《關鍵少數》裡的計算員為何都是女性？「人肉計算機」是在算什麼？

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

法國大革命後，重新制定度量衡，一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改，但如此一來，三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想，將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠，不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用，也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章，上一篇請見：從加減到乘除，四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代（十六）

法國大革命，度量衡也要革命

歷史總是不斷重演，當天災與人禍的雙重壓力到達頂點，往往造成政權更替。 1780 年代，法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生，一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅，人民早已憤恨不平。

另一方面，法國為了支持美國脫離英國獨立，也派軍參與美國獨立戰爭，導致政府財政更加困難。為了增加稅收，王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議，希望透過決議，名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益，百般阻撓，積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議，號召制憲。國王立即派兵鎮壓，結果反而激起法國大革命，成功推翻帝制，建立歐洲第一個民主共和國。

在全面除舊布新的改革聲浪下，國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡，做為全國統一的標準。 1791 年，法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小，再據以制定長度、面積、體積、重量等單位，這套十進位制的公制便一直沿用至今，通行全世界。

蝦咪，圓周變成 400 度，三角函數怎麼辦？

除此之外，任何傳統非十進位的方式，在當時學者的眼中，也都不科學。所以複雜的貨幣單位（害得巴斯卡不得不發明加法器）要改成十進位，甚至傳統六十進位的時間單位也得改，改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此，就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度，而是 100 度，從古希臘以降的三角函數全亂了，勢必得重新計算數值。

三角函數表與對數表一樣重要，除了用於天文計算，航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後，百廢待興，重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務，更急需新定義的三角函數。

這項重責大任落到了數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony）身上。他不僅要製作全新的三角函數表，也打算重新編製對數表，而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細，也就是說要塞進更多數字，而且每個數字要算到小數點後更多位數（至少 14 位數以上）。

數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony, 1955 – 1839）。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間，才算出 90 頁的對數表，如今德普羅尼所面對的計算量，至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊，但即使大家分頭計算，也要算到地老天荒；而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作，根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務，德普羅尼突然靈光一閃，想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 （Adam Smith）所寫的《國富論》（The Wealth of Nations）。

工廠有作業員，計算何不用計算員？

《國富論》出版於 1776 年，堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導，使得全體國民致力於追求個人利益的同時，也促進了群體的福祉裡面。除了市場面，亞當·斯密也論及生產方式，主張專業分工才能提高生產效率。

他舉大頭針工廠為例，大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦，改成讓每個工人只專注於其中一項製程，反而能大幅提升生產效率。

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段：

• 第一階段只需要五、六位數學家，他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數，並決定計算的數值範圍，以及精確到小數點幾位。
• 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數，直到算出固定差值，就可以做出「差分法」的計算工作表，留給下個階段的人計算（可參見底下說明）。
• 大量的計算工作都在第三階段，由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了，不需懂數學；其中不少人原本是宮廷的美髮師，大革命後便失業了，而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前，原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字，逐格填入累加的結果，就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地，武功心法成後世典範

從 1793 年開始，德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法，於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表（前十萬個算到小數點後 19 位，後十萬個到第 24 位），與精確到千分之一度的三角函數表。

不過法國大革命後，派系互鬥，政局幾無寧日，德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和，即位皇帝沒多久後，就將時間與圓周角度恢復成舊制，新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表，在實際應用上也不需要，因此德普羅尼等於白忙一場，多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣，收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用，但是他以生產線專業分工的方式，處理大量計算工作的創舉，卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前，這個方式被廣泛運用於大型專案，例如美國太空總署初期的太空計畫，便雇用了大量女性當計算員。（電影《關鍵少數》（Hidden Figures）的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。）

另一方面，深藏在法國科學院內的十七冊手稿，仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後，一位來自英國的青年數學家來到法國科學院，才得知這份寶典的存在；他將從中獲得啟示，著手打造史上第一部真正的計算機。

