拉普拉斯誕辰 │ 科學史上的今天：3/23

每天都要風險評估

我們的現代生活是由一連串決定所組成，要根據各種可能的結果進行評估。我們的每一天都必須經過風險分析才能順利度過。

今天的降雨機率是 28%，我要不要帶雨傘？

報紙上說，吃培根會讓罹患腸癌的機率增加 20%，那我該戒掉培根三明治嗎？

考慮到發生事故的風險，我的汽車保險費會不會太高？

我買樂透彩券有什麼用呢？

玩桌遊的時候，我接下來擲出的點數讓我排名下降的機會有多少？

許多職業都要算出機會才能做關鍵決定。某支股票上漲或下跌的機會有多大？

如果有DNA證據，被告就有罪嗎？

病人要不要擔心偽陽性的篩檢結果？

足球選手在罰球時應該踢向哪裡？

越過不確定的世界是一項充滿挑戰的任務，但找出一條穿過迷霧的路並非不可能。數學已經發展出強大的捷徑，幫助我們處理從遊戲到健康、從賭博到理財投資的一切不確定性，那就是「機率的數學」。

擲骰子是通往機率的捷徑

若想探索這條捷徑的本領，擲骰子是最佳方法之一。

本章開頭的題目，曾讓十七世紀的著名日記作者皮普斯（Samuel Pepys）坐立不安。

皮普斯著迷於機率遊戲，但他不會隨便拿辛苦賺來的錢當作擲骰子的賭注，他總是很謹慎。皮普斯在 1668 年 1 月 1 日的日記寫道，正要從劇院回家時撞見「骯髒的學徒和無所事事之人在賭博」，回想起孩提時僕人帶他去看人試圖擲骰子贏錢的情景。

皮普斯記下自己看到「一個人向另一個人拿走所輸的錢，反應大不相同，有一人不停罵髒話，另一人只是喃喃自語和發牢騷，還有一人絲毫沒有明顯的不滿」。

他的朋友布里斯班德（Brisband）先生提議，給他十枚硬幣試試運氣，還說「大家都知道從來沒有人第一次玩會輸，因為魔鬼太狡猾了，不會勸阻賭徒」。但皮普斯拒絕了，躲回他的房間。

皮普斯小時候看到賭博時，還沒有什麼捷徑能讓他比別人有優勢。但在他從青少年到成年的歲月裡，一切已經有了改變，因為海峽對岸有兩位數學家，費馬和巴斯卡，提出一種新的思考方式，透過這條深具潛力的捷徑，應該能讓賭徒賺錢，不然至少是少輸些錢。

皮普斯可能還未聽說費馬和巴斯卡已取得重大進展，把魔鬼手中的骰子努力搶到數學家手上。如今，從拉斯維加斯到澳門，費馬和巴斯卡開創的機率數學讓世界各地的賭場得以經營下去──犧牲者是來賭錢的無所事事之人。

發生的機會有多大？

費馬和巴斯卡之所以會想出捷徑，是因為他們聽到某個跟皮普斯所想類似的難題，然後受到啟發。

與兩人都相識的梅雷騎士（Chevalier de Méré）想要知道把賭注下在以下哪一個比較好：

• (A) 擲一顆骰子 4 次後，擲出六點。
• (B) 連續擲兩顆骰子 24 次後，擲出雙六。

這位騎士實際上不具有騎士的貴族身分，他是一名學者，名叫龔博（Antoine Gombaud），他喜歡在對話作品中用這個頭銜代表自己的觀點。然而，這個頭銜沿用了下來，他的朋友們開始稱他為騎士。他選擇走遠路，做一大堆實驗，拿骰子擲了一遍又一遍，試圖解決這個骰子難題，但一直沒有確定的結果。

於是龔博決定把這問題帶到一個由耶穌會士舉辦的沙龍，修士名叫梅森（Marin Mersenne），地點則是他在修道院的小房間。梅森有點像是當時巴黎的知識活動中心，他把收到的有趣問題寄給他認為可能會有高明見解的其他通信者。

