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《突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐》——2018數感盃 / 高中組專題報導類第一名

PanSci_96
・2018/04/13 ・2837字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 541 ・八年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2018數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

圖/imdb
  • 作者:陳冠伊、柯喻朦、陳品彤/北一女中

2010 年上映的電影《關鍵救援 72 小時》,由羅素克洛(Russell Crowe)飾演的男主角 John,為了拯救被無辜關入大牢中的愛妻,從一位文質彬彬、溫和善良的大學教授,想出了劫獄的計畫,只因為他始終相信自己心愛的妻子是被冤枉的!原本有點懦弱的 John,開始著手準備計畫逃亡路線,籌措資金,觀察監獄地形。一開始他將自己上網看影片學做來打開監獄大鎖的陽春鑰匙,因為緊張到發抖而折彎,他跟黑幫混混們打交道,卻被打得渾身是傷,但後來他漸漸的轉變,他誤殺了幾個人,搶了錢,但他知道這些都是為了自由與愛。看著 John 的轉變,以及善良與使命的矛盾內心戲,更是將電影一次又一次的推到高潮!其中重要的一個片段,就是 John 第一次開始著手準備劫獄計畫,向由連恩尼遜飾演的有名逃獄專家請教逃獄時該注意的事項了!

這個片段迷人的不只是連恩尼遜帥氣的低沉嗓音,更是讓我們對封鎖域大開眼界。電影中敘述只要 15 分鐘警方即可封鎖匹茲堡市中心,35 分鐘內所有洲際收費站都會有警察站崗,二級公路還會開始進行管制!John 在地圖上以市中心為圓心畫了一圓,此即為警方可封鎖的範圍,在這個封鎖域的範圍下,誰都難逃警方的法網,只能乖乖束手就擒!

於是這引起我們的好奇,匹茲堡這麼大,警察們到底手腳要多快,才能避免飆車中的 John 在圍好封鎖域前就逃出呢?

首先我們得知道匹茲堡到底有多大,經過查詢資料,匹茲堡所在的都會區約為 10000 平方公里,以此為圓面積所做出來的圓,半徑為 56.42 公里。(在此取56以方便計算)而封鎖域的總長度,也就是圓周長,則是 351.85 公里。假設以 John 出發的點為圓心,做一個半徑為 56 公里的圓,這就是警方的封鎖域。John從圓心到達封鎖域的邊界,最短距離為 56 公里。他必須在警方封鎖之前的 35 分鐘內逃出去遠走高飛,才不會被警察一槍斃命!因此 John 在不碰到任何建築物及阻礙物還有剛好天助般的都是綠燈,並且有條剛好就是半徑的馬路可以讓他在市區內盡情飆車的情況下,他的最大速率為 56 × (35/60)=96 公里/小時。

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接著我們搜尋了匹茲堡的警力狀況,查詢匹茲堡警察局網站顯示目前約有 900 位警力,以 9 人為一小組,共有 100 組,而他們要在 35 分鐘內就將自己的轄區圍得天衣無縫!如此一來,一分鐘內總共得圍好 351.85÷35=10.05 公里,每一組則須完成 10公里÷100組=0.1 公里,也就是100公尺,一個人一分鐘則須圍好 11.1 公尺。若是像臺灣的凱達格蘭大道一樣,每次有重大事件總是用拒馬圍得密不透風,一分鐘把這麼重的拒馬和鐵欄擺好 11.1 公尺,實在是有點困難啊!

以 John 有最大速度 96 公里/小時,並且不外調人員,總共只有 900 位警力負責封鎖的狀況下,要能及時圍住整個封鎖域的範圍是極具挑戰性的。因此,我們開始思考是否有什麼策略,能提供警方一個在最短時間內,一定能圍住 John 的方法呢?

查詢了許多資料以後,我們找到了一篇提供我們策略構想的數學論文:The Angel Problem (引注資料[1]),由 John H.Conway(沒錯也是 John,但此 John 非彼男主角的 John)於 1996 年發表。這篇論文主要在研究天使問題,這是一個雙人遊戲,而遊戲規則是:

在一個無限大的棋盤上,有一個惡魔跟一個天使,棋盤一開始是空的。開始遊戲後,天使在每一輪都可以移動最多 K 步(遊戲開始前先設定好的,稱之為天使的力量),在這 K 步中,橫的直的斜的都算一步,而且天使可以飛越過惡魔設置的路障,但是最後必須停留在沒有路障的格子內,而惡魔每一輪只可以選一個格子設置路障,但不能設在天使停留的那個格子。最後,如果天使無法再移動時,就代表惡魔贏了,相反的,如果天使可以無限的移動的話,則代表天使贏了。

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康威在他的論文中,所假設的情境是:每次只能移動一格的惡魔,是否有機會可以困住天使的力量為 1000 的天使呢?這看起來是不可行的,但是康威提出了在一些假設的條件下,惡魔能夠以區區的一步,困住能飛 1000 步的天使!有趣的是,康威甚至在論文的最後,提出懸賞 1000 美金,給能夠找到證明惡魔可以困住力量為任意數(但不能為無限大)的天使的人!

