德普羅尼編製的十七冊數值表深藏於法國科學院，十多年後被英國數學家巴貝奇無意發現。德普羅尼所用的差分法啟發巴貝奇著手打造差分機，可自動算出對數表與三角函數表，並直接印出來。但差分機所費不貲，花了英國政府兩艘軍艦的錢，經過十年仍未完成，它的最終命運會是如何？

本文為系列文章，上一篇請見：度量衡革命，計算方法也跟著革命！│《電腦簡史》 齒輪時代（十七）

對數表問世已兩百年，仍無完全正確的版本

「我真希望這些計算當初是用蒸汽機做的。」還是大學生的巴貝奇望著眼前的對數表大嘆。

根據巴貝奇的回憶，那應該是 1812 年或 1813 年在劍橋大學的時候。他與同學赫歇爾 （John Herschel ）、皮考克（George Peacock）三人都不滿意學校採用牛頓的「流數」，而不是萊布尼茲的記法來教授微積分，於是創立名為「分析學會」的社團，大力宣揚萊布尼茲的版本。某一天，赫歇爾進來社團看見巴貝奇坐在桌前發呆，問他在想什麼，這句話便從他嘴中脫口而出。

巴貝奇這句話反映出對數表令人又愛又恨的無奈。如上上一篇所說，儘管萊布尼茲等人發明了各種計算器，卻因為造價太高，成為少數權貴才能擁有的收藏品。而對數尺雖然便宜實用，卻只能計算到三位數，所以若要做更精確的計算，對數表還是不可或缺的輔助工具。

問題是，對數表並不是那麼可靠，因為其中有不少數字是錯的。

錯誤來自於各個環節的人為疏失。首先在計算一個一個數值時，就難保偶有計算錯誤；就算計算結果沒錯，在謄寫到表格上時也可能不小心抄錯。等到書稿完成付梓時，排版工人或許又會誤植數字。因此最後印製成書的對數表總是會有些許錯誤，無一例外。事實上，巴貝奇就曾買了不同版本的對數表來比較，發現許多數字並不一致，也難怪巴貝奇要如此感嘆，希望能用蒸汽機自動產生對數表，就不會有人為疏失。

什麼都改用蒸汽機了，難道不能拿來算對數表？

巴貝奇這個念頭並不算荒誕，畢竟當時工業革命已經進行了半世紀，蒸汽機大量用於礦場、鋼鐵廠、紡織廠等場域，不僅節省大量人力，而且許多製造程序改由機器自動規律運作後，也減少許多人為疏失，大幅提高良率。既然已有現成的機械式計算器，那麼用蒸汽機推動計算器，自動算出對數表，甚至同時列印出來，也不是不可能。

事實上，巴貝奇對機械並不陌生，他孩提時期倫敦不時有各種自動機器的展覽會，展出機械鐘表、音樂盒、機械人偶等新奇科技，母親看他深受吸引，便常常帶他去參觀。有一次他還受邀到一個工作室參觀製作中的機械玩偶，其中一具芭蕾舞孃會隨著音樂翩翩起舞，姿態生動優美，更令他深深著迷。

雖然巴貝奇喜愛機械，還曾於 1813 年小試身手，發明一款新的機械鎖，但他可沒打算投身製造計算機。畢竟他的本業是數學，而他只想盡快謀得教職，證明自己是個自力更生的紳士，而不是坐享家產的紈绔子弟。然而儘管巴貝奇的數學才能頗受肯定，還於 1816 年獲選為英國皇家學會院士，他仍然好幾年都找不到工作。

巴貝奇人生轉捩點：法國的十七冊數值表

直到 1819 年，巴貝奇的生涯出現了轉捩點。這一年，他偕同好友赫歇爾前往巴黎造訪法國科學院，結識了拉普拉斯、傅立葉（Joseph Fourier）等數學巨擘，順便參觀院內的收藏。德普羅尼十七冊的對數表與三角函數表立刻引起巴貝奇的注意，在得知它們的製作方式後，更讓他銘記在心。

返國第二年，巴貝奇與赫歇爾等人發起成立天文學會，宗旨之一就是改善天文計算。這裡要稍微介紹赫歇爾這個人。其實他的父親威廉·赫歇爾（William Herschel）在天文學的地位更加崇高，不但發現天王星與土衛一、土衛二，還發現上千個星雲，進而推測出太陽並非宇宙的中心，而是繞著銀河系中心移動。約翰·赫歇爾子承父志，轉換跑道成為天文學家，也做出許多貢獻，劍橋大學一畢業就獲選為英國皇家學會院士，比巴貝奇還早三年。巴貝奇一路上始終有這位好友的支持與協助。

