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怪獸襲來!為什麼會有哥吉拉形狀的雲朵?:千變萬化的流體(三)

ntucase_96
・2021/12/11 ・2345字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者/劉詠鯤

本文轉載自 CASE 報科學 《千變萬化的流體(三):哥吉拉雲—流體的不穩定性

海岸邊的雲層上緣,出現一隻隻如同哥吉拉形狀的雲;原子彈投下後,劇烈爆炸引起的蕈狀雲;土星大氣層內形狀獨特的雲帶……等。這些看似毫無相關的現象,背後其實成因都可以歸納為:流體中的不穩定性。

2020 年在青森縣的海邊,有網友分享了一張雲朵彷彿在進行「哥吉拉大遊行」的照片(圖一左上);也有飛行員在雲層上分享過類似的照片(圖一右上);除此之外,天文學家在土星的大氣層也觀察到相似形狀的雲層(圖一下)。這些「哥吉拉」的行動力竟然如此之高,不只在地球上出現,連土星上都有。這是否暗示它們背後其實具有相同的形成機制呢?

圖一左上:海岸邊的哥吉拉雲,圖/大間觀光土產中心推特
圖一 右上:飛行員在雲層上看到的哥吉拉雲,圖/世界氣象組織(WMO)推特
圖一下:土星大氣層內的雲帶照片。圖/NASA

在<千變萬化的流體(一)>一文中,我們介紹了流體流動的狀態主要可以分成兩種:層流與紊流。層流狀態的流體十分穩定,它可以被視為一層一層獨立的流動來討論;相對的,紊流如同它的名字所表示,流體內部的流動較為混亂,不同層之間的流體會互相混合、影響。而決定是層流還是紊流的關鍵因素便是「不穩定性」[1]

在描述天氣系統為甚麼難以預測時,常常會提到「蝴蝶效應」這個小故事:位在大西洋的颶風,其成因可能只是在亞馬遜森林裡面一隻蝴蝶煽動了翅膀,這個初始的小擾動,隨著時間演變,最終形成尺度龐大的結構。不穩定性在流體中扮演的角色也十分相似。起初流體內部隨機的產生十分微小的擾動,若整個流體的不穩定性足夠大,微小的擾動便有機會繼續成長,直到對整個流體都造成影響。流體中具有各式各樣的不穩定性,在本篇文章中,我們將會介紹與哥吉拉雲還有蕈狀雲有關的兩種不穩定性:克耳文-亥姆霍茲不穩定性以及瑞利-泰勒不穩定性。

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克耳文-亥姆霍茲不穩定性:哥吉拉雲

這個不穩定性得名於兩位對此現象進行研究的物理學家:發明絕對溫標的克耳文爵士,以及對聲學共振系統做出系統性研究的亥姆霍茲(在<香檳聲音哪裡來?>一文中,他曾經登場過)。這個不穩定性發生的條件是:兩層流體之間具有相對速度。

請搭配圖二,讓我們一起來理解這個不穩定性是如何產生哥吉拉雲的。假設有兩層流體,分別向左與向右運動。當它們彼此完美平行時,一切無事,如圖二(a)。但這個狀態其實並不穩定,任何的擾動,都可能會破壞這個完美狀態。例如,流體中形成了如圖二(b)的擾動,接下來流體的運動會如何變化呢?

對於淺藍流體來說,A 點的體積較原本略小,因此流動速度較大,如同澆花時,將水管捏住(管徑縮小),水可以噴得更遠。此外,流速較快也會使得 A 點的壓力減小;但對於紅色流體來說,A 點的壓力反而會增大。如此會導致流體內部的壓力分佈形成圖二(c)。兩種流體之間的壓力差,會進一步使擾動長大,如圖二(d)。最後,由於流體本身橫向的速度,使擾動在橫向上出現變形,如圖二(e)。如此一來,哥吉拉形狀是不是就出現了呢?

圖二:克耳文-亥姆霍茲不穩定性形成示意圖。圖/CASE 報科學

瑞利-泰勒不穩定性:核爆蘑菇雲

接下來,讓我們來看另一種在生活中沒那麼常見,但是看過就很難忘記的不穩定性現象:核爆產生的蘑菇雲。這種現象的成因,是來自於瑞利-泰勒不穩定性,它會發生於密度較大的流體壓在密度小的流體之上時。核彈爆發會在極短時間內釋放出極大熱量,將爆炸中心的空氣瞬間加溫。我們知道,氣體的溫度越高,密度越低,因此在爆炸中心,會瞬間形成大量的低密度空氣。

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讓我們用簡單的模型來看看,這種不穩定性是如何造成蘑菇雲的。圖三(a)中有兩種流體,密度較高的在上,此時整個流體系統處於不穩定態,只要有一點擾動 ,如圖三(b) ,不穩定性就會使擾動擴大。由於密度差異,重力使得密度小的流體上升,密度大的下降,使不穩定度振幅逐漸增大。此外,由於壓力差與密度差的方向並不平行,會導致流體的邊界形成渦旋,如圖三(c)。以上這些效應疊加在一起後[2],流體邊界處便會逐漸形成如蘑菇狀的特徵,如圖三(d)。

圖三:瑞利-泰勒不穩定性示意圖。圖/CASE 報科學

以上兩種流體不穩定性,其實在我們生活中也存在,例如:點燃的線香。由於線香燃燒處的溫度上升,空氣密度下降,此時就滿足瑞利-泰勒不穩定性的條件;當熱空氣上升時,和兩側靜止的空氣有一相對速度,也滿足了克爾文-亥姆霍茲不穩定性條件。只是由於規模較小,發生速度較快,肉眼未必可以清楚的看到如前文中提到的明顯特徵。儘管如此,各位讀者在了解這些不穩定性之後,若是試著觀察看看生活中的各種流體,也許也能找到隱藏起來的「蕈狀雲」喔!