說到龔博的難題，他毫無疑問寄到了很好的人選手中，費馬和巴斯卡的答覆確立了本章要談的捷徑：機率論（theory of probability）。

機率論真的能幫龔博贏錢嗎？

毫不意外的，走遠路其實並沒有幫龔博判定選哪一個賭注最有可能贏錢。費馬和巴斯卡把他們的機率新捷徑應用到骰子上，就發現選項 A 的發生機率是 52%，而選項 B 的發生機率為 49%。

如果賭骰子 100 次，隨機過程中存在的誤差會輕易掩蓋這種差異，也許要等差不多賭 1,000 次之後，真正的模式才會浮現。這就是為什麼這個捷徑會如此強大──它避免你一定得做很多苦力，反覆實驗，畢竟實驗結果搞不好還會讓你對問題理解錯誤。

長期執行才有可能取得優勢

費馬和巴斯卡提出的捷徑有個特質很有趣，它長期下來才會真正幫你取得優勢。它不是幫忙賭徒在任何一次賭博中贏錢的捷徑，那仍然要碰碰運氣。但長期下來，情況就大不相同，這也解釋了為什麼它對賭場來說是好消息，然而對遊手好閒、巴望擲一次骰子就輕鬆賺到錢的賭徒來說，卻不是什麼好消息。

鏡頭回到倫敦。皮普斯寫下他在走路回家的途中，看賭徒設法擲出七點看得津津有味：

「聽到他們罵手氣怎麼這麼差，但沒什麼用，因為有個男子想要擲出七，但擲了很多次都擲不出，絕望透頂，嚷嚷說以後打死也不會再擲出七，而其他的人手氣很好，幾乎每次都擲出七。」

這個人的手氣是不是特別背，連一次七點也擲不出來？費馬和巴斯卡提出的策略，是用來算出以兩顆骰子擲出特定點數和的機會有多大，要先分析可能擲出的各種點數，然後看點數和為七的情形發生的比例。第一顆骰子可能擲出 6 種點數，加上第二顆骰子也有 6 種點數，總共就有 36 種不同的點數組合。在這些組合當中，有 6 種的點數和是七：

1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2、6 + 1

他們認為，假如每種組合發生的可能性一樣大，那麼 36 次當中就會有 6 次擲出七。這實際上是擲兩顆骰子時最有可能出現的點數和，但沒有擲出七的機會仍有六分之五。考慮到機率問題，皮普斯所看到的那位對擲了很多次骰子都沒出現七點感到如此絕望的紳士，手氣到底有多差？

骰不出 7 到底是不是因為手氣特別爛？

他擲了 4 次骰子都沒擲出七的機會有多大？把所有不同的情形都列出來，看起來相當嚇人，因為總共有 364 =1,679,616 種結果。但費馬和巴斯卡伸出援手了，因為有捷徑。要算出 4 次都沒擲出七點的機會，只須把每次擲骰子的機率相乘：5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 0.48。這表示連續 4 次沒有擲出七點的機會仍大約有二分之一。

相反的，這表示兩顆骰子擲 4 次之後，有一半的機會出現七點。同樣的分析可證明，一顆骰子擲 4 次後出現六點的機會也是一半一半。因此，皮普斯看到那個紳士擲 4 次骰子都沒出現七，不是什麼出人意料的事，就像丟一次硬幣的結果不是正面一樣。

在玩很多像西洋雙陸棋或《地產大亨》這樣要擲骰子的遊戲時，你可以把「最有可能擲出七」轉化成對自己有利的條件。

舉例來說，坐牢是《地產大亨》棋盤上最常造訪的格子，再加上兩顆骰子可能點數和的分析結果，就意味許多玩家在走到坐牢這格之後，下一步會走到橘色房地產區的次數比其他格子還要多。所以你如果可以搶先在橘色區買地，在上面蓋旅館，就會讓自己在遊戲中更勝一籌。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 作者 / 楊建鄴