我們運用了康威假設的其中一個情境的方法來發想,是否一樣能應用在警察和逃亡中的 John 這個情境中呢?

康威假設有個 Fool Angel,他只能不斷的往上飛,增加他的 y 座標,此時惡魔將會有必勝的方法圍住天使。天使的起始點為 P,由於不浪費步數,因此他的飛行範圍介於通過 P 點,兩條斜率為 ±1/1000 的邊界內。則惡魔的必勝策略為:圍住一條與起始點足夠大距離(H=1000×2N) 的邊 AB ,並在開始時每 M格放一路障,在天使達到距 AB邊 1/2H 距離的點Q 時,惡魔已經完成在 AB 以 M 為間隔的路障擺設。當天使在點 Q 時, CD邊正好是 AB邊的一半,而同樣的惡魔也在 CD 邊上,每 M 格放一路障,當天使抵達了距離 AB 邊 1/4H 距離的點R 時,惡魔已完成 CD 線段。如此一來,當天使飛到了距離 AB 邊 H’=2-MH 距離的點時,惡魔已經在AB 線段上的每一格放滿了路障。若 H為 1000×2N,1000 為天使和惡魔的速度比值,且 N>1000M,則在天使跨越距離 AB線段 1000單位距離時,惡魔早已在這條水平線和 AB 線段間的任何天使有可能到達的格子內,放滿了路障!

有了康威的天使遊戲做為參考,在我們所設定的情境裡,H 為警方封鎖域的半徑 56 公里。我們可以將天使的力量想像為 John 的最大速率 96公里/小時,惡魔可以走的步數則是警察每分鐘的封路速度 0.1公里/小時。代入康威所提供的算式 H=1000×2N 中,我們姑且將 56 公里取為 2 的整數次方倍 64 公里較方便計算,John 和警察的速率比為 960 公里/小時,相當於 16 公里/分鐘,因此計算結果為:

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64=16×2N

N=2且N>16M,經過計算可知,M為 1/8 公里,相當於 125 公尺。

也就是說,若匹茲堡的警察們,比照康威所提供的方法,每 125 公尺就設置一個路障,待 John 到下一點時,再從對應到的水平線距離兩端繼續往內圍,如此一來,John 勢必將被團團圍住在封鎖域中,無法逃之夭夭!

雖然電影的最後,John 當然是突破重圍歷經難關,帶著妻兒離開了美國展開新生活,但是若有下一位逃犯,我們想匹茲堡的警察一定能將我們所提供的封鎖域策略派上用場的。

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當 John 向連恩尼遜請教逃獄方法時,連恩尼遜最後問 John,在著手準備逃獄前,比所有方法都還更重要的是,你真的覺得自己做得到嗎?

看似不可能圍住天使的惡魔,原來也能圍住比自己擁有還要強大許多力量的天使;看似不可能在短短時間內就將 10000 平方公里大的都會區圍得密不透風,經過我們的推理計算,原來也有絕佳的保證策略能夠達成目標;看似不可能做出瘋狂逃獄計畫的溫和大學教授,為了愛為了自由,甚至為了正義,在 John 的轉變中,我們看著他一步步,將不可能轉化為可能。

只要我們相信,我們做得到。

引注資料[1]: John H. Conway (1996). The Angel Problem.

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Intel® Core™ Ultra AI 處理器:下一代晶片的革命性進展
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/21 ・2364字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 Intel 委託,泛科學企劃執行。 

在當今快節奏的數位時代,對於處理器性能的需求已經不再僅僅停留在日常應用上。從遊戲到學術,從設計到內容創作,各行各業都需要更快速、更高效的運算能力,而人工智慧(AI)的蓬勃發展更是推動了這一需求的急劇增長。在這樣的背景下,Intel 推出了一款極具潛力的處理器—— Intel® Core™ Ultra,該處理器不僅滿足了對於高性能的追求,更為使用者提供了運行 AI 模型的全新體驗。

先進製程:效能飛躍提升

現在的晶片已不是單純的 CPU 或是 GPU,而是混合在一起。為了延續摩爾定律,也就是讓相同面積的晶片每過 18 個月,效能就提升一倍的目標,整個半導體產業正朝兩個不同方向努力。

其中之一是追求更先進的技術,發展出更小奈米的製程節點,做出體積更小的電晶體。常見的方法包含:引進極紫外光 ( EUV ) 曝光機,來刻出更小的電晶體。又或是從材料結構下手,發展不同構造的電晶體,例如鰭式場效電晶體 ( FinFET )、環繞式閘極 ( GAAFET ) 電晶體及互補式場效電晶體 ( CFET ),讓電晶體可以更小、更快。這種持續挑戰物理極限的方式稱為深度摩爾定律——More Moore。

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另一種則是將含有數億個電晶體的密集晶片重新排列。就像人口密集的都會區都逐漸轉向「垂直城市」的發展模式。對晶片來說,雖然每個電晶體的大小還是一樣大,但是重新排列以後,不僅單位面積上可以堆疊更多的半導體電路,還能縮短這些區塊間資訊傳遞的時間,提升晶片的效能。這種透過晶片設計提高效能的方法,則稱為超越摩爾定律——More than Moore。