註解

[1] 更詳盡的說明可以參考 CASE<上下顛倒漂浮船>一文
[2] 實際上,形成蘑菇狀構造還與流體在三維條件下的非線性效應有關,數學模型較為複雜,此處只是簡單概述其成因。

參考資料

  1. Kelvin–Helmholtz instability
  2. Rayleigh–Taylor instability
  3. “Single mode hydrodynamic instabilities” draft from Hideaki Takabe.
文章難易度
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CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。

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萬物皆混沌?——族群演化、股市、氣候變遷背後的神秘公式
Castaly Fan (范欽淨)_96
・2023/12/01 ・4632字 ・閱讀時間約 9 分鐘

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你知道有那麼一條公式——它不僅可以表述生態系中動物族群的數量變化、城市裡人口隨時間的變遷,還與金融市場的波動、甚至是氣候變遷有所關聯?更令人驚奇的是,這個式子並不是什麼複雜的偏微分方程,它只有短短一行、就連國小學生都能代入算出。

這個看似相當簡單的式子,能推演出極其複雜的圖像;而在看似錯綜複雜的圖像背後,卻又隱藏著某種未知的神秘規律。今天這篇文章,將帶領大家透過這個簡單的函數重新認識世界。

自然界潛藏的規律

且讓我們先從自然界談起。假設一片草原上有一群斑馬生活著,我們想要知道明年、後年、甚至數十年後的數量;我們知道,這一部分取決於斑馬的出生率,還有另一部分取決於環境的負載力——假設斑馬的族群總數超過了該草地所能負荷的程度,很可能在往後導致族群的縮減,因此,負載力有點類似於一個約束條件。有了以上的資訊,我們可以嘗試用數學來描述:

這邊,xn 代表的是「現存族群數量與最大可容納的族群數量」之比值,你可以想像成:假設這片草原此時此刻有 60 隻斑馬,而草原所能容納斑馬數量的最大值為 100 隻斑馬——一旦超過這個值,那麼便會面臨諸如饑荒等生態危機。因此,在此例子中,x0 = 60/100 = 0.6。而假設我們想知道明年的數量,也就是 x1,便可以帶進去推算。那麼,式子中的"r"又是什麼?你可以將它理解為「成長率」,但要注意的是,它的值一般是界定在 0 與 4 之間。

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如果單純只看 xn+1 = r xn,假設 r=2,今年有 60 隻斑馬、明年有 120 斑馬、後年便會是 240 隻,這樣只會無止盡地指數增長下去;因此,當我們設定了"(1 -  xn)"這個約束條件後,便可以解決這個問題——假如今年的 xn = 1,意味著該地斑馬數量已然達到環境可負荷的最大值,便會因為饑荒等因素滅絕,隔年得到的數量便將為零。這個看似簡單、卻又多少能給生態學家建構模型的公式,稱為「單峰映射」(logistic map),也是今天文章的主角。

這個式子不僅可套用在生態系,也可以套用在人口學:舉個例子,某城市今年有 60 萬人,該城市所能負載的最大人口為 100 萬人,而每年的成長率大概是 r = 1.5,那麼,套進公式會發現:明年的人口將為 36 萬、第三年人口將為 34.6 萬……,從而漸漸達到平衡點。如果一開始我們假定有 30 萬人,明年將會成長為 31 萬、後年成長為 32 萬,然後趨近於和前者相近的平衡點。最後,如果這個城市一開始就有 90 萬人,第二年便會因為環境負載力而銳減至 13.5 萬人,但後年、大後年之後將會隨著成長率升高而回升至約莫 33 萬人的平衡點。

而這些資訊並非憑空構思的,因為它們本身就含括在單峰映射的公式裡,用圖表呈現便一目了然,你會發現無論前幾年如何變化、最終都會回歸一個平衡點:

給定該地區成長率為 r = 1.5,假設一開始族群總數為 30 萬(左)、60 萬(中)、90 萬(右)人,無論哪一例子,後幾年所呈現的數量將會趨於一個穩定值、約在x = 0.33(33 萬人)左右。

而這個穩定值是取決於"r"的,也就是說,只要 r = 1.5,無論人口數目如何變化,最終的平衡點都不會有所差異。

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規律的瓦解、未知的開端

因此,我們何不來看看"r"會如何變化?這時,我們回到原本的假設:一個城市裡有 60 萬人口,如果改動不同的 r,演化曲線將會如何改變?