小教室：差分法

如果知道兩個函數值之間的差值，也就是f(x+1) = f(x) + D，那麼只要不斷累加差值 D，便能推算出多項式函數的所有答案，這就是差分法。

以 f(x) = x² + x + 41 這個函數為例^註；f(x+1) = (x+1)²+(x+1)+41 = x²+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ，2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製，可得出 f’(x+1) = f’(x)+2，即第二階差值固定為 2。

知道第二階差值等於 2 ，就可以不斷累加，得出第一階差值：2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始，再不斷累加第一階差值，即 f(1)=41+2=43； f(2)=43+4=47； f(3)=47+6=53；…… 以此類推，一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階，三次函數則出現在第三階，以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法，光靠加法就能算出任何多項式函數的值，因此不用懂數學也能幫忙計算。

• 註：此處舉例的函數是出自大數學家歐拉（Leonhard Euler）於 1772 年發現的質數公式，前 40 個函數值都是質數。

• 作者／SME

在 2017 年奧斯卡頒獎典禮上出了一件奇怪的事情。當然，這裡說的不是頒錯獎的大烏龍，而是在一堆奔著小金人來的演員中間，卻有一位非裔女數學家混在了其中。原來她就是被奧斯卡提名的電影《關鍵少數》中的原型人物，NASA 的超級女英雄——凱薩琳．強森（Katherine Johnson）。

這部電影主要講述了在那個種族隔離大行其道的 20 世紀 60 年代，三位黑人女性衝破性別和種族的歧視，為「太空競賽」下的美國航空事業做出了巨大貢獻。隨著《關鍵少數》的上映，真正的「隱藏人物」凱薩琳．強森才漸漸走入人們的視野。

在那個沒有電腦的年代，凱薩琳．強森在 NASA 裡擔當著「人肉電腦」的角色。她負責開發各種太空路線，計算各種至關重要的航空軌道參數，是水星計畫、阿波羅登月計畫中不可或缺的角色。但只要稍有差池，整個太空任務就可能完全失敗甚至造成太空人死亡。

從家庭主婦到 NASA 飛行小組成員，凱薩琳．強森經歷過怎樣的不公待遇我們不得而知。但她卻說：「我知道歧視就在那裡，但我選擇不去看它們。」然而，就是這股最純粹的力量，讓她將種族隔離的壁壘和性別歧視的天花板逐一打破，讓她活成了一個傳奇。

從小就愛算數，連教堂的階梯都不放過

1918 年，凱薩琳．強森出生於西維吉尼亞州的一個小鎮。凱薩琳的父親是眾多黑人農民中的一員，還額外從事著一份看守的工作。雖說父親沒什麼文化，但卻有著不一般的數學天賦。當初父親與木材打交道時，只要看一眼便能計算出一棵樹可以加工成多少塊木板，他甚至還能解答出許多讓老師都感到困惑的算術問題。

凱薩琳也認為自己繼承了老爸的數學天賦，從小就特別迷戀數學。旺盛的求知欲無處釋放時，她就經常去計算各種能數的東西，例如教堂的階梯、洗過的刀叉碗碟她都不放過。在哥哥姐姐都嚷嚷著拒絕上學的時候，她卻迫不及待地想要學習。她還老是偷偷跟著哥哥去學校，弄得老師基本都認識她，還允許她參加暑期學校。

一到學校，6 歲的凱薩琳便開始碾壓各路同齡學生。老師看她這麼聰明，就直接安排她插班到二年級，一年級就不用讀了。本來就聰明的她在老師的一番指點下，數學天賦逐漸顯露。兩年後，她又連跳了兩級，直接進入六年級。那時，比她大 3 歲的哥哥還在讀五年級。

凱薩琳剛滿 10 歲，就要上高中了。但這也是她第一次因為身分的問題，感受到了來自社會的惡意。凱薩琳所在的小鎮，只向非洲裔的孩子提供到八年級的教育，高中部並不接收他們。