我們已經改造了數學，下一步是改造物理學，再往下就是化學。──希爾伯特（David Hilbert，1862−1943）

1925 年到 1926 年，在物理學中出現了一件「怪事」，讓幾乎所有的物理學家都感到困惑。一件什麼樣的怪事呢？原來，當時世界上最頂尖的物理學家都在集中精力思考電子到底如何運動。他們都發現，想利用經典物理學的辦法去克服探索中的困難，無異於像唐．吉訶德用他那支破矛去攻擊堅實的磨坊一樣，是註定會落個頭破血流、遍體鱗傷的。一批年輕的物理學家如玻恩、海森堡、包立（Wolfgang Pauli，1900−1958，1945 年獲得諾貝爾物理學獎）等人，都越來越傾向於相信物理學的基礎必須從根本上改變，應該建立起一種新的力學，即「量子力學」。這個新的名詞是玻恩在 1924 年發表於德國《物理雜誌》上一篇文章中首次提出的。但量子力學到底是什麼樣的呢？當時誰也不清楚。

為了新力學的誕生，物理學家們真可謂廢寢忘食、嘔心瀝血。1925 年春天，兩位對量子力學將作出重大貢獻的物理學家都病倒了。一位是海森堡，另一位是薛丁格。海森堡被花粉折磨得無法工作，他的導師玻恩破例給他放了假，還建議他到地處北海的黑爾戈蘭島上去休息，那兒怪石嶙峋，大約不會有什麼花粉折磨他。恰好這時薛丁格也因肺病在阿爾卑斯山上寧靜的阿羅紮木村休養。一個在島上，一個在山上，都想遠離喧囂的城市，讓自己的頭腦清醒一下，以便再次投入緊張的思考。美國作家梭羅（H. D. Thoreau，1817−1862）說得好：太陽，風雨，夏天，冬天……大自然的不可描寫的純潔和恩惠，它們永遠提供這麼多的健康，這麼多的歡樂！

寧靜而清新的北海！寧靜而清新的阿爾卑斯山！它們不僅為兩位物理學家帶來了健康、歡樂，而且還奇異地誘發了他們的靈感，使他們的思想得到了昇華！於是，「奇蹟」降臨了。說是奇蹟，實在不誇張，因為他們兩人幾乎從完全對立的概念出發，得到了各自偉大的發現。兩人的發現在表現上完全對立，但又都能自洽地解釋微觀粒子的運動！

海森堡認為，量子的不連續性是最本質的現實，以這一思想為基點，他認為描述微觀粒子運動的力學，應該像愛因斯坦建立相對論那樣，以「可觀測量」作為基點，不可觀測的量如軌跡等，不予考慮。但是，牛頓力學一直是以考慮連續量為己任，用的是微積分；現在考慮的物件是不連續的量，那麼該使用什麼樣的數學工具才行呢？海森堡當時只有 24 歲，真可謂「明知山有虎，偏向虎山行」，「落在鬼手裡，不怕見閻王」！他決定自己去闖出一條路，尋找適當的數學形式和方法來描述微觀粒子運動。他的數學老師玻恩曾驚歎地說：這個外行雖然不知道適合他的用途的數學分支，可是一旦需要，他就能給自己創建適用的數學方法。這個外行該是多大的天才啊！

有一天晚上，他用自己發明的方法計算到凌晨 3 點鐘。奇蹟出現了！他發現自己很可能取得了突破性的進展。他後來回憶這天凌晨的激動情形時說：一天晚上，我就要確定能量表中的各項，也就是我們今天所說的能量矩陣，用的是現在人們會認為是很笨拙的計算方法。計算出來的第一項與能量守恆原理相當吻合。我十分興奮，而後我犯了一些計算錯誤。但後來在凌晨 3 點鐘的時候，計算的結果都能滿足能量守恆原理，於是，我不再懷疑我所計算的那種量子力學具有數學上的連貫性與一致性了。我感到極度驚訝，我已經透過原子現象的外表，看到了異常美麗的內部結構。當我想到大自然如此慷慨地將珍貴的數學結構展現在我眼前時，我幾乎陶醉了。我太興奮了，以致不能入睡。天剛濛濛亮，我就走到了這個島的南端，以前我一直嚮往著在這裡爬上一塊突出於大海之中的岩石。我現在沒有任何困難就攀登上去了，並等待著太陽的升起。

但是海森堡心中還有一個沒有解開的疑團，讓他「非常不安」。這是因為在他的數學方案中，將兩個可觀測量（如頻率、強度……）A 和 B 相乘時，A、B 不能交換，即 AB≠BA。這顯然與我們熟知的乘法交換律不符（如 2×3＝3×2），這點「異常」幾乎使海森堡喪失了信心。他沒有料到，正是 AB≠BA 中，潛藏著微觀世界中極為重要的一個規律。