剛成立的天文學會隨即決定修訂《航海天文年鑑》（The Nautical Almanac），由赫歇爾與巴貝奇兩人負責監製。沒多久巴貝奇就屢屢發現計算結果有誤，「真希望這些計算當初是用蒸汽機做的」，大學時的感嘆再次襲上心頭，不過這一次他真的要著手打造這麼一部機器了。

讓巴貝奇起心動念的正是他 1819 年造訪法國科學院的收穫。

德普羅尼的成果證明大部分的計算工作可以化為不斷重覆的加法，交由一群不懂數學的美髮師計算。而他在法國科學院也看過巴斯卡加法器，了解齒輪如何相加進位的原理，所以他只要同樣用差分法拆解函數，找出初始值與差值後，交由加法器不斷累加就可以了。當然，他得設法讓幾十具加法器一起運作，才能像幾十個計算員那樣迅速算出函數值。這會很難嗎？巧得很，巴貝奇也在 1819 這一年與「土耳其人」下了一盤棋，雖然他也不相信機器會思考，認為真正下棋的是躲在櫃子裡的真人，但這次對弈似乎勾起他幼時的回憶，當年那個熱愛自動機器的小男孩，又在他心中甦醒了。

差分機是護國神器或只是個大錢坑？

巴貝奇於 1820 年開始設計，經過不斷嘗試，終於在 1822 年完成一個三個立軸的小型樣品。三個立軸相當於三個加法器，可以在兩分半鐘內算出函數 f(x) = x² + x + 41 的前三十個函數值，相當於每分鐘計算 33 個數字。巴貝奇將這部機器取名為「差分機」（Difference Engine），除了在天文學會演示，他也同時寫信給相關人士，尋求政府挹注研發資金。

巴貝奇在信中再三強調正確的對數表與三角函數表有多重要，關係到英國在海權時代與工業時代是否能不落人後；他設計的差分機不但能迅速正確地算出數值，還會將計算結果直接印製成表，避免排版印刷時出現錯誤，一勞永逸。巴貝奇的訴求打動英國內閣，而且天文學會與英國皇家學會也都大表贊同，於是英國政府於 1823 年先撥款一千五百英鎊給巴貝奇開始開發。

然而事情沒有巴貝奇想像那麼簡單。首先巴貝奇在市面上找不到可用的現成零件，也沒有工廠願意為他特別訂製，他只好雇用工匠自己打造所有機件。而差分機的零件都需要極高的精密度，數量又多，因此還得先打造製造零件的工具與模具。零件組合後，運作情況有時又不如預期，巴貝奇就得變更設計，於是開發時程與經費都遠遠超乎原先計畫。

到了 1832 年，巴貝奇好不容易組裝出六個立軸的模組，可以做到二階差分，計算到六位數。雖然看似不多，但重點是奇數軸與偶數軸可以交替同時運作，有了這個突破性的設計，差分機完成後將能做到六階差分，快速完成 20 位數的計算。巴貝奇希望這足以說服內閣繼續撥款支持。但差分機預計使用兩萬五千個零件，將會是高二米六、寬兩米三，重達兩噸的龐然大物，而巴貝奇展示的模組卻只是整體的七分之一。

英國政府前後已經挹注了一萬七千英鎊，足以打造兩艘軍艦。遠遠超出原先預期，因此內閣官員決定暫時擱置，多方徵詢意見再決定是否繼續此計畫。沒想到最後將差分機推上斷頭台的，卻是巴貝奇自己。

巴貝奇於 1834 年底回覆首相的信中，竟坦承已無意繼續完成差分機。倒不是做不出來，而是他已構想出更厲害的「分析機」 (Analytical Engine) 。分析機不但具有差分機的功能，還能計算其它所有數學問題，所以與其繼續原有計畫，不如轉而投入開發功能更強的分析機。

是的，差分機說穿了就是一部大型加法器，而巴貝奇設想的分析機則加減乘除都可以計算。但是讓分析機在計算機歷史上佔有特別地位的，並非它的計算功能，而在於它是第一部可編程的計算機。可編程這個點子來自一個看似毫無關聯的機器——織布機，而這還得從巴貝奇的上個世紀談起。