不過幸運的是，凱薩琳的父母雖然沒什麼文化，但是卻非常注重孩子們的教育。他們打探到距老家 200 公里外，有接收非裔學生的高中學校。於是，母親便帶著凱薩琳和哥哥姐姐們搬到學校附近，住在租來的房子裡。而父親則留在小鎮那邊，繼續工作給幾個孩子賺取學費。

高中畢業後，14 歲的凱薩琳便獲得了全額獎學金進入了西維吉尼亞州立大學，攻讀數學專業。在最喜愛的數學領域中，凱薩琳一口氣就把所有的數學課程學完了，但這些課程遠遠不能滿足她旺盛的求知欲。看著如此聰明和勤奮的凱薩琳，克萊特博士──第三位獲得數學博士學位的非裔美國人，特別禮遇她。

他特地為凱薩琳增設了一門高級數學課程──解析幾何學，而凱薩琳就是唯一的學生。而這門解析幾何，也成了她日後進入 NASA 飛行小組的敲門磚。

夢想與現實之間隔著的是種族與性別的雙重阻礙

1937 年，19 歲的凱薩琳帶著沉甸甸的數學知識完成了大學的學業，還順便多考了一個法語雙學位。如果放到現在，這樣的天才少女恐怕早就有企業搶著要了，出路完全不是問題。但在那個種族隔離的時代，一名黑人女性，她面臨的卻是種族和性別歧視的雙重大山。

想要繼續深造是不可能的了，而她唯一能找到的與數學相關的工作就是到黑人小學教書。在做了一段時間的數學教師之後，凱薩琳的人生出現了轉機。

1938 年的「密蘇里州代表蓋恩斯訴卡納達案」中，美國最高法院做出裁決，如果一個州只設了一所有該專業的學院，則不得根據種族限制只錄取白人。於是，凱薩琳幾乎是見縫插針地成了第一批進入西維吉尼亞大學研究所的黑人學生。

這第一批黑人學生只有 3 個，而她也是其中唯一的女性。但作為第一批黑人研究生，凱薩琳也受到了前所未有的差別待遇。不到一年，凱薩琳就離開了這所對她充滿惡意的研究所，決定將生活重心放在家庭上。

在之後十幾年裡，凱薩琳也成了擁有 3 個孩子的家庭主婦。但當她自己都以為人生就止步於此的時候，一個好消息卻重新點燃了她的數學夢想。

那時，美國與蘇聯的「太空競賽」開始進入白熱化階段。NACA（即 NASA 的前身）正在緊鑼密鼓地招募數學計算員，重點是，竟然還向黑人女性開放。在丈夫的支持下，他們舉家搬遷到離工作地點近的地方。

經過長達一年的測試，1953 年夏天，凱薩琳正式加入 NASA。

換了新工作，仍受到不平等待遇

時隔十幾年，從家庭中走出來的凱薩琳仍堅信自己能夠勝任 NASA 這份工作。事實也確實如此，她不但能勝任，而且比當時的許多男性同事表現得更加出色。剛開始，凱薩琳和許多黑人婦女一樣在擔任一個職位名稱為「Computer」的工作。

雖說是「Computer」，但是她們手頭卻沒有電腦，全都是用紙和筆來完成枯燥的計算。在那個電腦還未正式投入使用的年代，她們被當作「人肉電腦」來使用，也被稱為「穿裙子的電腦」。

《關鍵少數》中有色人種的辦公室內，「穿裙子的電腦」們，黑人和白人有不同的餐飲區、工作區和衛生設施，這些非裔女計算員的辦公室就赫然寫著「有色人種計算室」。但凱薩琳只當了兩個星期的「穿裙子的電腦」，便被臨時抽調到一個飛行小組中。

當時，這個小組急需一名會解析幾何的計算員，而大學時克萊特博士教給凱薩琳的解析幾何知識派上了大用場。因為凱薩琳實在是「太好用」了，以至於這個臨時抽調的時間一直在延長，大家都不願意把她「還」回去了。