這裡呈示了 r=0 到 2.8 之間的圖表,可以看出在 r 超過 2.5 時,振盪發生,即使如此、依舊回歸平衡值。

當我們將 r 值逐步增加,一切看似並無異常;當 r=2.8 時,我們發現圖形出現了週期性的振盪,但最後依舊回歸平穩。順帶一提,我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 的穩定值與 r 的關係,在 r=0 至 2.8 之間,x 穩定值有攀升趨勢;在 r=1.5 時,根據前述的例子,x 的穩定值落在 0.33 左右,從下圖也可以直接看出:

呈現 x 穩定值與 r 之間的分枝圖,r=0 與 r=2.8 之間,穩定值有攀升趨勢;在前述例子中,r=1.5 對應到的穩態相當於 x=0.33 上下。

我們繼續調大 r 值。正當一切看似正常發展時,詭異的事情發生了:

當 r 大於 3 時,週期性的振盪發生,且不再回歸平穩值。由左至右分別是 r=3.1、r=3.45、與 r=3.55 的圖表。

在此之前,一切族群的數量都是平穩的,但在 r 超過 3 左右,持續的振盪出現了,且自此「平衡點」不復存在;不僅如此,當 r 值不斷調升,顯示出來的圖像從原本 2 個值、4 個值、到更多值之間來回振盪。值得一提的是,這種「週期性振盪」的現象在生態圈與人口變化中是確實存在的,很有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量又再減少。讓我們來看看對應的分枝圖:

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圖為 r=2.8 至 3.55 之間的分枝圖,可以發現數目振盪導致的「分岔」。

這對應於原本從 2 個值之間的擺盪、分岔成 4 個值之間的擺盪、再分岔成 8 個值之間的擺盪……如此往復。此外,如果你留意橫軸 r 之間的間隔,會發現:當 r 愈大時,分岔的速度也愈快!

現在讓我們繼續將 r 值調升,來看看會發生什麼事:

隨著 r 不斷提升,系統呈現隨機的跡象,在 r 超過 4 時系統發散。上圖分別演示了 r=3.56、r=3.58、r=3.65、r=3.8、r=4 與 r=4.01 的情景。

話不多說,我們直接來看看分枝圖:

在 r=3.55 至 r=4 之間的分枝圖,分岔不斷衍生、並進入隨機的模式。

令人毛骨悚然的結果出現了!前面我們觀察到,當r提升時,系統會出現週期性的振盪,對應於分枝圖中的「分岔」,且分岔的速率會不斷增快、再增快;而在 r 超過 3.5699 時,規律的振盪、分岔將不復存在,取而代之的是一團無法預測的隨機——這就是所謂的「混沌」(chaos)。

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混沌、股票市場、以及蝴蝶效應

現在讓我們看一下完整的分枝圖長什麼樣子:

單峰映射的分枝圖,從 r=1 至 r=4,可以看出系統在 r 超過一定值後進入混沌狀態。

換而言之,當系統的變量到一定程度時,將會變成隨機且無法預測的。以人口為例,一開始我們假設的情況很簡單,就是 60 萬人口與 r=1.5 的成長率;接著我們發現,無論人口基數如何,只要 r 維持原狀,數年、乃至於數十年後的平衡點都是相近的。然而,當r值提升後,平衡點的值便會浮動了,r=3 之後週期性的振盪便出現了、且分岔點不斷加速倍增;緊接著,我們赫然發現:

當 r 值大於 3.5699 時,系統將全然處於混沌狀態。

也就是說,即便給定初始條件,最後的人口演化將會是無法預測的。事實上,這種「混沌」、「隨機」的現象並不僅僅侷限於自然界的族群或者人口數量,它其實是隨處可見的。比如:家中水龍頭關不太緊時,水滴很自然地會落下,按理來說,鬆緊程度與水壓毫無變化的情況下,滴水的規律應該也是不變的;但如果你花一段時間觀察,會發現水滴可能一下子連續落下兩滴、一下子又只落下一滴——我們根本無法預測每一次的滴落模式。

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另一個例子就是金融市場:當我們投資了固定金額的股票後,市場的波動將導致金額的浮動,就算有再好的分析師與預測模型,我們也不可能精準預測明天的投資金額會變多少。順帶一提,在金融學中描述期權的模型是「布萊克-休斯模型」(Black-Scholes model),它便是從微觀粒子的「布朗運動」(Brownian motion) 所推導而來,其中粒子碰撞隨時間演化的隨機過程被稱為「維納過程」(Wiener process)。布萊克-休斯模型的假設之一,便是將隨時間演化的「股票價格」描述成維納過程,從而預測、消弭潛在的風險。事實上,休斯本身大學時就是主修物理學的。

而提到「混沌現象」,最經典的例子當然還是氣象學家愛德華.洛倫茲(Edward Lorenz)的那句名言:

「一隻海鷗拍動翅膀,將導致永久性的氣候變化。」

“One flap of a sea gull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.”

