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太空不是問題,歧視才是距離:凱薩琳.強森如何成為 NASA 的關鍵少數?——《怪奇科學研究所》

時報出版_96
・2020/02/27 ・3776字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 535 ・七年級

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  • 作者/SME

在 2017 年奧斯卡頒獎典禮上出了一件奇怪的事情。當然,這裡說的不是頒錯獎的大烏龍,而是在一堆奔著小金人來的演員中間,卻有一位非裔女數學家混在了其中。原來她就是被奧斯卡提名的電影《關鍵少數》中的原型人物,NASA 的超級女英雄——凱薩琳.強森(Katherine Johnson)。

這部電影主要講述了在那個種族隔離大行其道的 20 世紀 60 年代,三位黑人女性衝破性別和種族的歧視,為「太空競賽」下的美國航空事業做出了巨大貢獻。隨著《關鍵少數》的上映,真正的「隱藏人物」凱薩琳.強森才漸漸走入人們的視野。

凱瑟琳.強森 圖/時報出版提供

在那個沒有電腦的年代,凱薩琳.強森在 NASA 裡擔當著「人肉電腦」的角色。她負責開發各種太空路線,計算各種至關重要的航空軌道參數,是水星計畫、阿波羅登月計畫中不可或缺的角色。但只要稍有差池,整個太空任務就可能完全失敗甚至造成太空人死亡。

從家庭主婦到 NASA 飛行小組成員,凱薩琳.強森經歷過怎樣的不公待遇我們不得而知。但她卻說:「我知道歧視就在那裡,但我選擇不去看它們。」然而,就是這股最純粹的力量,讓她將種族隔離的壁壘和性別歧視的天花板逐一打破,讓她活成了一個傳奇。

從小就愛算數,連教堂的階梯都不放過

1918 年,凱薩琳.強森出生於西維吉尼亞州的一個小鎮。凱薩琳的父親是眾多黑人農民中的一員,還額外從事著一份看守的工作。雖說父親沒什麼文化,但卻有著不一般的數學天賦。當初父親與木材打交道時,只要看一眼便能計算出一棵樹可以加工成多少塊木板,他甚至還能解答出許多讓老師都感到困惑的算術問題。

凱薩琳也認為自己繼承了老爸的數學天賦,從小就特別迷戀數學。旺盛的求知欲無處釋放時,她就經常去計算各種能數的東西,例如教堂的階梯、洗過的刀叉碗碟她都不放過。在哥哥姐姐都嚷嚷著拒絕上學的時候,她卻迫不及待地想要學習。她還老是偷偷跟著哥哥去學校,弄得老師基本都認識她,還允許她參加暑期學校。

凱薩琳從小就嶄露出她的數學天賦。圖/GIPHY

一到學校,6 歲的凱薩琳便開始碾壓各路同齡學生。老師看她這麼聰明,就直接安排她插班到二年級,一年級就不用讀了。本來就聰明的她在老師的一番指點下,數學天賦逐漸顯露。兩年後,她又連跳了兩級,直接進入六年級。那時,比她大 3 歲的哥哥還在讀五年級。

凱薩琳剛滿 10 歲,就要上高中了。但這也是她第一次因為身分的問題,感受到了來自社會的惡意。凱薩琳所在的小鎮,只向非洲裔的孩子提供到八年級的教育,高中部並不接收他們。

不過幸運的是,凱薩琳的父母雖然沒什麼文化,但是卻非常注重孩子們的教育。他們打探到距老家 200 公里外,有接收非裔學生的高中學校。於是,母親便帶著凱薩琳和哥哥姐姐們搬到學校附近,住在租來的房子裡。而父親則留在小鎮那邊,繼續工作給幾個孩子賺取學費。

高中畢業後,14 歲的凱薩琳便獲得了全額獎學金進入了西維吉尼亞州立大學,攻讀數學專業。在最喜愛的數學領域中,凱薩琳一口氣就把所有的數學課程學完了,但這些課程遠遠不能滿足她旺盛的求知欲。看著如此聰明和勤奮的凱薩琳,克萊特博士──第三位獲得數學博士學位的非裔美國人,特別禮遇她。

他特地為凱薩琳增設了一門高級數學課程──解析幾何學,而凱薩琳就是唯一的學生。而這門解析幾何,也成了她日後進入 NASA 飛行小組的敲門磚。

夢想與現實之間隔著的是種族與性別的雙重阻礙

1937 年,19 歲的凱薩琳帶著沉甸甸的數學知識完成了大學的學業,還順便多考了一個法語雙學位。如果放到現在,這樣的天才少女恐怕早就有企業搶著要了,出路完全不是問題。但在那個種族隔離的時代,一名黑人女性,她面臨的卻是種族和性別歧視的雙重大山。

進 NASA 工作前,她能展現能力的機會並不多。圖/NASA

想要繼續深造是不可能的了,而她唯一能找到的與數學相關的工作就是到黑人小學教書。在做了一段時間的數學教師之後,凱薩琳的人生出現了轉機。

1938 年的「密蘇里州代表蓋恩斯訴卡納達案」中,美國最高法院做出裁決,如果一個州只設了一所有該專業的學院,則不得根據種族限制只錄取白人。於是,凱薩琳幾乎是見縫插針地成了第一批進入西維吉尼亞大學研究所的黑人學生。

這第一批黑人學生只有 3 個,而她也是其中唯一的女性。但作為第一批黑人研究生,凱薩琳也受到了前所未有的差別待遇。不到一年,凱薩琳就離開了這所對她充滿惡意的研究所,決定將生活重心放在家庭上。