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「他們沒有問我性別，認為寫走私的就是男性吧，在論文刊出首頁用『His Mailing address…』來標註我的聯絡方式。」

如同這樣的性別刻板印象，投入邊境研究也是一個不斷突破刻板印象的歷程。

孤軍以外消聲的生命故事

1992 年，張雯勤隻身在泰北旅行，偶然到了泰緬邊境的一個村子，那裡正是臺灣媒體經常報導的泰北難民村之一。

這段歷史得追溯到 1950 年初。當時，一批一千多人的國軍殘餘部隊，在雲南節節敗退後進入緬甸撣邦，抵達與泰國為鄰的大其力。經過集結、招兵買馬，1951 年這批重整的軍隊在撣邦勐撒成立了「雲南反共救國軍」。其後的故事即是一般人所熟知的「異域孤軍」戰史——經歷兩次撤台，部分軍隊落腳泰北邊境，當地人稱作「國民黨村」。

然而，在被歌泣的男性化、黨國化歷史背後，隱藏著邊區遊移政治與無數難民的生活史。

最初，張雯勤帶著既定印象從孤軍將領訪談，研究這些「雲南移民」。但在村子住了大半年，她發現日常接觸的並不是將官，反倒都是大爹、大媽、大嬸、大叔這樣的平常百姓。「臺灣報導裡全是忠貞愛國、異域求生的孤軍，這些普通人完全沒聲音，但他們的生命故事非常豐富。」

於是，張雯勤用了兩年，走訪二十四個邊境村落，此後又一路延展到緬甸，展開二十多年以平民為視角的邊境研究。

越界流動，是歷史上的邊境常態

自古以來，從雲南、緬甸至泰北即常有大批人口來來回回遷移，多元族群交織著不同政治勢力，在這塊廣衾的土地上脈動著爭戰、交易營生、多元文化的習作與交流。1949 年因國共內戰及往後二十多年中國政治運動，造成大規模跨境遷徙。

在 1961 年「二撤」之前，留在緬甸的國民黨軍隊主要有五支，其中三軍和五軍最終沒有撤回臺灣，集結於泰北。1970、80年代，他們協助泰國政府剿滅泰共，爾後取得泰國國籍定居當地。

然而在這些「國民黨村」裡，軍人只是一部分，大部分其實是跟著軍隊逃難的眷屬及一般難民。邊境村落或周遭，包含有雲南漢人、雲南穆斯林、阿卡族、佤族、儸黑、傈僳人等各式族群，彼此用不同語言交流。「我很佩服這些大媽，買賣東西的時候，遇到阿卡人，就講阿卡話，遇到百夷人，就講百夷話。」張雯勤說。

平民耕地、做小生意謀生，撤退至緬泰的國民黨軍隊也亦商亦軍，軍隊找商隊馱運物資，商人仰賴武裝保護。對於難民來說，同樣如此，軍隊既保護也剝削他們。於此同時，帶兵的軍官也利用騾馬往返泰緬馱運「黑金」——大煙（生鴉片）。

刀片上是老闆的，刀片下是我們自己的

從我們社會的眼光來看，毒品似乎萬惡不赦，但回歸到當地生活脈絡，這只是平民百姓的一種生計。許多人歷經顛沛流離，沒有身分、沒有錢，最重要的目標皆為了「努力活下來」。毒品、走私因而成為邊境的生存日常。

「他們的童年記憶裡，從小就生活在大片大片的罌粟花田。爺爺躺在蚊帳裡抽煙，但不是每個人都能抽大煙，只有老人家有權利，年輕人頂多是工作累了，抽個幾口。」

現實中備嘗艱辛的生活，經過記憶轉化後的敘事卻呈現出一種近乎迷人的日常：罌粟花很美，年輕人為雇主做工「刮煙」，一邊刮一邊唱歌。罌粟一顆一顆，用刀子劃下去，汁液才會跑出來。劃也不是亂劃，有一定技巧。劃完以後，白色的汁液流出，不能馬上去刮，隔天凝結成暗褐色，才能用一把彎彎的刀刮下來，在刀片上慢慢累積，就成了生鴉片。

「他們說，刀片上是老闆的，刀片下就是我們自己的。」因為汁液大部分留在刀片上，少量落在刀片下，一點點攢起來可以賣錢，這也是一種酬勞的給付方式。

毒品議題龐大而複雜，牽涉跨國政治、經濟與利益集團的輸送角力，甚至不乏國家政府涉入其中；但從底層百姓的角度，罌粟田是人們熟悉的生活記憶，採大煙是從小到大的日常勞作。