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爾後,這個現象被稱為「蝴蝶效應」(Butterfly effect),也就是說,縱然系統初始條件只有微不足道的變化,也會導致最後產生的結果大相徑庭;即使是一隻在巴西的蝴蝶拍動翅翼,周邊的氣流變化會連帶影響、擴散至大氣系統,甚至能致使一個月後的德州發生龍捲風。

這些非線性、隨機的現象在自然界無處不在,許多科學家也嘗試研究,締造了「混沌理論」(chaos theory) 的研究熱潮。一旦我們能從中梳理出一些規律,那麼,也許便能更精確地掌握「混沌」之中的資訊,這將有助於我們更精確地預測投資股票的風險、也有助於人們更準確地預測天氣的變化。

混沌背後的神秘常數

從描述族群、人口的簡單函數推演到「混沌狀態」的存在已經夠令人驚豔了,然而,不知你是否曾留意過分枝圖中、每一段分岔點之間的間隔?

如果你把我們最後得到的分岔圖放大來看,會發現在混沌狀態之前、分岔點出現的速率不斷增快;而如果你對每一個分岔點之間的間隔取比值,你會發現——每一次得到的值都會是同一個數字,這個數字大致為 4.669,它被稱為「費根鮑姆常數」(Feigenbaum constants)。

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對於分枝圖上的每個分岔間隔取比例,最終發現比例皆為同一個值:4.669。圖源:https://blogs.sw.siemens.com/simulating-the-real-world/2021/01/04/chaotic-fluid-dynamics-part-4-finding-feigenbaum/

更令人細思極恐的是,這個「常數」並非只存在於單峰映射,所有混沌理論中有這種分岔性質的圖像,它們之間的比例都是這個常數!而目前數學界尚未能明確理解這個常數的性質,唯一可以推測的是:

費根鮑姆常數(4.669…)與混沌理論有密不可分的聯繫;該常數的出現意味著混沌現象即將發生。

在前述單峰映射的例子中,費根鮑姆常數主宰了 r=3.5699 之前的分岔規律;在 r 超過 3.5699 後,系統便徹底進入混沌狀態了。

除此之外,你或許也發現了,每個分岔的形狀都超乎尋常地相似,後一個分岔根本上就是前一個分岔的縮小版。這種特徵令人聯想到數學上的「碎形」(fractal),也就是某些形狀放大後會是自己的本體、從而無窮延伸下去。最著名的例子就是複數平面上二次多項式迭代出來的「曼德博集合」(Mandelbrot set)。信不信由你——當我們將單峰映射的分枝圖與曼德博集合比照來看,會發現分岔點之間是有所對應關係的;也就是說,單峰映射可以視為曼德博集合的一部分!

單峰映射其實是曼德博集合的一部分。圖源:https://www.sci-pi.org.uk/mandel/mandel_vs_log.html

從簡單的單峰映射公式,我們推導出了自然界族群、人口的演化模式,進一步發現了「混沌」狀態的存在;而在看似極其複雜的混沌狀態中,似乎又發現了隱藏在隨機背後的神秘規律。

混沌理論在生活中是無所不在的,時至今日,仍有不少未知的特性等著人們發掘與驗證。從生物的競爭、人口的演化、股市的浮動、亂流的成因、到氣候的變遷……這些日常事物都被混沌現象主宰著,從而使我們無法精準預測到未來的走向。然而,費根鮑姆常數的發現與幾何碎形的聯繫卻也指出了隨機背後潛藏著某些規律,這也不禁令人讚嘆自然界的美麗與神秘。

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Castaly Fan (范欽淨)_96
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科學研究者,1999年生於台北,目前於美國佛羅里達大學(University of Florida)攻讀物理學博士。2022年於美國羅格斯大學(Rutgers University)取得物理學學士學位,當前則致力於學術研究、以及科學知識的傳播發展。 同時也是網路作家、《隨筆天下》網誌創辦人,筆名辰風,業餘發表網誌文章,從事詩詞、小說、以及文學創作。

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鋪馬路的「瀝青」是液體?放置 94 年只滴下整整 9 滴:千變萬化的流體(一)
ntucase_96
・2021/12/04 ・2242字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者/劉詠鯤

本文轉載自 CASE 報科學 《千變萬化的流體(一):一個做了90年的實驗

從躺在沙灘上,吹拂身體而過的微風,到吃果醬吐司時,苦苦等待滴落的黏稠果醬;光滑如鏡的湖水到構成平整路面的柏油(瀝青)。這些東西之間具有什麼共通性?又是什麼因素造成它們表現出來的性質,具有如此大的差異?