雖說大家都越來越依賴凱薩琳的數學天賦，但在這個全是白人男性工程師的飛行小組，歧視卻一直大行其道。因為她是這個團隊中的一個特例：唯一的黑人，唯一的女性。在辦公室裡凱薩琳一直遭到同事們的白眼和無視。除了無法使用白人的咖啡機外，還只能使用有色人種的廁所。

然而最讓人無法接受的，還是明明是凱薩琳的建議或計算成果，報告上卻只能署上別人的名字。她做著最核心的工作，卻拿著最微薄的薪水，享有最低等的待遇。

但在受到種種歧視時，凱薩琳在選擇視而不見的同時，卻從未放棄過自己應有的權利。幾乎每一次寫報告，不管遞交成不成功，她都會簽上自己的名字。當遇到不清楚的問題，她一定要刨根問底將其搞懂，也不管其他同事翻了多少個白眼。

不受框架束縛，積極爭取權益！

當時，NASA 的重要會議上幾乎沒有出現過女性，但是凱薩琳為了獲得飛船飛行的第一手消息，她勇敢地向上司提出參加會議的請求。遭到拒絕時，她說：「有法律規定女人不能參加會議嗎？」最後，她確實爭取到了參加會議的資格，成為整個會議室的唯一一位女性。

此外，她的傑出表現也慢慢受到了上司的重視，報告上也終於出現了自己的名字。她用自己的努力一步一步地獲得他人的尊重和認可，這位黑人女孩成了 NASA 的傳奇人物。後來，每當團隊遇到什麼難題，總會有人說：「問問凱薩琳吧！」

1961 年 5 月 5 日，水星計畫的「自由 7 號」將美國第一位太空人艾倫．雪帕德送上太空，這艘飛船的運行軌跡正是凱薩琳計算的。

隨著「太空競賽」的不斷升溫，凱薩琳的工作也變得越來越複雜了。她從早期的拋物線軌道，算到橢圓軌道，從繞地球飛行軌道，算到繞月飛行軌道。儘管後來電腦已經被應用於軌道的計算，但是 NASA 卻仍不放心，硬要凱薩琳這台「人肉電腦」驗算過才敢起飛。

1962 年，約翰．葛倫在首次環繞地球的太空飛行中，就指名要求凱薩琳幫忙驗算後才敢上天。他不相信電腦，反而相信凱薩琳，說：「如果那個女孩（the girl，指凱薩琳）說沒有問題了，我才算準備好。」約翰．葛倫完成的飛行任務，也標誌著美國在太空競賽中首次超過了蘇聯，同時也標誌著凱薩琳得到了認可。

從進入 NASA 到 1986 年退休的 33 年間，凱薩琳幾乎參與了每一個重要的航太計畫，為太空探索做出了巨大貢獻。

2015 年，歐巴馬授予凱薩琳總統自由勳章。2016 年，凱薩琳也隨著《關鍵少數》的熱映，進入了大眾眼裡。而 NASA 為她撰寫的傳記的結尾是：「如果沒有你，NASA 不會是今天的模樣。」

凱薩琳用一生告訴我們一個道理：人一出生就帶著各種標籤，但是這些標籤並不是真正阻礙你前進的阻力。在撕毀這些標籤時，革命只能使人們獲得表面的勝利。但真正的尊重，還是需要實力才能贏得。

——《怪奇科學研究所：42個腦洞大開的趣味科學故事》，2020 年 2 月，時報出版。

三位不起眼的非裔婦女，本來不過是美國太空總署 NASA 找來分擔工程師苦力的人力計算機，到後來卻變成幫助美國在太空競賽中後來居上的推手。看似柔弱無力，實際上卻是堅忍自信而能改變歷史，這就是《關鍵少數》這部勵志電影的正解！

