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電腦運算的基礎——布林代數,是麼搞出來的?│《電腦簡史》數位時代(三)

張瑞棋_96
・2020/09/07 ・3025字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 541 ・八年級

「糾正我們推理的唯一方法,是使它們像數學家的推算一樣實在可靠,這樣我們就能一目了然地發現錯誤。當人與人之間爭論不休時,我們只要說:別再吵了,讓我們算算看誰才是對的。」

—— 萊布尼茲 1685 年致 Philipp Spener 信。

本文為系列文章,上一篇請見:易經、巴別塔、通用文字——萊布尼茲研究二進位之路│《電腦簡史》數位時代(二)

亞里斯多德開創邏輯系統好棒棒,but……

萊布尼茲提出只用 0 與 1 的二進位算術,成為現代電腦的運算方式。不過,現代電腦可不是之前的計算器,藉由齒輪轉動的圈數來做加減乘除,而是利用電子零件的開關狀態。開關狀態如何做二進位算術?這就需要藉助「邏輯運算」。

邏輯運算這個詞在現代聽起來理所當然,但你若拿去問十八世紀以前的人,他一定覺得莫名其妙,邏輯用的都是文字語句,又不是數學,怎麼運算呢?

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是的,打從亞里斯多德開創有規則可循的邏輯系統,兩千年來表達邏輯的方式都是用自然語言做為陳述句,例如下面這個最具代表性的三段論。

大前提:所有人都會死。

小前提:蘇格拉底是人。

結論:蘇格拉底會死。

亞里斯多德雕像。 圖:WIKI

然而自然語言不免會有多重涵義,或是容易有歧義的問題,不僅翻譯成不同語言可能造成誤解,就算是使用同一種語言的人,也可能會對其中的邏輯關係有不同認知。例如「有關係就沒關係,沒關係就有關係」這句俗諺裡面,「關係」這個詞項顯然有不同涵義,而「有」與「沒」的用法也前後不一。

況且除了簡單的三段論,還有其它形式更複雜的邏輯陳述,用自然語言確實無法精確地表示各種邏輯形式和規律。

你以為數學式本來就長這樣?

其實數學早期也都是用自然語言,如果翻開當時的數學書籍,只見盡是長長的文字敘述,即使看得懂,恐怕也難以聯想到它就是代表一個簡單的公式而已。這是因為直到十六世紀,數學才開始用符號來表達,像加、減、乘、除、等於都是約莫那個時候才改用 +、-、×、÷、= 代表。而我們現在熟悉的數學式記法,包括用字母代表未知數,更是十七世紀才盛行。

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加、減、乘、除、等於,約莫到 16 世紀才改用 +、-、×、÷、= 代表。圖:Pexels

數學符號化之後,表述方式更加簡短精確,計算也變得方便許多。而且由於符號不受語文隔閡,不同國家的數學家都能一目了然,因此得以加速數學與科學的傳播與交流,是促成科學革命的重要基石。

萊布尼茲本身遊歷德國、法國、英國三地,又曾為微積分創造新的符號,更能感受符號化的重要性,因此在他夢想有數學般的通用文字之前,就已經試圖把邏輯轉換為數學那樣的表示方式,也就是現代所稱的「數理邏輯」。

萊布尼茲致力於邏輯數學化,可惜無人知

萊布尼茲先於 1679 年設想各種基本概念都用某個質數代表,例如「動物」用 “2” 代表,「理性」是 “3”,那麼「人是理性的動物」這個句子就相當於 “6=2×3”,也就是說代表「人」的數字是 “6”。從 6=2×3 可以推導出 6÷3=2,代表「人失去理性等於動物」,這樣便能透過計算完成邏輯推論。

1686 年,萊布尼茲改用 A、B、C……等字母符號代表普通命題,並引入「非」、「等於」、「不等於」、「屬於」、「不屬於」等符號,然後用這些符號列出交換律、傳遞關係……等處理集合關係的運算規則。

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到了 1690 年,他又將加法與減法納入邏輯演算之中,讓邏輯的符號化與數學化更加完整,可以說已經為數理邏輯打下堅固的地基。無奈這些手稿在萊布尼茲生前從未公開,直到二十世紀初世人才知道他這方面的研究,數理邏輯的發展因此延遲了一個半世紀,才由英國數學家布爾 (George Boole) 重新開創。