對張雯勤來說，這也正是邊境研究的重要關懷，在傳統國家中心的分析視角外，看見每個真實的個別生命。她擅於採用敘事書寫方式，爬梳自 1949 年以後，雲南移民從中國西南逃難到緬甸，部份移民又從緬甸遷居他國的歷史，以及他們從事的耕作和跨境商貿。

這些人的生命和動亂時代交織在一起，相對邊緣不被看見，他們怎麼面對生命處境，掙扎、奮鬥、存活下來？我要做的，就是用說故事的方式書寫出來。

民間「影子經濟」：馬幫到摩托車車隊

除了戰事逃難，經濟營生也讓跨境成為邊界常態。雲南多高山，長途經濟活動必須依靠騾馬。由於在山上形單影隻不安全，容易遇到強盜劫匪，商人便集結起來形成了馬幫，這是自古中國西南獨特的商隊組織。

張雯勤提到，1962 年尼溫軍政府上台，隨後實行國有化經濟體制，嚴厲禁止人民自由行動與私有交易，造成緬甸經濟迅速崩解，大量民生用品必須仰賴泰國走私；而進行地下貿易的主要族群，即為定居兩地的雲南移民。

「雲南移民在泰緬邊區的馬幫貿易，雖然奠基於大漢中心主義『走夷方』的文化傳統心態，然而實踐過程呈現不同社群間互助、衝突與協商，突顯邊區特有的地理政治、經濟與文化主體性，以及這個經濟活動內涵的複雜規範和知識。」張雯勤分析。

時代改變，跨境貿易的方式也在改變。

1980 年代，汽車運輸漸漸取代原有馬幫，往來中緬與泰緬邊區，2000 年到 2014 年更出現「摩托車車隊」，穿梭於上緬甸與雲南邊城瑞麗。過去，馬幫由頭人帶領，策劃路線與行走時間，在特定地點向叛軍或官方上稅；交通工具改變了，當代商隊同樣繼承這些「地下貿易規則」。

以緬北摩托車車隊來說，一個車隊約五至二十人，大家先坐車到雲南瑞麗，到認識的摩托車商店買車。通常一個騎士騎一輛、帶兩輛（拆解成零件），厲害的能帶上四輛！

回緬甸不能走正規大路，要趁夜翻山越嶺，路況好的時候，六小時就能抵達緬北臘戌，一路上過村則需要付費給警察。清晨五、六點，臘戌的摩托車市集擠滿了人。除了賣車的，還有販賣偽造車牌的攤位，貴一點用鐵片做，便宜陽春版則是塑膠材質製成。

「我的摩托車車隊研究主軸，一方面引用地下經濟與日常政治理論，分析這個走私行業的運作規則與組織網絡。另一方面，我將它與過去中國西南與高地東南亞之間的長程馬幫貿易，進行比較對照，兩者在結構運作上高度相似，都是根基於地方知識與社會網絡的助因。」張雯勤談到。

她進一步分析：「我因此主張，當今中緬摩托車走私並非隨意運作，而是延續了歷史上長途馬幫貿易的組織精神；但不同的是，當代摩托車走私打破了馬幫貿易的性別專斷（只有男性從事），同時吸納兩性。」

中緬泰的邊境貿易存在已久，民間百姓經常跨境往返。雖然 1950 到 1980 年代中緬邊界關閉，但私下邊境貿易仍然存在，交易的物資包括許多日常用品：農產、醃豬肉、野生動物、熱水瓶、藥材、豬油、鹽巴、被單、枕頭套、膠鞋、布料、熱水瓶、腳踏車，以及貴重的玉石、紅寶、柚木等。

一位玉石商人曾如此形容緬甸：「賣米不合法，賣鹽不合法，賣什麼都不合法，那還可以做什麼？只能走私啊。」這些國家法律不認可的交易，一般被稱為「非法走私」；然而張雯勤認為，用「影子經濟」（shadow economy）或「非正式經濟」（informal economy），更能理解在國家治理視角之外，邊民們為了生存，遊走穿梭邊境的自主貿易。