幸虧後來玻恩知道了，並告訴海森堡他用的數學方法在數學中叫「矩陣代數」。於是在玻恩的幫助下，海森堡終於建立起微觀世界的力學──矩陣力學。

正在這時，又出了一件怪事。在阿爾卑斯山上日漸康復的薛丁格，在強調微觀粒子波動性（波動性強調的連續性！）的基礎上，提出了鼎鼎大名的「薛丁格方程式」。這是一個描述波動的微分方程式，借助於它薛丁格也成功地描述了微觀粒子的運動。由於波動方程式是物理學家十分熟悉的數學工具，而且薛丁格方程式強調的是連續性思想，這使得絕大部分物理學家感到欣慰、振奮，甚至認為物理學終於得救，從此不再需要那些不連續性的勞什子了！

1926 年春天，海森堡得知薛丁格的波動力學以後，極度震驚且困惑。為什麼兩人對同一事物的看法會如此不同呢？打個比方說，面對同一景色，在海森堡看來是險峰峭壁（量子躍遷）；而薛丁格看到的卻是起伏平緩的丘陵地（物質波）。其實這並不奇怪，正如中國著名詩人蘇軾在一首詩中所說：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。

可惜海森堡、玻恩以及薛丁格都未能參悟這種天機，卻各執一端，相互攻擊對方的理論。

海森堡寫信給薛丁格說：

「我越是思考你那理論的物理意義，我越感到對你的理論不滿，甚至感到厭惡。」

薛丁格也毫不留情地回敬說：

「我要是對你的理論不感到厭惡，至少會感到沮喪。」

當物理學界都感到莫衷一是、極度迷惘時，當薛丁格和海森堡兩人相互指責、爭論不休時，在哥廷根的希爾伯特卻頗有幾分得意地哈哈大笑起來，並且調侃地說：

「你們這些物理學家呀，誰讓你們不聽我的話？早聽了我的話，豈不省卻了如今這場麻煩嗎？」

玻恩和海森堡聽了這句話，不由倒吸幾口涼氣，而且後悔不迭；但其他人聽了卻莫名其妙，還以為希爾伯特又在裝神弄鬼，故作驚人之語。因為希爾伯特素有這種小愛好，說些沒來由的話讓人摸不著頭緒。

為什麼玻恩和海森堡兩人後悔不迭呢？原來當矩陣力學剛剛由海森堡提出來的時候，他們兩人曾專門向希爾伯特請教過有關矩陣代數運算方面的問題。希爾伯特是大數學家，曾對矩陣代數有過專門研究。他說：

「根據我的經驗，每當我在計算中遇到矩陣時，它們多半是作為波動微分方程式的特徵值出現的。因此，你們那個矩陣也應該對應一個波動方程式，你們如果找到了那個波動方程式，矩陣也許就很容易對付了。」

遺憾的是，這兩位物理學家都犯了一個致命的錯誤，那就是他們沒有認真聽取希爾伯特的勸告，去找出「那個波動方程式」，還以為希爾伯特根本不懂量子力學，在那兒胡說八道。結果，薛丁格找到了這個波動方程式，還得了諾貝爾物理學獎。如果他們兩人虛心一點，認真向希爾伯特深入討教一下，詳細瞭解一下希爾伯特的數學思想，那麼，在物理學中薛丁格方程式就可能不會出現，出現的將是「玻恩–海森堡方程式」了！而且還會早半年出現！這就難怪希爾伯特看見物理學家們那副吃驚而窘迫的模樣時，不由得哈哈大笑起來！

玻恩和海森堡由於自己缺心眼而失去這一寶貴發現的機會，真是後悔不迭了！

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類銅獎之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：蕭宇岑、林子揚／中正高中。

愛情或婚姻，到底有沒有所謂的真命天子？大部分的人應該都希望自己能夠遇到一個完美情人，並和他長相廝守。有些人會特別去算命，算算自己會在什麼時候會遇到自己的真命天子；有些人會因為時間壓力而訂一個期限，要在這期限內找到對象，不然就不結婚；而現代社會，更有些人會為了盡快找到結婚對象，而去相親，不論是自己願意，還是被父母逼的。

