拉普拉斯誕辰 │ 科學史上的今天：3/23

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

每天都要風險評估

我們的現代生活是由一連串決定所組成，要根據各種可能的結果進行評估。我們的每一天都必須經過風險分析才能順利度過。

今天的降雨機率是 28%，我要不要帶雨傘？

報紙上說，吃培根會讓罹患腸癌的機率增加 20%，那我該戒掉培根三明治嗎？

考慮到發生事故的風險，我的汽車保險費會不會太高？

我買樂透彩券有什麼用呢？

玩桌遊的時候，我接下來擲出的點數讓我排名下降的機會有多少？

許多職業都要算出機會才能做關鍵決定。某支股票上漲或下跌的機會有多大？

如果有DNA證據，被告就有罪嗎？

病人要不要擔心偽陽性的篩檢結果？

足球選手在罰球時應該踢向哪裡？

越過不確定的世界是一項充滿挑戰的任務，但找出一條穿過迷霧的路並非不可能。數學已經發展出強大的捷徑，幫助我們處理從遊戲到健康、從賭博到理財投資的一切不確定性，那就是「機率的數學」。

擲骰子是通往機率的捷徑

若想探索這條捷徑的本領，擲骰子是最佳方法之一。

本章開頭的題目，曾讓十七世紀的著名日記作者皮普斯（Samuel Pepys）坐立不安。

皮普斯著迷於機率遊戲，但他不會隨便拿辛苦賺來的錢當作擲骰子的賭注，他總是很謹慎。皮普斯在 1668 年 1 月 1 日的日記寫道，正要從劇院回家時撞見「骯髒的學徒和無所事事之人在賭博」，回想起孩提時僕人帶他去看人試圖擲骰子贏錢的情景。

皮普斯記下自己看到「一個人向另一個人拿走所輸的錢，反應大不相同，有一人不停罵髒話，另一人只是喃喃自語和發牢騷，還有一人絲毫沒有明顯的不滿」。

他的朋友布里斯班德（Brisband）先生提議，給他十枚硬幣試試運氣，還說「大家都知道從來沒有人第一次玩會輸，因為魔鬼太狡猾了，不會勸阻賭徒」。但皮普斯拒絕了，躲回他的房間。

皮普斯小時候看到賭博時，還沒有什麼捷徑能讓他比別人有優勢。但在他從青少年到成年的歲月裡，一切已經有了改變，因為海峽對岸有兩位數學家，費馬和巴斯卡，提出一種新的思考方式，透過這條深具潛力的捷徑，應該能讓賭徒賺錢，不然至少是少輸些錢。

皮普斯可能還未聽說費馬和巴斯卡已取得重大進展，把魔鬼手中的骰子努力搶到數學家手上。如今，從拉斯維加斯到澳門，費馬和巴斯卡開創的機率數學讓世界各地的賭場得以經營下去──犧牲者是來賭錢的無所事事之人。

發生的機會有多大？

費馬和巴斯卡之所以會想出捷徑，是因為他們聽到某個跟皮普斯所想類似的難題，然後受到啟發。

與兩人都相識的梅雷騎士（Chevalier de Méré）想要知道把賭注下在以下哪一個比較好：

• (A) 擲一顆骰子 4 次後，擲出六點。
• (B) 連續擲兩顆骰子 24 次後，擲出雙六。

這位騎士實際上不具有騎士的貴族身分，他是一名學者，名叫龔博（Antoine Gombaud），他喜歡在對話作品中用這個頭銜代表自己的觀點。然而，這個頭銜沿用了下來，他的朋友們開始稱他為騎士。他選擇走遠路，做一大堆實驗，拿骰子擲了一遍又一遍，試圖解決這個骰子難題，但一直沒有確定的結果。

於是龔博決定把這問題帶到一個由耶穌會士舉辦的沙龍，修士名叫梅森（Marin Mersenne），地點則是他在修道院的小房間。梅森有點像是當時巴黎的知識活動中心，他把收到的有趣問題寄給他認為可能會有高明見解的其他通信者。