無論國界是否封鎖、政治角力如何劇烈，平民百姓手無寸鐵，唯能在檯面下運用常民強韌的生存力量，對抗突破國家政體的限制。

大起大落的血淚玉石夢

在跨境貿易經濟鏈裡，普通人民、不同的叛軍武裝團體、政府官員、軍隊等，都共同參與這個地下商業活動。執法者也是違法者，合法與非法關係錯綜交織。

緬甸最著名的玉石貿易，亦是如此。緬甸玉石開挖已有數百年，過去挖玉石叫「挖洞子」。依照傳統，找到未被開採之處，插個樹枝示意為有主之地，就能以簡單的器具挖掘。

玉石產於克欽邦，是叛軍的勢力範圍，在尼溫主政的社會主義時期（1962-1988），雖然政府禁止私人開採，人民依舊冒險盜採。但緬軍和叛軍經常開打，挖掘玉石非常危險。到了 1990 年代初，緬軍和叛軍和談後，由政府接手管轄玉石場，商人必須向政府標地開挖，挖到玉石後上稅，再經過公盤買賣。不過，地下交易走私仍未消失。

窮人沒錢參與標案，常常聚在玉石場，一等商家把廢棄石頭倒出便蜂擁而上，幸運的或許就能找到被錯過的玉石。但採石如同賭命，由石頭堆起的「山」極不穩固，經常崩塌，傷亡慘重。張雯勤回憶看過的「山崩」影片，滿心不忍地感嘆：「在那麼不安全的社會，你得要用生命去營生。」

在玉石貿易網絡研究上，張雯勤打破既有華人關係研究的迷思，這些迷思強調華商成功源於人際關係的信任、忠誠、和諧。但她切入日常政治與法律層面，指出商貿網絡中組織性層次及規範，並藉由這個研究，提出跨越國家疆界、法律，從地區特性、歷史情境去追踪民間跨境能動性。

沉默卻堅韌的邊境女人們

性別關係是張雯勤的另一主要課題。「女性移民經常被忽略，尤其是具有軍事背景的雲南移民團體，多數報導、研究只集中在軍事與走私活動，婦女如何在不斷遷移的過程中，扮演日常生活實際供養者與文化意義延續者，卻被視而不見。」

論文中，張雯勤以一位段大嬸的生命故事，爬梳冷戰時期在紛亂的泰緬邊區，女性如何因應複雜的政治軍事生態。她們一方面穩定了家中的經濟，又成功支助男性出外打仗或跑馬幫過程所需的定點補充。論文處理了馬店與雜貨店的經營──這是雲南移民婦女在長程馬幫貿易上，不被看見的經濟角色。

2010 年，張雯勤到泰北邊境的村子田調，剛巧就住進了段大嬸媳婦開的民宿。幾日的停留，張雯勤與段大嬸一起剝著大蒜，聽著她的生命故事。

段大嬸是雲南漢人，少時與家人隨國民黨軍隊輾轉逃往緬甸、泰國。她結過兩次婚，都是部隊軍人，也都早早離世，留她一人流離遷徙，獨力撫養孩子。沒了丈夫，一個女人在邊境村落要靠自己謀生立足，艱辛可想而知。還好段大嬸很有生意頭腦，她買騾馬馱運貨物到少數民族村販賣，後來又開起了馬店和雜貨店，接待往返泰緬的馬幫商隊。

但邊境的生活永遠充滿挑戰，一遇戰事，門來不及鎖就得逃命。有一次戰事又突然爆發，當時下著傾盆大雨，段大嬸抓了雨衣就逃，沿路頭上是盤旋的飛機，身旁是落下的子彈。幾天後，當她再返家才發現鋪子裡的東西全被軍人拿走了。但別說財物，在那樣混亂的時代裡，平民百姓只能在縫隙裡拚命求生，活下來已是大幸。

邊境村子如同段大嬸這樣的女人很多。男人無論做了什麼、數年未歸，只要回家，女人還是必須接納他們。傳統性別的限制與突破，就如同邊境日常的曖昧與多重性。

因為環境險惡，性別限制得以被打破，女性在輾轉遷徙中獲得更多自由與賦權空間，但並不代表她們能完全擺脫傳統框架。

投入田野近三十年，張雯勤以人類學為根基，結合歷史學的深度，進行跨國界多點的田野研究。她從邊境百姓的遷徙著手，透過「非正式」的邊境貿易，梳理跨境流動的曖昧與多重性。

她的研究瓦解了「合法」與「非法」之間的界限，突破由國家法律先行的刻板印象，並提出「跨境民間」的概念，來理解這個區域不曾中斷的民間跨界與流動。

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