說到「正解」，不禁回想起小時候數學考題的解答都超乾淨的，要嘛是整數，要不然就是漂亮簡潔的分數，如果需要算到小數點後第三位，那就要怪這出題老師太無良了。但是學校裡的數學碰到現實問題就見光死，老師常教的邊長 5:4:3 的直角三角形在日常生活中怎麼都不見了！

這些例子只是數字複雜，靠計算機還是可以算出正解，或應該說「解析解」的。碰到更複雜的問題，就要使用無窮級數，或是不斷迭代的數值分析法，理論上這是可以算到地老天荒也得不到正解，最多只有非常接近正解而已。

在沒有電腦的時代這些問題該怎麼解決呢？沒有捷徑，只有下苦工慢慢算，這種繁重的腦力活就要靠「Computer」。今天英文中的「Computer」在 1613 年首次出現，當然指的不是電腦，而是「人力計算機」——負責數學運算粗活的人，中文應該翻成「計算員」吧。這些人要的算得快、算得準，為了增加效率，通常會有很多計算員一同平行運算，也需要彼此驗算以防止錯誤。

這些計算員的地位雖然比不上科學家或工程師，卻也臥虎藏龍，歷史上不乏有重要貢獻的計算員。例如 20 世紀初哈佛天文台的女計算員勒維特（Henrietta Leavitt）本來只是負責分析星體的亮度，但細心的她發現可以用一些星體光度變化周期，量測它們與地球的距離（造父變星的周光關係），這等於給天文學家一把丈量宇宙的尺。她的發現間接讓後來的哈伯發現宇宙不斷在膨脹，若非她早過世，也許有機會拿到一個諾貝爾獎。

後來的美國為了發展新興的航空工業，成立「國家航空諮詢委員會」（NACA），也就是美國太空總署 NASA 的前身。他們整理了大量的空氣動力數據，即使是今天的航空工程師也得參考 NACA 幾十年前測試的機翼剖面形，龐大的實驗數據讓工程師忙得喘不過氣，因此 NACA 進了越來越多的計算員來幫忙，而且多為女性。為什麼他們偏愛女性呢？好聽的原因是她們細心較不易出錯，但是真正的原因是當時女性的薪水低，又不能升遷為地位較高的工程師，慣老闆們當然最愛。

二次大戰期間男性短缺，NACA 引進了更多女性計算員。太空時代來臨改組成 NASA 業務量大增，正好羅斯福總統開放黑人進入政府工作，就聘用了許多非裔女性擔任計算員，全盛時期有數百，甚至上千位，這就是《關鍵少數》這部電影的背景。

她們都在做什麼？以今天的眼光來看，那些都是簡單的算術和整理實驗數據，或在方格紙上慢慢描出函數的曲線，絕對還沒有複雜到解 Navier–Stokes equations 之類的偏微分方程來模擬流場，連早期的電腦也不太敢碰這類問題。

電影中的女主角凱薩琳為了計算太空船返回地球的軌道，必須要使用「歐拉法」（Euler method）。這是一種數值方法，利用重複運算斜率來求出常微分方程的解。這個方法現在是理工生學數值分析的第一課，幾行程式就可以解決，但是在沒有電腦的時代可是要算到手指磨出繭的！

不過她們也並不是完全單靠人力，這些計算員還有計算尺，更有當時最強大的機械式計算機，凱薩琳在電影接近尾聲時要緊急為太空人約翰葛倫驗算返回地球的軌道，就有短短照到她使用機械式計算機的一幕。

隨著電腦的普及，這些計算員也漸漸被歷史遺忘，再不會有人把「computer」這個字當成一種職業，甚至連手算技術也不再受到重視。不過會不會有那麼一天，金小胖發動的全球核戰產生的電磁脈衝毀了所有電腦，或者是強烈的太陽風暴燒掉了一切的電子電路，那時候大家都得重新拾起紙筆，慢慢推導式子，重新開始人力計算機的時代。

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