說到龔博的難題，他毫無疑問寄到了很好的人選手中，費馬和巴斯卡的答覆確立了本章要談的捷徑：機率論（theory of probability）。

機率論真的能幫龔博贏錢嗎？

毫不意外的，走遠路其實並沒有幫龔博判定選哪一個賭注最有可能贏錢。費馬和巴斯卡把他們的機率新捷徑應用到骰子上，就發現選項 A 的發生機率是 52%，而選項 B 的發生機率為 49%。

如果賭骰子 100 次，隨機過程中存在的誤差會輕易掩蓋這種差異，也許要等差不多賭 1,000 次之後，真正的模式才會浮現。這就是為什麼這個捷徑會如此強大──它避免你一定得做很多苦力，反覆實驗，畢竟實驗結果搞不好還會讓你對問題理解錯誤。

長期執行才有可能取得優勢

費馬和巴斯卡提出的捷徑有個特質很有趣，它長期下來才會真正幫你取得優勢。它不是幫忙賭徒在任何一次賭博中贏錢的捷徑，那仍然要碰碰運氣。但長期下來，情況就大不相同，這也解釋了為什麼它對賭場來說是好消息，然而對遊手好閒、巴望擲一次骰子就輕鬆賺到錢的賭徒來說，卻不是什麼好消息。

鏡頭回到倫敦。皮普斯寫下他在走路回家的途中，看賭徒設法擲出七點看得津津有味：

「聽到他們罵手氣怎麼這麼差，但沒什麼用，因為有個男子想要擲出七，但擲了很多次都擲不出，絕望透頂，嚷嚷說以後打死也不會再擲出七，而其他的人手氣很好，幾乎每次都擲出七。」

這個人的手氣是不是特別背，連一次七點也擲不出來？費馬和巴斯卡提出的策略，是用來算出以兩顆骰子擲出特定點數和的機會有多大，要先分析可能擲出的各種點數，然後看點數和為七的情形發生的比例。第一顆骰子可能擲出 6 種點數，加上第二顆骰子也有 6 種點數，總共就有 36 種不同的點數組合。在這些組合當中，有 6 種的點數和是七：

1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2、6 + 1

他們認為，假如每種組合發生的可能性一樣大，那麼 36 次當中就會有 6 次擲出七。這實際上是擲兩顆骰子時最有可能出現的點數和，但沒有擲出七的機會仍有六分之五。考慮到機率問題，皮普斯所看到的那位對擲了很多次骰子都沒出現七點感到如此絕望的紳士，手氣到底有多差？

骰不出 7 到底是不是因為手氣特別爛？

他擲了 4 次骰子都沒擲出七的機會有多大？把所有不同的情形都列出來，看起來相當嚇人，因為總共有 364 =1,679,616 種結果。但費馬和巴斯卡伸出援手了，因為有捷徑。要算出 4 次都沒擲出七點的機會，只須把每次擲骰子的機率相乘：5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 0.48。這表示連續 4 次沒有擲出七點的機會仍大約有二分之一。

相反的，這表示兩顆骰子擲 4 次之後，有一半的機會出現七點。同樣的分析可證明，一顆骰子擲 4 次後出現六點的機會也是一半一半。因此，皮普斯看到那個紳士擲 4 次骰子都沒出現七，不是什麼出人意料的事，就像丟一次硬幣的結果不是正面一樣。

在玩很多像西洋雙陸棋或《地產大亨》這樣要擲骰子的遊戲時，你可以把「最有可能擲出七」轉化成對自己有利的條件。

舉例來說，坐牢是《地產大亨》棋盤上最常造訪的格子，再加上兩顆骰子可能點數和的分析結果，就意味許多玩家在走到坐牢這格之後，下一步會走到橘色房地產區的次數比其他格子還要多。所以你如果可以搶先在橘色區買地，在上面蓋旅館，就會讓自己在遊戲中更勝一籌。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 作者 / 楊建鄴

