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為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢?──《數學好有事》

PanSci_96
・2018/05/10 ・2567字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 591 ・九年級

圖/wikipedia

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的,可能是畢氏定理

這個定理是:取一直角三角形,以直角的兩邊(股)為邊長各畫一正方形,則這兩個正方形的面積總和,會等於第三邊(斜邊)畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形,√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c,且 c 是最長邊,那麼畢氏定理得出的結果是:

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果,你可以算出各種東西,包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊,就構成了直角三角形,如果正方形的邊長為 1,由畢氏定理可知:

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1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2,也就是自乘結果等於 2 的數。

圖/wikipedia

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值,否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘,會得到 2.25,比 2大很多;改用 1.4,則得到 1.96,又變得太小。(1.41)2 = 1.9881,還是太小,但(1.42)2 = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施,事實上也的確辦不到。√2是無理數,意思是無法寫出它所有的位數:完整的小數展開式是無窮盡的,而且沒有不斷重複出現的數字模式。

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√2前面 20 位是:

1.4142135623730950488

發現無理數,可能招來殺身之禍

圖/wikipedia

簡單的正方形對角線,無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上,畢達哥拉斯(Pythagoras)的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓(Croton,現今的義大利)的祕密幫派,除了奉行素食主義以及不吃豆類之外,他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心:據說 mathematics(數學,意為「所學習的」)及 philosophy(哲學,意為「愛好智慧」)這兩個詞是畢達哥拉斯所創,據傳,「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是,畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比,也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數;事實上,這正是定義無理數的方式(如果你熟悉長除法,就可以自行驗證,任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數)。

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希帕索斯。圖/wikipedia

希帕索斯(Hippasus of Metapontum)發現有些數(譬如√2)可能是無理數,他也是畢氏學派的一員,根據(相當隱晦的)歷史證據顯示,他因此受到嚴厲的懲罰:在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧?

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法,是數學上經常使用的論證形式的重要範例,也就是歸謬法。要證明某件事(比方說√2是無理數),你必須先做相反的假設(√2可以寫成分數),如果之後推算出矛盾的結果,就能斷定你原先的假設一定是錯的,也就證明你最初的陳述(√2是無理數)必定為真。

這是很自然的推理方法,舉例來說,你假設管家殺了人,但如此一來,管家必須同一時間出現在兩個地方,這顯然說不通,那麼你就能推論原先的假設必定是錯的,而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱,但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線,不管多小段,都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數,可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤,但無理數實在太多了,根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳,碰到無理數的機率是 1,而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言,畢氏學派完全錯了。

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√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用,大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等,有個非常棒的特點,就是將兩張同尺寸的紙並排起來,即能拼成大一級的尺寸,譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度(W)的兩倍,等於大一級紙張的長度,而小一級紙張的長度(L)等於大一級紙張的寬度。

A 系列紙張大小。source:Wikipedia

所有尺寸的紙張,長寬比都是一樣的,也就是:

可以改寫成:

意思就是:

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A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用?如果你希望影印機能夠把原稿縮小(或放大)一級影印,就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同,縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張,代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級,都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小,影印機提供的倍率是 70%,有時候是 71%,把這些數字寫成小數(70 或 71 除以 100),結果是 0.7 及 0.71,兩個數都非常接近:

這個縮小倍率,正是把一張 A3(或兩張 A4)縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2,這表示新紙張的面積會變成:

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就是原來的一半,且因長寬比維持不變,所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%,對應的數字很接近,所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。


BOX:證明√2是無理數

假設 √2 = m/n,其中的整數 m 與 n 沒有公因數(除了 1,沒有其他數可同時整除 m 和 n)。

於是:2 = m²/n²,因此:2n² = m²。

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這表示 m2是偶數,m 也是偶數,因為奇數的平方永遠是奇數。所以, m 可以寫成 2k,而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k,就得到:2n2 = m2 = 4k2

除以 2,就是:n2 = 2k2

所以 n2 也是偶數,n 也是偶數,但這產生了矛盾,因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此,√2不能寫成 m/n,即為無理數。

本文摘自《數學好有事》,麥田出版

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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白馬 ≠ 馬?當陳述句變成數學邏輯等式!——《大話題:邏輯》
大家出版_96
・2023/04/07 ・2243字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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從簡單陳述句轉變為複合句——「連接詞」

大約一百年後,克律西波斯(c.280 – c.206 BC)改變了邏輯的關注焦點,從簡單的主述詞陳述句轉向「蘇格拉底是人,且芝諾也是人」之類的複合句。

這是很大的進展。當時甚至有人說「克律西波斯的邏輯就是神會用的邏輯」。我們稍後會見到,克律西波斯的邏輯也是人類使用的邏輯,只不過我們還得等兩千年才會明白這一點。

複合句使用的連接詞不同,其真假受個別句子影響的方式也不同。

出現了「且」、「和」等連接詞。圖/大話題:邏輯。

譬如「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用,也只有「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用:

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編按:「不是」穆罕默德到山那邊,「就是」山到穆罕默德這邊。

其後一千五百年甚至更久,克律西波斯沒有對邏輯留下多少影響。不僅因為他的作品失傳了,只留下他人的轉述,也因為亞里斯多德成了天主教會的心頭好。

「不是」;「就是」的應用。圖/大話題:邏輯。

萊布尼茲定律

接下來兩千年,邏輯學家建構出愈來愈多三段論,有些甚至前提不只兩個。這些邏輯學家就像煉金術士,拿著概念拼拼湊湊,想辦法生出有效論證。最後有一個人在這股狂熱當中想出了方法,那人就是萊布尼茲(1646 – 1716)。

萊布尼茲想到的方法是將陳述句看成代數裡的等式。等式使用等號(=)來表達式子兩邊數值相等。

例如:x2 + y2 = z2

萊布尼茲將等號帶進邏輯裡,用來指稱 a 和 b 等同。

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萊布尼茲定律的陳述句。圖/大話題:邏輯。

自此之後,這個等同式就叫做「萊布尼茲定律」。萊布尼茲將 a = b 拆成兩個不可分割的述句「a 是 b」和「b 是 a」,意思是「所有 a 都是 b」和「所有 b 都是 a」。

例如:「所有單身漢都是沒結婚的男人,且所有沒結婚的男人都是單身漢。」

若 a 和 b 等同,那麼陳述句裡的 a 就算換成 b,這個陳述句的真假顯然不會隨之改變。例如,「蘇格拉底是沒結婚的男人,沒結婚的男人是單身漢,因此蘇格拉底是單身漢」。

這個定律很重要,因為有了它,我們就能以有限多的步驟來判斷近乎無限多的句子的真值。萊布尼茲使用的步驟數是四個。

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陳述句中的等同式。圖/大話題:邏輯。

1. a = a

例:「蘇格拉底是蘇格拉底。」

2. 若 a 是 b,且 b 是 c,則 a 是 c

例:「所有人都會死,蘇格拉底是人,所以蘇格拉底會死。」

說「a 是 b」就等於說「所有 a 都是 b」。

3. a =非(非 a)

例:「如果蘇格拉底會死,則蘇格拉底不是不會死的。」

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4. a 是 b = 非 b 是非 a

例:「蘇格拉底是人,意思是如果你不是人,你就不是蘇格拉底。」

利用這四個簡單的法則,萊布尼茲就能證明所有可能出現的三段論。比起亞里斯多德的四角對當,這才是人類史上第一個真正的真理理論,因為它使用事先定下的法則,藉由代換等同的符號(同義詞)來導出結論。

非真即假的歸謬法

萊布尼茲最常用的證明方法是一個極為重要的邏輯工具,深受後世邏輯學家和哲學家喜愛。他稱呼這個方法為歸謬法。

這個工具很簡單,卻好用得驚人,自萊布尼茲發明以來便廣獲使用。我們用一個例子來講最清楚。

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檢驗「打籃球」得陳述句是否為真?圖/大話題:邏輯。

使用歸謬法時,我們先假設要檢驗的那個陳述句為真,再看它能導出哪些結論。如果導出的結論互相矛盾,我們就知道那個陳述句是假的,因為矛盾永遠為假。

歸謬法有一大好處,那就是即使我們不知道如何證明,也能判斷一個陳述句的真假;只要證明這個陳述句的否定會導出矛盾,就知道它是真的了。

歸謬法僅用真假二分,但卻沒有提出證明。圖/大話題:邏輯.

新工具

「我發明的這個工具完全使用理性,是裁決爭議的判官、解釋概念的權威、衡量可能性的天平、指引我們穿越經驗之海的指南針,是萬物的清單、思想的表格、檢視事物的顯微鏡、預測遙遠事物的望遠鏡、通用的演算法、不使詐的魔術、不空妄的計謀,也是人人都能用自己的語言閱讀,所及之處皆會帶來真宗教的經文。」

萊布尼茲致信漢諾威公爵,1679 年

不難想見,天主教會將萊布尼茲視為異端。但「思想有其必然法則」的想法卻對西方哲學家產生了深遠的影響,包括康德、黑格爾、馬克思和羅素。

萊布尼茲的思想影響到後世許多西方哲學家。圖/大話題:邏輯。

——本文摘自《大話題:邏輯》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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名為大家,在藝術人文中,指「大師」的作品;在生活旅遊中,指「眾人」的興趣。

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黃金比例如何啟發世界的「美」!
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/07/19 ・3828字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 微星科技 委託,泛科學企劃執行。

  • 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引,取名時加上「黃金」二字,好像就能讓身價大漲,變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果,黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑(大誤)……人們用黃金形容所有美好的事物,連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例,你一定聽聞過,如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例,就越迷人的説法。然而一個數字比例,怎麼會和美學扯上關係?