愛情這種東西，很多人都會說要「看緣分」，也就是說，大部分的人相信，找到另一半是很難掌握的。為了更容易掌握住自己的愛情，人們就會出現去算命、聯誼，乃至於相親的行為了。但是，在這些方式之中，我們是否能透過數學的觀點，得到一個合理的策略，例如當我們在進行相親時，是否能夠透過機率的方式去計算，產生一個最好的策略去選中最好的那位完美情人呢？

我們假設要和100個對象相親（約會），而且每次約會後都必須做決定，就是選擇和他繼續交往或者不繼續，若選擇不繼續發展，也就表示放棄了這個對象，則可以繼續和下一個人相親(約會)；若選擇了交往，就不能反悔、不可重新選擇和繼續約會。

若這一百個人我們可以排出名次，也就是說他們有大小關係，而且任兩人不並列，那麼如何才能夠使你有最大的可能選中這100個對象中最好的那一位呢？（先決條件為：只有一個最好的，且只要選最好的。）

在這裡我們運用數學的「最佳停止理論」：先在前期設定一個期間（淘汰期），這個期間我們將他設為評判標準，也就是說在這期間之內，不論遇到多好的對象都必須放棄，可是過了這個期間之後你擁有了足夠評判標準，因此只要在此後有遇上比這淘汰期任何人還好的對象，也就是目前為止遇到最好的人，則可以直接選擇他。所以這個期間的長短的取捨，其實就是我們選取的策略。

首先假設最好的對象是在第 p 個的位置，在 100 人中他恰好為最好的對象的機率為  １／１００ （只有一個最好的對象）。再來假設淘汰期為 ｘ 個人，也就是淘汰掉 ｘ 個人。而為了達成我們的最終目的：選中最好的。在遇到 P 之前，從第1位到第 Ｐ−１ 位內最好的人，就必須介在第1到第ｘ間（淘汰期內），被當成選出 p。的標準，也就是說他被淘汰掉。如此一來，就能在ｘ後，準確地選中最好的對象（ p。）。

故以為ｘ, ｐ 為變數， ｐ為最好且選中ｐ之機率函數為：

當固定淘汰 ｘ 人後，考慮ｐ的位置。當 ｐ。在淘汰期（ｘ）內時，我們選中他的機率便為0，故只需要考慮ｐ＝ｘ＋１一直到ｐ＝１００的時候。選中最好的對象的機率為ｆ_１（Ｘ）為：

讓我們思考一下，剛開始隨著ｘ（淘汰期）的增加，我們有更好的標準，故選中最好的機率ｆ_１（Ｘ）的函數圖形是遞增的，但是當ｘ超過某數時，不但會造成標準過高，還會造成選擇變少，故此時選中最好的機率ｆ_１（Ｘ）會變成遞減。故可推估隨著ｘ值的變大，機率會先增加後減少，而我們需要最大的機率（ｆ_１（Ｘ）成最大值），所以考慮ｘ的後項（ｘ＋１）會恰好剛比前項（ｘ）還差的情況（代入函數後相減為負），且為最小值以數學式表示：

ｆ_１（ｘ＋１）−ｆ_１（Ｘ）且 ｘ 為最小值

經過我們帶入數字計算，發現 ｘ為 37 有最大的機率 37.1042 %，也就是說我們將前 37 個淘汰做為標準，則我們就會有約 37 %的機會選到最好的對象。

但是！37 %⋯⋯顯示出有將近六成的機率會失敗，並且若最好的人剛好被淘汰掉時，就會做出不結婚的決定，則會有 37 %的機率會孤老一生！這個結果顯然不合情理。而為了提高選中最好的對象的機率，並降低孤老終生的狀況發生，現代的社會也慢慢地接受了再婚、第二春。