我們已經改造了數學，下一步是改造物理學，再往下就是化學。──希爾伯特（David Hilbert，1862−1943）

1925 年到 1926 年，在物理學中出現了一件「怪事」，讓幾乎所有的物理學家都感到困惑。一件什麼樣的怪事呢？原來，當時世界上最頂尖的物理學家都在集中精力思考電子到底如何運動。他們都發現，想利用經典物理學的辦法去克服探索中的困難，無異於像唐．吉訶德用他那支破矛去攻擊堅實的磨坊一樣，是註定會落個頭破血流、遍體鱗傷的。一批年輕的物理學家如玻恩、海森堡、包立（Wolfgang Pauli，1900−1958，1945 年獲得諾貝爾物理學獎）等人，都越來越傾向於相信物理學的基礎必須從根本上改變，應該建立起一種新的力學，即「量子力學」。這個新的名詞是玻恩在 1924 年發表於德國《物理雜誌》上一篇文章中首次提出的。但量子力學到底是什麼樣的呢？當時誰也不清楚。

為了新力學的誕生，物理學家們真可謂廢寢忘食、嘔心瀝血。1925 年春天，兩位對量子力學將作出重大貢獻的物理學家都病倒了。一位是海森堡，另一位是薛丁格。海森堡被花粉折磨得無法工作，他的導師玻恩破例給他放了假，還建議他到地處北海的黑爾戈蘭島上去休息，那兒怪石嶙峋，大約不會有什麼花粉折磨他。恰好這時薛丁格也因肺病在阿爾卑斯山上寧靜的阿羅紮木村休養。一個在島上，一個在山上，都想遠離喧囂的城市，讓自己的頭腦清醒一下，以便再次投入緊張的思考。美國作家梭羅（H. D. Thoreau，1817−1862）說得好：太陽，風雨，夏天，冬天……大自然的不可描寫的純潔和恩惠，它們永遠提供這麼多的健康，這麼多的歡樂！

寧靜而清新的北海！寧靜而清新的阿爾卑斯山！它們不僅為兩位物理學家帶來了健康、歡樂，而且還奇異地誘發了他們的靈感，使他們的思想得到了昇華！於是，「奇蹟」降臨了。說是奇蹟，實在不誇張，因為他們兩人幾乎從完全對立的概念出發，得到了各自偉大的發現。兩人的發現在表現上完全對立，但又都能自洽地解釋微觀粒子的運動！

海森堡認為，量子的不連續性是最本質的現實，以這一思想為基點，他認為描述微觀粒子運動的力學，應該像愛因斯坦建立相對論那樣，以「可觀測量」作為基點，不可觀測的量如軌跡等，不予考慮。但是，牛頓力學一直是以考慮連續量為己任，用的是微積分；現在考慮的物件是不連續的量，那麼該使用什麼樣的數學工具才行呢？海森堡當時只有 24 歲，真可謂「明知山有虎，偏向虎山行」，「落在鬼手裡，不怕見閻王」！他決定自己去闖出一條路，尋找適當的數學形式和方法來描述微觀粒子運動。他的數學老師玻恩曾驚歎地說：這個外行雖然不知道適合他的用途的數學分支，可是一旦需要，他就能給自己創建適用的數學方法。這個外行該是多大的天才啊！

有一天晚上，他用自己發明的方法計算到凌晨 3 點鐘。奇蹟出現了！他發現自己很可能取得了突破性的進展。他後來回憶這天凌晨的激動情形時說：一天晚上，我就要確定能量表中的各項，也就是我們今天所說的能量矩陣，用的是現在人們會認為是很笨拙的計算方法。計算出來的第一項與能量守恆原理相當吻合。我十分興奮，而後我犯了一些計算錯誤。但後來在凌晨 3 點鐘的時候，計算的結果都能滿足能量守恆原理，於是，我不再懷疑我所計算的那種量子力學具有數學上的連貫性與一致性了。我感到極度驚訝，我已經透過原子現象的外表，看到了異常美麗的內部結構。當我想到大自然如此慷慨地將珍貴的數學結構展現在我眼前時，我幾乎陶醉了。我太興奮了，以致不能入睡。天剛濛濛亮，我就走到了這個島的南端，以前我一直嚮往著在這裡爬上一塊突出於大海之中的岩石。我現在沒有任何困難就攀登上去了，並等待著太陽的升起。

