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用統計學看股票投資:投資人理性嗎?「追高殺低」真能穩賺不賠?

研之有物│中央研究院_96
・2018/01/25 ・4308字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 545 ・八年級

「行情總是在絕望中誕生,在半信半疑中成長,在憧憬中成熟,在充滿希望中毀滅。」

──華爾街諺語

其中(股票投資)有哪些預期心理會和動能效應互相影響?本文專訪中研院統計所的何淮中研究員。

投資策略研究

「 2000 年受臺大財金系合聘之邀,我開了一門『財務統計』課程。當時股市正值科技泡沫,我很好奇為什麼會有這個現象,加上受到財金系同事和學生的耳濡目染,漸漸覺得財務的『實證研究』蠻有趣,就一直研究到現在……」

研究室位於中研院統計所的迴廊深處,何淮中像個隱士般。置身股市戰線之外,以嚴謹的統計模型、歷史的股市資料,驗證股票市場的理性與不理性。

從小黑板上的數學題難不倒何淮中,對數字的靈敏,長大後轉化為統計分析的本領。 攝影│張語辰
從小黑板上的數學題難不倒何淮中,對數字的靈敏,長大後轉化為統計分析的本領。攝影/張語辰。

投資人有理性嗎?

市場,由人的行為構成。過往「效率市場」假說認為「投資人都是理性的」,而且市場上的資訊會迅速地被所有投資人知道,因此投資人可以在多種方案中,理性選擇能使共同利益最大化的一種方案。

但 2017 年獲得諾貝爾經濟學獎的 Richard H. Thaler ,曾經做一個有趣的實驗,闡述另一位諾貝爾經濟學獎得主 Herbert Simon 所提的「有限理性」(bounded rationality),證明人沒有辦法完全理性。

Richard H. Thaler 在 1997 年 5 月於《金融時報》(Financial Times)刊登一則活動廣告,希望大家來報名參加 “pick a number game” ,大獎是英國航空往返倫敦與紐約/芝加哥的機票。玩法很簡單,只要玩家在 1~100 中選一個整數寫在信中、寄回主辦單位,截止後將所有收到的數字蒐集起來「取平均數、再乘以三分之二 」 ,最靠近這個數字的玩家,就是贏家。

假設 5 個人參加比賽,他們選擇 10,20, 30, 40 和 50 ,在此情況下,平均數是 30,而 30 的三分之二是 20 ,因此最初選擇 20 的玩家是勝利者。

這遊戲的隱含意義是──人們的預期心理、有限的理性。

若按照「市場是理性」假說,所有玩家應該會預期別人選擇什麼數字、並取平均數再乘以三分之二;然後又預期別人應該也會這麼做,又再取平均數再乘以三分之二……;經過這樣的循環,直到最後每個人都會選擇 1。

但無論是 1997 年《金融時報》這次、或我在各場合玩這個遊戲,都發現理性是有限的,人們一開始只會猜測別人的答案兩到三次循環,然後就選一個直覺大概沒錯的數字。

不同市場群體,會理性到什麼程度,我們可能不知道,就需要蒐集資料、根據統計來估計,這就是統計的重要性。

預期心理是什麼?

以股票市場來說,股票的價格由市場供需決定。若投資人預期某股未來表現良好,會紛紛進場買進,股價就會上揚。若投資人對某股預期悲觀,會紛紛賣出,導致股票下跌。

但其實台股的「菜籃族」常常搞不清楚股票上漲或下跌的原因,聽聞小道消息就跟風「追高殺低」,導致損失慘重。其實這背後有「動能效應」可以解釋,1993  年由 Jegadeesh and Titman 提出,指的是股票報酬率有持續性的現象,強者恆強、弱者恆弱。

跟風的菜籃族,若未留意股票市場的「動能效應」,常出現這些內心獨白。 圖說設計│林婷嫻、張語辰
跟風的菜籃族,若未留意股票市場的「動能效應」,常出現這些內心獨白。圖說設計/林婷嫻、張語辰。

動能效應是什麼?

由於動能效應,股票報酬強者恆強、弱者恆弱。有些投資人藉此採取「追高殺低」法,賺取一定期間內股價持續上漲、或持續下跌過程中的「價差」。

投資人會有預期心理,預期心理又受到小道消息影響。由於小道消息的資訊傳遞像漣漪一層層擴散出去,因此股價在一定期間內呈現漲繼續漲、跌繼續跌,好像有個「動能」在持續推高或拉低股價

動能投資策略,就是運用這種現象來規劃投資組合:買進贏家股票(漲繼續漲)、搭配賣出輸家股票(跌繼續跌)。

然而,2000 年之後的股票市場,這種動能效應似乎消失了。有些人認為是因為大家都知道這種賺錢方法,有些人認為是時機不對。但我們認為動能效應應該還存在,只是被一些「雜訊」給掩蓋,所以就撈出 1930 年 1 月到 2010 年 12 月的美國股市資料,和學生一起設計我們的「WL-LH 動能投資策略」做實證研究。

實證研究有哪些發現?