而 Intel® Core™ Ultra 處理器便是具備兩者優點的結晶。

圖/PanSci

Tile 架構:釋放多核心潛能

在超越摩爾定律方面,Intel® Core™ Ultra 處理器以其獨特的 Tile 架構而聞名,將 CPU、GPU、以及 AI 加速器(NPU)等不同單元分開,使得這些單元可以根據需求靈活啟用、停用,從而提高了能源效率。這一設計使得處理器可以更好地應對多任務處理,從日常應用到專業任務,都能夠以更高效的方式運行。

CPU Tile 採用了 Intel 最新的 4 奈米製程和 EUV 曝光技術,將鰭式電晶體 FinFET 中的像是魚鰭般阻擋漏電流的鰭片構造減少至三片,降低延遲與功耗,使效能提升了 20%,讓使用者可以更加流暢地執行各種應用程序,提高工作效率。

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鰭式電晶體 FinFET。圖/Intel

Foveros 3D 封裝技術:高效數據傳輸

2017 年,Intel 開發出了新的封裝技術 EMIB 嵌入式多晶片互聯橋,這種封裝技術在各個 Tile 的裸晶之間,搭建了一座「矽橋 ( Silicon Bridge ) 」,達成晶片的橫向連接。

圖/Intel

而 Foveros 3D 封裝技術是基於 EMIB 更進一步改良的封裝技術,它能將處理器、記憶體、IO 單元上下堆疊,垂直方向利用導線串聯,橫向則使用 EMIB 連接,提供高頻寬低延遲的數據傳輸。這種創新的封裝技術不僅使得處理器的整體尺寸更小,更提高了散熱效能,使得處理器可以長期高效運行。

運行 AI 模型的專用筆電——MSI Stealth 16 AI Studio

除了傳統的 CPU 和 GPU 之外,Intel® Core™ Ultra 處理器還整合了多種專用單元,專門用於在本機端高效運行 AI 模型。這使得使用者可以在不連接雲端的情況下,依然可以快速準確地運行各種複雜的 AI 算法,保護了數據隱私,同時節省了連接雲端算力的成本。

MSI 最新推出的筆電 Stealth 16 AI Studio ,搭載了最新的 Intel Core™ Ultra 9 處理器,是一款極具魅力的產品。不僅適合遊戲娛樂,其外觀設計結合了落質感外型與卓越效能,使得使用者在使用時能感受到高品質的工藝。鎂鋁合金質感的沉穩機身設計,僅重 1.99kg,厚度僅有 19.95mm,輕薄便攜,適合需要每天通勤的上班族,與在咖啡廳尋找靈感的創作者。

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除了外觀設計之外, Stealth 16 AI Studio 也擁有出色的散熱性能。搭載了 Cooler Boost 5 強效散熱技術,能夠有效排除廢熱,保持長時間穩定高效能表現。良好的散熱表現不僅能夠確保處理器的效能得到充分發揮,還能幫助使用者在長時間使用下的保持舒適性和穩定性。

Stealth 16 AI Studio 的 Intel Core™ Ultra 處理器,其性能更是一大亮點。除了傳統的 CPU 和 GPU 之外,Intel Core™ Ultra 處理器還整合了多種專用單元,專門針對在本機端高效運行 AI 模型的需求。內建專為加速AI應用而設計的 NPU,更提供強大的效能表現,有助於提升效率並保持長時間的續航力。讓使用者可以在不連接雲端的情況下,依然可以快速準確地運行各種複雜的 AI 算法,保護了數據隱私,同時也節省了連接雲端算力的成本。

軟體方面,Intel 與眾多軟體開發商合作,針對 Intel 架構做了特別最佳化。與 Adobe 等軟體的合作使得使用者在處理影像、圖像等多媒體內容時,能夠以更高效的方式運行 AI 算法,大幅提高創作效率。獨家微星AI 智慧引擎能針對使用情境並自動調整硬體設定,以實現最佳效能表現。再加上獨家 AI Artist,更進一步提升使用者體驗,直接輕鬆生成豐富圖像,實現了更便捷的內容創作。

此外 Intel 也與眾多軟體開發商合作,針對 Intel 架構做了特別最佳化,讓 Intel® Core™ Ultra處理器將AI加速能力充分發揮。例如,與 Adobe 等軟體使得使用者可以在處理影像、圖像等多媒體內容時,能夠以更高效的方式運行 AI 算法,大幅提高創作效率。為各行專業人士提供了更加多元、便捷的工具,成為工作中的一大助力。

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《跟孫臏比一場賽馬吧!》——2018數感盃 / 高中組專題報導類第二名
PanSci_96
・2018/04/13 ・3110字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 570 ・九年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2018數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

圖/Bhakti2@pixabay

  • 作者:謝亞彤、林芳緯/竹科實中

「賽局」這個名詞已頻繁的出現在我們生活中,學者們將人類的互動科學化後,成為了有趣的賽局理論,廣泛的運用在日常生活中。但早在 1944 年數學家馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根斯特恩合作著述《賽局理論與經濟行為》前,西元前四世紀的中國,著名的軍事家孫臏就已運用賽局理論讓自己在紛亂的戰國時期嶄露頭角了!