在之後十幾年裡,凱薩琳也成了擁有 3 個孩子的家庭主婦。但當她自己都以為人生就止步於此的時候,一個好消息卻重新點燃了她的數學夢想。

那時,美國與蘇聯的「太空競賽」開始進入白熱化階段。NACA(即 NASA 的前身)正在緊鑼密鼓地招募數學計算員,重點是,竟然還向黑人女性開放。在丈夫的支持下,他們舉家搬遷到離工作地點近的地方。

經過長達一年的測試,1953 年夏天,凱薩琳正式加入 NASA。

換了新工作,仍受到不平等待遇

時隔十幾年,從家庭中走出來的凱薩琳仍堅信自己能夠勝任 NASA 這份工作。事實也確實如此,她不但能勝任,而且比當時的許多男性同事表現得更加出色。剛開始,凱薩琳和許多黑人婦女一樣在擔任一個職位名稱為「Computer」的工作。

雖說是「Computer」,但是她們手頭卻沒有電腦,全都是用紙和筆來完成枯燥的計算。在那個電腦還未正式投入使用的年代,她們被當作「人肉電腦」來使用,也被稱為「穿裙子的電腦」。

《關鍵少數》中有色人種的辦公室內,「穿裙子的電腦」們,黑人和白人有不同的餐飲區、工作區和衛生設施,這些非裔女計算員的辦公室就赫然寫著「有色人種計算室」。但凱薩琳只當了兩個星期的「穿裙子的電腦」,便被臨時抽調到一個飛行小組中。

凱薩琳是小組中唯一的特例:唯一的黑人,同時也是唯一的女性。圖/IMDb

當時,這個小組急需一名會解析幾何的計算員,而大學時克萊特博士教給凱薩琳的解析幾何知識派上了大用場。因為凱薩琳實在是「太好用」了,以至於這個臨時抽調的時間一直在延長,大家都不願意把她「還」回去了。

雖說大家都越來越依賴凱薩琳的數學天賦,但在這個全是白人男性工程師的飛行小組,歧視卻一直大行其道。因為她是這個團隊中的一個特例:唯一的黑人,唯一的女性。在辦公室裡凱薩琳一直遭到同事們的白眼和無視。除了無法使用白人的咖啡機外,還只能使用有色人種的廁所。

然而最讓人無法接受的,還是明明是凱薩琳的建議或計算成果,報告上卻只能署上別人的名字。她做著最核心的工作,卻拿著最微薄的薪水,享有最低等的待遇。

但在受到種種歧視時,凱薩琳在選擇視而不見的同時,卻從未放棄過自己應有的權利。幾乎每一次寫報告,不管遞交成不成功,她都會簽上自己的名字。當遇到不清楚的問題,她一定要刨根問底將其搞懂,也不管其他同事翻了多少個白眼。

不受框架束縛,積極爭取權益!

當時,NASA 的重要會議上幾乎沒有出現過女性,但是凱薩琳為了獲得飛船飛行的第一手消息,她勇敢地向上司提出參加會議的請求。遭到拒絕時,她說:「有法律規定女人不能參加會議嗎?」最後,她確實爭取到了參加會議的資格,成為整個會議室的唯一一位女性。

成為計畫中關鍵角色的凱薩琳。圖/IMDb

此外,她的傑出表現也慢慢受到了上司的重視,報告上也終於出現了自己的名字。她用自己的努力一步一步地獲得他人的尊重和認可,這位黑人女孩成了 NASA 的傳奇人物。後來,每當團隊遇到什麼難題,總會有人說:「問問凱薩琳吧!」

1961 年 5 月 5 日,水星計畫的「自由 7 號」將美國第一位太空人艾倫.雪帕德送上太空,這艘飛船的運行軌跡正是凱薩琳計算的。

隨著「太空競賽」的不斷升溫,凱薩琳的工作也變得越來越複雜了。她從早期的拋物線軌道,算到橢圓軌道,從繞地球飛行軌道,算到繞月飛行軌道。儘管後來電腦已經被應用於軌道的計算,但是 NASA 卻仍不放心,硬要凱薩琳這台「人肉電腦」驗算過才敢起飛。

1962 年,約翰.葛倫在首次環繞地球的太空飛行中,就指名要求凱薩琳幫忙驗算後才敢上天。他不相信電腦,反而相信凱薩琳,說:「如果那個女孩(the girl,指凱薩琳)說沒有問題了,我才算準備好。」約翰.葛倫完成的飛行任務,也標誌著美國在太空競賽中首次超過了蘇聯,同時也標誌著凱薩琳得到了認可。

凱瑟琳.強森(1918-2020)圖/時報出版提供

從進入 NASA 到 1986 年退休的 33 年間,凱薩琳幾乎參與了每一個重要的航太計畫,為太空探索做出了巨大貢獻。

2015 年,歐巴馬授予凱薩琳總統自由勳章。2016 年,凱薩琳也隨著《關鍵少數》的熱映,進入了大眾眼裡。而 NASA 為她撰寫的傳記的結尾是:「如果沒有你,NASA 不會是今天的模樣。」

凱薩琳用一生告訴我們一個道理:人一出生就帶著各種標籤,但是這些標籤並不是真正阻礙你前進的阻力。在撕毀這些標籤時,革命只能使人們獲得表面的勝利。但真正的尊重,還是需要實力才能贏得。

——《怪奇科學研究所:42個腦洞大開的趣味科學故事》,2020 年 2 月,時報出版

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出版品包括文學、人文社科、商業、生活、科普、漫畫、趨勢、心理勵志等,活躍於書市中,累積出版品五千多種,獲得國內外專家讀者、各種獎項的肯定,打造出無數的暢銷傳奇及和重量級作者,在台灣引爆一波波的閱讀議題及風潮。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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