從 1930 年 1 月到 2010 年 12 月的美國股市資料中,我們依據各股票報酬輸贏分成 4 種投資組合,並設計 WL-LH 投資策略模型:「買進漲幅被低估的贏家股票、賣出跌幅被低估的輸家股票」。 (Winners with Low IPR minus Losers with High IPR, 簡稱 WL-LH)

何淮中團隊的 WL-LH 投資組合模型。資料來源│Implied price risk and momentum strategy. 圖說重製/林婷嫻、張語辰。

其實這與過往的動能投資策略差不多,差別在於,我們透過美股歷史資料分析,於投資策略中刪掉一些「雜訊」:「漲幅被高估」的贏家股票,也就是動能燃料已經燒完、會開始下跌;還有「跌幅被高估」的輸家股票,因為超跌、未來會再漲回來。這兩者分別代表投資人對於市場中好與壞的資訊,呈「過度反應」的現象。

困難的是,如何判定漲幅或跌幅是否被高估?我們從「資訊擴散」的角度出發,提出一個資產價格模型。然後藉由價格模型,設計一個價格風險指標,有效地篩選掉超漲或超跌的股票,從而驗證了市場的預期心理和動能效應,也同時說明市場的不效率性。

其中相關的統計模型算式,通常大家看了就頭痛,這裡先不贅述,有興趣的朋友請直接看看我們的論文

從 1930 年 1 月的資料開始,我們先看過去一年的累計複利報酬、排序,買表現好的股票、賣表現壞的股票,一個月後檢視這樣的投資組合的報酬率。因為資料時序已經移動一個月,所以我們再從新的一個月回頭看過去一年的累積複利報酬、排序,再進行一次剛剛說的投資。

最後把累計複利報酬取平均值,例如下圖的 2000 – 2010 年資料所示。其中可看到, 2000 年以後的動能效應,原本大家認為已經消失了,但經由我們的 WL-LH 投資策略挖掘,失而復得,動能投資策略的獲利空間仍然存在。

將 WL-LH 投資策略以美股歷史資料實證,雖然在 2008 年金融海嘯大起大落,但其 2000-2010 年累計複利報酬率為 138.12%,若投資 100 元會獲得 138 元。 資料來源│Implied price risk and momentum strategy. 圖說重製│林婷嫻、張語辰
將 WL-LH 投資策略以美股歷史資料實證,雖然在 2008 年金融海嘯大起大落,但其 2000-2010 年累計複利報酬率為 138.12%,若投資 100 元會獲得 138 元。 資料來源│Implied price risk and momentum strategy. 圖說重製/林婷嫻、張語辰。

若把這個動能投資策略,套用至不同國家市場,有不同表現嗎?

過往文獻認為,美國和歐洲國家股票市場的動能效應較強,因為個人主義較強、過度自信,導致動能持續上漲或下跌。過往文獻也解釋,亞洲國家比較群體主義、做事大家會商量,所以動能效應較不明顯。

我們對這個詮釋抱持懷疑,所以我們試著將 WL-LH 投資策略,套用至不同國家股市的歷史資料(1990-2014 年)驗證,發現只要去掉「雜訊」──上漲動能燃料已燒完的股票、以及超跌的股票,無論是美國、歐洲、日本、印度等 21 個國家,都能看見動能效應,比率接近九成。

換言之,因為人們投資行為的偏誤,例如貪婪追高股價、恐懼在低點持股,而導致市場的不效率性,是超越地域、族群而存在的共通現象。

但是台股比較特別,在 WL-LH 策略下,仍看不到動能效應。

在台股歷史資料(1990-2014 年)中,刪掉漲幅「被高估」的贏家股票、跌幅「被高估」的輸家股票後,並未找到動能效應。我們的推斷認為,台股投資人普遍容易過度預期,以及股票交易周轉率較高,可能是主要的原因。兩者都影響了模型預測「資訊擴散程度」的準確性。

話說回來,為什麼會喜歡統計呢?