話說可憐的孫臏被同窗龐涓陷害,龐涓仗著自己是魏國大將軍砍斷了孫臏的雙腳又在他臉上刺字,如此侮辱人又不乾脆的痛下殺手,日後對方必定會加倍奉還的。果然天無絕人之路,一日齊國使者出使魏國首都大梁,孫臏以刑徒的身分秘密拜見使者,以自己三寸不爛之舌的功力讓使者偷偷把自己運回齊國,並得到齊國將軍田忌的賞識,待孫臏如上賓。不久《史記孫子吳起列傳》中所記載家喻戶曉的「田忌賽馬」正式展開:

忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠,馬有上、中、下輩。

齊國的大將軍田忌很喜歡賽馬,並時常與齊國眾多公子賽馬。有一次,他決定挑戰齊威王的馬匹。他們商量好,將各自的馬分成上,中,下三等。比賽的時候,雙方以上馬對上馬,中馬對中馬,下馬對下馬。

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在這裡我們不用任何公式就能百分之百證明田忌會輸,齊威王與諸公子每一個等級的馬都要比田忌的還強,因為他們是貴族諸侯,區區一個將軍如何與他們匹敵?(當然,如果兩方實力不分軒輊也不用賽馬了,田忌大概早因功高震主被做掉了。)

如表(一)所示,田忌不出讀者所料的屢戰屢敗。正當他覺得掃興時,他的幕僚孫臏向他走來(等等,他的腳不是斷了嗎?)。孫臏在經過前一場比賽的觀察後胸有成竹的向田忌打包票:「大人您儘管下注,臣必讓您取得最終的勝利!」

田忌縱使疑惑但為了面子為了錢依舊加碼他的賭金,而齊威王屢戰屢勝,正在興頭,看到田忌不服輸的舉動,也霸氣的命令部下把前幾次贏得的銀錢全部抬來,還額外押了一千兩黃金。齊威王輕蔑地說:「那就開始吧!」一聲鑼響,比賽開始了!

孫子曰:「今以君之下駟與彼上駟,取君上駟與彼中駟,取君中駟與彼下駟。」既馳三輩畢,而田忌一不勝而再勝,卒得王千金。

鑼聲鏜鏜響,田忌的心蹦蹦跳。第一局孫臏先以下等馬對齊威王的上等馬,結果田忌又輸了。齊威王站起來嘲諷的說:「經過前幾次的慘敗,將軍你還學不到教訓嗎?」田忌沒有答應。(實在不是因為要故作姿態,而是他的心現在正為了賠輸的錢淌血阿!)接著進行的第二場比賽,孫臏拿上馬對齊威王的中馬,終於獲勝了一局,這時齊威王開始面露緊張了。最後一局比賽,孫臏拿中馬對齊威王的下馬,又戰勝了一局。這下,齊威王簡直不可置信,田忌竟然以同樣的馬匹,三戰兩勝贏了齊威王!如表(二)所示,比賽結果大挫齊威王的傲氣。

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田忌與齊威王的賽馬屬於賽局論(Game Theory)中的非合作賽局(Non-cooperative Game),即人們在利益相互影響的局勢中會如何制定策略使自己的收益最大。在表格中,賭金轉換成一分,因為在嚴格公平的競爭下,一方的損失也就是對方的得利,這種賽局往往是有輸有贏拚得你死我活,所以雙方玩家不可能存在合作的可能,而他們的收益與損失的總和永遠為「零」。

因此我們將孫臏幫助田忌的比賽結果轉換為下表(三):

表格中的(x,y),x表示田忌的勝負,y表示齊威王的勝負。-1 與 1 則分別代表敗與勝的報酬。田忌獲勝的情形有三種,分別是上對中、上對下、中對下,但同一局(三場)比賽中不能派出兩次上馬,因此本賽局對田忌的最佳策略,就為下對上、上對中、中對下。

孫臏能選擇正確的出賽馬匹順序為 1/3×1/2×1/1=1/6 但又因為齊威王是按原先規定以上中下的次序派馬匹,因此獲勝機率就變成1了。(所以故事中田忌能輕鬆取勝,都要歸功於齊威王是遵守規定的乖寶寶真君子!?)

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這場賽馬又可稱為靜態賽局(Static Game),也就是齊威王與田忌同時採取行動,或者說,雖然不同時但後行動的人不能改變原有的出場順序,即使知道對方的出場序也不能改變自己的。)

假如今天除了孫臏知己知彼,而齊威王也知道田忌的幕僚中有孫臏這麼厲害的角色,那齊威王也可以與孫臏一樣顛覆規則,摒棄原本上中下的出場次序。這種賽局即稱為動態賽局(Dynamic Game),也就是兩人都能在對方行動後立即應變。如表(四)所示。(1,-1)、(-1,1)的含意與表(三)相同,而(-3,3)為田忌三場連敗之意。

在更複雜的完全訊息動態賽局中,田忌的勝率為 6/36=1/6

 

如果有一天,齊威王與田忌雙雙來到現代,上演一場跨時代的穿越戀愛劇(喂!你們拿錯劇本了!)進行一場 Bromance 的賽馬,按照現今盛行賽馬的香港賽馬會規則,馬匹分成五等,意思是要比五場。假設五場出賽馬匹次序如故事一樣能隨意替換,那田忌獲勝的機率會是多少?