布爾繪於 1860 年的肖像。圖:WIKI

布爾公親變事主,重新開創數學邏輯

布爾於 1815 年出生在一個鄉下小鎮,父親是個鞋匠。因為家境清寒,他自小學畢業後就沒再受正式教育,而是靠自學習得語文與數學知識。

布爾十六歲時被當地一所學校聘為教師,成為家中經濟支柱;到了十九歲乾脆自己開辦學校,同時更投入數學的研究。布爾二十三歲開始發表數學論文,逐漸獲得倫敦學術圈的注意,其中一位數學家德摩根 (Augustus De Morgan) 與他結為好友,後來竟為他帶來開創邏輯新局的契機。

話說十九世紀的哲學家已經注意到亞里斯多德的三段論有許多問題,因此包括德摩根在內的一些學者開始思考如何將邏輯數學化(如之前所說,他們渾然不知萊布尼茲早已做了研究)。1846 年,德摩根發表了一篇關於三段論的論文,主要是針對命題中的「所有」、「有些」,或「大部分」提出量化的討論。

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沒想到論文發表後,另一位英國哲學家漢彌爾頓 (Sir William Hamilton) 立即跳出來指控德摩根剽竊自己的想法。布爾身為德摩根好友,自然要關切兩人爭執的內容,沒想到他深入研究後,竟從原本的旁觀者搖身一變為一代宗師。

布爾為了朋友踏入邏輯數學化領域。圖:Pexels

命題真偽改用 1 與 0 代表,邏輯關係化為數學運算

1847 年,布爾出版了《邏輯的數學分析》(The Mathematical Analysis of Logic),這本僅僅 82頁的小冊子立即撼動了哲學界與數學界。這裡面完全用代數的形式來表達傳統邏輯,像「且」、「或」、「非」、「若……則……」等邏輯關係都化為乘法與加、減法;命題的真偽就用 1 與 0 兩種數值代表;另外布爾再訂出結合律、分配律、……等基本公理,成功地將邏輯數學化。

從此邏輯推論可以改用簡潔精確的數學式計算,不但避免語意模稜兩可造成的謬誤,也大幅增加處理命題的效能。在許多學者投入之下,數理邏輯這門全新的路線迅速發展,布爾自己也在 1854 年出版的《思維法則》(The Laws of Thought) 中,把整個系統補強得更完整。

其實布爾的研究成果有許多都是萊布尼茲已經做過的,但歷史就是這麼奇妙,萊布尼茲被視為二進位制的創立者,是因為一個世紀前的哈里厄特沒有公開發表論文。如今換成萊布尼茲自己沒有將邏輯代數的研究整理發表,而讓邏輯代數在一個半世紀後冠上布爾之名(稱為「布林代數」(Boolean algebra),”Boolean”意指「布林的」)。

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用布林代數表示邏輯命題。圖:WIKI

還有一點令人惋惜的是,萊布尼茲如此看重二進位制,卻沒有像布爾那樣,用 1 與 0 代表命題運算後的真偽。對於電腦運算而言,這是絕對必要的,因此從電腦發展的角度而言,即使萊布尼茲的文稿更早公開,布爾一定還是會在發明電腦的功勞簿上記上一筆。

二進位制與布林代數就緒,現代電腦只欠東風

事實上,布爾對計算機也不陌生。由於好友德摩根是愛達·勒芙蕾絲的數學家教,透過這層關係,布爾曾經跟巴貝奇書信往來。他在 1862 年寫給巴貝奇的一封信中,還特地感謝他為自己解釋差分機的細節。就像當年萊布尼茲曾設想過二進位的計算機,我們不禁要想像若是結合布爾的全新觀點與巴貝奇的設計天分,是否會改變計算機的歷史?