但是海森堡心中還有一個沒有解開的疑團，讓他「非常不安」。這是因為在他的數學方案中，將兩個可觀測量（如頻率、強度……）A 和 B 相乘時，A、B 不能交換，即 AB≠BA。這顯然與我們熟知的乘法交換律不符（如 2×3＝3×2），這點「異常」幾乎使海森堡喪失了信心。他沒有料到，正是 AB≠BA 中，潛藏著微觀世界中極為重要的一個規律。

幸虧後來玻恩知道了，並告訴海森堡他用的數學方法在數學中叫「矩陣代數」。於是在玻恩的幫助下，海森堡終於建立起微觀世界的力學──矩陣力學。

正在這時，又出了一件怪事。在阿爾卑斯山上日漸康復的薛丁格，在強調微觀粒子波動性（波動性強調的連續性！）的基礎上，提出了鼎鼎大名的「薛丁格方程式」。這是一個描述波動的微分方程式，借助於它薛丁格也成功地描述了微觀粒子的運動。由於波動方程式是物理學家十分熟悉的數學工具，而且薛丁格方程式強調的是連續性思想，這使得絕大部分物理學家感到欣慰、振奮，甚至認為物理學終於得救，從此不再需要那些不連續性的勞什子了！

1926 年春天，海森堡得知薛丁格的波動力學以後，極度震驚且困惑。為什麼兩人對同一事物的看法會如此不同呢？打個比方說，面對同一景色，在海森堡看來是險峰峭壁（量子躍遷）；而薛丁格看到的卻是起伏平緩的丘陵地（物質波）。其實這並不奇怪，正如中國著名詩人蘇軾在一首詩中所說：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。

可惜海森堡、玻恩以及薛丁格都未能參悟這種天機，卻各執一端，相互攻擊對方的理論。

海森堡寫信給薛丁格說：

「我越是思考你那理論的物理意義，我越感到對你的理論不滿，甚至感到厭惡。」

薛丁格也毫不留情地回敬說：

「我要是對你的理論不感到厭惡，至少會感到沮喪。」

當物理學界都感到莫衷一是、極度迷惘時，當薛丁格和海森堡兩人相互指責、爭論不休時，在哥廷根的希爾伯特卻頗有幾分得意地哈哈大笑起來，並且調侃地說：

「你們這些物理學家呀，誰讓你們不聽我的話？早聽了我的話，豈不省卻了如今這場麻煩嗎？」

玻恩和海森堡聽了這句話，不由倒吸幾口涼氣，而且後悔不迭；但其他人聽了卻莫名其妙，還以為希爾伯特又在裝神弄鬼，故作驚人之語。因為希爾伯特素有這種小愛好，說些沒來由的話讓人摸不著頭緒。

為什麼玻恩和海森堡兩人後悔不迭呢？原來當矩陣力學剛剛由海森堡提出來的時候，他們兩人曾專門向希爾伯特請教過有關矩陣代數運算方面的問題。希爾伯特是大數學家，曾對矩陣代數有過專門研究。他說：

「根據我的經驗，每當我在計算中遇到矩陣時，它們多半是作為波動微分方程式的特徵值出現的。因此，你們那個矩陣也應該對應一個波動方程式，你們如果找到了那個波動方程式，矩陣也許就很容易對付了。」

遺憾的是，這兩位物理學家都犯了一個致命的錯誤，那就是他們沒有認真聽取希爾伯特的勸告，去找出「那個波動方程式」，還以為希爾伯特根本不懂量子力學，在那兒胡說八道。結果，薛丁格找到了這個波動方程式，還得了諾貝爾物理學獎。如果他們兩人虛心一點，認真向希爾伯特深入討教一下，詳細瞭解一下希爾伯特的數學思想，那麼，在物理學中薛丁格方程式就可能不會出現，出現的將是「玻恩–海森堡方程式」了！而且還會早半年出現！這就難怪希爾伯特看見物理學家們那副吃驚而窘迫的模樣時，不由得哈哈大笑起來！

玻恩和海森堡由於自己缺心眼而失去這一寶貴發現的機會，真是後悔不迭了！