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首先依據馬匹由強到弱以 1~5 表示,若號碼相同則齊威王勝,會有 5!× 5!=14400 種的出賽馬匹組合順序。若已知齊威王派出順序為(1,2,3,4,5)的馬匹出賽,則田忌可派出(1,5,2,3,4)、(2,1,5,3,4)……等 27 組順序的馬匹出賽以贏得勝利。依此推類,在 14400 種馬匹出賽組合中,田忌總共有 27×5!=3240 種組合可贏得勝利,勝率為 3240/14400=9/40

對孫臏來說,算出的勝率 9/40 大於原先賽三匹馬的 1/6,我們或許可以預測如果孫臏穿越時空來到現代,他也會是賽馬場的常勝軍!

時序來到三國時期,天下奇才諸葛丞相也有與孫臏同樣的見解(真是英雄所見略同),還特別指出孫臏的賽馬說實為兵說也。

諸葛亮在《權書·強弱》中接著說:「下下之不足以與其上也,吾既知之矣,吾既棄之矣。中之不足以與吾上,下之不足以與吾中,吾不既再勝矣乎?」諸葛亮深諳權衡之計,唯有放棄小利,才能保全大局,贏得最終的勝利。「得之多於棄也,吾斯從之矣。彼其上之有三權也,三權也者,以一權而致三者也。」所以藉著這一場賽馬,孫臏要告訴齊威王的不只是單純的賽馬而已,更是領軍致勝之道,齊威王能領略這種高深的寓意也不是泛泛之輩,齊國而後能稱王於中原,自齊威王始也。

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這場歷史性的賽馬,大概是孫臏最為人津津樂道的趣事了(人們總是喜歡看弱勢的一方運用謀略反敗為勝阿!),不僅讓他能獲得重用,其後他也才得以名顯天下,世傳其兵法,成為中國軍事史上耀眼的星子。(也讓現今莘莘學子得到一個研究題材)

在現實生活中,我們也能藉著跳脫慣性思維,嘗試考慮對方各種可能的行動方案,並選擇對自己最有利或最合理的策略(廢話,沒有人喜歡虧損,但正因為沒有人不會虧損,所以更加凸顯賽局分析的重要性),如此下回賭博時我們也能親自實踐孫臏的機智贏得更多錢

參考資料:

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2010 年上映的電影《關鍵救援 72 小時》,由羅素克洛(Russell Crowe)飾演的男主角 John,為了拯救被無辜關入大牢中的愛妻,從一位文質彬彬、溫和善良的大學教授,想出了劫獄的計畫,只因為他始終相信自己心愛的妻子是被冤枉的!原本有點懦弱的 John,開始著手準備計畫逃亡路線,籌措資金,觀察監獄地形。一開始他將自己上網看影片學做來打開監獄大鎖的陽春鑰匙,因為緊張到發抖而折彎,他跟黑幫混混們打交道,卻被打得渾身是傷,但後來他漸漸的轉變,他誤殺了幾個人,搶了錢,但他知道這些都是為了自由與愛。看著 John 的轉變,以及善良與使命的矛盾內心戲,更是將電影一次又一次的推到高潮!其中重要的一個片段,就是 John 第一次開始著手準備劫獄計畫,向由連恩尼遜飾演的有名逃獄專家請教逃獄時該注意的事項了!

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首先我們得知道匹茲堡到底有多大,經過查詢資料,匹茲堡所在的都會區約為 10000 平方公里,以此為圓面積所做出來的圓,半徑為 56.42 公里。(在此取56以方便計算)而封鎖域的總長度,也就是圓周長,則是 351.85 公里。假設以 John 出發的點為圓心,做一個半徑為 56 公里的圓,這就是警方的封鎖域。John從圓心到達封鎖域的邊界,最短距離為 56 公里。他必須在警方封鎖之前的 35 分鐘內逃出去遠走高飛,才不會被警察一槍斃命!因此 John 在不碰到任何建築物及阻礙物還有剛好天助般的都是綠燈,並且有條剛好就是半徑的馬路可以讓他在市區內盡情飆車的情況下,他的最大速率為 56 × (35/60)=96 公里/小時。

接著我們搜尋了匹茲堡的警力狀況,查詢匹茲堡警察局網站顯示目前約有 900 位警力,以 9 人為一小組,共有 100 組,而他們要在 35 分鐘內就將自己的轄區圍得天衣無縫!如此一來,一分鐘內總共得圍好 351.85÷35=10.05 公里,每一組則須完成 10公里÷100組=0.1 公里,也就是100公尺,一個人一分鐘則須圍好 11.1 公尺。若是像臺灣的凱達格蘭大道一樣,每次有重大事件總是用拒馬圍得密不透風,一分鐘把這麼重的拒馬和鐵欄擺好 11.1 公尺,實在是有點困難啊!