海水與海風都具有流體的特性。圖/Pixabay

流體,泛指任何可以流動的物體,在我們的經驗中,主要包含了氣體和液體。例如充斥我們四周的空氣,以及隨處可見的水。但實際上,有些我們看似為固體的東西,其實也屬於流體,例如堅硬的玻璃。以上這些物質都落在流體的範疇。很顯然地,它們之間應該有某種決定性的差異,那便是它們的「黏滯性」。

流體的黏滯性

從微觀的角度來看,黏滯性可以被看成是流體分子之間的吸引力強弱。我們可以想像眼前有一杯水和一坨麻糬。當我們對著它們吹一口氣時,從微觀的角度來說,便是在對它們表層的分子施力。水分子之間的吸引力比較弱,因此表層的水在受力後能夠自由移動,形成波紋;但麻糬分子之間的作用力較強,表層分子被其他分子緊緊抓住,因此不會形成明顯的運動。

麻糬看起來已經很黏了,但在黏滯性排行榜中,它可能還排不太進去。在生活中存在著一種黏滯係數非常大的流體,雖然可能大家都沒把他當成流體過,那便是:瀝青。為了量測瀝青的黏滯係數,物理學家進行了一個「持續時間最長」的實驗:「瀝青滴漏實驗」。到目前(2021 年)為止,已經持續了 90 幾年。有興趣的讀者可以透過以下連結參與這個實驗的直播:http://www.thetenthwatch.com/feed/

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圖一、瀝青滴落實驗。筆者於 2021/8/17 截圖自上述實驗直播。

若是讀者們沒有看出瀝青正在滴落,不用懷疑播放鍵是不是壞了。畢竟,根據實驗記錄,上一次滴落花了 13 年時間!這個實驗從 1927 年架設完畢,到目前為止,一共只有 9 滴瀝青滴下。以此估計,瀝青的黏滯係數會是水的千億倍。因此,瀝青大概會是黏滯係數排行榜榜首的候選人之一。

那若是我們看向另一端,黏滯係數很小的部分,可以想像當這樣的流體一旦受到外力,會非常容易流動。也許讀者們會好奇,有沒有可能黏滯係數為零呢?有,這種流體被稱作「超流體」。打個比喻,若是咖啡是種超流體,當我們加入奶精、糖攪拌完後,過半個小時來看,會發現它還在不停的旋轉,完全沒有停下來的跡象!這種流體具有非常獨特的性質,但由於其背後物理原理較為複雜(有數個諾貝爾物理獎都與此題目有關),筆者將此題目留至下一篇文章,再進行完整的介紹。接下來,我們先介紹如何描述流體的運動,也就是流體流動的類型:層流與紊流。

層流與紊流

當我們想要描述流體時,可以將某一個特定時刻,流體中每一個點的瞬間速度以箭頭的方式標出,箭頭的方向指向該點的運動方向,箭頭長度則為運動速度大小。例如在一根細管中,若有水流過,可以預期水流會和管壁大致平行。此外,由於管壁的摩擦力,靠近管壁的流體速度會最慢,正中間的流體則最快,形成如圖二般的速度分布。

圖二、管內流體速度分布示意圖。

這種情形下,流體可以被看作一層一層、彼此不會互相混合且穩定的流動,稱為「層流」。雖然表面上看起來流體分子之間如排隊般,以非常整齊的隊伍前進,但是實際上,流體中存在各種各樣的不穩定性(流體中的不穩定性遍布日常生活中,我們會在超流體之後的文章和各位讀者介紹此現象。),會使得流體發生微小的擾動。若是流體的黏滯性夠大,這些微小的擾動便會被摩擦力消耗掉,使得整體看起來依舊穩定流動;但若是擾動足夠克服摩擦力,則不同層之間的流體會開始混合,形成如漩渦般的複雜結構,這種情況被稱為紊流。由以上描述可知,流體的運動會是哪種情況,會和擾動大小與流體黏滯性有關。在科學上,會透過流體的「雷諾數」來加以描述一個流體運動屬於哪種類型。

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層流與紊流的現象在日常生活中其實非常普遍,我們不需要去計算雷諾數,也能夠從流體的外觀來大致分辨它是處於層流還是紊流。例如在欣賞壯麗的瀑布時(如圖三),會發現在水流落下之前,水的流動是相對平穩,顏色呈現深藍色;但當水開始下落形成瀑布時,水的流動變的不穩定,形成白色的水花。讀者們看到這裡,想必已經可以判斷它們分別對應的流體運動種類為何了。

圖三、尼加拉瀑布風景圖。可看到水流在落下前流動較穩定,接近層流;落下後則轉為紊流,充滿白色的泡沫。圖片來源:Kevin Payravi

流體在日常中無處不在,流體性質的研究並非僅僅只是純科學的探索,它們早以走進每個人的生活中。例如飛機機翼如何設計增加浮力、高鐵車頭什麼形狀可以降低風阻、甚至容器瓶口要如何設計,才不會倒水時沿著瓶身留下…等等,這些都和流體的特性密切相關。流體,值得我們更深入的認識它!

參考資料

2021.12.12 PM 0:45 更新:圖三敘述原寫「尼加拉瓜瀑布」。感謝 codocodo2009 提醒,已修改成「尼加拉瀑布」。

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本文轉載自 CASE 報科學 《千變萬化的流體(三):哥吉拉雲—流體的不穩定性

海岸邊的雲層上緣,出現一隻隻如同哥吉拉形狀的雲;原子彈投下後,劇烈爆炸引起的蕈狀雲;土星大氣層內形狀獨特的雲帶……等。這些看似毫無相關的現象,背後其實成因都可以歸納為:流體中的不穩定性。

2020 年在青森縣的海邊,有網友分享了一張雲朵彷彿在進行「哥吉拉大遊行」的照片(圖一左上);也有飛行員在雲層上分享過類似的照片(圖一右上);除此之外,天文學家在土星的大氣層也觀察到相似形狀的雲層(圖一下)。這些「哥吉拉」的行動力竟然如此之高,不只在地球上出現,連土星上都有。這是否暗示它們背後其實具有相同的形成機制呢?

