，只會赧然於自己對玄奧理論的無從理解，絕不會懷疑此些論說可能是瑕疵誤謬的。

科學在人類文化中樹立起信實地位的原由，來自科學創生思維的可驗證性。人們見識到科學在有限規範條件中，建立起可以預測的因果關係，也藉此造出許多實用工具，對於一些科學玄想，自然就有了深刻信心，認定一些看似難喻的玄想，終有其成就真實的一日，科學思維因此也就自然成為顛撲不破的真理。

回顧科學演進的歷史便可以知道，許多後來視之為近代科學的代表人物，在歷史演進的當下，其實是站在後來科學所謂主流思維的對立面。標誌實驗科學代表人物的波以耳，他便不信服以往的風火土水四元素論及引領化學主流思維的汞硫鹽三元素論，堅持宇宙由上帝創造的最小成分形成，他認為自己的實驗科學結果，證明了上帝的真實存在，煉金術也比合成化學更有價值。

當然，實證科學所觀照事物因果的簡單而貼近的特性，使其知識內涵易於轉化為實用工具，造成人類文明面貌的巨大改變，科學在利之所趨人性的導引下，自然走向立竿見影的實徵致用之路，也走出科學坐上人類宇宙思維主流寶座的歷史事實。

知識創造總無法自外於社會需求的衡度，由波以耳以降，近代科學的實證之路，雖說面對質疑與挑戰，終究還是開枝散葉，愈益茁長成蔭，伴隨著歐洲文明的擴張興起，科學更成為世紀的顯學，十九世紀下半以降迄今，人們多只企盼科學思維的新境，少有質疑其究竟如何。

但是科學創造波瀾壯闊、日起有新，在有限規範條件下受檢證之前，到底哪些才是有價值的呢？此種對於科學玄思的質疑，甚至到二十世紀初的愛因斯坦廣義相對論，也不可避免，英國愛丁頓（Arthur Eddington）爵士的東非洲日全食探測，雖說一夕揚名，日後仍不免對於其所用底片曝光可靠度的懷疑，但是社會信了，愛因斯坦坐上科學王座，一直到今天，當下的熱潮是競相砸錢建造大探測器，找尋那虛渺微妙的引力波。

懷疑論者是有的。十九世紀英國算則計量先驅，有稱他為近代計算機之父的巴貝奇（Charles Babbage），就提出以對作者著作計量的方式，來衡量一個人的科學貢獻，巴貝奇一生提出過許多奇想，大多沒有得到重視，這個想法也不例外，但是他沒有想到，當今科學界已然拳拳服膺此議，讓不計其數科學研究者浮沉論文計量的大潮之中。

巴貝奇的構想受到質疑並不奇怪，因為一個人的創造貢獻，如何能以數量衡度，不過他的想法還是帶來影響。一八六八年英國皇家學會出版了頭一冊的《科學論文目錄》（Catalogue of Scientific Papers），雖然編目選擇標準引起批評，至少設定了一個查核評比標準，也讓許多科學中人援引利用。不過那冊《科學論文目錄》，不但收錄科學論文的來源性質不一，甚至文獻內容的寫作引用，以及作者的貢獻，都有爭議，以今天的學術常規來看，已經可歸之於學術不當行為。

到了二十世紀，美國學術界開始有「不出版就走路」（publish or perish）的概念，但是學術界光是追求論文出版數量，卻無法保證其質量的水準，因而也總想法子來矯正缺失，一直到一九六〇年代，美國語言學出身的專家加菲德（EugeneGarfield）開創出一個衡量科學論文價值的辦法，稱之為科學引用指數（sciencecitation index, SCI），計量一個科學研究者在選定刊物上發表論文，受到他人引用的指數，現今科學引用指數已成為科學界衡量科學研究者貢獻的主要標準。

這個標準在世界各個國家的科學界，受到不同程度的重視，得到共識與支持，也不可避免要引起許多批評。現在許多科學研究者倡議要有更好的評核標準，譬如十多年前由一個物理學家提出的 h 指數（h index），似乎得到相當好評。當然現在的所謂網上自由發表論文平台，跳過以往論文經由同儕評審（peerreview）才發表的辦法，由網路自由大量的評審來定奪價值。

回到科學或是人類創造的本質，那本來是出自人眾又再回到凡塵的活動，自不可能真正有「秋水文章不染塵」的絕對自在脫俗。尤其科學成為人間顯學，人人嚮往欣羨，也總希望他們奉獻出的膏脂，能夠帶來傲視宇宙的視野、豐沛的實質利益、長久的生命存在。於是，急功近利、近名這些人性本質，就宰制著社會設定出的衡量科學標準，宰制著科學大洋中的云云眾生，也決定著我們對於宇宙生命的認知視野。

——本文摘自《一生必修的科學思辨課》，2021 年 9 月，天下文化。