以 John 有最大速度 96 公里/小時,並且不外調人員,總共只有 900 位警力負責封鎖的狀況下,要能及時圍住整個封鎖域的範圍是極具挑戰性的。因此,我們開始思考是否有什麼策略,能提供警方一個在最短時間內,一定能圍住 John 的方法呢?

查詢了許多資料以後,我們找到了一篇提供我們策略構想的數學論文:The Angel Problem (引注資料[1]),由 John H.Conway(沒錯也是 John,但此 John 非彼男主角的 John)於 1996 年發表。這篇論文主要在研究天使問題,這是一個雙人遊戲,而遊戲規則是:

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在一個無限大的棋盤上,有一個惡魔跟一個天使,棋盤一開始是空的。開始遊戲後,天使在每一輪都可以移動最多 K 步(遊戲開始前先設定好的,稱之為天使的力量),在這 K 步中,橫的直的斜的都算一步,而且天使可以飛越過惡魔設置的路障,但是最後必須停留在沒有路障的格子內,而惡魔每一輪只可以選一個格子設置路障,但不能設在天使停留的那個格子。最後,如果天使無法再移動時,就代表惡魔贏了,相反的,如果天使可以無限的移動的話,則代表天使贏了。

康威在他的論文中,所假設的情境是:每次只能移動一格的惡魔,是否有機會可以困住天使的力量為 1000 的天使呢?這看起來是不可行的,但是康威提出了在一些假設的條件下,惡魔能夠以區區的一步,困住能飛 1000 步的天使!有趣的是,康威甚至在論文的最後,提出懸賞 1000 美金,給能夠找到證明惡魔可以困住力量為任意數(但不能為無限大)的天使的人!

我們運用了康威假設的其中一個情境的方法來發想,是否一樣能應用在警察和逃亡中的 John 這個情境中呢?

康威假設有個 Fool Angel,他只能不斷的往上飛,增加他的 y 座標,此時惡魔將會有必勝的方法圍住天使。天使的起始點為 P,由於不浪費步數,因此他的飛行範圍介於通過 P 點,兩條斜率為 ±1/1000 的邊界內。則惡魔的必勝策略為:圍住一條與起始點足夠大距離(H=1000×2N) 的邊 AB ,並在開始時每 M格放一路障,在天使達到距 AB邊 1/2H 距離的點Q 時,惡魔已經完成在 AB 以 M 為間隔的路障擺設。當天使在點 Q 時, CD邊正好是 AB邊的一半,而同樣的惡魔也在 CD 邊上,每 M 格放一路障,當天使抵達了距離 AB 邊 1/4H 距離的點R 時,惡魔已完成 CD 線段。如此一來,當天使飛到了距離 AB 邊 H’=2-MH 距離的點時,惡魔已經在AB 線段上的每一格放滿了路障。若 H為 1000×2N,1000 為天使和惡魔的速度比值,且 N>1000M,則在天使跨越距離 AB線段 1000單位距離時,惡魔早已在這條水平線和 AB 線段間的任何天使有可能到達的格子內,放滿了路障!

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有了康威的天使遊戲做為參考,在我們所設定的情境裡,H 為警方封鎖域的半徑 56 公里。我們可以將天使的力量想像為 John 的最大速率 96公里/小時,惡魔可以走的步數則是警察每分鐘的封路速度 0.1公里/小時。代入康威所提供的算式 H=1000×2N 中,我們姑且將 56 公里取為 2 的整數次方倍 64 公里較方便計算,John 和警察的速率比為 960 公里/小時,相當於 16 公里/分鐘,因此計算結果為:

64=16×2N

N=2且N>16M,經過計算可知,M為 1/8 公里,相當於 125 公尺。

也就是說,若匹茲堡的警察們,比照康威所提供的方法,每 125 公尺就設置一個路障,待 John 到下一點時,再從對應到的水平線距離兩端繼續往內圍,如此一來,John 勢必將被團團圍住在封鎖域中,無法逃之夭夭!

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雖然電影的最後,John 當然是突破重圍歷經難關,帶著妻兒離開了美國展開新生活,但是若有下一位逃犯,我們想匹茲堡的警察一定能將我們所提供的封鎖域策略派上用場的。

當 John 向連恩尼遜請教逃獄方法時,連恩尼遜最後問 John,在著手準備逃獄前,比所有方法都還更重要的是,你真的覺得自己做得到嗎?

看似不可能圍住天使的惡魔,原來也能圍住比自己擁有還要強大許多力量的天使;看似不可能在短短時間內就將 10000 平方公里大的都會區圍得密不透風,經過我們的推理計算,原來也有絕佳的保證策略能夠達成目標;看似不可能做出瘋狂逃獄計畫的溫和大學教授,為了愛為了自由,甚至為了正義,在 John 的轉變中,我們看著他一步步,將不可能轉化為可能。

只要我們相信,我們做得到。

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引注資料[1]: John H. Conway (1996). The Angel Problem.