所以我們將條件增加一個「可以離婚一次」。為了避免重複上方計算過的運算結果，也就是沒有離婚的情況，增加條件後，計算過程內先單純考慮離婚一次再遇到最好的機率。也就是說，在選中最好的對象前，我們可以先選一位跟他交往，之後仍然可以繼續相親，並且有權可以捨棄現在的對象，並和另一位交往，但這僅限一次且之後的條件就和原本一樣，不可反悔、不可回頭重新選擇。這裡我們先單純考慮一定需要離婚的情況，再加上不離婚的情況（上方的結果），即為所求。

首先我們同樣假定最好的人在 100 個對象中的第ｐ位，然後必須在遇到最好的人ｐ之前，先選到第1位到第ｐ位內第二好的人，如此才能在離婚一次的狀態下選到最好的ｐ，我們先稱之為局部第二好。而這個局部第二好，其實也就是前面所說的「第1位到第ｐ−１位內最好的人」。

假設局部第二好是在100個對象中的第ｑ位，而ｑ為ｐ−１中最好的機率為 １／ｐ-１ 。為了達到「離婚一次」的情況發生，ｑ必須介在 ｘ 和 ｐ 之間，且在遇到 ｑ 之前，第1位到第 ｘ 位內最好的人（1到 ｑ 中局部的第二好），就必須介在第1到第 ｘ 間（淘汰期內），被當成選出ｑ的標準，並被我們淘汰掉。如此一來，就能在ｘ後，準確地選中局部第二好的對象（ｑ），並發生離婚一次的情況，然後再選中最好的對象（ｐ）。

故以 ｘ , ｐ, ｑ 為變數， ｐ為最好、ｑ為局部第二好且選中ｐ之機率函數為：

此時有ｐ＞ｑ＞ｘ。

當固定淘汰ｘ人後，且考慮ｑ（局部第二好的人）的位置。當 ｑ 在淘汰期內或 ｐ 之後，發生離婚且再婚選中最好的機率為０（ｑ會被淘汰或沒有發生離婚的情況），故ｑ＝ｘ＋１一直到ｑ＝ｐ−１的時候，選到最好的對象在ｐ的位置上的機率就是：

當固定淘汰ｘ人後，且考慮完ｑ的位置，再考慮ｐ的位置。當ｐ在淘汰期內或ｐ在淘汰期後的第一位，發生離婚且再婚選中最好的機率為０ （會被淘汰或沒有發生離婚的情況），故ｐ＝ｘ＋２一直到ｐ＝１００的時候，選到最好的人機率就是：

此時亦有：

這裡為必離一次婚的機率，故總機率Ｆ（Ｘ）為不離婚與離一次婚的總和，即：Ｆ（ｘ）＝ｆ_１（ｘ）＋ｆ_２（ｘ）

此時欲有： 

此時欲求Ｆ（ｘ）的最大值，即找使得Ｆ（ｘ＋１）−Ｆ（ｘ）＜０且ｘ為最小值：

假設：

最後簡化得算式：

把 Ｋ 代入數字運算，得到ｘ為 24 時，Ｋ為＜２的最大值。有最大的機會在可以離婚的情況下選到最好的對象。

經過我們的計算，發現ｘ為24時，ｆ_１（24）≈0.3463406、ｆ_２≈0.2460007，也就是說有離婚一次的機會，在一樣的（淘汰期）為 24 時，為我們增加了約 24 %的成功率，使我們最大的機率有約 59.243 %的成功率，也就是說我們將前 24 個淘汰做為標準，則我們就會有接近六成的機率選到最好的對象。

至此因為我們利用了數學算出了最佳停止的時刻，而且加了可以接受離婚一次的條件，不但可以縮短淘汰期減少淘汰掉最好對象的可能，也減少了淘汰最好對象的機會（孤老一生的機會降低），所以使得成功率增加了不少，顯然這個結果是更好的。

人生中其實做這種不可後悔的決定是很常見的，除了結婚之外，諸如工作、學業，甚至於今天晚上吃什麼，許多時候總是做著這樣子不可後悔的決定。在做決定的時候我們除了憑自己的第六感之外，其實動筆計算一下，運用我們所學過的數學技巧，可以幫助我們能夠更好的擬定策略。如此看來，除了前六感外，若人生中多了數感做為第七感，似乎就可以做出最好的決定，也避免與完美情人擦身而過！可以過得更加愉快呢！

參考資料

1. 假設情況
2. 「最佳停止理論」

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