但這已無從得知了,因為布爾在兩年之後就死於非命。原來布爾冒著大雨到學校教課,因此感冒發燒,不料他那迷信順勢療法的老婆,竟繼續往布爾身上澆了好幾桶水,反而導致他嚴重肺炎,才四十九歲就因病過世。

無論如何,沒有電力還是不會有現代電腦,因此儘管二進位制與布林代數早已就緒,仍需等待東風——也就是電力系統與硬體零件,計算機才能航向全新的世代。當然,東風起了,還得有個諸葛孔明運籌帷幄呢……。

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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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跳脫古典數學邏輯!直覺主義的興起——《大話題:邏輯》
大家出版_96
・2023/04/08 ・1479字 ・閱讀時間約 3 分鐘

非古典邏輯:直覺主義

布勞威爾 (1881 – 1966)是最早脫離所謂「古典邏輯」系統的學者之一。他反對弗雷格和羅素將數學化約為邏輯的構想,認為數學根基於我們對某些基本數學物件(如數字和直線)的「直覺」,因此他的學說便稱為「直覺主義」。

直覺主義。圖/大話題:邏輯

惡魔論證

布勞威爾主要將焦點擺在無限集合和序列上,例如所有正數的集合和無理數(如 π 和)小數點後的數字形成的序列等等。他的論證大致如下:

我邏輯上能證明 666 這個序列一定會出現在任何無理數(如 π)的擴張裡。因為若主張 666 不在裡面,就代表 666 不出現在 π 的小數點後數字的任何地方,但這一點在數學上是無法證明的。就算世界上所有白紙都寫滿π的小數點後數字,還是有無限多的數字沒檢查到。

惡魔論證。圖/大話題:邏輯。

直覺邏輯的興起

雖然布勞威爾只想證明有些數學證明的方式和邏輯證明不同,但有些人發現他的論證也能用來證明某些數學領域的邏輯和其他數學領域不同,甚至有些人還據以建構出一套邏輯系統,並嘗試證明這套邏輯適用於所有數學領域。這套系統就叫「直覺邏輯」。

直覺邏輯系統。圖/大話題:邏輯。

直覺主義 v.s. 歸謬法

直覺邏輯有一個關鍵特點,就是不能用萊布尼茲的歸謬法。歸謬法是先假設某個數學陳述的否定為真,然後導出矛盾,進而證明該陳述為真。但要從「某事的否定為假」推導出「某事為真」就得仰賴排中律,因此在某些數學領域裡,歸謬法並不符合數學應該運作的方式,也就是從公理推導出數學語句。

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直覺邏輯與歸謬法互相對立。圖/大話題:邏輯。

直覺主義的數學熱潮

上述問題在 1930 年代引發了一波新的數學熱潮,不少學者嘗試用直覺邏輯替一些常用的基本數學陳述找到證明,也確實找到了不少。

數學系和哲學系紛紛成立,新的學術領域也隨之誕生。就連希爾伯特的方法明明是直覺邏輯的對手,也被加以改造,只使用得到認可的直覺主義程序。直到這股風潮引起了哥德爾的注意。

儘管後來學者對這場爭辯的興趣削弱了一些,但「唯有構造性證明才能確保一個陳述句為真」的基本看法至今仍然得到不少邏輯學家、數學家、科學家和哲學家支持。

許多人試著用直覺邏輯替數學陳述找證明。圖/大話題:邏輯。

處理未來陳述句的老問題

大約同一時期,波蘭數學家盧卡西維茨(1897 – 1956)1920 年提出的構想勾起了一些學者的興趣。此前十多年,這個構想從來不曾在波蘭以外的地區引起多大反應。盧卡西維茨當時想解決的,是從亞里斯多德到羅素都面對過的老問題。

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編按:「如何判斷大笨鐘一千年後會遇上大雪」這句話的真值?

未來陳述句是邏輯無法確認之事。圖/大話題:邏輯。

——本文摘自《大話題:邏輯》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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白馬 ≠ 馬?當陳述句變成數學邏輯等式!——《大話題:邏輯》
大家出版_96
・2023/04/07 ・2243字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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從簡單陳述句轉變為複合句——「連接詞」

大約一百年後,克律西波斯(c.280 – c.206 BC)改變了邏輯的關注焦點,從簡單的主述詞陳述句轉向「蘇格拉底是人,且芝諾也是人」之類的複合句。

這是很大的進展。當時甚至有人說「克律西波斯的邏輯就是神會用的邏輯」。我們稍後會見到,克律西波斯的邏輯也是人類使用的邏輯,只不過我們還得等兩千年才會明白這一點。

複合句使用的連接詞不同,其真假受個別句子影響的方式也不同。

出現了「且」、「和」等連接詞。圖/大話題:邏輯。

譬如「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用,也只有「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用:

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編按:「不是」穆罕默德到山那邊,「就是」山到穆罕默德這邊。