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《黃昏之時,三葉的名字——由數學來守護》——2018數感盃 / 高中組專題報導類第三名
PanSci_96
・2018/04/13 ・3515字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 541 ・八年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2018數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

圖/imdb

  • 作者:楊子毅、吳冠宏/高雄市新莊高中

一、 研究緣起

「瀧、瀧」
聲音彷彿快要哭出來般急切,宛若遠處閃爍的星星般寂寞而顫抖。
──《你的名字》,小說,第 12 頁

從夢境中醒來,幽闃裡彷彿迴盪著一個孱弱的女聲,一次次呼喊著「瀧」,隨著簾後的暮光漸次逸散。今天下午第八次重看新海誠導演 2016 年所推出的動畫電影《你的名字》,簡直以為自己也和其中角色靈魂互換了……「黃昏之時啊,分身之時」。

難以忘懷那一幕:宮水三葉手持油性筆,正欲在立花瀧手心寫下名字時,夜晚降臨,「喀噠」一聲,筆掉落在地,三葉消失了;瀧腦海中關於三葉的記憶亦被不知名的力量一把抹去。 神秘的黃昏之時,在影片中不到短短的三分鐘,不禁令我們陷入長考:黃昏之時究竟有多長呢?能否以數學運算出其時間長短,讓相差三年時空的瀧和三葉,得以把握每一分秒,敘舊、 談心、想未來?如果可以再多個一分鐘,讓三葉寫完名字……

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「……本來想告訴妳……」
「不論妳在世界上的哪一個角落,我一定會再去見妳。」
──《你的名字》,小說,第 202 頁

二、 文本回顧

於本章節,筆者先說明電影中的相關設定,諸如宮水一家的巫女體質、組扭編織、口嚼酒等,期以彰顯「黃昏之時」的重要性。

(一)宮水一家的巫女體質

在糸守小鎮的宮水一家,其巫女血統讓她們得以和另一個時空的人互換靈魂。此事來得突然,居住在東京的男高中生─瀧,一日驚醒,赫然發現自己變成名為三葉的女高中生!乍看又是一則時空穿越的窠臼,新海誠卻能賦予深意於這段奇異歷程:糸守小鎮即將被彗星摧毀,三葉和瀧必須及時通知居民避難,方能保全大家性命。

(二)組扭編織、口嚼酒

過去的一場大火導致古代文書付之一炬,故糸守的傳統文化組扭編織、口嚼酒等,均徒具形式,後人並不知悉其中真義。所謂「組扭編織」是把多種繽紛的細線纏繞成一條繩子, 完成後呈現各種圖案。而此條費時費工編織成的「組扭」,三葉先以其為髮帶,爾後轉贈瀧,瀧則將其綁於手腕作為幸運繩;此繩可謂兩人相遇相知的憑證與羈絆。外婆如此說道,把線連結在一起是「結」,把人連在一起也是「結」,時間的流動亦同,此為神明的名字和力量; 組扭編織亦是神明的技術,展現出時間的流動。此不僅深化組扭的意涵,亦優美詮釋出抽象的時間觀念。

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而口嚼酒是三葉與瀧得以相見的關鍵之一。何也?外婆說道:「不論水、米或酒,只要是把食物放入身體的行為,也叫做『結』。因為進入身體的食物會和靈魂連在一起。」(p.88)瀧亦被告知此口嚼酒為三葉之「半身」,意即靈魂的一部份;因此,儘管三葉已死亡三年,當瀧飲下三葉的口嚼酒,即能與三葉再次進行暌違已久的靈魂互換。

(三)黃昏之時

文本中提及「黃昏之時」又稱「分身之時」,言簡意賅地埋下絕佳伏筆。日語中「彼何人(tasokare)」為「黃昏(tasogare)時分」的語源;由於傍晚非屬晝夜,兼以人的輪廓變得模糊、無從辨識,於此時可能遇到妖魔或死者,故亦可稱「逢魔時刻」。此外,文本中亦說明,於糸守小鎮,當提及「傍晚」,「分身之時」是最常聽聞的說法。由此可以推測,新海誠意圖結合「逢魔時刻」和「分身之時」二說,讓三葉與瀧終得相會於黃昏之時。

三、探究分析

根據民用黃昏的定義(註一),黃昏時間由太陽落到地平線以下(太陽仰角0°)開始計算,結束於太陽位在地平線下方 6°(即太陽仰角 -6°)。然而,當人們位於地球表面不同位置 時,太陽的仰角要如何計算呢?

