「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2018數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。
- 作者：楊子毅、吳冠宏／高雄市新莊高中
一、 研究緣起
「瀧、瀧」
聲音彷彿快要哭出來般急切，宛若遠處閃爍的星星般寂寞而顫抖。
──《你的名字》，小說，第 12 頁
從夢境中醒來，幽闃裡彷彿迴盪著一個孱弱的女聲，一次次呼喊著「瀧」，隨著簾後的暮光漸次逸散。今天下午第八次重看新海誠導演 2016 年所推出的動畫電影《你的名字》，簡直以為自己也和其中角色靈魂互換了……「黃昏之時啊，分身之時」。
難以忘懷那一幕：宮水三葉手持油性筆，正欲在立花瀧手心寫下名字時，夜晚降臨，「喀噠」一聲，筆掉落在地，三葉消失了；瀧腦海中關於三葉的記憶亦被不知名的力量一把抹去。 神秘的黃昏之時，在影片中不到短短的三分鐘，不禁令我們陷入長考：黃昏之時究竟有多長呢？能否以數學運算出其時間長短，讓相差三年時空的瀧和三葉，得以把握每一分秒，敘舊、 談心、想未來？如果可以再多個一分鐘，讓三葉寫完名字……
「……本來想告訴妳……」
「不論妳在世界上的哪一個角落，我一定會再去見妳。」
──《你的名字》，小說，第 202 頁
二、 文本回顧
於本章節，筆者先說明電影中的相關設定，諸如宮水一家的巫女體質、組扭編織、口嚼酒等，期以彰顯「黃昏之時」的重要性。
（一）宮水一家的巫女體質
在糸守小鎮的宮水一家，其巫女血統讓她們得以和另一個時空的人互換靈魂。此事來得突然，居住在東京的男高中生─瀧，一日驚醒，赫然發現自己變成名為三葉的女高中生！乍看又是一則時空穿越的窠臼，新海誠卻能賦予深意於這段奇異歷程：糸守小鎮即將被彗星摧毀，三葉和瀧必須及時通知居民避難，方能保全大家性命。
（二）組扭編織、口嚼酒
過去的一場大火導致古代文書付之一炬，故糸守的傳統文化組扭編織、口嚼酒等，均徒具形式，後人並不知悉其中真義。所謂「組扭編織」是把多種繽紛的細線纏繞成一條繩子， 完成後呈現各種圖案。而此條費時費工編織成的「組扭」，三葉先以其為髮帶，爾後轉贈瀧，瀧則將其綁於手腕作為幸運繩；此繩可謂兩人相遇相知的憑證與羈絆。外婆如此說道，把線連結在一起是「結」，把人連在一起也是「結」，時間的流動亦同，此為神明的名字和力量； 組扭編織亦是神明的技術，展現出時間的流動。此不僅深化組扭的意涵，亦優美詮釋出抽象的時間觀念。
而口嚼酒是三葉與瀧得以相見的關鍵之一。何也？外婆說道：「不論水、米或酒，只要是把食物放入身體的行為，也叫做『結』。因為進入身體的食物會和靈魂連在一起。」（p.88）瀧亦被告知此口嚼酒為三葉之「半身」，意即靈魂的一部份；因此，儘管三葉已死亡三年，當瀧飲下三葉的口嚼酒，即能與三葉再次進行暌違已久的靈魂互換。
（三）黃昏之時
文本中提及「黃昏之時」又稱「分身之時」，言簡意賅地埋下絕佳伏筆。日語中「彼何人（tasokare）」為「黃昏（tasogare）時分」的語源；由於傍晚非屬晝夜，兼以人的輪廓變得模糊、無從辨識，於此時可能遇到妖魔或死者，故亦可稱「逢魔時刻」。此外，文本中亦說明，於糸守小鎮，當提及「傍晚」，「分身之時」是最常聽聞的說法。由此可以推測，新海誠意圖結合「逢魔時刻」和「分身之時」二說，讓三葉與瀧終得相會於黃昏之時。
三、探究分析
根據民用黃昏的定義（註一），黃昏時間由太陽落到地平線以下（太陽仰角0°）開始計算，結束於太陽位在地平線下方 6°（即太陽仰角 -6°）。然而，當人們位於地球表面不同位置 時，太陽的仰角要如何計算呢？
由於地球自轉之緣故，人在地球表面觀測太陽，可得太陽沿著赤道或緯圈面做相對運動， 亦即，假設以地球為中心（圖一中深藍小球），以人的視角看太陽每日的運動軌跡，可視為 太陽每日環繞地球一圈，以圖一中大球上的橘色圓圈為太陽某日期環繞地球的軌道，太陽在一年內的不同季節（日期）直射地球的不同緯度，最北為夏至時太陽直射北回歸線，最南則為冬至時直射南回歸線，如圖一。
假設太陽環繞地球的軌道為圓形（不考慮遠日點和近日點之影響），日地距離為 1AU， θ1為太陽一年內某日期直射之緯度（本文定義北緯緯度為正角，南緯緯度為負角），太陽軌道位於平面 z=sinθ1上，軌道半徑為 cosθ1，因此太陽軌道方程式為
\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=cos^2\theta_{1}\\z=sin\theta_{1}
\end{matrix}\right.\)
再假設單日內太陽與軌道圓心連線掃過的角度為太陽的方位角θ2（如圖二）