其後一千五百年甚至更久,克律西波斯沒有對邏輯留下多少影響。不僅因為他的作品失傳了,只留下他人的轉述,也因為亞里斯多德成了天主教會的心頭好。

「不是」;「就是」的應用。圖/大話題:邏輯。

萊布尼茲定律

接下來兩千年,邏輯學家建構出愈來愈多三段論,有些甚至前提不只兩個。這些邏輯學家就像煉金術士,拿著概念拼拼湊湊,想辦法生出有效論證。最後有一個人在這股狂熱當中想出了方法,那人就是萊布尼茲(1646 – 1716)。

萊布尼茲想到的方法是將陳述句看成代數裡的等式。等式使用等號(=)來表達式子兩邊數值相等。

例如:x2 + y2 = z2

萊布尼茲將等號帶進邏輯裡,用來指稱 a 和 b 等同。

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萊布尼茲定律的陳述句。圖/大話題:邏輯。

自此之後,這個等同式就叫做「萊布尼茲定律」。萊布尼茲將 a = b 拆成兩個不可分割的述句「a 是 b」和「b 是 a」,意思是「所有 a 都是 b」和「所有 b 都是 a」。

例如:「所有單身漢都是沒結婚的男人,且所有沒結婚的男人都是單身漢。」

若 a 和 b 等同,那麼陳述句裡的 a 就算換成 b,這個陳述句的真假顯然不會隨之改變。例如,「蘇格拉底是沒結婚的男人,沒結婚的男人是單身漢,因此蘇格拉底是單身漢」。

這個定律很重要,因為有了它,我們就能以有限多的步驟來判斷近乎無限多的句子的真值。萊布尼茲使用的步驟數是四個。

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陳述句中的等同式。圖/大話題:邏輯。

1. a = a

例:「蘇格拉底是蘇格拉底。」

2. 若 a 是 b,且 b 是 c,則 a 是 c

例:「所有人都會死,蘇格拉底是人,所以蘇格拉底會死。」

說「a 是 b」就等於說「所有 a 都是 b」。

3. a =非(非 a)

例:「如果蘇格拉底會死,則蘇格拉底不是不會死的。」

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4. a 是 b = 非 b 是非 a

例:「蘇格拉底是人,意思是如果你不是人,你就不是蘇格拉底。」

利用這四個簡單的法則,萊布尼茲就能證明所有可能出現的三段論。比起亞里斯多德的四角對當,這才是人類史上第一個真正的真理理論,因為它使用事先定下的法則,藉由代換等同的符號(同義詞)來導出結論。

非真即假的歸謬法

萊布尼茲最常用的證明方法是一個極為重要的邏輯工具,深受後世邏輯學家和哲學家喜愛。他稱呼這個方法為歸謬法。

這個工具很簡單,卻好用得驚人,自萊布尼茲發明以來便廣獲使用。我們用一個例子來講最清楚。

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檢驗「打籃球」得陳述句是否為真?圖/大話題:邏輯。

使用歸謬法時,我們先假設要檢驗的那個陳述句為真,再看它能導出哪些結論。如果導出的結論互相矛盾,我們就知道那個陳述句是假的,因為矛盾永遠為假。

歸謬法有一大好處,那就是即使我們不知道如何證明,也能判斷一個陳述句的真假;只要證明這個陳述句的否定會導出矛盾,就知道它是真的了。

歸謬法僅用真假二分,但卻沒有提出證明。圖/大話題:邏輯.

新工具

「我發明的這個工具完全使用理性,是裁決爭議的判官、解釋概念的權威、衡量可能性的天平、指引我們穿越經驗之海的指南針,是萬物的清單、思想的表格、檢視事物的顯微鏡、預測遙遠事物的望遠鏡、通用的演算法、不使詐的魔術、不空妄的計謀,也是人人都能用自己的語言閱讀,所及之處皆會帶來真宗教的經文。」

萊布尼茲致信漢諾威公爵,1679 年

不難想見,天主教會將萊布尼茲視為異端。但「思想有其必然法則」的想法卻對西方哲學家產生了深遠的影響,包括康德、黑格爾、馬克思和羅素。

萊布尼茲的思想影響到後世許多西方哲學家。圖/大話題:邏輯。

——本文摘自《大話題:邏輯》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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