由於地球自轉之緣故,人在地球表面觀測太陽,可得太陽沿著赤道或緯圈面做相對運動, 亦即,假設以地球為中心(圖一中深藍小球),以人的視角看太陽每日的運動軌跡,可視為 太陽每日環繞地球一圈,以圖一中大球上的橘色圓圈為太陽某日期環繞地球的軌道,太陽在一年內的不同季節(日期)直射地球的不同緯度,最北為夏至時太陽直射北回歸線,最南則為冬至時直射南回歸線,如圖一。

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假設太陽環繞地球的軌道為圓形(不考慮遠日點和近日點之影響),日地距離為 1AU, θ1為太陽一年內某日期直射之緯度(本文定義北緯緯度為正角,南緯緯度為負角),太陽軌道位於平面 z=sinθ1上,軌道半徑為 cosθ1,因此太陽軌道方程式為

\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=cos^2\theta_{1}\\z=sin\theta_{1}
\end{matrix}\right.\)

再假設單日內太陽與軌道圓心連線掃過的角度為太陽的方位角θ2(如圖二)

而方位角 360° 對應 24 小時,亦即方位角每轉動 15°,意味著時間經過一小時。由以下條件可得太陽的位置為

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(cosθ1cosθ2,cosθ1sinθ2,sinθ1)

考慮觀測者所在之地平面,如圖三

假設觀測者所在緯度為θ3,無論觀測者所在之經度為何,其同日太陽軌道皆相同,為方便討論,不妨假設觀測者 x 座標為 0,則觀測者位置坐標為

(0,Rcosθ3,Rsinθ3)

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因此地平面之法向量可為

(0,cosθ3,sinθ3)

而地平面方程式為

(cosθ3)y+(sinθ3)z = R(地球半徑)

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利用地平面法向量與太陽的位置向量求得太陽仰角之餘角(註二),即可得仰角,如圖四所示:

電影場景中,兩人見面日期為 10 月 4 日,當日太陽直射緯度 θ3= -5.3°,見面地點是日本岐阜縣飛驒市,所在緯度θ3,約為 36.23°,令方程式(1)中 α=y,θ2=x,繪製函數圖形如圖五

 

觀察太陽仰角與時間的關係,取出圖五中代表太陽仰角0°為的方位角θ2= 176.103,代表太陽仰角為-6° 的方位角θ2=183.564°,因此太陽在軌道平面上轉動方位角

(183.564-176.103)° = 7.461°

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轉換成時間就是 \(7.461^{\circ}\times\frac{24 hr}{360^{\circ}}=0.479(hr)\doteqdot 29 (min)\)

在當日當時當地,黃昏之時只有短短的 29 分鐘,以致於三葉無法及時寫完名字,令人喟然,可不可以再延長一分鐘呢?

在文本中,三葉曾經抱怨糸守當地日照時間短,那麼,如果能移動到其他日照時間長之處,黃昏之時是否就能增加?運用相同方法計算同日期(10 月 4 日)各緯度黃昏時長,得表一如下。

觀察表一,我們發現日照短的高緯度地區,黃昏之時反而較久!為什麼呢?

由圖六圖七可知,高緯度地區黃昏起迄點的割線斜率絕對值 |m|較低緯度小

\begin{equation}\left| m \right |=\left|\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right|=\left|\frac{**}{\Delta \theta_2} \right|\end{equation}

**為仰角變化量

由於仰角變化量相同,所以|m| 與方位角變化量 Δθ2 成反比,因高緯度之|m|較低緯度小,故高緯度的 Δθ較低緯度大,以致黃昏時距較長,所以瀧跟三葉如欲增加一分鐘的見面時間, 必須移至北緯 39 度之處(如岩手縣),然而兩地相距 268 公里,即使搭乘時速 200 公里的民用直升機也需費時 78 分鐘!真是令人遺憾,「多一分鐘」礙於現實而無法達成。

四、結論與建議

「黃昏之時」有 29 分鐘,應足夠讓兩人寫完名字;但接下來會出現一個問題:瀧寫的不是名字,而是「我喜歡妳」。那麼,即使黃昏之時再久,三葉依舊無法得知瀧的名字。為什麼瀧要這麼做呢?

這是因為,三葉不知道自己比瀧的時空早了三年,當她特地前往東京尋找瀧時,瀧冷淡的反應讓她心碎不已。爾後,瀧透過三葉的身體記憶,明白其心路歷程,因此他決定,這一次,換他不論天涯海角地尋覓三葉;就算她忘記他也無妨,只要她活下來、記得他的心意即可。所以,瀧想單方面獲得三葉的名字,這是一種守護的心情;其中關鍵,在於一定要算好 「黃昏之時」的長短,太早寫,情境不對味且有被發現之虞。對瀧而言,最完美的設想是,三葉寫完名字之後剛好消失;所以算出這 29 分鐘,著實意義非凡。瀧要拯救的不只是系守, 他真正最想做的是守護三葉,包含生命和心。

因此我們建議,瀧可以用前 26 分鐘,敘舊、談心、想未來,留 3 分鐘提議寫名字:1 分鐘偷寫告白,1 分鐘讓三葉寫名字,1 分鐘當作緩衝;如果沒事做,就執起三葉之手、淚眼相對(她不要偷看手心即可),以上。

———————————————————————————————————————-

註一 本文採用民用黃昏定義(civil twilight)
http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/RST_defs.php

註二 由內積的定義,\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos(X)\) (X為兩項量的夾角)
移項之後可得 \(\cos(X)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}\)

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