我從小就喜歡數學,黑板上的數學題都有辦法解開。數學是告訴你,怎麼看問題、怎麼創造適當的工具來解決問題。「機率」是數學裡的一支,我覺得很有趣,因為機率可以解決所有問題,某個問題你不懂就回答百分之多少機率怎樣怎樣……(笑)。

由機率跨入統計,是很自然的。兩者都是處理「不確定性」的方法體系,密不可分。

我的研究,包括前面提到市場效率性的課題,「機率」與「統計」兼而有之。透過資料分析,可以證實股市有一定程度的不效率性,也有獲利的空間。但投資仍有風險,不會因為這些研究發現就產生過度自信,所以我老婆和我還是存定存、買共同基金。再說,她的錢我也管不了呀。

延伸閱讀

本著作由研之有物製作,原文為《行情總是在希望中毀滅? 專訪何淮中》以創用CC 姓名標示–非商業性–禁止改作 4.0 國際 授權條款釋出。

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位

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研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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預測市場?預測股票?如何讓預測有更高的準確率?——《超越直覺》
一起來
・2024/05/04 ・1635字 ・閱讀時間約 3 分鐘

我們發現在足球賽中,只要知道一個簡單的訊息(主隊過去的獲勝機率超過一半),預測力就會明顯好過隨便亂猜。如果再加上第二個簡單的訊息(勝負紀錄較佳的隊伍會略占優勢),可以再進一步提升預測力。除此之外,你可能還想收集其他訊息,像是四分衛最近的表現、球隊有沒有傷兵、明星跑衛的花邊新聞,但這些資訊對預測的幫助不大。換句話說,預測複雜系統這件事依循著「收益遞減定律」:第一個訊息很有幫助,但很快就找不到有幫助的其他訊息。

對於某些事件,我們當然會非常計較預測的準確性,像是投放線上廣告或投資高頻交易(HFT),可能一天內就要預測數百萬、數十億次,而且金額相當龐大。投入極大心力與費用、運用最精細的運算模型來開發複雜的預測方式,在那種情況下或許值得。但在其他商業領域,例如製作電影、出版書籍到發展新技術,只需要一年預測數十次、頂多數百次,而且這不過是整個決策過程中的一部分。這時,我們只要借助相對簡單的方式,就可以讓預測臻至完善。

預測時,不該只根據一人的意見就做決定——尤其是你自己的意見。雖然人們善於察覺與特定問題相關的因素,卻往往不會評估因素之間的相對重要性。譬如,預測電影的首映週末票房時,你可能會認為一些變項都是高度相關,例如製作費、宣傳費、上映廳數、試映會評價。沒錯。但我們要如何權衡「評價不優」與「額外行銷預算:一千萬美元」之間的比重?這沒有一定答案。同樣,在決定分配行銷預算的方法時,要如何判斷多少人會受到網路或雜誌廣告影響,又有多少人會從親朋好友那邊聽到產品訊息?我們也不清楚。唯一知道的是,這些因素都可能相關。

圖/envato

你可能會以為,精準判斷應該是專家的強項。但正如泰特洛克的試驗結果,專家在量化預測上的表現,其實跟普通人一樣糟糕,甚至可能更糟。然而,我們依賴專家之所以會成效不彰,不是因為專家的預測力跟一般人沒兩樣。問題在於,我們通常一次只會諮詢一位專家(否則何必找專家)。但我們應該要綜合多人的意見(無論是專家或非專家)再取平均值。至於要如何達成?這其實沒那麼重要。

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儘管預測市場有各種花俏的噱頭與技術,表現也比民調這類簡單方式好一點,但這種微小差異,還不如採用某種方式簡單綜合許多觀點再取平均。或者,我們也可以直接根據歷史數據,評估各項因素的相對重要性——這實際上就是統計模型在做的事。我必須再強調一次,雖然複雜模型可能會比簡單模型好一點,但兩者的差異小到幾乎沒有差別。到頭來,模型跟群眾所能達到的預測目的都一樣。第一,這兩種預測方式都要靠人為判斷,確認哪些因素與預測相關。第二,兩者皆需要估計、權衡那些因素的相對重要性。正如心理學家羅賓.道斯所言:「訣竅在於,找到要注意的變項,然後知道如何加入它們。」

只要一直使用這個訣竅,一段時間後,就會知道哪一些預測的失誤率較小,哪一些較大。舉例來說,當你要預測一個事件的結果,假如其他條件都相同,那越早做預測的失誤率就越大。不管你用什麼方法預測電影票房,在「剛開拍」時會比「上映前幾週」時要難得多。同樣,如果你想預測尚未上市的新產品銷量,那準確度可能不會高過預測已上市的產品。

你無法解決這個問題,唯一能做的只有:使用其中一種方式,或甚至結合幾種方式,就像我們研究預測市場時的方法,然後隨時觀察、記錄預測的表現。我在第 6 章開頭也提過,一般人通常不習慣追蹤自己的預測。我們做了大量預測,卻很少回頭檢視自己對了幾次。然而,留意並記錄預測成效或許才是最重要的事,唯有如此,你才能知道準確度是多少,進而知道自己預測的可信度。

——本文摘自《超越直覺》,2024 年 01 月,一起來出版,未經同意請勿轉載。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

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  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

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結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

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對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

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——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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