圖一左上:海岸邊的哥吉拉雲,圖/大間觀光土產中心推特
圖一 右上:飛行員在雲層上看到的哥吉拉雲,圖/世界氣象組織(WMO)推特
圖一下:土星大氣層內的雲帶照片。圖/NASA

在<千變萬化的流體(一)>一文中,我們介紹了流體流動的狀態主要可以分成兩種:層流與紊流。層流狀態的流體十分穩定,它可以被視為一層一層獨立的流動來討論;相對的,紊流如同它的名字所表示,流體內部的流動較為混亂,不同層之間的流體會互相混合、影響。而決定是層流還是紊流的關鍵因素便是「不穩定性」[1]

在描述天氣系統為甚麼難以預測時,常常會提到「蝴蝶效應」這個小故事:位在大西洋的颶風,其成因可能只是在亞馬遜森林裡面一隻蝴蝶煽動了翅膀,這個初始的小擾動,隨著時間演變,最終形成尺度龐大的結構。不穩定性在流體中扮演的角色也十分相似。起初流體內部隨機的產生十分微小的擾動,若整個流體的不穩定性足夠大,微小的擾動便有機會繼續成長,直到對整個流體都造成影響。流體中具有各式各樣的不穩定性,在本篇文章中,我們將會介紹與哥吉拉雲還有蕈狀雲有關的兩種不穩定性:克耳文-亥姆霍茲不穩定性以及瑞利-泰勒不穩定性。

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克耳文-亥姆霍茲不穩定性:哥吉拉雲

這個不穩定性得名於兩位對此現象進行研究的物理學家:發明絕對溫標的克耳文爵士,以及對聲學共振系統做出系統性研究的亥姆霍茲(在<香檳聲音哪裡來?>一文中,他曾經登場過)。這個不穩定性發生的條件是:兩層流體之間具有相對速度。

請搭配圖二,讓我們一起來理解這個不穩定性是如何產生哥吉拉雲的。假設有兩層流體,分別向左與向右運動。當它們彼此完美平行時,一切無事,如圖二(a)。但這個狀態其實並不穩定,任何的擾動,都可能會破壞這個完美狀態。例如,流體中形成了如圖二(b)的擾動,接下來流體的運動會如何變化呢?

對於淺藍流體來說,A 點的體積較原本略小,因此流動速度較大,如同澆花時,將水管捏住(管徑縮小),水可以噴得更遠。此外,流速較快也會使得 A 點的壓力減小;但對於紅色流體來說,A 點的壓力反而會增大。如此會導致流體內部的壓力分佈形成圖二(c)。兩種流體之間的壓力差,會進一步使擾動長大,如圖二(d)。最後,由於流體本身橫向的速度,使擾動在橫向上出現變形,如圖二(e)。如此一來,哥吉拉形狀是不是就出現了呢?

圖二:克耳文-亥姆霍茲不穩定性形成示意圖。圖/CASE 報科學

瑞利-泰勒不穩定性:核爆蘑菇雲

接下來,讓我們來看另一種在生活中沒那麼常見,但是看過就很難忘記的不穩定性現象:核爆產生的蘑菇雲。這種現象的成因,是來自於瑞利-泰勒不穩定性,它會發生於密度較大的流體壓在密度小的流體之上時。核彈爆發會在極短時間內釋放出極大熱量,將爆炸中心的空氣瞬間加溫。我們知道,氣體的溫度越高,密度越低,因此在爆炸中心,會瞬間形成大量的低密度空氣。

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讓我們用簡單的模型來看看,這種不穩定性是如何造成蘑菇雲的。圖三(a)中有兩種流體,密度較高的在上,此時整個流體系統處於不穩定態,只要有一點擾動 ,如圖三(b) ,不穩定性就會使擾動擴大。由於密度差異,重力使得密度小的流體上升,密度大的下降,使不穩定度振幅逐漸增大。此外,由於壓力差與密度差的方向並不平行,會導致流體的邊界形成渦旋,如圖三(c)。以上這些效應疊加在一起後[2],流體邊界處便會逐漸形成如蘑菇狀的特徵,如圖三(d)。

圖三:瑞利-泰勒不穩定性示意圖。圖/CASE 報科學

以上兩種流體不穩定性,其實在我們生活中也存在,例如:點燃的線香。由於線香燃燒處的溫度上升,空氣密度下降,此時就滿足瑞利-泰勒不穩定性的條件;當熱空氣上升時,和兩側靜止的空氣有一相對速度,也滿足了克爾文-亥姆霍茲不穩定性條件。只是由於規模較小,發生速度較快,肉眼未必可以清楚的看到如前文中提到的明顯特徵。儘管如此,各位讀者在了解這些不穩定性之後,若是試著觀察看看生活中的各種流體,也許也能找到隱藏起來的「蕈狀雲」喔!