而方位角 360° 對應 24 小時，亦即方位角每轉動 15°，意味著時間經過一小時。由以下條件可得太陽的位置為
(cosθ1cosθ2，cosθ1sinθ2，sinθ1)
考慮觀測者所在之地平面，如圖三
假設觀測者所在緯度為θ3，無論觀測者所在之經度為何，其同日太陽軌道皆相同，為方便討論，不妨假設觀測者 x 座標為 0，則觀測者位置坐標為
(0，Rcosθ3，Rsinθ3)
因此地平面之法向量可為
(0，cosθ3，sinθ3)
而地平面方程式為
(cosθ3)y+(sinθ3)z = R（地球半徑）
利用地平面法向量與太陽的位置向量求得太陽仰角之餘角（註二），即可得仰角，如圖四所示：
電影場景中，兩人見面日期為 10 月 4 日，當日太陽直射緯度 θ3= -5.3°，見面地點是日本岐阜縣飛驒市，所在緯度θ3，約為 36.23°，令方程式（1）中 α=y，θ2=x，繪製函數圖形如圖五
觀察太陽仰角與時間的關係，取出圖五中代表太陽仰角0°為的方位角θ2= 176.103，代表太陽仰角為-6° 的方位角θ2=183.564°，因此太陽在軌道平面上轉動方位角
(183.564-176.103)° = 7.461°
轉換成時間就是 \(7.461^{\circ}\times\frac{24 hr}{360^{\circ}}=0.479(hr)\doteqdot 29 (min)\)
在當日當時當地，黃昏之時只有短短的 29 分鐘，以致於三葉無法及時寫完名字，令人喟然，可不可以再延長一分鐘呢？
在文本中，三葉曾經抱怨糸守當地日照時間短，那麼，如果能移動到其他日照時間長之處，黃昏之時是否就能增加？運用相同方法計算同日期（10 月 4 日）各緯度黃昏時長，得表一如下。
觀察表一，我們發現日照短的高緯度地區，黃昏之時反而較久！為什麼呢？
由圖六圖七可知，高緯度地區黃昏起迄點的割線斜率絕對值 |m|較低緯度小
\begin{equation}\left| m \right |=\left|\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right|=\left|\frac{**}{\Delta \theta_2} \right|\end{equation}
**為仰角變化量
由於仰角變化量相同，所以|m| 與方位角變化量 Δθ2 成反比，因高緯度之|m|較低緯度小，故高緯度的 Δθ2 較低緯度大，以致黃昏時距較長，所以瀧跟三葉如欲增加一分鐘的見面時間， 必須移至北緯 39 度之處（如岩手縣），然而兩地相距 268 公里，即使搭乘時速 200 公里的民用直升機也需費時 78 分鐘！真是令人遺憾，「多一分鐘」礙於現實而無法達成。
四、結論與建議
「黃昏之時」有 29 分鐘，應足夠讓兩人寫完名字；但接下來會出現一個問題：瀧寫的不是名字，而是「我喜歡妳」。那麼，即使黃昏之時再久，三葉依舊無法得知瀧的名字。為什麼瀧要這麼做呢？
這是因為，三葉不知道自己比瀧的時空早了三年，當她特地前往東京尋找瀧時，瀧冷淡的反應讓她心碎不已。爾後，瀧透過三葉的身體記憶，明白其心路歷程，因此他決定，這一次，換他不論天涯海角地尋覓三葉；就算她忘記他也無妨，只要她活下來、記得他的心意即可。所以，瀧想單方面獲得三葉的名字，這是一種守護的心情；其中關鍵，在於一定要算好 「黃昏之時」的長短，太早寫，情境不對味且有被發現之虞。對瀧而言，最完美的設想是，三葉寫完名字之後剛好消失；所以算出這 29 分鐘，著實意義非凡。瀧要拯救的不只是系守， 他真正最想做的是守護三葉，包含生命和心。
因此我們建議，瀧可以用前 26 分鐘，敘舊、談心、想未來，留 3 分鐘提議寫名字：1 分鐘偷寫告白，1 分鐘讓三葉寫名字，1 分鐘當作緩衝；如果沒事做，就執起三葉之手、淚眼相對（她不要偷看手心即可），以上。
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註一 本文採用民用黃昏定義（civil twilight）
http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/RST_defs.php
註二 由內積的定義，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos(X)\) （X為兩項量的夾角）
移項之後可得 \(\cos(X)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}\)