人類探究黃金比例的歷史,可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前,癡迷於數學的畢達哥拉斯,認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者,被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏,畢氏學派恐怕是一群怪人:恪守極爲嚴格的生活條規,不可吃肉和豆類,還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜,尤其對數字 5 和五角星形的迷戀,使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割,由短至長排列,把最短的兩條線段相加,恰恰等於第三條線段長;把第二短和第三短的線段相加,也會等於第四條線段,依序如是,顯示出黃金比例的奇妙!不過,他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年,歐基里德所著的《幾何原本》問世,才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎?歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」,其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」(Extreme and mean ratio)。歐基里德對這個比例的說明如下:

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“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

(一條線段如果切在「極限與均值比例」上,則線段的全長與較長分割段的長度比例,和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。)

黃金比例的線段:a + b:a = a:b。圖/wikipedia

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ,就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位,較長的線段 a 定義成 x 單位,再用一點國中數學上過的一元二次方程式,就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看~~~不到盡頭的無理數,都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率,是以 「π」來表示,黃金比例也有自己的符號,叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ,跟「π」押同韻,但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多,純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是,這個「極限與均值比例」,會變成美的代言人,帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集,文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞,一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前,它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期,被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡.帕西奧利(Luca Pacioli),出版了名叫《神聖比例》(Divina scalee)的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發,對正多面體和半正多面體的性質做討論。

1509 年由盧卡·帕西奧利出版的《神聖比例》,書中插圖由達文西繪製。圖/wikimedia

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發,開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段(全長、長邊、短邊),都在描述同一條線,像極了基督教的神學觀,既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數,所具備無法窮盡的性質,就如同凡人無法理解全能無限的上帝般,兩個線段之比例是相等的(全:長 = 長:短),則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

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從數學上看見神學解釋的帕西奧利,遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來,被神所創造的人類,其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後,「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破,成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈,成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題,後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度,背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在?藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造,數學界和藝術界還在爭辯不休,但實際上不需要人爲設計,大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列(Fibonacci number),可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0,第一項是 1,從第二項以後的值,就是前兩項加起來的和,所以依序會是:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

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用費波那契數為邊的正方形,可以拼凑出的近似的黃金矩形 ( 1 : 1.618 ) !圖/wikimedia

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler)發現,把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話,會是 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2,3 / 2 = 1.5,5 / 3 = 1.67, 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏,你是不是也察覺到其中奧妙?隨著數列遞進繼續相除,這個值竟會越來越趨近於黃金比例!也因此,費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物,其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量,你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子,才不會擋住彼此吸收陽光?玫瑰的花瓣要如何排列,才會顯得漂亮對稱?松果上的種子要怎麽生長,才可以有效利用有限的空間?這些問題的答案通通都是:旋轉角度的比值(以 360° 為分母)要符合黃金比例!

對稱的玫瑰,決定其花瓣位置的角度遵循黃金比例。圖/Pixabay

不只是植物界,無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線,抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀,就連宇宙中漩渦星系的旋臂,都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼,大至遙遠光年之外的星系,都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛,讓科學家着迷不已。

黃金矩形中隱藏的等角螺線。圖/wikimedia

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系,都不約而同服膺於一個神奇的比值,展現一種似乎自世界誕生以來就存在,難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類,也不停在各樣的建築或藝術品中追尋,渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像,也沒辦法百分百貼近黃金比例,畢竟誤差永遠不能被全面消除,更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美,才迫使我們得以在追求美的道路上,不停努力地前進,再前進。

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連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊,又有什麼東西用到黃金比例呢?

沒錯!就是這台 Creator Z16 筆記型電腦。

採用 16 : 10 螢幕的 Creator Z16 ,比市售的 16 : 9 螢幕多了 11% 的可視空間,創作更加自由寬廣。此外,16 : 10 ( 1.6 )也非常接近黃金比例( 1.618 ),讓你在創作時,感受蘊含萬物奧秘、數學家兩千多年來淬鍊的「美」。

本著以人爲本的設計理念, Creator Z16 的觸控面板讓人可更直覺操作,隨時揮灑靈感。 90 Whr 的大容量電池搭配快充功能和 15.9 mm 纖薄金屬打造的 2.2 kg 機身,可完美配合現代人隨時行動隨地工作的步調。以 True Pixel 顯示技術打造的 QHD+ 超高畫質面板,加上獨家 True Color 技術於出廠前進行色彩校正,可以精準呈現璀璨畫面。

想堅持你對生活的美學,又不想放棄實用主義的追求?小孩子才做選擇,你可以通通都要!就讓融合黃金比例又兼具堅强實力的 Creator Z16,成為你的繆思女神吧!

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參考文獻

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