註解

[1] 更詳盡的說明可以參考 CASE<上下顛倒漂浮船>一文
[2] 實際上,形成蘑菇狀構造還與流體在三維條件下的非線性效應有關,數學模型較為複雜,此處只是簡單概述其成因。

參考資料

  1. Kelvin–Helmholtz instability
  2. Rayleigh–Taylor instability
  3. “Single mode hydrodynamic instabilities” draft from Hideaki Takabe.
文章難易度
ntucase_96
30 篇文章 ・ 1345 位粉絲
CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。

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船隻設計的基礎,船模實驗大解密!——成功大學系統及船舶機電工程學系陳政宏副教授專訪
科技大觀園_96
・2021/12/03 ・3981字 ・閱讀時間約 8 分鐘

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臺灣近年推動自主國防,時常可以看到國艦國造的相關新聞,但你有沒有想過:所費不貲動輒數億的造船經費,要如何知道實船完工是真的功能完整的呢?國立成功大學系統及船舶機電工程學系副教授陳政宏指出,為了驗證船隻模型性能,研究者們設計了各種船模實驗,廣泛用於建造實船之前評估目前船隻設計方案的性能是否符合期望,或是存有潛在流體動力學上的問題。

國防自主艦國造計畫中的磐石軍艦。圖/中華民國海軍全球資訊網

釐清速度與阻力之間的關係:裸船阻力實驗、單獨螺槳實驗與自航實驗

船模實驗中研究者將縮小船模置於其中實驗水槽進行各種操作,並推估放大後的性能狀態。其中,裸船阻力實驗便用來釐清直線航行時,船隻速度與阻力之間的關聯,進而評估推進器設計、馬力與船體如何搭配恰當。然而,螺槳產生推進力的效能同時會受到其本身性能與船殼造成的流場交互影響。

裸船阻力測試。圖/RGB國家研究資訊系統

陳政宏教授解釋,為了拆解可能的混淆變項,因此又衍伸了兩種實驗:螺槳單獨性能實驗、自推實驗。螺槳單獨性能實驗中,螺槳會被放置在一個均勻、流速固定的流體中檢視它的推力大小,以及是否有性能問題。例如螺槳最怕遇到的空蝕 (Cavitation) 問題,當螺槳透過推動水流取得前進的推力時,根據白努利定律,流體速度提高、壓力下降便可能使水氣化,進而出現小氣泡改變整體流場狀態影響實驗結果,甚至氣泡破裂時產生微小的力量也會逐漸侵蝕葉片表面。如何設計出能產生強大推力,但最小化空蝕現象的螺槳,便要依靠螺槳單獨性能實驗。

自航實驗則用來處理螺槳與船殼的搭配問題,裸船阻力實驗中,船首在拖航水槽中由儀器拖動加速,而實際船隻運行時螺槳從後方推動船殼,兩者間產生的流場不同。不同船殼設計也會造成進入螺槳的水流不同,使得實際阻力可能不同。此時便需要透過自推實驗取得螺槳與船殼交互作用後的綜合性、修正後的性能結果。相反的,若缺少裸船阻力實驗與螺槳單獨性能實驗,當自推實驗不理想,研究者也難以分析是哪個部份出現問題。

了解船模製造的流場分布:艉跡流實驗

陳政宏教授也提及,前面提到不同船殼搭配同個螺槳可能產生截然不同的效果,源於不同船殼尾部產生的艉跡流流場不同。因此需要額外實驗以決定如何搭配、設計螺槳,甚至當船殼設計不佳,導致流場流速差異過大,也能夠考慮重新設計船殼或增加整流器。儘管整流器會增加些許阻力,但若能顯著提升螺槳效率反而有亡羊補牢的效果。

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艉跡流實驗也帶出船隻研究的重大議題——電腦運算速度仍不夠快到能投入實用,因此船模實驗仍有存在的必要。目前電腦還無法直接、快速、精確地處理紊流的問題,超級電腦要花上千年才能算完一艘潛艇定速航行時的流場。然而即使使用紊流模型模擬流場以加快速度,也會面臨精確模擬的另一大挑戰是必須提供足夠多、詳細且精準的初始與邊界條件給電腦,才能確保模型模擬結果的準確性。實務上,通常是船模實驗與電腦模擬兩者並重,對船隻設計進行評估。

實船放大後仍會遇到許多變數-紊流與製造技術限制

即使通過船模實驗,真實比例的實船航行時仍會遇到預期外狀況。紊流便是其中之一,因為流體的黏滯力,行進時流體會在船體表面形成一層稱為邊界層的薄膜,邊界層前段為流動較規則的層流,中後段則是不穩定的紊流。船模與實船時前進時,紊流在流場中出現的相對位置不同。因此船模實驗可能會在船艏貼上砂紙或釘子作為激紊器,希望模擬放大為實船後會有相似的紊流邊界層特性。

前段流動較規則的層流,及中後段不穩定的紊流。圖/wikipedia

此外,製造技術產生的公差放在船模與實船,也會導致不同尺度的影響。一公分的誤差對實船或許影響不大,但對船模而言可能改變流場甚鉅。所以船模也必須有一定尺寸並製作精密才能製造貼近實船的流場,如大型商船船模需要在 6 – 8 公尺最為恰當。

如何確定船模實驗結果可以類推到實船:幾何、運動學與動力學相似性

船模實驗為了確保結果有效性,不只要求船模符合幾何相似,還需要運動學與流體動力學相似性。幾何相似指的便是船模外型須與實船相似,運動學相似則是指流場形狀、流速與壓力分佈必須相似。最複雜的動力學相似,要求船模受到各種作用力間彼此的比例關係必須對應,如流場中流體黏滯力、移動產生的慣性力與波浪所形成的重力波。但由於實驗中上述三種作用力,兩兩間的比例關係無法同時滿足:

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  1. 若想固定慣性力與黏滯力間的比例,「船速度 × 船長」必須為一常數。
  2. 若想固定慣性力與重力之間的比例,則是「船速度 ÷ √船長」 必須為一常數。

由上面的公式可以知道,船模較實船尺寸縮小,因此若想讓 1. 比例維持一致,則船隻速度要增加。但同時想要固定 2. 的比例,則要求船隻速度縮小,兩者是相互矛盾的。因此陳政宏教授也提到實務上,通常會犧牲慣性力與黏滯力的比例,因為通常紊流流場中慣性力對黏滯力的比例夠高。此時在紊流完全發展下,慣性力對黏滯力的比例差異造成的影響差異較小。

讓船隻前進更有效率:減少阻力的方法

根據造成阻力的原因,研究者們發展了各種方式降低船隻行進中受到的阻力。船隻在流體中前進主要會受到三種類型的阻力影響:

第一種是最直觀的表面摩擦力,可以透過使用光滑材質設計船體,或是疏水性或親水性鍍膜、塗料減少摩擦力。但儘管鍍膜與塗料在實驗中取得很好的成效,實務上仍有諸多挑戰,例如:實船長期航行塗料脫落重新上塗料成本巨大、塗料是否環保,如海洋生物附著在船體也會增加表面摩擦力等原因,都是降阻方案投入實務領域面臨的挑戰。

海洋生物附著在船體會增加表面摩擦力,需要定期清理。圖/flickr

第二種阻力為船隻行進時造成的波浪,透過船殼形狀設計可以減少行進時製造的波浪,例如斧艏與劍艏利於破浪;或是流行近百年的球形艏,在船艏水面下的部分設計突出的鈍形構造,能在水面下先製造一個波浪與船艏製造的波浪抵銷。此外,整體船型在細尖的船艏、寬敞的肩部與舯段、船艉之間,不能太快變寬或收攏,才能減少造浪。

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最後一種為黏性壓差阻力,源於垂直於船體表面的壓力。船體左右對稱左右合力抵銷,但船艏由於船體向前進壓力較大,船艉由於原本貼於表面邊界層中的流體因為速度下降剝離,形成紊流區,使壓力降低。這使得整體壓力的合力向後,形成阻力,需要透過流線型船殼與較佳的船艉設計解決。

為實際航行提供指引:耐海與運動操縱性能實驗

陳政宏教授也補充,前面提到的實驗都還只是在靜止水域觀察船模性能,但實際航行時海象變化莫測,還需要評估船體在有浪環境的性能表現,才能確保安全。此時會先使用造波機製造固定波高與波長的規則波浪,觀察船模在規則波浪中前進受到的阻力,以及在空間中六個自由度(前後、左右、上下、俯仰、橫搖與平擺)上的運動。進一步也會參考實際海浪觀測資料中各種波長的機率分布,模擬做出不規則波浪,同時檢視各角度海浪拍打下船模的運動狀態。另外也會做迴旋、之字形航行……等各類操縱,完整了解運動性能。這些數據日後都能提供給船東或船長參考,判斷當船遇到各程度的海浪時,船隻速度下降、耗油增加程度,或是在何種海況下船隻應該停航以確保安全。

不只要夠大,還要夠安靜的水域:潛航器自航實驗

相較於水面上航行的船隻,潛航器自航測試類似無人船的概念,將模型放置在夠大的水體後,依靠裝置於潛航器上量測設備,記錄其航行姿勢、尾舵方向與力道、航行軌跡。因為需要在夠大的水體中進行,英國便是在人工興建的水庫中進行測試,也較容易控制環境變數。而基於軍事需求潛艇也強調匿蹤、安靜性能。因此挑選的水域不能夠太過吵雜,周邊有過多的遊憩設施、碼頭的噪音都可能干擾實驗結果。也因為要考慮聲學目的,對水域大小需求又會比一般自航實驗更大。以美國為例,則是找到位於愛達荷州由天然冰川侵蝕形成的湖泊 Lake Pend Oreille,狹長數十公里,且周邊只有少數聚落,成為進行潛艇實驗的理想場地。

整體而言,設計船隻時要解決的流體力學問題,主要有阻力與流場中的紊流。陳政宏教授最後提到,實務上同時需要船模實驗與電腦模擬數據相輔相成,從裸船殼到螺槳整合;從靜止水域到動態水域航行測試,經過一系列船模實驗評估,最終才能確保實船可以兼具性能與安全的揚帆啟航。

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參考文獻

科技大觀園_96
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